Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью

МИНИСТЕРСТВО
ОБР
АЗОВАНИЯ
И
НА
УКИ
РОССИЙСК
ОЙ
ФЕДЕР
АЦИИ
УР
АЛЬ
СКИЙ
ФЕДЕР
АЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ
ПЕРВОГО
ПРЕЗИДЕНТ
А
РОССИИ
Б.
Н.
ЕЛЬЦИНА
В.
Г
.
Пименов
Р
азностные
мето
ды
решения
уравнений
в
частных
произво
дных
с
наследственностью
2-е издание, стереотипное
Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017

У
ДК
519.63
П
325
Р
ецензент
А.
И.
К
о
р
о
т
к
и
й,
доктор
физик
о-математических
на
ук,
профессор
(Институт
математики
и
мех
аники
имени
Н.
Н.
Красовск
ого
УрО
Р
АН);
На
а
а
учный
редактор
А.
Б.
Л
о
ж
н
и
к
о
в,
к
ндидат
физик
о-математических
на
ук
Пименов,
В.
Г
.
П
325
Р
азностн
н
ные
мет
т
то
ды
решения
уравнени
и
ий
в
частных
произ-
-
во
дных
с
наследс
венностью
/
В.
Г
.
П
менов
в
в
;
[на
уч.
ред.
А.
Б.
Ло
ж
ик
ов]
;
М-во
образования
и
на
уки
Р
ос.
Федера
а
а
    Разностные методы решения уравнений в частных производных 
с наследственностью [Электронный ресурс]/ В.Г. Пименов ; науч. ред. 
А.Б. Ложников ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. 
ун-т. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2017. — 133 с.
ции,
Урал.
федер.
ун-т
.

Ек
атеринбург
:
Издо
Урал.
ун-т
,
2014.

134
с.
ISBN
978-5-7996-1364-8
ISBN 978-5-9765-3211-3 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1364-8 (Изд-во Урал. ун-та)
В
книге
приво
дятс
я
численные
алгори
и
итмы
решения
дифференциальных
уравнений
в
частных
про
зво
дных
с
эффектом
запаздывания.
Для
обоснования
с
х
о
димости
даетс
я
общая
раз-
-
ностная
с
х
ема
решения
функционально-дифференциальных
уравнений,
к
к
оторой
затем
сво
дятс
я
различные
численные
ме
т
т
то
ды
решения
уравнений
параболическ
ого,
гиперболическ
ого
ипов
и
уравнени
и
ий
переноса
с
с
с
наследственностью.
Для
специал
стов
в
обла
т
т
ти
и
и
вычислительной
математики,
к
омпьютерных
на
ук
и
матема
а
а
ческ
ого
мо
делирова
а
ания.
Книг
а
т
акж
е
бу
дет
полезна
сту
дент
м
ст
арших
курсов
и
спирант
ам.
У
ДК
519.63
ISBN
978-5-7996-1364-8
c
⃝
Пименов
В.
Г
.,
2
2
20
0
01
1
14
4
4
ISBN 978-5-9765-3211-3 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1364-8 (Изд-во Урал. ун-та)
c
⃝
Уральский
федеральный
университет
,

Ог
лавление
1.
Введение
5
2.
Общая
дискретная
с
х
ема
с
эффектом
наследственности
10
3.
Численные
мето
ды
решения
о
дномерного
уравнения
теплопрово
дности
с
наследственностью.
Р
езу
ль
т
аты
получены
совместно
с
А.
Б.
Ло
жник
овым
15
3.1.
Пост
ановк
а
зада
чи
и
основные
предполо
ж
ения
.
15
3.2.
Сеточные
с
х
емы
с
весом
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
3.3.
Вло
ж
ение
с
х
емы
с
весом
в
общую
разностную
с
х
ему
с
последействием
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
3.4.
Примеры
численных
расчетов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
4.
Мето
д
переменных
направлений
для
решения
двухмерного
уравнения
параболическ
ого
типа
с
наследственностью.
Р
езу
ль
т
аты
получены
совместно
с
А.
В.
Лек
омцевым
31
4.1.
Пост
ановк
а
зада
чи
и
основные
предполо
ж
ения
.
31
4.2.
Мето
д
переменных
направлений
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
4.3.
Вло
ж
ение
с
х
емы
переменных
направлений
в
общую
разностную
с
х
ему
с
последействием
.
.
.
.
39
4.4.
Численное
мо
делирование
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
5.
Численные
мето
ды
решения
гиперболическ
ого
уравнения
с
наследственностью.
Р
езу
ль
т
аты
получены
совместно
с
Е.
Е.
Т
ашировой
52
5.1.
Пост
ановк
а
зада
чи
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
5.2.
Р
азностный
мето
д
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
53
5.3.
Исследование
с
х
о
димости
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
5.4.
Примеры
численных
расчетов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
3

