Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

Покупка
Артикул: 682525.01.99
Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, ко- торые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуж- даются оба подхода. Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии. Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены подробными решениями. Первое издание книги вышло в 2004 г.
Прасолов, В. В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии: Монография / Прасолов В.В., - 2-е изд. - Москва :МЦНМО, 2014. - 360 с.: ISBN 978-5-4439-0241-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958769 (дата обращения: 23.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ББК 22.15
УДК 515.14
П70

П70
Прасолов В. В.
Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. ––
2-е изд., испр. и доп. –– М.: МЦНМО, 2014. — 360 c.

ISBN 978-5-4439-0241-8

Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны.
В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их
разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной
топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких
отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как
комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуждаются оба подхода.
Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении
свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко,
сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от
большинства книг по топологии.
Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены
подробными решениями.
Первое издание книги вышло в 2004 г.

ББК 22.15

ISBN 978-5-4439-0241-8
© В. В. Прасолов, 2004, 2014.
© МЦНМО, 2004, 2014.

Оглавление

Некоторые обозначения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Глава I.
Графы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
§ 1.
Топологические и геометрические свойства графов . . . . . . .
18
1.1.
Планарные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.
Формула Эйлера для планарных графов . . . . . . . .
28
1.3.
Вложения графов в трёхмерное пространство . . . . .
31
1.4.
k-связные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.5.
Теорема Штейница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 2.
Гомотопические свойства графов
. . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.1.
Фундаментальная группа графа . . . . . . . . . . . . .
42
2.2.
Накрытия 1-мерных комплексов
. . . . . . . . . . . .
48
2.3.
Накрытия и фундаментальная группа . . . . . . . . . .
53
§ 3.
Инварианты графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.1.
Хроматический многочлен . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.2.
Многочлен от трёх переменных . . . . . . . . . . . . .
63
3.3.
Многочлен Ботта––Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.4.
Инварианты Татта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

Глава II.
Топология в евклидовом пространстве
. . . . . . . . .
69
§ 4.
Топология подмножеств евклидова пространства . . . . . . . .
69
4.1.
Расстояние от точки до множества . . . . . . . . . . .
69
4.2.
Продолжение непрерывных отображений
. . . . . . .
70
4.3.
Теоремы Лебега о покрытиях . . . . . . . . . . . . . .
73
4.4.
Канторово множество
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
§ 5.
Кривые на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.1.
Теорема Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.2.
Теорема Уитни––Грауштейна . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.3.
Двойные точки, двойные касательные и точки перегиба 85
§ 6.
Теорема Брауэра и лемма Шпернера . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.1.
Теорема Брауэра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.2.
Теорема Жордана как следствие теоремы Брауэра . .
92
6.3.
Лемма Шпернера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.4.
Теорема Какутани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Глава III. Топологические пространства
. . . . . . . . . . . . . . 102
§ 7.
Элементы общей топологии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Оглавление

7.1.
Хаусдорфовы пространства и компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.2.
Нормальные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3.
Разбиения единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4.
Паракомпактные пространства
. . . . . . . . . . . . . 110
§ 8.
Симплициальные комплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.1.
Евклидовы клеточные комплексы . . . . . . . . . . . . 117
8.2.
Симплициальные отображения
. . . . . . . . . . . . . 118
8.3.
Абстрактные симплициальные комплексы . . . . . . . 119
8.4.
Симплициальные аппроксимации . . . . . . . . . . . . 121
8.5.
Нерв покрытия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.6.
Псевдомногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7.
Степень отображения в евклидово пространство . . . 129
8.8.
Теорема Борсука––Улама . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.9.
Следствия и обобщения теоремы Борсука––Улама . . 134
§ 9.
CW -комплексы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.1.
Приклеивание по отображению . . . . . . . . . . . . . 136
9.2.
Определение CW -комплексов . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3.
Топологические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.4.
Клеточная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.5.
Геометрическая реализация CW -комплексов . . . . . 149
§ 10. Конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.1. Прямое произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2. Цилиндр, конус и надстройка . . . . . . . . . . . . . . 150
10.3. Джойн
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.4. Симметрическая степень . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения.
Гомотопические группы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 11. Двумерные поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.2. Приведение двумерных поверхностей к простейшему
виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.3. Завершение классификации двумерных поверхностей 165
11.4. Риманово определение рода поверхности
. . . . . . . 168
§ 12. Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.1. Универсальные накрытия двумерных поверхностей . . 169
12.2. Существование накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой . . . . . . . . . . . . 170
12.3. Единственность накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой . . . . . . . . . . . . 172

