Новые методы решения задачи многих тел в атомной, молекулярной и ядерной физике: Сборник научных статей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ  
«РФЯЦ-ВНИИЭФ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ  
МНОГИХ ТЕЛ В АТОМНОЙ, МОЛЕКУЛЯРНОЙ 
И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 
 
Сборник научных статей  
 
 
Под общей редакцией доктора физико-математических наук, 
профессора А. А. Садового 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2008 
 

 

ББК 22.36 
УДК 530.145 + 539.18 + 530.19 + 539.1 
        Н 76 
 
 
Новые методы решения задачи многих тел в атомной, молекулярной и 
ядерной физике: Сборник научных статей / Под ред. А. А. Садового. – Саров: ФГУП 
«РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2008. –500 с. – ил. 
 
ISBN 978–5–9515–0111–0 
 
 
 
По проблеме многих тел в атомной и молекулярной физике, где определяющим является кулоновское взаимодействие, представлены работы, связанные 
с развитием метода многомерных угловых кулоновских функций, позволяющего 
находить аналитическое решение многоэлектронных уравнений Шредингера и 
Дирака. 
Для построения многонуклонной теории атомного ядра, где превалируют 
короткодействующие взаимодействия, собраны работы, посвященные развитию 
метода гиперсферических функций. Причем основное внимание уделяется исследованию этим методом тяжелых и сверхтяжелых ядер. 
Некоторые работы посвящены развитию теории атомных и ядерных реакций, численным методам решения проблемы собственных значений в различных задачах квантовой механики. 
Сборник будет полезен студентам старших курсов, магистрам и аспирантам, а также работникам физических и физико-технических специальностей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978–5–9515–0111–0                                                           © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2008 

Предисловие 

В предлагаемом читателю сборнике описаны новые методы решения за
дач многих тел в квантовой механике, развиваемые во ВНИИЭФ. В последнее 
время развито несколько методов, обладающих вариационными свойствами и 
позволяющих с заданной точностью решать разнообразные многочастичные 
задачи. В сборнике подробно представлен расчетный аппарат метода гиперсферических функций и интересные физические результаты, полученные на 
его основе. Многочисленными исследованиями было показано, что метод гиперсферических координат наиболее подходит для решения многонуклонных 
задач с короткодействующим ядерным потенциалом. 

Для задач с дальнедействующим кулоновским взаимодействием во 

ВНИИЭФ развит метод многомерных угловых кулоновских функций. С помощью нерелятивистского варианта этого метода рассчитаны многие свойства 
атомов и ионов, содержащих до десятка электронов, а также предложен метод 
расчета свойств двухатомных молекул. Релятивистский вариант этого метода, 
базирующийся на аналитическом решении многоэлектронного уравнения Дирака, использован для изучения свойств гелиеподобных ионов трансурановых 
элементов. 

Представленные методы учитывают корреляционные эффекты в много
частичных системах, поэтому могут использоваться в прецизионных расчетах. 
Примером использования этих методов в прикладных исследованиях может 
служить расчет свойств более трех десятков неоноподобных ионов, на переходах между определенными уровнями которых ожидается генерация мягкого 
рентгеновского излучения. 

Материал в сборнике расположен так, что опубликованные результаты 

позволяют последовательно и подробно знакомиться с математическим аппаратом методов, использующим обобщенные функции, коллективные переменные и технику вычислений в многомерных пространствах. 
Авторы посвящают раздел 1 памяти Юлия Борисовича Харитона, оказавшего поддержку новым методам на раннем этапе их развития. 
Раздел 2 посвящен памяти Альфреда Ивановича Базя, благодаря усилиям которого во ВНИИЭФ была создана школа теоретической ядерной физики. 

