Введение в теорию фракталов: математические аспекты и некоторые физические приложения

ФГУП «РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР – ВНИИЭФ» 
 
 
 
 
 
 
 
А. А. Тренькин 
 
ВВЕДЕНИЕ  В  ТЕОРИЮ  ФРАКТАЛОВ: 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  АСПЕКТЫ  
И  НЕКОТОРЫЕ  ФИЗИЧЕСКИЕ  ПРИЛОЖЕНИЯ 
 
Учебное издание 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2007 

ББК  22.15я73 
         Т66 
УДК 514 (075.8) 
 
 
Тренькин А. А. 
Введение в теорию фракталов: математические аспекты и некоторые физические приложения. Учебное издание. – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 
2007. – 39 с.: ил. 
 
ISBN 978-5-9515-0088-5 
 
 
В данном издании представлены основные идеи и понятия 
фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества,  
некоторые физические приложения, дается представ-ление о математическом аппарате дробного интегро-дифференцирования  
и его физической трактовке. 
Для студентов инженерно-физических специальностей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0088-5                          © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2007 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в 
различные области естествознания приводит к необходимости давать начальные сведения по теории фракталов студентам инженерно-физических специальностей. В настоящее время поток научных 
публикаций, связанных с фракталами, лавинообразно растет. Однако большая часть литературы представляет собой статьи в научных 
журналах, а также специальные монографии и не подходит для 
первоначального ознакомления, остальная литература – научнопопулярная и не дает представления о математическом аппарате 
дробного интегродифференцирования и его физической трактовке. 
Пособие ставит своей целью дать первоначальное представление о 
фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, а также дается представление о математическом аппарате дробного интегродифференцирования и его 
физической трактовке. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ПОНЯТИЕ ФРАКТАЛА 
 
Геометрия встречающихся в природе объектов самых различных размеров – от атомарных масштабов до Вселенной – занимает 
центральное место в моделях, которые мы строим, чтобы «понять» 
природу. До недавнего времени геометрические модели различных 
природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур (геометрия Евклида): прямых, многоугольников, окружностей, сфер и т. д. Однако очевидно, 
что этот классический набор плохо применим для характеристики 
таких сложных объектов, как береговые линии материков, поле 
скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры деревьев, кровеносно-сосудистая система человека  
и т. п. В последнее время для описания этих и им подобных образований используют новые геометрические понятия. Одним из таких понятий является понятие фрактала. Оно было введено в обращение выдающимся французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает тот факт, что 
иерархический принцип организации фрактальных структур не 
претерпевает значительных изменений при рассмотрении их в микроскоп с различным увеличением (так называемая масштабная инвариантность или скейлинг). В результате эти структуры на малых 
масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших. Отметим, 
что для реального природного фрактала существуют некоторые 
минимальный min
l
 и максимальный 
max
l
 масштабы длины такие, 
что при 
min
l
l
<
 и 
max
l
l
>
 самоподобие пропадает. Поэтому свойства природных фракталов имеет смысл рассматривать на масштабах 

min
max.
l
l
l
< <
 
Понятие точного самоподобия характерно лишь для так называемых регулярных фракталов. Если вместо детерминированного 

способа построения включить в алгоритм их создания некоторый 
элемент случайности, то возникают случайные фракталы. Увеличенная часть такого фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают. 
Большая часть природных фрактальных объектов – случайные 
фракталы. 
Размерность евклидова пространства, в котором располагается 
рассматриваемое фрактальное множество, называется размерностью пространства вложения. 
 
 
2. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ 
 
Понятие фрактальной размерности введем на примере измерения длины береговой линии – типичного фрактального объекта – от 
точки А до точки В (рис. 1).  

A

B

l

 

Рис. 1 
 
Покроем наш объект целиком квадратами со стороной l (если 
фрактал находится не в плоскости, а в n-мерном пространстве, его 
следует покрывать n-мерными кубами). Отметим, что вместо квадратов можно использовать любые другие фигуры, скажем, окружности. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее 
чем N(l) квадратов. Тогда, если при достаточно малых l величина 
N(l) меняется с l по степенному закону 

1
( )
D
N l
l
∝
,                                          (1) 

то D называется фрактальной размерностью этого объекта и является его локальной характеристикой. Когда l стремится к нулю, мы 
учитываем все более мелкие извивы фрактала, при этом длина береговой линии 
( )
( )
L l
N l
l
≈
⋅  обращается в бесконечность. Рассмотрим произведение 
( )
d
N l
l⋅
.                                             (2) 

При показателях d < D произведение расходится, а при d > D стремится к нулю. Мы приходим к более строгому определению фрактальной размерности D (называемой также размерностью Хаусдорфа – Безиковича): фрактальная размерность D множества есть 
критическая размерность, при которой произведение (2) меняет 
свое значение с нуля на бесконечность. Значение выражения (2) 
при d = D часто конечно, но может быть равно нулю или бесконечности. Здесь существенно, при каком именно значении d величи- 
на (2) меняется скачком. 
Формулу (1) можно переписать в виде 

