Сборник типовых задач по курсу «Математические методы физики»
Покупка
Год издания: 2011
Кол-во страниц: 278
Дополнительно
Доступ онлайн
300 ₽
В корзину
Учебное пособие составлено на основе лекций и семи-
наров, проводимых авторами для студентов инженерно-
физических специальностей Саровского физико-технического
института НИЯУ МИФИ. Пособие содержит справочный ма-
териал и решения типовых задач по наиболее важным темам
курса «Математические методы физики». Особое внимание ав-
торы уделяют связи математической формулировки с физиче-
ским и механическим содержанием задач.
Для студентов и аспирантов инженерно-физических
специальностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики» А. А. Садовой, А. А. Тренькин СБОРНИК ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ФИЗИКИ» Учебное пособие Саров 2011
УДК 517.958 (075.8)
С
14
ББК
22.31я73
Садовой А. А., Тренькин А. А. Сборник типовых задач по курсу
«Математические методы физики»: Учебное пособие. Саров: ФГУП
«РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011. – 278 с.
ISBN 978-5-9515-0164-6
Учебное пособие составлено на основе лекций и семинаров, проводимых авторами для студентов инженернофизических специальностей Саровского физико-технического
института НИЯУ МИФИ. Пособие содержит справочный материал и решения типовых задач по наиболее важным темам
курса «Математические методы физики». Особое внимание авторы уделяют связи математической формулировки с физическим и механическим содержанием задач.
Для студентов и аспирантов инженерно-физических
специальностей.
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук В. Ф. Рыбаченко,
д-р физ.-мат. наук А. Е. Дубинов
ISBN 978-5-9515-0164-6
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ……………………………………………………. 7 Глава 1. Векторный анализ ………………………………….. 8 1.1. Основные понятия ………………............................... 8 1.2. Техника вычислений с оператором Гамильтона ….. 19 1.3. Скалярные и векторные поля в криволинейных системах координат …………………………………………….. 23 Глава 2. Уравнения математической физики ……………... 32 2.1. Классификация уравнений второго порядка в частных производных ………………………………………… 32 2.1.1. Приведение гиперболического уравнения к канонической форме ………………………………….... 34 2.1.2. Приведение параболического уравнения к канонической форме ………………………………….... 35 2.1.3. Приведение эллиптического уравнения к канонической форме ………………………………….... 36 2.2. Уравнения параболического типа ………………….. 37 2.2.1. Метод разделения переменных ……………….. 38 2.2.2. Преобразование неоднородных граничных условий к однородным ………………………………….. 41 2.2.3. Преобразование сложных уравнений к простому виду ………………………………………….. 43 2.2.4. Задача теплопроводности с производной в граничном условии …………………………………….. 44 2.2.5. Решение неоднородных УЧП методом разложения по собственным функциям …………………. 47 2.3. Уравнения гиперболического типа ………………… 50 2.3.1. Движение бесконечной струны. Метод бегущих волн …………………………………….. 50 2.3.2. Волновое уравнение и граничные условия ....... 55 2.3.3. Колебания ограниченной струны …………….. 58
2.3.4. Краевая задача Штурма – Лиувилля и уравнения для простейших специальных функций …. 60 2.3.5. Волновое уравнение в полярных координатах (колебания мембраны) …………………………………... 62 2.4. Уравнения эллиптического типа …………………… 66 2.4.1. Основные типы граничных условий в краевых задачах ………………………………………... 68 2.4.2. Внутренняя задача Дирихле …………………... 69 2.4.3. Задача Дирихле в кольце ……………………… 71 2.4.4. Внешняя задача Дирихле ……………………… 73 2.4.5. Уравнение Лапласа в сферических координатах (сферические гармоники) ………...................................... 74 Глава 3. Решение уравнений с частными производными методом конформных отображений …………………………. 80 3.1. Основные понятия …………………………………... 80 3.2. Решение уравнений с частными производными методом конформных отображений …………………………… 95 Глава 4. Применение интегральных преобразований для решения уравнений в частных производных ………… 102 4.1. Понятие интегрального преобразования …………... 102 4.2. Интегральные синус- и косинус-преобразования Фурье …………………………………………………………….. 103 4.3. Преобразование Фурье ……………………………… 107 4.4. Преобразование Лапласа ……………………………. 111 4.5. Принцип Дюамеля …………………………………... 117 Глава 5. Интегральные уравнения Вольтерра ……………. 119 5.1. Основные понятия …………………………………... 119 5.2. Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра ..…... 120 5.3. Резольвента интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения с помощью резольвенты … 122 5.4. Метод последовательных приближений …………... 127 5.5. Использование интегральных преобразований для решения интегральных уравнений Вольтерра …………… 129
5.6. Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода ……. 135 Глава 6. Интегральные уравнения Фредгольма ………….. 137 6.1. Уравнения Фредгольма 2-го рода. Основные понятия ……………………………………………… 137 6.2. Итерированные ядра. Построение резольвенты с помощью итерированных ядер .……………………………… 138 6.3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Уравнения типа Гаммерштейна ………………………………... 141 6.4. Однородные интегральные уравнения Фредгольма. Характеристические числа и собственные функции …… 149 6.5. Решение однородных интегральных уравнений с вырожденным ядром ………..…................................................ 158 6.6. Неоднородные интегральные симметричные уравнения ………………………………………………………... 160 6.7. Аналогия между линейными интегральными уравнениями и линейными алгебраическими уравнениями. Формулировка теорем Фредгольма ……………………………. 167 Глава 7. Функция Грина для краевых задач ……………… 173 7.1. Интегральные уравнения и функция Грина ……….. 173 7.2. Построение функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений ………………………………… 175 7.3. Применение функции Грина для решения краевых задач …………………………………………………… 182 7.4. Краевые задачи, содержащие параметр, и сведение их к интегральным уравнениям ………………………………… 184 Глава 8. Вариационное исчисление ………………………… 187 8.1. Функционал, его вариация и экстремум …………… 188 8.2. Уравнение Эйлера ……............................................... 191 8.3. Функционалы, зависящие от n функций ……........... 203 8.4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка …........................................................... 206 8.5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных ……………………………………… 210