РАЗДЕЛ  1 

МЕТОД МНОГОМЕРНЫХ УГЛОВЫХ КУЛОНОВСКИХ 

ФУНКЦИЙ В МНОГОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ АТОМОВ  

И МОЛЕКУЛ 

О МНОГОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ АТОМА 

А. А. Садовой 

(Представлено академиком Ю. Б. Харитоном 22 II 1977) 

1. В последнее время для решения многочастичных задач квантовой ме
ханики было предложено несколько систем многомерных угловых функций 
(м.у.ф.) [1, 2]. Многочисленные применения метода гиперсферических функций (м.г.с.ф.) и его обобщений в теории атомного ядра показали эффективность использования м.у.ф. для решения многочастичных квантовомеханических задач [3]. Однако непосредственное применение м.г.с.ф. к многоэлектронным задачам показало, что получаемая в расчетах (в основном 
приближении м.г.с.ф.) энергия связи (э.с.) системы составляет 60–55 % от 
экспериментального значения и для приближения расчетного значения э.с. к 
экспериментальному необходимо уже для Не учитывать много следующих 
членов разложения волновой функции (в.ф.) [4].*

В данной работе предложен новый метод построения ортогональной 

системы м.у.ф., который более удачно учитывает специфику атомных задач: 
дальнодействующий характер кулоновского взаимодействия, отличие атомных оболочек от ядерных, а также наличие тяжелой частицы (ядра) в системе. 
Поэтому развиваемый ниже метод мы будем называть методом многомерных 
угловых кулоновских функций (м.у.к.ф.). 

2. Существенным моментом в методе м.у.к.ф. является введение новой 

параметризации в 3А-мерном пространстве, образованном радиусами-векто- 
рами ri А тел. Вместо радиусов ri рассматриваются координаты: 

1
sin
,
,
k
k
k
A
+
θ = ρ
ρ
ρ = ρ
 

где 

1
, 0
, 0
,
1, 2,...,
1.
2

k

k
i
k
k
i
k
A
=

π
ρ =
≤ ρ < ∞
≤ θ ≤
=
−
∑ r
 

Элемент объема в 3А-мерном пространстве dτ3A, обычно определяемый 

как 

                                                          

* © Докл. АН СССР, 1978, т. 238, № 1.  

О многоэлектронной теории атома 
 
5 

2
3
1
1
,
A
A

A
i
k
k
k
i
k
d
d
r dr d
=
=
τ
=
=
Ω
∏
∏
r
 

в новой системе координат имеет вид 

(
) (
)
(
)

1
2
3
1
3
1
3
1
3
3
1
1
1
sin
sin
sin
.
A
A
j
A
A

A
A
i
j
j
j
i
j
d
d d
d
d
d
−
−
−
−

=
=
τ
= ρ
ρ Ω
≡ ρ
ρ
Ω
−
θ
θ
θ
∏
∏
 

В практических расчетах более удобно использовать интегральную форму для 
элемента интегрирования по углам 

(
)
(
)
1
3
1
3
1
1
2
exp
exp
.
A
A
A

A
j
k
j
k
d
it
dt
it
r
dr
∞
−
−

=
=
−∞

⎛
⎞
Ω
=
πρ
− ρ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∏
∫
∫
 

3. При решении многоэлектронного уравнения Шредингера мы не бу
дем учитывать движение атомного ядра и будем предполагать, что центр 
инерции системы совмещен с ядром. Учет конечности массы ядра может быть 
проведен известными методами. 

В методе м.у.к.ф., как и в м.г.с.ф., в.ф. система A-электронов ищется в 

виде ряда по м.у.ф., которые строятся ортонормированными. Используются 
базисные функции (в.ф.) вида 

( )
( )
(
)
( )
( )
1 2
,
1

n
n
nlm
i
i
lm
i
r Y
i
n
μ
μ
ϕ
=
χ
Γ
+

–
r
r
 

которые позволяют производить заполнение оболочек при построении м.у.ф. 
в соответствии с ростом Λ = п + l (в отличие от осцилляторных оболочек 
м.г.с.ф.). Введенная таким образом параметризация 3A-мерного пространства 
и в.ф. позволяют перейти к ортонормированным в.ф.  

