Введение в теорию фракталов: математические аспекты и некоторые физические приложения

ФГУП «РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР – ВНИИЭФ» 
 
 
 
 
 
 
 
А. А. Тренькин 
 
ВВЕДЕНИЕ  В  ТЕОРИЮ  ФРАКТАЛОВ: 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  АСПЕКТЫ  
И  НЕКОТОРЫЕ  ФИЗИЧЕСКИЕ  ПРИЛОЖЕНИЯ 
 
Учебное издание 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2007 

ББК  22.15я73 
         Т66 
УДК 514 (075.8) 
 
 
Тренькин А. А. 
Введение в теорию фракталов: математические аспекты и некоторые физические приложения. Учебное издание. – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 
2007. – 39 с.: ил. 
 
ISBN 978-5-9515-0088-5 
 
 
В данном издании представлены основные идеи и понятия 
фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества,  
некоторые физические приложения, дается представ-ление о математическом аппарате дробного интегро-дифференцирования  
и его физической трактовке. 
Для студентов инженерно-физических специальностей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0088-5                          © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2007 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в 
различные области естествознания приводит к необходимости давать начальные сведения по теории фракталов студентам инженерно-физических специальностей. В настоящее время поток научных 
публикаций, связанных с фракталами, лавинообразно растет. Однако большая часть литературы представляет собой статьи в научных 
журналах, а также специальные монографии и не подходит для 
первоначального ознакомления, остальная литература – научнопопулярная и не дает представления о математическом аппарате 
дробного интегродифференцирования и его физической трактовке. 
Пособие ставит своей целью дать первоначальное представление о 
фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, а также дается представление о математическом аппарате дробного интегродифференцирования и его 
физической трактовке. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ПОНЯТИЕ ФРАКТАЛА 
 
Геометрия встречающихся в природе объектов самых различных размеров – от атомарных масштабов до Вселенной – занимает 
центральное место в моделях, которые мы строим, чтобы «понять» 
природу. До недавнего времени геометрические модели различных 
природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур (геометрия Евклида): прямых, многоугольников, окружностей, сфер и т. д. Однако очевидно, 
что этот классический набор плохо применим для характеристики 
таких сложных объектов, как береговые линии материков, поле 
скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры деревьев, кровеносно-сосудистая система человека  
и т. п. В последнее время для описания этих и им подобных образований используют новые геометрические понятия. Одним из таких понятий является понятие фрактала. Оно было введено в обращение выдающимся французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает тот факт, что 
иерархический принцип организации фрактальных структур не 
претерпевает значительных изменений при рассмотрении их в микроскоп с различным увеличением (так называемая масштабная инвариантность или скейлинг). В результате эти структуры на малых 
масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших. Отметим, 
что для реального природного фрактала существуют некоторые 
минимальный min
l
 и максимальный 
max
l
 масштабы длины такие, 
что при 
min
l
l
<
 и 
max
l
l
>
 самоподобие пропадает. Поэтому свойства природных фракталов имеет смысл рассматривать на масштабах 

min
max.
l
l
l
< <
 
Понятие точного самоподобия характерно лишь для так называемых регулярных фракталов. Если вместо детерминированного