8.6. Вариационные задачи в параметрической форме …. 212 8.7. Инвариантность уравнения Эйлера …....................... 214 8.8. Вариационные задачи с подвижными границами ….. 215 8.9. Задачи с подвижными границами для функционалов, зависящих от двух функций ......................................................... 220 8.10. Экстремали с угловыми точками …......................... 222 8.11. Односторонние вариации …..................................... 229 8.12. Вариационные задачи на условный экстремум ….... 231 8.13. Изопериметрические задачи …................................. 235 8.14. Прямые методы вариационного исчисления …........ 244 8.15. Вариационные методы решения уравнений с частными производными ….………………………………….. 250 8.16. Вариационные методы в теории оптимального управления ………………..……………....................................... 254 Приложение 1. Краткие сведения о свойствах некоторых обобщенных функций ……………………………………..….. 261 1. Дельта-функция ……………………………………….. 262 2. Функция Хевисайда …….……………………………... 265 3. Функция знака …………………………………………. 266 4. Прямоугольная функция ……………………………… 267 Приложение 2. Таблицы интегральных преобразований … 270 1. Экспоненциальное преобразование Фурье ………….. 270 2. Синус-преобразование Фурье ……………..………..... 271 3. Косинус-преобразование Фурье ….…………………... 272 4. Преобразование Лапласа ……………….…………….. 273 Список литературы ….………………………………………... 276
ПРЕДИСЛОВИЕ Данное пособие предназначено для первоначального знакомства с постановкой типовых задач математической физики и развития практических навыков их решения. Авторы рекомендуют студентам перед решением задач на определенную тему изучить соответствующие теоретические материалы по лекциям или учебникам. Приводимые перед задачами краткие сведения представляют собой сведения справочного характера. Кроме того, в пособии предполагается, что рассматриваемые решения обладают, как правило, необходимыми непрерывными производными. Для уточнения конкретных требований на гладкость используемых функций в тех или иных задачах читатель отсылается к известным учебникам или лекционным материалам. Для более углубленной практики по решению задач математической физики студентам рекомендуется дополнительная литература: Авторы выражают благодарность рецензентам Дубинову А. Е., Рыбаченко В. Ф., а также особую признательность профессорам Жуку В. И. и Половинкину Е. С. за ценные предложения и замечания, которые способствовали улучшению сборника и позволили устранить некоторые неточности и ошибки.
Глава 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В данной главе рассматриваются основные дифференциальные операции над скалярными и векторными полями в прямоугольной Декартовой и в криволинейных системах координат. 1.1. Основные понятия Скалярные и векторные поля Если каждой точке рассматриваемой области соответствует определенное значение некоторой величины (числовой или векторной), то говорят, что в этой области задано поле. Если в каждой точке области задана величина ( , , ) u x y z , принимающая числовые значения, то поле называется скалярным. Если же в каждой точке области задан вектор ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z A A x y z i A x y z j A x y z k = + + r r r r , то поле называется векторным. Производная по направлению Производная скалярного поля ( , , ) u x y z по направленной дуге L в точке M, лежащей на этой дуге, вычисляется по формуле cos cos cos u u u u l x y z ∂ ∂ ∂ ∂ = α + β + γ ∂ ∂ ∂ ∂ , где производные вычисляются в данной точке M, а cosα, cosβ, cosγ − косинусы углов, образованных касательным вектором τr в точке M и осями координат. Градиент скалярного поля Градиентом скалярного поля ( , , ) u x y z в точке M называется вектор, в направлении которого производная скалярного поля в точ
ке M является наибольшей; модуль этого вектора равен максимальной производной в точке M. Градиент поля вычисляется по формуле grad( ) u u u u i j k x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ r r r . Скалярный потенциал Если векторное поле A r , заданное в некоторой области, может быть представлено в виде grad( ) A u = r , где u − некоторая скалярная функция, то оно называется потенциальным в этой области, а функция u − ее (скалярным) потенциалом. Потенциал u определяется с точностью до произвольной постоянной. Поток векторного поля Потоком П векторного поля A r через поверхность S называется поверхностный интеграл ( ) S П An dS = ∫∫ r r , где nr − единичный вектор внешней нормали к поверхности. Если поток поля через границу любой замкнутой области равен нулю, то векторное поле называется соленоидальным. Дивергенция векторного поля Дивергенция векторного поля A r в точке определяется как предел отношения потока через замкнутую поверхность, окружающую точку, к объему области, ограниченной этой поверхностью при стремлении диаметра области к нулю. Дивергенция поля вычисляется по формуле div( ) y x z A A A A x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ r .
Доступ онлайн
300 ₽
В корзину