Оглавление
5

12.4. Локальные гомеоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . 175
§ 13. Графы на поверхностях. Взрезанный квадрат графа
. . . . . . 177
13.1. Род графа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
13.2. Раскраски карт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
13.3. Взрезанный квадрат графа . . . . . . . . . . . . . . . . 181
§ 14. Расслоения и гомотопические группы . . . . . . . . . . . . . . . 182
14.1. Накрывающая гомотопия
. . . . . . . . . . . . . . . . 182
14.2. Гомотопические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14.3. Точная последовательность расслоения
. . . . . . . . 189
14.4. Относительные гомотопические группы
. . . . . . . . 194
14.5. Теорема Уайтхеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Глава V.
Многообразия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§ 15. Определение и основные свойства
. . . . . . . . . . . . . . . . 201
15.1. Многообразия с краем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
15.2. Отображения многообразий . . . . . . . . . . . . . . . 205
15.3. Гладкие разбиения единицы . . . . . . . . . . . . . . . 208
15.4. Теорема Сарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
15.5. Важный пример: многообразия Грассмана . . . . . . . 214
§ 16. Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
16.1. Дифференциал отображения . . . . . . . . . . . . . . . 224
16.2. Векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
16.3. Риманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
16.4. Дифференциальные формы и ориентируемость . . . . 228
§ 17. Вложения и погружения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
17.1. Вложения компактных многообразий . . . . . . . . . . 231
17.2. Триангуляция замкнутого многообразия . . . . . . . . 233
17.3. Погружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
17.4. Вложения некомпактных многообразий
. . . . . . . . 239
17.5. Невозможность некоторых вложений . . . . . . . . . . 242
§ 18. Степень отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
18.1. Степень гладкого отображения . . . . . . . . . . . . . 245
18.2. Индекс особой точки векторного поля . . . . . . . . . 249
18.3. Теорема Хопфа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
18.4. Аппроксимации непрерывных отображений . . . . . . 258
18.5. Конструкция Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
18.6. Гомотопически эквивалентные линзовые пространства 262
§ 19. Теория Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
19.1. Функции Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
19.2. Градиентные векторные поляи приклеивание ручек . . 270
19.3. Примеры функций Морса . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Оглавление

Глава VI. Фундаментальная группа
. . . . . . . . . . . . . . . . . 285
§ 20. CW -комплексы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
20.1. Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
20.2. Некоторые примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
20.3. Фундаментальная группа пространства SO(n)
. . . . 291
§ 21. Теорема Зейферта––ван Кампена
. . . . . . . . . . . . . . . . . 295
21.1. Эквивалентные формулировки . . . . . . . . . . . . . . 295
21.2. Доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
21.3. Группа узла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
21.4. Рогатая сфера Александера . . . . . . . . . . . . . . . 305
§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой . 307
22.1. Дополнение к набору комплексных прямых . . . . . . 308
22.2. Теорема ван Кампена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
22.3. Применения теоремы ван Кампена . . . . . . . . . . . 317