( )
(
)

(
)
( )
( )
( )

1 2
2
2
1 2
1
,
2 3

l
nlm
i
n
i
lm
i
n
L
Y
i
n
l

+
μ
μ
⎧
⎫
Γ
+
⎪
⎪
ψ
=
χ
⎨
⎬
Γ
+ +
⎪
⎪
⎩
⎭
r
r
r
 

и большей мере схватывающим дальнодействующий характер кулоновского 
взаимодействия при расчетах матричных элементов (м.э.), чем, например, в.ф. 
гармонического осциллятора, используемые для короткодействующих ядерных сил в м.г.с.ф. М.у.ф., обладающие определенными квантовыми числами, 
строятся обычными методами [5]. 

Амплитуда разложения в.ф. χ(ρ) определяется как решение следующей 

системы обыкновенных дифференицальных уравнений второго порядка: 

( )

( )

1
2
2
2

2
2
2
2

1
2
2

2
2

2
2

2
,

ii
ii
ii
i

ij
ij
ij
i
j i

d
d
w
d
d
me
m
A
E
d
d

d
d
w
d
me
d
≠

⎧
⎫
⎪
⎪
+
+
+
+
χ
ρ =
⎨
⎬
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⎪
⎪
⎩
⎭

⎧
⎫
⎪
⎪
= −
+
+
χ
ρ
⎨
⎬
ρ
ρ
ρ
ρ
⎪
⎪
⎩
⎭
∑

 

обращающееся в нуль на бесконечности и в нуле. 

Раздел 1. Метод многомерных угловых кулоновских функций... 
 
6

Матрицы коэффициентов D1, D2, W рассчитываются по аналитическим 

формулам, причем коэффициенты, полученные для расчетов систем с определенным числом электронов, используются при расчете свойств всех более тяжелых атомов и ионов. Коэффициенты D1 и D2 выражаются через матричные 
элементы от оператора кинетической энергии 

2
2

2
1
,
2

A

i
i
T
m =

∂
= −

∂
∑ r



а коэффициенты W через м.э. от потенциальной энергии 

2
2

1

A

i
i
j
i
i
j

Ze
e
V
r
=
>
= −
+

−
∑
∑ r
r
 

по м.у.ф. 

4. Учет высших приближений метода м.у.к.ф. позволяет наиболее полно 

описывать свойства связанных состояний атомов и ионов. В отличие от теории атомного ядра, где для различных потенциалов неизвестны приемлемые 
верхние оценки энергии связи, для атомов и ионов имеются во многих случаях расчетные значения. Поэтому скорость сходимости метода м.у.к.ф. имеет 
большее теоретическое значение, а в силу вариационности метода уже первое 
приближение (когда в разложении в.ф. учитываются только члены с Kmin) дает 
представление о сходимости. В этом приближении э.с. и в.ф. системы  
A-электронов в поле Z-ядра определяются формулами 

(
)
( )
( )
2
,
,
p
p
p
E
A Z
Za
A
b
A
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦
 

( )
( )
1
2
1
exp
,
2

s
s
p
p
p
x
x
N x
L
x
+
+
⎛
⎞
χ
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 

где 
( )
2
1
,
s

p
p
x
c A
E
L
+
=
ρ −
 – обобщенный полином Лагерра. Коэффициенты  

a (A), b(A), c(A), s(A), Np(A, Z) определяются аналитическими формулами. В 
этом приближении расчетный спектр состоит из одной полосы, над основным 
уровнем находятся радиально возбужденные уровни с p = 1, 2, 3,... 

Приведем результаты расчетов э.с. и в.ф. атомов Не и Ne, а также ге
лие- и неоноподобных ионов в первом приближении метода м.у.к.ф.: 

(
)

2
2
2
25
5
,
16
5
2

A
p
E
Z
p

=
⎛
⎞
−
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
+
 

(
)

(
)
2
10
2
405
3,5
8,49935
,
50,6387
2

A
p
E
Z
p

=
−
=
−
+
 

( )
(
)
(
)
(
)
(
)