6.
Сеточные
мето
ды
решения
уравнения
переноса
с
наследственностью
73
6.1.
Пост
ановк
а
зада
чи
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
6.2.
Дискретизация
зада
чи
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
75
6.3.
Мето
ды
первого
пор
ядк
а.
Р
езу
ль
т
аты
получены
совместно
с
Л.
С.
Волк
аниным
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
6.4.
Мето
ды
второго
пор
ядк
а
по
пространственной
переменной.
Р
езу
ль
т
аты
получены
С.
И.
Солодушкиным
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
6.5.
Мето
д
второго
пор
ядк
а
по
временной
переменной
89
6.6.
Мето
д
второго
пор
ядк
а
по
временной
и
пространственной
переменной.
Р
езу
ль
т
аты
получены
совместно
со
С.
В.
Свиридовым
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
6.7.
Численные
эк
сперименты.
Р
езу
ль
т
аты
получены
совместно
со
С.
В.
Свиридовым
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
7.
Численные
мето
ды
решения
смешанных
функционально-дифференциальных
уравнений.
Р
езу
льт
аты
получены
совместно
с
М.
А.
Пана
чевым
104
7.1.
Пост
ановк
а
зада
чи
и
предполо
ж
ения
.
.
.
.
.
.
.
104
7.2.
Одношаговые
мето
ды
типа
РунгеКутты
.
.
.
.
105
7.3.
Многошаговые
мето
ды
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
111
7.4.
Многошаговые
мето
ды,
не
требующие
разгона
.
115
7.5.
Сведение
решения
уравнения
переноса
с
наследственностью
к
решению
смешанных
функционально-дифференциальных
уравнений
и
численные
эк
сперименты
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
117
Список
литературы
120
4

1.
Введение
Многие
мо
дели
окруж
ающей
действительности
о
дновременно
со
дер
ж
ат
два
эффект
а:
распределенность
параметров
и
динамику
с
эффектом
наследственности.
Математическим
описанием
т
аких
объектов
могут
служить
дифференциальные
уравнения
в
частных
произво
дных
с
запаздываниями
различных
видов
по
времени,
см.,
например,
работы
[1,
3,
6,
7,
9,
10,
40,
45,
58,
59,
6971,
73,
74,
82,
84,
85,
99].
Ка
чественные
аспекты
математическ
ой
теории
по
добных
уравнений
изучались
в
различных
работ
ах,
например,
в
[31,
32,
60,
72,
75,
79,
80,
84,
88,
91,
97,
98,
100,
102,
103],
большая
часть
общих
резу
ль
т
атов
приведена
в
монографии
[99],
г
де
объектом
исследований
выступает
уравнение
вида
du(t)
dt
= Au(t) + f(ut),
г
де t

независимая
переменная, u

элемент
банах
ова
пространства
(иск
омая
функция
состо
яния), ut = {u(t + ξ), −τ ⩽
ξ ⩽0}

предыстория
состо
яния, τ

поло
жительная
величина
запаздывания, f

нелинейное
отображ
ение, A

инфинитеземально
поро
ждающий
оператор
полугруппы.
Т
акие
уравнения
со
дер
ж
ат
,
в
частности,
уравнения
параболическ
ого
типа
с
функциональным
запаздыванием
общего
вида
(называемого
т
акж
е
наследственностью),
уравнения
гиперболическ
ого
типа
с
наследственностью,
уравнения
переноса
с
наследственностью
и
т
.
д.
Мо
жно
счит
ать,
что
к
а
чественная
теория
т
аких
уравнений
развит
а
дост
аточно
х
орошо.
Однак
о
в
прило
ж
ениях
математическ
ого
мо
делирования,
в
силу
сло
жности
объектов
и
невозмо
жности
применения
аналитических
мето
дов
отыск
ания
решений,
на
первый
план
вых
о
дят
численные
мето
ды,
и
в
области
численных
мето
дов
резу
ль
т
атов
зна
чительно
меньше.
Не
претенду
я
на
полноту
,
отметим
по
дх
о
ды
к
численным
мето
дам
решения
уравнений
в
частных
произво
дных
с
запаздыванием
и
работы,
в
к
оторых
изло
ж
ены
эти
по
дх
о
ды.
5