Решения и указания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

Некоторые обозначения

X ≈ Y –– топологическое пространство X гомеоморфно Y;
X ∼ Y –– топологическое пространство X гомотопически эквивалентно Y;
f ≃ g –– отображение f гомотопно отображению g;
|A| –– количество элементов множества A;
int A –– внутренность множества A;
A –– замыкание множества A;
∂A –– граница множества A;
idA –– тождественное отображение множества A;
Kn –– полный граф с n вершинами;
Kn,m –– см. с. 20;
Dn –– n-мерный шар;
Sn –– n-мерная сфера;
∆n –– n-мерный симплекс;
In –– n-мерный куб;
P2 –– проективная плоскость;
T 2 –– двумерный тор;
S2 # nP2 или nP2 –– связная сумма n проективных плоскостей;
S2 # nT 2 или nT 2 –– связная сумма n двумерных торов (сфера с n ручками);
K 2 –– бутылка Клейна;
∥x − y∥ –– расстояние между точками x, y ∈ Rn;
∥v∥ –– длина вектора v ∈ Rn;
d(x, y) –– расстояние между точками x, y;
inf –– точная нижняя грань;
X ⊔ Y –– дизъюнктное объединение X и Y (все элементы X и Y считаются различными);
supp f = {x | f(x) ̸= 0} –– носитель функции f;
X ∗ Y –– джойн пространств X и Y;
SPn(X) –– симметрическая степень пространства X;
f : (X, Y) → (X1, Y1) –– отображение пар, при котором Y ⊂ X отображается в Y1 ⊂ X1;
π1(X, x0) –– фундаментальная группа пространства X с отмеченной
точкой x0 ∈ X;

Некоторые обозначения

πn(X, x0) –– n-мерная гомотопическая группа пространства X с отмеченной точкой x0 ∈ X;
deg f –– степень отображения f;
rank f(x) –– ранг отображения f в точке x;
G(n, k) –– многообразие Грассмана;
GLk(R) –– группа невырожденных матриц порядка k с вещественными
координатами;
U(n) –– группа унитарных матриц порядка n;
SU(n) –– группа унитарных матриц порядка n с определителем 1;
O(n) –– группа ортогональных матриц порядка n;
SO(n) –– группа ортогональных матриц порядка n с определителем 1;
TxMn –– касательное пространство в точке x ∈ Mn;
TMn –– касательное расслоение;
Ωk
fr(n + k) –– множество классов оснащённо кобордантных многообразий размерности k в Rn+k.

Предисловие

Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются в основном методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических
пространств посредством их разбиений на элементарные множества (например, симплексы) или посредством покрытий какими-либо простыми
множествами, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений.
Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях мы
обсуждаем оба подхода.
Исторически начало топологии связано с работами Римана; затем его
исследования продолжили Бетти и Пуанкаре. При изучении многозначных аналитических функций комплексного переменного Риман понял, что
эти функции следует рассматривать не на плоскости, а на тех двумерных
поверхностях, на которых многозначные функции превращаются в однозначные. Двумерная поверхность возникает при этом как самостоятельный объект, определенный внутренним образом, т. е. безотносительно к её
конкретному вложению в R3. При таком подходе двумерная поверхность
получается в результате склейки налегающих друг на друга областей
плоскости. В дальнейшем Риман ввёл понятие многомерного многообразия (Mannigfaltigkeit –– в немецком языке этот термин Римана сохранился, а в других языках появились кальки этого термина). Многообразие
размерности n получается в результате склейки налегающих друг на друга
областей пространства Rn. Позднее было осознано, что если нас инте-
ресуют лишь непрерывные отображения многообразий, то для описания
структуры многообразия достаточно знать лишь строение его открытых
подмножеств. Это послужило одной из важнейших причин появления
понятия топологического пространства как множества с выделенной системой открытых множеств, обладающих определенными свойствами.
Глава I посвящена простейшему с топологической точки зрения объекту –– графам (1-мерным комплексам). Сначала обсуждаются пограничные с геометрией вопросы: планарность, формула Эйлера, теорема Штейница. Затем мы переходим к фундаментальной группе и накрытиям, ос
Предисловие

