Обобщенные функции

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
М. C. Агранович
Обобщенные функции
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 517.982.4
ББК 22.162
А25
Агранович М. C.
Обобщенные функции
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
125 с.
ISBN 978-5-4439-2004-7
Вводный курс по теории обобщенных функций (распределений),
написанный на основе лекций, прочитанных автором в Независимом
московском университете. Доступен старшекурсникам механико-математических и физико-математических факультетов университетов. Рассчитан в первую очередь на тех из них, кто специализируется
по уравнениям в частных производных или уравнениям математической физики, но может быть полезен также начинающим математикам других направлений, включая прикладников, а также физикам и
инженерам. В курс включены краткий очерк общей теории уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в Rn и
теорема Шварца о ядре.
Подготовлено на основе книги: М. C. Агранович. Обобщенные функции. | М.: МЦНМО, 2008.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241 74 83.
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-2004-7
c
⃝Агранович М. C., 2008
c
⃝МЦНМО, 2014

Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
§ 1. Основные понятия теории обобщенных функций
. . . . . .
6
§ 2. Свертка обычных и обобщенных функций . . . . . . . . . .
22
§ 3. Другие пространства основных и обобщенных функций . .
30
§ 4. Доказательства теорем о структуре обобщенных функций
43
§ 5. Преобразования Фурье обычных и обобщенных функций .
50
§ 6. Однородные обобщенные функции и их преобразования
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
§ 7. Некоторые приложения к теории уравнений в частных
производных с постоянными коэффициентами . . . . . . .
76
§ 8. Некоторые топологические свойства пространств основных и обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
§ 9. Тeoрема о ядре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 10. Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3

Предисловие
Эта книжка содержит вводный курс по теории обобщенных функций. Она написана для начинающих математиков на основе лекций,
которые автор дважды прочитал несколько лет назад в Независимом
московском университете. При подготовке к печати текст был несколько дополнен, теперь это примерно 20 лекций.
Теория обобщенных функций (или распределений) сложилась в 50-е
годы прошлого века и с тех пор вошла незаменимой составляющей в
математический обиход, без нее математикам уже невозможно обойтись. В первую очередь это относится к аналитикам и в особенности к
тем, кто занимается уравнениями в частных производных. Но она часто
нужна и геометрам, а также физикам и инженерам. На Механико-математическом факультете МГУ элементы этой теории сообщаются в
курсах уравнений в частных производных (математической физики) и
анализа-III (функционального анализа), но в объеме, явно не достаточном для активных занятий математикой. С другой стороны, по этой
теории написаны обширные монографии, изучение которых обычно затруднительно для начинающих не только из-за объема, но и из-за сжатости изложения.
Автор считал своей целью прочитать в возможно более доступной
форме и записать сравнительно небольшой по объему курс, достаточный для того, чтобы после его освоения слушатели и читатели могли
свободно ориентироваться в литературе, в которой используются обобщенные функции. В качестве справочника по обобщенным функциям
предлагаемая книжка не годится.
Разумеется, отбор включенных в курс вопросов, очень жесткий при
принятом объеме книжки, сделан в соответствии со вкусами автора. На
этот отбор повлиял, конечно, фактор времени, которое «расставляет
веса» на наиболее заметных достижениях прошедших лет.
Для чтения книжки достаточно владения обязательным материалом первых трех курсов Мех-мата. Ссылки на стандартные учебники
не приводятся, за исключением тех случаев, когда есть опасение, что
нужные утверждения не всегда содержатся в обязательных курсах. Но
без некоторого количества ссылок на факты, не сообщаемые в обязательных курсах, обойтись было нереально. Список удобных для справок
книг приводится.
В нескольких местах теоремы сообщаются без доказательства, со
ссылками на литературу; соответствующие теоремы или пункты отме4

чены звездочкой. Для активизации изучения в текст включены несложные задачи. § 10 содержит некоторые комментарии к тексту.
Мы излагаем традиционный материал из основ теории обобщенных
функций и их преобразований Фурье и затем разбираем некоторые
приложения этой теории к уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. В конце книжки доказывается теорема о
ядре Лорана Шварца.
Вслед за этой книжкой автор планирует подготовить к печати еще
две примерно такого же объема: «Пространства Соболева» [1] и «Эллиптические псевдодифференциальные операторы» [2]. Они составят
продолжение предлагаемой книжки. Предварительные версии можно
найти на сайте автора http://agranovich.nm.ru.
Автор близко знаком с математиками, читавшими подобные курсы
в Московском университете. К сожалению, уже давно многие из них
живут и работают за рубежом.
Во время чтения лекций детали изложения постоянно обсуждались
со слушателями, и это очень помогло автору при отборе материала
и поиске наиболее понятной формы изложения. В особенности автор
благодарен Полине Вытновой, Николаю Гореву, Василию Новикову и
Михаилу Сурначеву. Борису Авенировичу Амосову автор очень благодарен за ряд редакционных замечаний.
Но улучшение текста | процесс асимптотический, и автор просит
всех читателей, у которых возникнут какие-либо замечания, присылать
их по электронному адресу magran@orc.ru.
Февраль 2008 г.
5