0
ln
( )
lim
ln
l

N l
D
l
→
= −
.                                     (3) 

Для нахождения размерности регулярных фракталов можно 
пользоваться альтернативной (формулой 3). Пусть на некотором 
этапе покрытия регулярного фрактала нам пришлось использовать 
N(l) элементов характерного размера l, а на другом – 
( )
N l′  элементов размера .l′  Тогда фрактальная размерность может быть вычислена по формуле 

( )
ln
( )

ln

N l
N l
D
l
l

⎛
⎞
⎜
⎟
′
⎝
⎠
= −
⎛
⎞
⎜
⎟′
⎝
⎠

,                                   (4) 

которая является следствием (1). 
Вычислим фрактальную размерность для некоторых известных 
множеств. 
1. Множество N изолированных точек. Минимальное число 
элементов, с помощью которого можно покрыть это множество, 

равно, очевидно, N(l) = N и не зависит от размера элементов l. Тогда по формуле (3) фрактальная размерность этого множества 
D = 0. Это значение совпадает с обычной евклидовой размерностью 
изолированной точки: точка – нульмерный объект. 
2. Отрезок прямой линии длиной L. Минимальное число одномерных отрезков длиной l, которыми можно покрыть данный отрезок целиком, равно N(l) = L/l. Из (3) получаем D = 1, т. е. совпадает 
с евклидовой размерностью прямого отрезка. 
3. Область гладкой двумерной поверхности площадью S. Для 

ее покрытия необходимо 
2
( )
/
N l
S l
=
 квадратов (при достаточно 
малом их размере l). Тогда из (3) получаем D = 2. 
Как видно из (1), «источником» самоподобия является степенная зависимость (с целочисленным или дробным показателем). 
Справедливо и обратное утверждение: если исследуемое явление 
проявляет степенную зависимость, мы имеем дело с фрактальным 
объектом. Часто дробные показатели законов, описывающих совершенно разные явления, оказываются похожи, что может служить указанием на существование аналогичных универсальных 
закономерностей, лежащих в основе этих явлений. 
 
 
3. ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА 
 
Рассмотрим далее некоторые классические примеры регулярных фракталов. 
 
3.1. Канторово множество 
 
Алгоритм его построения следующий. Отрезок прямой единичной длины делится на три равные части и удаляется средний 
отрезок между точками 1/3 и 2/3 (при этом сами точки 1/3 и 2/3 остаются). Далее процедуре деления на три части подвергается каждый из двух оставшихся отрезков, и так продолжается до бесконечности (рис. 2). 

∞

1

1/3
1/3

1/9
1/9
1/9
1/9

 
Рис. 2 
 
Суммарная длина оставшегося множества равна нулю, так как 
мы исключили в результате длину, равную 1: 

1
2
4
1
2
4
1
1
...
1
...
1
2
3
9
27
3
3
9
31
3

⎛
⎞
+
+
+
=
+
+
+
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
−
. 

Следовательно, возникшее множество представляет собой бесконечное число изолированных точек, которое и называется канторовым множеством, или канторовой пылью, и обозначается С. 
Вычислим фрактальную размерность этого множества. Оче
видно, что на n-м шаге построения мы имеем 
( )
2n
N l =
 отрезков 

длиной 
1/3n
l =
 каждый. Пределу 
0
l →
 соответствует n → ∞ . Поэтому из (3) имеем 

ln 2
ln 2
lim
0,63
1
ln3
ln
3

n

n
n

D
→∞
= −
=
≈
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠

. 

Фрактальная размерность не является целым числом (точнее, это 
число трансцендентное) и принимает значение между нулем и единицей: она меньше евклидовой размерности пространства вложения (n = 1), но больше топологической размерности элементов (точек) этого множества. Это несчетное множество точек, обладающее 
мощностью континуума. 

В общем случае, когда после первой итерации остается N отрезков длиной r каждый, выражение для фрактальной размерности 
канторова множества имеет вид 

(
)

ln
ln 1

N
D
r
=
. 

Отсюда видно, что можно построить канторово множество с любой 
заданной размерностью из интервала 0 < D < 1. 
Одномерное канторово множество может быть обобщено для 
случая двух и более измерений. Рассмотрим множество всех точек 
единичного квадрата, для которых как абсцисса, так и ордината 
принадлежат канторову множеству С (это так называемое умножение канторова множества само на себя, обозначаемое С × С). Вычислим фрактальную размерность такого канторова множества, 
вложенного в двумерное пространство (рис. 3). 

 

 
Рис. 3 
 
Множество может быть покрыто 
( )
4n
N l =
 квадратами с длиной 

стороны 
1/3 .
n
l =
 Следовательно, из (3) получаем 

ln 4
ln 4
lim
1,26
1
ln3
ln
3

n

n
n

D
→∞
= −
=
≈
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠

, 

т. е. вдвое больше размерности одномерного множества С. Аналогично, для трехмерного произведения С × С × С можно получить 

ln8
1,89
ln3
D =
≈
.