новные свойства которых очень хорошо прослеживаются на графах. Завершается глава подробным обсуждением полиномиальных инвариантов
графов, интерес к которым в последнее время сильно вырос, поскольку
обнаружились их связи с инвариантами узлов.
Глава II посвящена другому достаточно простому с точки зрения топологии объекту –– евклидову пространству со стандартной топологией.
Подмножества евклидова пространства могут иметь очень сложное топологическое строение, поэтому мы обсуждаем только несколько основных утверждений о топологии евклидова пространства и его подмножеств. Одна из основных задач топологии –– классификация непрерывных отображений одного топологического пространства в другое (на эти
пространства могут быть наложены определённые ограничения; классификация проводится с точностью до некоторой эквивалентности). Простейшие классификации такого рода связаны с кривыми на плоскости,
т. е. с отображениями S1 в R2. Сначала мы доказываем теорему Жордана
и теорему Уитни––Грауштейна о классификации гладких замкнутых кривых с точностью до регулярной гомотопии. Затем несколькими разными
способами доказываются теорема Брауэра о неподвижной точке и лемма
Шпернера (помимо стандартного варианта леммы Шпернера приведён
и более точный её вариант, учитывающий ориентации симплексов). Доказана также теорема Какутани, обобщающая теорему Брауэра. Глава
завершается теоремой Титце о продолжении непрерывных отображений,
которая выводится из леммы Урысона, и двумя теоремами Лебега: теоремой Лебега об открытых покрытиях, без которой не обходятся строгие
доказательства многих теорем теории гомотопий и гомологий, и теоремой
Лебега о замкнутых покрытиях, которая служит основой для определения
понятия топологической размерности.
Глава III начинается с элементов общей топологии –– того необходимого минимума, который постоянно используется в алгебраической топологии. Здесь обсуждаются три свойства (хаусдорфовость, нормальность, паракомпактность), наличие которых существенно облегчает работу с топологическими пространствами. Затем обсуждаются два важнейших для алгебраической топологии класса топологических пространств ––
симплициальные комплексы и CW -комплексы, приводится необходимая
для работы с ними техника (клеточные и симплициальные аппроксимации) и доказывается, что они обладают тремя упомянутыми выше свойствами. Здесь также вводится понятие степени отображения для псевдомногообразий, и с помощью степени доказывается теорема Борсука––
Улама, из которой выводятся многочисленные следствия. Завершается
глава описанием конструкций, применимых к топологическим пространствам, в том числе джойна, взрезанного джойна и симметрической степе
Предисловие
11

ни. С помощью взрезанного джойна доказывается, что некоторые n-мерные симплициальные комплексы нельзя вложить в R2n.
В главе IV обсуждаются весьма разнообразные темы –– двумерные
поверхности, накрытия, локальные гомеоморфизмы, графы на поверхностях (род графа, раскраски карт на графах), расслоения, гомотопические
группы.
В главе V мы обращаемся к дифференциальной топологии. Здесь
обсуждаются гладкие многообразия и приложения гладких отображений в топологии. Сначала вводится основная техника (гладкие разбиения
единицы, теорема Сарда) и обсуждается важный для всей топологии пример –– многообразия Грассмана. Затем обсуждаются понятия, связанные
с касательным пространством: векторные поля и дифференциальные формы. После этого доказываются важные для работы с гладкими многообразиями теоремы о существовании вложений и погружений (в том числе
и о вложениях некомпактных многообразий в качестве замкнутых подмножеств). Помимо этого доказывается, что замкнутое неориентируемое
многообразие размерности n нельзя вложить в Rn+1 и выясняется, какие
двумерные поверхности вкладываются в RP3. Далее вводится гомотопический инвариант –– степень гладкого отображения. С помощью степени
определяется индекс особой точки векторного поля. Доказывается теорема Хопфа о гомотопической классификации отображений Mn → Sn.
Приводится конструкция Понтрягина, интерпретирующая πn+k(Sn) как
множество классов оснащённо кобордантных многообразий размерности k в Rn+k. Глава завершается теорией Морса, которая связывает топологическое строение многообразия с локальными свойствами особых
точек невырожденной функции на данном многообразии. Приводятся явные примеры функций Морса на некоторых многообразиях, в том числе
и на многообразиях Грассмана.
Глава VI посвящена явным вычислениям фундаментальной группы некоторых пространств и приложениям фундаментальной группы.
Прежде всего доказывается теорема о задании фундаментальной группы CW -комплекса образующими и соотношениями и приводятся некоторые примеры применения этой теоремы. Иногда фундаментальную группу
более удобно вычислять с помощью точной последовательности расслоения. Так обстоит дело, например, с фундаментальной группой SO(n). При
вычислении фундаментальной группы нередко бывает полезна теорема
ван Кампена о строении фундаментальной группы объединения двух
открытых множеств. Её можно использовать, например, для вычисления
фундаментальной группы дополнения узла. В конце главы приводится
другая теорема ван Кампена –– о вычислении фундаментальной группы
дополнения алгебраической кривой в CP2. Соответствующие вычисления