1 2
1 4
2
2
1
1
2
2
4
2
2
3 2
2
2

A
s
p
p
p
p
s
E
L
E
p
s
p
s

=
+
⎧
⎫
Γ
+
+
+
⎪
⎪
χ
ρ =
ρ
×
⎨
⎬
Γ
+
+
+
+
⎪
⎪
⎩
⎭
 

(
) (
)

1
exp
2
,
s
E
E

+
×
−ρ
⋅
ρ
 

О многоэлектронной теории атома 
 
7 

( )
(
)
(
)
(
)
(
)

1 2
1 4
10
2
1
1
2
2
0,8
2
0,8
2
3 2
2
2

A
s
p
p
p
p
s
E
L
E
p
s
p
s

=
+
⎧
⎫
Γ
+
+
+
⎪
⎪
χ
ρ =
ρ
×
⎨
⎬
Γ
+
+
+
+
⎪
⎪
⎩
⎭
 

(
)(
)
1
exp
0,2
2
0,8
,
s
E
E

+
×
−ρ
ρ
 

s(A) = 1,5, s(10) = 24,3194, Е выражается в атомных единицах, ρ – в боровских 
радиусах. В этих расчетах для Не использовались в.ф. с п = l = 0, а для Ne – 
б.ф. с n1 = l1 = 0; n2 = l; l2 = 0; ns = 0; l3 = 1. Значения э.с. ряда атомов и ионов, 
рассчитанные по приведенным выше формулам, и соответствующие значения, 
полученные м.г.с.ф., приведены в табл. 1. 

                                                        Таблица 1 
 

А 
Z 
–Eм.у.к.ф. 
aт. ед. 

–Eм.г.с.ф. 
aт. ед. 

–Eэксп 

aт. ед. [6] 

2 
2 
2,848 
2,500 (4) 
2,903 

3 
7,223 
6,458 (4) 
7,280 

6 
32,348 
29,402 (4) 
32,409 

10 
10 
110,92 
75,27 
128,7 

20 
597,4 
442,45 

Для выяснения возможностей метода в области тяжелых атомов рассчи
таны э.с. основных состояний 36Кr, 80Hg, 88Ra нейтральных атомов с Z = 112, 
118, 120, 168. Результаты расчетов представлены в табл. 2. 

Заметим, что для тяжелых атомов коэффициент а в формуле –Е = аZ1/2 

близок к 16: так, для 80Hg значение а = 15,737, для 88Ra a = 15,98. 

5. Приведенные данные позволяют сделать следующие выводы. 
1) Расчетные значения э.с. уже в первом приближении м.у.к.ф. для ато
мов и ионов с  заполненными  электронными  оболочками  составляют 85 % и 
более от соответствующих расчетных  значений [7] и в 1,5–2 раза больше соответствующих расчетов э.с. первого приближения м.г.с.ф. Метод является 
вариационным. Релятивистские члены в гамильтониане атомов могут быть 
учтены аналогично [8]. Возможно релятивистское обобщение метода. Сходимость метода улучшается при увеличении заряда иона, что подтверждает данные табл. 2. 

2) Метод позволяет согласованно рассчитывать многие характеристики 

атомов и ионов в аналитическом виде, находить малые примеси к в.ф., соответствующие высшим конфигурациям, что труднее достигается в других методах, например, в многодетерминантном методе Хартри – Фока. 

Таблица 2 
 

Атом 
Е, ат. ед. 
36Кr 
80Hg 

88Ra 
Z = 112 
Z = 118 
Z = 120 
Z = 168 

–Eм.у.к.ф. 
–Eм.г.c.ф. 

2353,5 
 1345,7 

15943,7 
 8364,2 

20295,8 35541,1 

 18237,5

40225,6
42438,1 
93587,4 

Раздел 1. Метод многомерных угловых кулоновских функций... 
 
8

3) Наряду с индивидуальными степенями свободы электронов метод 

учитывает их коллективное движение. Спектр атомов и ионов, предсказываемый методом, должен состоять из ряда полос, аналогично предсказываемым 
м.г.с.ф. в ядре. Представляет интерес идентификация предсказываемых радиально возбужденных уровней, обладающих особыми свойствами, с высоковозбужденными уровнями атомов и ионов. 