Возмо
жно,
о
дной
из
первых
в
этой
тематик
е
была
работ
а
[92],
в
к
оторой
с
позиций
присущей
автору
мето
дики
предлаг
алось
прово
дить
дискретизацию
с
помощью
непрерывных
мето
дов,
чтобы
избеж
ать
интерполяции
между
узлами
сетки.
Т
аким
способом
мо
жно,
в
частности,
построить
аналог
с
х
емы
Кранк
аНик
ольсон
для
решения
уравнения
параболическ
ого
типа
с
запаздыванием
общего
вида.
Однак
о
непрерывные
алгоритмы
сло
жны
и
далек
о
не
исчерпывают
всего
разнообразия
численных
мето
дов.
Варианты
мето
да
пр
ямых,
в
к
оторых
прово
дитс
я
дискретизация
тольк
о
по
переменным
состо
яния,
сво
дят
зада
чи
к
численному
решению
систем
функционально-дифференциальных
уравнений
[94,
104,
105].
Т
еория
функционально-дифференциальных
уравнений,
т
.
е.
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с
запаздыванием
общего
вида,
х
орошо
разработ
ана
в
различных
аспект
ах
и
ст
ала
уж
е
классическ
ой,
см.
книги
[2,
16,
19,
43,
47,
49,
51],
развиты
и
численные
мето
ды
решения
функционально-дифференциальных
уравнений,
см.
обзоры
в
[15,
44,
54].
Однак
о
при
т
ак
ой
дискретизации
возник
ают
ж
есткие
системы
[42,
44],
ж
естк
ость
к
оторых
возраст
ает
при
увеличении
числа
точек
разбиения
по
состо
янию.
Группой
польских
математик
ов
разрабатывались
сеточные
мето
ды
решения
эволюционных
уравнений
с
функциональной
зависимостью
иск
омой
функции
от
предыстории
по
времени
и
от
с
двигов
по
пространству
[12,
63,
68].
При
этом
основное
внимание
у
делялось
исследованию
общих
неявных
с
х
ем
и
у
словиям
у
стойчивости.
Хот
я
общие
по
дх
о
ды
этой
группы
и
по
дх
о
ды,
излаг
аемые
в
данной
книге,
близки,
имеютс
я
и
существенные
различия.
В
нашем
по
дх
о
де
основным
моментом
в
построении
сеточных
мето
дов
являетс
я
идея
разделения
к
онечномерной
и
беск
онечномерной
сост
авляющей
в
предыстории
иск
омой
функции
(разделение
насто
ящего
и
прошлого).
По
к
онечномерной
сост
авляющей
стро
ятс
я
аналоги
известных
для
объектов
без
на6