Предисловие

для конкретных кривых довольно сложные; здесь есть много интересных
результатов, но многое пока остаётся не до конца понятным.

Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий)
столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники.
Этим она отличается от большинства книг по топологии.
Книга рассчитана на читателей, знакомых с основными понятиями
геометрии, линейной алгебры и анализа. В частности, предполагается
некоторое знакомство с открытыми, замкнутыми и компактными множествами в евклидовом пространстве.
Для самостоятельного обдумывания в книге предлагаются три вида
заданий. 1) Упражнения, которые не должны вызвать затруднений; их
решения не приводятся. 2) Задачи, которые уже не столь просты, а потому в конце книги приведены их решения. 3) Задачи «со звёздочкой»,
каждая из которых составляет содержание отдельной научной статьи.
В качестве задач эти утверждения сформулированы для того, чтобы не перегружать основной текст книги. Решения этих задач тоже приведены
в конце книги. Задачи составлены по материалам семинаров по топологии для студентов I и II курса Независимого московского университета,
которые автор вёл в 2002 г.
Во время работы над этой книгой я получал финансовую поддержку
от Российского фонда фундаментальных исследований согласно проекту
01–01–00660.

Основные определения

Для начала нам потребуются лишь основные понятия топологии. Приведём их определения.
Топологическим пространством называют множество X, в котором
выделена система подмножеств τ, обладающая следующими свойствами:
1) пустое множество и всё множество X принадлежат τ;
2) пересечение конечного числа элементов τ принадлежит τ;
3) объединение любого семейства элементов τ принадлежит τ.
Множества, принадлежащие τ, называют открытыми. Окрестностью точки x ∈ X называют любое открытое множество, содержащее x.
Множества, дополнения которых открыты, называют замкнутыми.
Для подмножества A топологического пространства можно определить замыкание A –– наименьшее замкнутое множество, содержащее A, и
внутренность int A –– наибольшее открытое множество, содержащееся
в A. Замыкание A –– это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих A, а внутренность A –– это объединение всех открытых множеств,
содержащихся в A.
Важнейшим примером топологического пространства служит евклидово пространство Rn. Открытыми множествами в Rn являются шары
Dn
a,ε = {x ∈ Rn | ∥x − a∥ < ε} и всевозможные их объединения.
Семейство множеств τ ′ ⊂ τ называют базой топологии τ, если любой
элемент системы τ является объединением элементов системы τ′.
У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что семейство множеств τ′ ⊂ τ является базой топологии τ тогда и только тогда, когда для любой точки x
и для любой её окрестности U найдётся такое множество V ∈ τ ′, что
x ∈ V ⊂ U.
У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что семейство множеств τ′ является
базой некоторой топологии тогда и только тогда, когда для любых двух
множеств U, V ∈ τ ′ и для любой точки x ∈ U ∩ V найдется такое множество W ∈ τ ′, что x ∈ W ⊂ U ∩ V .
Топологическое пространство X называют пространством со счётной
базой, если у него есть база, состоящая из счётного семейства множеств.
Например, открытые шары Dn
a,ε, где число ε и все координаты точки a
рациональны, образуют счётную базу пространства Rn.