Высшая математика. Алгебра

Министерство образования и науки российской Федерации 

уральский Федеральный университет  
иМени первого президента россии б. н. ельцина

е. в. новак, т. в. рязанова, и. в. новак

высшая МатеМатика

алгебра

рекомендовано методическим советом урФу  
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по программе бакалавриата по направлениям подготовки 
43.03.04 «политология», 39.03.01 «социология», 
39.03.02 «социальная работа», 37.03.01 «психология», 
по направлению подготовки специалитета 
37.05.01 «клиническая психология»

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017 

2-е издание, стереотипное

удк 519.6(075.8)
 
н 723

р е ц е н з е н т ы: 
лаборатория прикладной механики 
института машиноведения уро ран

(заведующий лабораторией 
кандидат технических наук, доцент л. Ф. спевак);

с. и. канторович, кандидат физико-математических наук, 
генеральный директор ао «уралавтоматика»

п о д  о б щ е й  р е д а к ц и е й

т. в. рязановой

Новак, Е. В.

н 723  
высшая математика: алгебра : [учеб. пособие] / е. в. новак, 

т. в. рязанова, и. в. новак ; [под общ. ред. т. в. рязановой] : 
[Электронный ресурс]; М-во образования и науки рос. Федерации, 
урал. федер. ун-т. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во 
Урал. ун-та, 2017. — 116 с. 

ISBN 978-5-9765-3189-5 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1537-6 (Изд-во Урал. ун-та)

учебное пособие посвящено изучению матриц, определителей и 
систем линейных уравнений, а также углублению полученных школьных 
знаний по векторной алгебре. содержит множество практических заданий 
и примеров с решениями.

адресовано студентам начальных курсов гуманитарных направлений 
подготовки, изучающих основные математические структуры в рамках 
дисциплины «высшая математика».

удк 519.6(075.8)

© уральский федеральный 
   университет, 2015

ISBN 978-5-9765-3189-5 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1537-6 (Изд-во Урал. ун-та)

ПрЕдислоВиЕ

учебное пособие посвящено важнейшим разделам высшей 
математики (элементам линейной и векторной алгебры) и предназначено для студентов первого и второго курса института социальных и политических наук уральского федерального университета, изучающих математические основы в рамках курса высшей 
математики.
цель курса — изучение матриц, определителей и систем 
линейных уравнений, а также углубление полученных знаний по 
векторной алгебре. пособие содержит множество практических 
заданий, ведь именно решение задач позволяет понять теорию 
в полном объеме. теоретический материал курса представлен 
кратко, но его достаточно для решения задач. более подробные 
теоретические сведения предлагается почерпнуть из литературы, 
список которой прилагается.
глава 1 пособия посвящена матрицам и определителям. 
она содержит все необходимые для решения задач определения, 
методы и приемы, а также примеры с решениями, что дает возможность студентам глубже понять тему. в главе 2 рассматриваются 
системы линейных уравнений и основные методы их решения. 
глава 3 поможет читателю освежить и дополнить знания, полученные в школе в разделе векторной алгебры. основные подглавы 
содержат небольшие самостоятельные работы с ответами для 
закрепления полученных знаний.
учебное пособие включает три контрольные работы, посвященные матрицам, системам линейных уравнений и векторам. 
каждая работа содержит 15 вариантов контрольных заданий. 
дополнительно представлены типовые варианты с подробным 
решением.

1. Матрицы и оПрЕдЕлитЕли

1.1. Матрицы. основные понятия

определение. Матрицей называется прямоугольная таблица 
чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов 
одинаковой длины).
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A, B, C и т. д. для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, bij, cij, где i — 
номер строки, j — номер столбца. Матрица записывается в виде

Матрицу а называют матрицей размера m × n и пишут Аm × n. 
Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, 
образуют главную диагональ.
п р и м е р. 

3
2

  2   3
1   0
.
  4  
2
A ×





= −




−



п р и м е р. с помощью матриц удобно записывать некоторые 
экономические зависимости.

ресурсы
легкая промышленность

тяжелое  
машиностроение

сельское  
хозяйство

Электроэнергия
2.6
2.1
3.0
трудовые ресурсы
1.2
1.8
2.8
водные ресурсы
2.5
3.0
3.0

таблицу распределения ресурсов по отраслям экономики 
можно записать в компактной форме в виде матрицы

3 3

2.6
2.1
3.0
1.2
1.8
2.8 .
2.5
3.0
3.0
A ×





= 






в данной записи, например, матричный элемент а11 = 2.6 показывает, сколько электроэнергии употребляет легкая промышленность, а элемент а23 = 2.8 — сколько трудовых ресурсов потребляет 
сельское хозяйство.
определение. Матрицы равны между собой, если равны все 
соответствующие элементы этих матриц, т. е. а = В, если 

(
)
1,
;
.
1,
ij
ij i
m
j
a
n
b
=
=
=

определение. Матрица, у которой число строк равно числу 
столбцов, называется квадратной. квадратную матрицу размера 
n × n называют матрицей n-го порядка.
п р и м е р.