следственности
сеточных
мето
дов,
а
для
учет
а
эффект
а
наследственности
применяетс
я
интерполяция
дискретной
предыстории
с
заданными
свойствами.
Т
ак
к
ак
в
книге
рассматриваютс
я
в
основном
мето
ды
невысок
ого
пор
ядк
а,
то,
к
ак
правило,
дост
аточно
ку
сочно-линейной
интерполяции.
Друг
ая
идея
состоит
в
применении
эк
страполяции
про
долж
ением
интерполяции
дискретной
предыстории.
Т
ак
ая
эк
страполяция
необ
х
о
дима
для
реализации
неявных
мето
дов,
а
кроме
того,
это
позволяет
избег
ать
решения
многомерных
нелинейных
систем
при
реализации
сеточных
алгоритмов
на
к
аждом
временном
слое.
В
совокупности
эти
идеи
позволили
создать
простые
и
в
то
ж
е
время
эффективные
алгоритмы,
к
оторые
поло
ж
ены
в
основу
к
омплек
са
программ,
предназна
ченного
для
численного
решения
уравнений
в
частных
произво
дных
второго
пор
ядк
а
параболическ
ого
и
гиперболическ
ого
типов,
а
т
акж
е
в
частных
произво
дных
первого
пор
ядк
а,
с
эффектом
запаздывания
общего
(функционального)
вида.
Получающиес
я
разностные
с
х
емы
являютс
я
нелинейными,
осло
жненными
эффектом
наследственности.
Поэтому
традиционные
мето
ды
общей
теории
разностных
с
х
ем
[33]
напр
ямую
неприменимы.
Основным
инструментом
исследования
пор
ядк
ов
с
х
о
димости
ск
онструированных
алгоритмов
являетс
я
общая
с
х
ема
численных
мето
дов
решения
функционально-дифференциальных
уравнений.
Р
анее
вариант
этой
с
х
емы,
использующей
технику
работы
[87],
применялс
я
для
исследования
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с
функциональным
запаздывание
[15,
22].
В
рамк
ах
этой
общей
с
х
емы
для
определения
пор
ядк
ов
г
лобальной
с
х
о
димости
алгоритмов,
кроме
пор
ядк
ов
лок
альной
погрешности
(невязки)
и
пор
ядк
ов
интерполяции,
необ
х
о
димо
т
акж
е
определение
у
словий
у
стойчивости
с
х
емы,
к
оторая
определятс
я
спектральными
свойствами
оператора
послойного
перех
о
да
и
мо
ж
ет
быть
исследована
мето
дами,
развитыми
в
общей
теории
разностных
с
х
ем
[33].
Для
простоты
рассматриваютс
я
лишь
уравнения
с
посто
ян7

ными
к
оэффициент
ами,
х
от
я
все
резу
ль
т
аты
перенос
ятс
я
и
на
случай
переменных
к
оэффициентов.
Отметим,
что
эффект
наследования,
рассматриваемый
в
этой
книге
и
во
всех
вышеупомянутых
работ
ах,
со
дер
житс
я
в
нео
дноро
дности
или
в
нелинейных
слаг
аемых
в
линейных
уравнениях.
Имеютс
я
работы
по
исследованию
других
способов
вх
о
ждения
запаздывания
в
зада
чи,
в
том
числе
и
по
разработк
е
численных
мето
дов,
например,
для
уравнений
с
запаздыванием
в
о
дноро
дной
части
уравнений
[50,
56,
57,
83,
97,
98],
кроме
того,
рассматривают
и
запаздывание
в
граничных
у
словиях
[8].
Однак
о
численные
алгоритмы
для
этих
типов
уравнений
еще
слабо
разработ
аны
и
в
этой
книге
не
затрагиваютс
я.
Коротк
о
о
структуре
книги.
Сна
чала
излаг
аетс
я
в
абстрактном
виде
общая
с
х
ема
численных
мето
дов
решения
функционально-дифференциальных
уравнений,
теорема
о
пор
ядк
е
с
х
о
димости
в
к
оторой
являетс
я
теоретическ
ой
основой
исследования
всех
описываемых
ниж
е
алгоритмов
решения
различных
зада
ч.
Затем
последовательно
изучаютс
я
простейшие
сеточные
мето
ды
на
чально-краевой
зада
чи
для
о
дномерных
уравнений
параболическ
ого
типа
с
эффектом
наследственности,
для
уравнений
параболическ
ого
типа
с
эффектом
наследственности
с
двумя
пространственными
переменными,
для
уравнений
гиперболическ
ого
типа
с
эффектом
наследственности
с
о
дной
пространственной
переменной.
Далее
изучаютс
я
сеточные
мето
ды
для
уравнения
переноса
с
наследственностью.
Уравнения
переноса
с
наследственностью,
т
акж
е,
возмо
жно,
осло
жненные
зависимостью
от
пространственной
к
оор
динаты,
являютс
я
попу
лярными
мо
делями
в
биологии
и
медицине
[45,
52,
58,
70,
71,
73,
74,
81].
Аналог
мето
да
х
арактеристик
сво
дит
решение
уравнений
переноса
с
наследственностью
к
смешанным
функционально-дифференциальным
уравнениям

уравнениям,
в
к
оторых
есть
динамик
а
по
о
дной
из
независимых
переменных
и
функциональная
зависимость
по
другим
независимым
переменным
[20].
В
последней
г
лаве
рассматрива8