Литература 

1. Ю. А. Симонов, Ядерная физика, т. 7, № 6, 1210 (1968). А. М. Бадалян, 

Ю. А. Симонов, там же, т. 9, № 1, 69 (1969).  

2. Г. Ф. Филиппов, Элементарные частицы и атомное ядро, т. 4, № 4, 992 

(1973).  

3. А. И. Базь, Ю. Т. Гринь и др., там же, т. 3, № 2, 275 (1972).  

4. J. L. Ballot, J. Navarro, J. Phys. B, Atom. Molec. Phys., v. 8, № 2, 1872 

(1975).  

5. А. А. Садовой, Ю. А. Симонов, Ядерная физика, т. 13, № 5, 990 (1971); 

Ю. А. Симонов, А. А. Садовой, Препринт ИТЭФ, № 935, 1972. 

6. Ch. E. Moore, U. S. Nat. Bur. Stand. Circular № 467, (1958).  
7. J. P. Desclaux, Atom. Data and Nucl. Data Tables, v. 12, № 4, 311 (1973). 
8. А. А. Садовой, Ядерная физика, т. 13, № 6, 1199 (1971). 

МЕТОД МНОГОМЕРНЫХ УГЛОВЫХ КУЛОНОВСКИХ ФУНКЦИЙ 

И МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ АТОМА 

А. А. Садовой и А. И. Голубев 

Приводится расчетный аппарат метода многомерных угловых кулоновских 

функций (МУКФ) и описываются результаты его применения для расчета свойств 
атомов и ионов с заполненными электронными оболочками в рамках нерелятивистской многоэлектронной теории атома. Получены аналитические выражения для энергии связи (ЭС) и волновых функций Не, Ne, Kr, Hg и соответствующих ионов в первом приближении метода. Расчетные значения ЭС в этом приближении составляют 
более 85 % от экспериментальных данных. Сравнение точных значений ЭС модели 
невзаимодействующих электронов, находящихся в поле ядра, с расчетными значениями, составляющими более 96 % от точных, указывает на хорошую сходимость 
метода МУКФ.*

1. В ядерной физике для решения многочастичных задач квантовой ме
ханики в последнее время предложено несколько систем многомерных угловых функций (МУФ) [1, 2] и показана эффективность их использования [3]. 
Нами предложена новая ортонормированная система МУФ, которая более 
полно учитывает особенности задач атомной физики: дальнодействующий 
характер кулоновского взаимодействия, наличие в системе тяжелой частицы 
(ядра), а также отличие атомных оболочек от ядерных. Ниже метод решения 
многоэлектронных задач с использованием данной системы МУФ мы будем 
называть методом многомерных угловых кулоновских функций (МУКФ). В 
отличие от гиперсферических координат метода гиперсферических функций 
(МГСФ) [1, 2] в методе МУКФ предложена новая параметризация 3A-мерного 
пространства и использованы новые базисные функции. Поэтому введенные 
нами МУФ отличаются как от МУФ МГСФ [1], так и от гиперсферических 
функций, использованных в [4] для исследования симметрии кулоновской задачи в многомерном пространстве. 

Групповая структура метода МУКФ с предложенным базисом сложна и 

будет рассмотрена отдельно; для дальнейшего важно, что для классификации 
МУКФ могут быть использованы квантовые числа трехмерной группы вращений и цепочки подгрупп, содержащей в себе подгруппы группы перестановок. Здесь мы не будем рассматривать ситуации, когда может наступать вырождение; в общем случае это потребует введения дополнительных цепочек 
подгрупп, как это делается, например, для последней незамкнутой оболочки в 
модели оболочек. В данной работе не рассматривается также вопрос о возможности существования «скрытой» симметрии многоэлектронной квантовомеханической задачи, подобной «скрытой» симметрии атома водорода [5]. 

Ниже мы будем использовать обозначения работы [6]. 

                                                          

*© Оптика и спектроскопия, 1978, т. 44, вып. 44.