§ 1. Основные понятия теории обобщенных функций
1.1. Определение обобщенной функции (распределения). Рассмотрим пространство D = D(Rn) = C∞
0 (Rn) финитных бесконечно гладких
комплекснозначных функций. Это основные функции (позднее мы введем и другие пространства основных функций). Это пространство линейно. В нем можно ввести топологию (т. е. указать систему окрестностей нуля, cм. книгу Лорана Шварца [12]), но мы, следуя И. М. Гельфанду и Г. Е. Шилову [5], ограничимся определением сходимости: 'j →' в
этом пространстве, если существует такое a > 0, что все эти функции
равны нулю при |x| ⩾a и @'j(x) →@'(x) равномерно при любом .
Здесь и дальше
 = (1; : : : ; n);
|| = 1 + : : : + n;
@ = @1
1 : : : @n
n ;
@j = @=@xj:
Пример. Функция
'(x) =
(
exp[(x −a)−1(x −b)−1]
на (a; b);
0
вне (a; b)
(1.1.1)
принадлежит D(R). Действительно, нужно только проверить ее бесконечную гладкость в точках a и b; это несложно.
Задача 1. Проведите эту проверку.
Задача 2. Проверьте полноту пространства D относительно введенной выше сходимости (т. е. проверьте, что фундаментальная последовательность в D имеет там предел).
Основные функции мы будем обычно обозначать строчными греческими буквами ',  ,  и т. д.
Обобщенная функция (или распределение) f (над D)|это линейный
непрерывный функционал ⟨f; '⟩над D. Здесь имеется в виду непрерывность относительно введенной выше сходимости.
Две обобщенные функции f и g равны, если равны их значения на
любой основной функции.
Термин «распределение» ввел Лоран Шварц, термин «обобщенная
функция» | И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов.
Примеры. 1. Дельта-функция (x −x0):
⟨(x −x0); '(x)⟩= '(x0):
(1.1.2)
Это определение придает точный смысл известному физическому «определению» дельта-функции: это такая «функция», равная 0 вне x0 и
6

бесконечности в x0, что
Z
(x −x0)h(x) dx = h(x0) для любой непрерывной функции h(x).
2. Функционал типа функции, или регулярная обобщенная функция.
Пусть f(x) | локально интегрируемая функция на M. Полагаем1
⟨f; '⟩=
Z
f(x)'(x) dx;
' ∈D:
(1.1.3)
Совокупность всех обобщенных функций над D обозначается через D′ = D′(Rn). Это линейное пространство с определением линейных
операций
⟨f + g; '⟩= ⟨f; '⟩+ ⟨g; '⟩;
' ∈D:
(1.1.4)
Очевидно, что правая часть | обобщенная функция.
1.2. Дифференцирование
обобщенной
функции.
Сначала
пусть
f(x) ∈C1(Rn). Тогда для любой основной функции '
Z
@jf(x) · '(x) dx = −
Z
f(x)@j'(x) dx
(мы проинтегрировали по частям). Принимая эту формулу за образец,
полагаем для любой обобщенной функции f
⟨@jf; '⟩= −⟨f; @j'⟩;
' ∈D:
(1.2.1)
Очевидно, что это обобщенная функция.
Мы видим, что все обобщенные функции дифференцируемы и, значит, бесконечно дифференцируемы. При этом
⟨@f; '⟩= (−1)||⟨f; @'⟩
(1.2.2)
для любого .
Проиллюстрируем это определение в следующих замечаниях и примерах.
Замечание 1.2.1. Пусть для простоты n = 2. Согласно известной теореме из анализа
@1@2f(x1; x2) = @2@1f(x1; x2);
если эти частные производные непрерывны в рассматриваемой точке.
Для обобщенных функций всегда
@1@2f = @2@1f:
(1.2.3)
1Здесь и дальше подразумевается, что интеграл без указания множества, по
которому производится интегрирование, берется по всему пространству Rn.
7