ютс
я
численные
алгоритмы
(к
ак
о
дношаговые,
т
ак
и
многошаговые)
решения
т
аких
уравнений.
Во
всех
этих
зада
чах
после
описания
алгоритмов
прово
дитс
я
исследование
пор
ядк
ов
с
х
одимости
путем
вло
ж
ения
в
общую
с
х
ему
численных
мето
дов
решения
функционально-дифференциальных
уравнений.
Отметим,
что
к
аждый
описанный
алгоритм
был
протестирован
на
большом
к
оличестве
примеров
к
ак
тестового,
т
ак
и
мо
дельного
х
арактера,
из
них
небольшая
часть
вошла
в
книгу
.
В
получении
резу
ль
т
атов,
и
особенно
в
тестировании
алгоритмов,
принимали
участие
мои
ученики,
сотру
дники
к
афедры
вычислительной
математики
УрФ
У
Л.
С.
Волк
анин,
А.
В.
Лек
омцев,
А.
Б.
Ло
жник
ов,
М.
А.
Пана
чев,
С.
В.
Свиридов,
С.
И.
Соло
душкин,
Е.
Е.
Т
аширова.
Приношу
им
г
лубокую
благо
дарность,
все
они
фактически
являютс
я
соавторами
этой
книги.
Материалы
данной
книги
сост
авляют
часть
чит
аемого
автором
спецкурса
¾Функционально-дифференциальные
уравнения:
численные
мето
ды¿
,
и
поэтому
книг
а
предст
авляет
собой
нечто
среднее
между
монографией
и
учебным
пособием.
Исследования
по
ддер
ж
аны
Программой
повышения
к
онкурентоспособности
ведущих
университетов
РФ
(сог
лашение
02.А03.21.0006
от
27
авгу
ст
а
2013
г
.)
и
грантом
РФФИ
13-0100089.
9

2.
Общая
дискретная
с
х
ема
с
эффектом
наследственности
В
этой
г
лаве
рассматриваетс
я
общая
дискретная
с
х
ема
с
эффектом
наследственности,
в
к
оторую
затем
в
следующих
г
лавах
вкладываютс
я
сеточные
мето
ды
решения
различных
типов
уравнений
в
частных
произво
дных
с
функциональным
запаздыванием.
Приво
димые
резу
ль
т
аты
мо
дифицируют
аналогичную
с
х
ему
,
к
оторая
применялась
для
исследования
пор
ядк
ов
с
х
о
димости
численных
мето
дов
решения
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с
эффектом
запаздывания
[15,
22].
Конструкции
с
х
емы
вос
х
о
дят
к
работе
[87],
см.
т
акж
е
[41],
о
днак
о,
во-первых,
в
с
х
ему
введен
промежуточный
элемент
,
названный
оператором
интерполяции
для
учет
а
функциональных
запаздываний,
во-вторых,
эффект
запаздывания
потребовал
в
док
азательство
основного
резу
ль
т
ат
а
(теоремы
о
пор
ядк
е
с
х
о
димости)
внести
существенные
изменения,
вос
х
о
дящие
к
работе
[14].
Пу
сть
задан
отрезок [t0, θ]
и
число τ > 0

величина
запаздывания.
Шагом
сетки
назовем
число ∆> 0
,
т
ак
ое,
что τ/∆= m

целое, {∆}

мно
ж
ество
шагов.
Сетк
ой
(равномерной)
назовем
к
онечный
набор
чисел
Σ∆= {ti = t0 + i∆∈[t0 −τ, θ],
i = −m, ..., M}.
Обозна
чим Σ−
∆= {ti ∈Σ∆, i ⩽0}
, Σ+
∆= {ti ∈Σ∆, i ⩾0}.
Дискретной
мо
делью
назовем
вс
якую
сеточную
функцию
ti ∈Σ∆→y(ti) = yi ∈Y,
i = −m, ..., M
,
г
де Y
 q
-мерное
нор.
Бу
дем
предполаг
ать,
мированное
пространство
с
нормой ∥·∥Y
что
размерность q
пространства Y
зависит
от
числа h > 0
.
Для n ⩾0
предысторией
дискретной
мо
дели
к
моменту tn
назовем
мно
ж
ество {yi}n = {yi ∈Y,
i = n −m, ..., n}
.
10