2 2

2
3 .
2
5
A ×



= 

−



определение. квадратная матрица, у которой все элементы, 
кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется 
диагональной.
п р и м е р.

3 3

6
0
0

0
2
0 .

0
0
3

A ×





=
−







определение. диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной.

обозначается буквой E.
п р и м е р. 

3 3

1
0
0
0
1
0 .
0
0
1
E ×





= 






определение. квадратная матрица называется треугольной, 
если все элементы, расположенные по одну сторону от главной 
диагонали, равны нулю.
п р и м е р. 

3 3

1
3
4
0
2
5
.
0
0
5
A ×

−




= 



−



определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, 
называется нулевой. обозначается буквой O.
в матричном исчислении матрицы O и E играют роль чисел 0 
и 1 в арифметике.
определение. Матрица, содержащая один столбец или одну 
строку, называется вектором (вектор-столбцом или вектор-строкой соответственно).
вектор-столбец

1
.
m

m

a
A
a





= 








вектор-строка

(
)
1
.
n
n
B
b
b
=


определение. Матрица, полученная из данной заменой 
каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. обозначается АТ .

п р и м е р.

транспонированная матрица обладает следующим свойством: 
(АТ)Т = А. 

1.2. действия над матрицами

с л о ж е н и е  м а т р и ц
операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
определение. Суммой двух матриц Am × n = (aij), Bm × n = (bij) 
называется матрица Cm × n = (cij) такая, что

(
)
1,
;
1,
.
ij
ij
ij i
c
a
m
b
j
n
=
=
=
+

п р и м е р.

   2   3
   0    3
   2    6
4    5
1    2
5    7
.
  0    1
  4    
3
  4    
2













−
+
−
=
−












−
−







в ы ч и т а н и е  м а т р и ц
операция вычитания производится аналогично.
определение. Разностью двух матриц Am × n = (aij), Bm × n = (bij) 
называется матрица Cm × n = (cij) такая, что

(
)
1,
;
1,
.
 
ij
ij
ij i
c
a
m
b
j
n
=
=
=
−

п р и м е р.

   2   3
   0    3
   2   0
4    5
1    2
3    3 .
  0    1
  4    
3
4    4













−
−
−
=
−












−
−







ум н о ж е н и е  м а т р и ц ы  н а  ч и с л о

определение. Произведением матрицы Am × n = (aij) на число k 
называется матрица Bm × n = (bij) такая, что 

bij = k × aij (
).

п р и м е р .

2 3
2
1
3 ,
2,
2
8
  5
A
k
×
−


=
=





тогда

2 3
4
2
6
.
4
16
  10
kA ×
−


= 




операции сложения матриц и умножения матрицы на число 
обладают следующими свойствами:
10. А + В = В + А;
20. А + (В + С ) = (А + В) + С;
30. А + О = А;
40. А − А = О;
50. 1 × А = А;
60. а × (А + В) = а × А + а × В;
70. (а + b) × А = а × А + b × А;
80. а × (b × А) = (а × b) × А,
где А, В, с — матрицы; а и b — числа.

п р о и з в е д е н и е  м а т р и ц
операция умножения двух матриц вводится только для случая, 
когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй 
матрицы.

определение. Произведением матрицы Am × n на матрицу Bn × l 
называется матрица Сm × k такая, что 

cik = ai1 ∙ b1k + ai2 ∙ b2k + … + ain ∙ bnk, где (
).

то есть элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы 
А на соответствующие элементы k-гo столбца матрицы В.
получение элемента cik схематично изображается так:

k

i

l
m n
n ×
×
















•
•
•

•
•
•

•
•
•

•
•
•

•
•
•

















•
•
•
•
•
•
•
•
•

если матрицы А и В квадратные, одного размера, то произведения А × В и В × А всегда существуют.
п р и м е р. найти произведение матриц

2
3
2
1
3
4
5
2
8
  5
0
1
A B



−

 

×
=
× −
=

 


 




2 2 1 ( 4)
( 3) 0
2 3 1 5 1 ( 3)
0
8 .
2 2
8 ( 4)
5 0
2 3
8 5
5 1
28
51
⋅ + ⋅ −
+ −
⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ −




=
=




⋅ + ⋅ −
+ ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
−





определение. Матрицы А и В называются перестановочными, если А × В = В × А. умножение матриц обладает следующими свойствами:
10. А × (В × С ) = (А × В) × С;
20. А × (В + С ) = А × В + А × С;
30. (А + В) × С = А × С + В × С;
40. а × (А × В) = (а × А) × В,
если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют 
смысл.

для операции транспонирования верны свойства:
10 (A + B)T = AT + BT;

20 (А × В)Т = ВT × АT.

1.3. Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:
1)  перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же 
число.

определение. две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. записывается А ~ В. 
при помощи элементарных преобразований любую матрицу 
можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали 
стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны 
нулю.
такую матрицу называют канонической.

п р и м е р.

п р и м е р. привести к каноническому виду матрицу

3 4

2
3 1
   1
0
1
1
0 .
3
0
2
1
A ×





=
−




−