Действительно,
⟨@1@2f; '⟩= ⟨f; @2@1'⟩= ⟨f; @1@2'⟩= ⟨@2@1f; '⟩:
Мы видим, что для обобщенных функций f порядок дифференцирования в @f безразличен.
Замечание 1.2.2. Пусть f(x) | кусочно-гладкая функция на прямой
для простоты с единственной точкой разрыва x0 1-го рода. Более точно, пусть эта функция становится функцией класса C1 на (−∞; x0],
если положить f(x0) = f(x0 −0), и функцией класса C1 на [x0; ∞), если положить f(x0) = f(x0 + 0), а эти односторонние пределы различны.
Тогда ее производная в смысле обобщенных функций|функционал типа функции f ′(x) плюс h(x −x0), где h | скачок f(x0 + 0) −f(x0 −0).
Это проверяется интегрированием по частям:
x0
f(x)'′(x) dx =
−
Z x0
−∞
f(x)'′(x) dx −
Z +∞
x0
f ′(x)'(x) dx + h'(x0):
=
Z x0
−∞
f ′(x)'(x) dx +
Z +∞
Этот результат легко обобщается на случай, когда у f(x) на каждом
конечном интервале есть конечное число точек разрыва 1-го рода и,
кроме того, конечное число точек, в которых разрыва нет, но левая
производная не равна правой.
Примеры. 1. Производная в смысле обобщенных функций от функции Хевисайда (x), равной 0 при x < 0 и 1 при x > 0, равна (x). Значение этой функции в точке x = 0 не играет роли, можно принять его
равным 0 или 1.
2. Производные дельта-функции вычисляются очевидным образом:
⟨@(x −x0); '⟩= (−1)||@'(x0):
(1.2.4)
1.3. Умножение на бесконечно гладкую функцию. Пусть f ∈D′ и
a ∈C∞(Rn). Если f | регулярная обобщенная функция, то и af | регулярная обобщенная функция и имеет место формула
⟨af; '⟩= ⟨f; a'⟩;
' ∈D:
(1.3.1)
В общем случае мы принимаем эту формулу за определение произведения af. Очевидно, что получается обобщенная функция.
Из сказанного видно, что не только в D, но и в D′ действуют линейные дифференциальные операторы с бесконечно гладкими коэффи8

||⩽m
a(x)@;
a ∈C∞(Rn):
циентами
a(x; @) =
X
Отметим, что справедливо обычное правило дифференцирования
произведения
(af)′ = a′f + af ′
(n = 1; a ∈C∞(R); f ∈D′(R)):
(1.3.2)
Проверьте это самостоятельно. Из (1.3.2) следует обычная формула
Лейбница для производной (af)(m):
m!
(af)(m) =
k=0
k! (m −k)!a(k)f (m−k):
(1.3.3)
m
X
1.4. Решения линейных дифференциальных уравнений в обобщенных функциях. Рассмотрим уравнение
u(m)(x) + a1(x)u(m−1)(x) + : : : + am(x)u(x) = f(x)
(x ∈R)
(1.4.1)
c бесконечно гладкими коэффициентами и бесконечно гладкой правой
частью. Легко проверяется, что обычное бесконечно гладкое решение
является решением в D′(R), т. е. решением в смысле обобщенных функций. Теперь мы докажем вполне содержательное обратное утверждение:
Теорема 1.4.1. Любое решение уравнения (1.4.1) в D′(R) является
обычным бесконечно гладким решением.
Доказательство. Уравнение (1.4.1) сначала сводится к однородному
уравнению (вычитанием из u(x) частного решения, которое при наших предположениях, как известно, существует на всей оси и является
бесконечно гладким). Затем однородное уравнение известным образом
сводится к системе 1-го порядка
U ′(x) = A(x)U(x)
(1.4.2)
c бесконечно гладкой матрицей A(x). Теперь достаточно проверить,
что обобщенные решения этой системы являются обычными бесконечно гладкими решениями. Пусть ˘(x) | фундаментальная матрица этой
системы (т. е. матрица, столбцы которой образуют фундаментальную
систему решений). Она, как известно, существует и является невырожденной и бесконечно гладкой на всей оси. Положим U = ˘(x)V . Для
V получается уравнение V ′ = 0. Осталось показать, что любое решение
скалярного уравнения v′ = 0 в D′(R) | постоянная.
9