Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА 

Е. В. Новак, Т. В. Рязанова, И. В. Новак 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

Рекомендовано методическим советом УрФУ  
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по программе бакалавриата по направлениям подготовки 
43.03.04 «Политология», 39.03.01 «Социология», 
39.03.02 «Социальная работа», 37.03.01 «Психология», 
по направлению подготовки специалитета  
37.05.01 «Клиническая психология» 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017 

2-е издание, стереотипное

УДК 517(075.8) 
Н723 

Р е ц е н з е н т ы: 
лаборатория прикладной механики  
Института машиноведения УрО РАН  
(заведующий лабораторией  
кандидат технических наук, доцент Л. Ф. Спевак);  
С. И. Канторович, кандидат физико-математических наук, 
генеральный директор АО «Уралавтоматика» 

П о д  о б щ е й  р е д а к ц и е й 
Т. В. Рязановой 

Новак, Е. В. 
Н723  
Интегральное исчисление и дифференциальные уравне
[Электронный ресурс] : [учеб. пособие] / Е. В. Новак, 
Т. 
В. 
Рязанова, 
И. 
В. 
Новак 
; 
[под 
общ. 
ред. 
Т. В. Рязановой] ; М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Урал. федер. ун-т. – 2-е изд., стер. – М. : 
ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2017. – 111 с. 

ISBN 978-5-9765-3188-8 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1536-9 (Изд-во Урал. ун-та)

Учебное пособие является логическим продолжением курса 
«Теория пределов, непрерывность и дифференцируемость функций», 
способствует пониманию и развитию навыков вычисления интегралов 
и решения дифференциальных уравнений. 
Адресовано студентам начальных курсов гуманитарных направлений подготовки, изучающих основные математические структуры 
в рамках дисциплины «Высшая математика». 

© Уральский федеральный 
    университет, 2015 

ISBN 978-5-9765-3188-8 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1536-9 (Изд-во Урал. ун-та)

Предисловие 

Учебное пособие предназначено для студентов первого и второго курса Института социальных и политических наук Уральского федерального университета, изучающих математические 
основы в рамках курса высшей математики. 
Цель курса – способствовать пониманию и развитию навыков 
вычисления интегралов и дифференциальных уравнений. Для 
того чтобы научиться легко, быстро, а главное правильно решать 
интегралы, необходима практика, поэтому наше учебное пособие 
содержит большое количество практических заданий. Теоретический материал курса представлен здесь лишь в том объеме, в котором он необходим для решения задач. Более подробные теоретические сведения можно найти в литературе, список которой 
прилагается. 
Глава 1 пособия посвящена неопределенному интегралу и содержит все необходимые для решения задач определения, теоремы, таблицы и методы, а также примеры с решениями, что дает 
возможность студентам глубже понять тему. В главе 2 рассматриваются определенные и несобственные интегралы. Особое внимание уделено геометрическим приложениям интеграла, а именно вычислению площадей плоских фигур и вычислению объемов 
тел вращения. Глава 3 поможет читателю в изучении дифференциальных уравнений первого и высших порядков. 
В каждой подглаве имеется небольшая самостоятельная работа с ответами для закрепления полученных знаний. 
Учебное пособие включает две контрольные работы, посвященные интегральному и дифференциальному исчислению, которые содержат 15 вариантов контрольных заданий, один вариант 
представлен с подробным решением. 
Значком «*» помечены разделы, не входящие в обязательную 
программу. 
 
 

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

1.1. Понятия неопределенного интеграла 

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (а; b), если для любого х ∈ (а; b) выполняется равенство F'(x) = f(x) (или dF(x) = f(x)dx). 
Пример. Найти первообразную функции f(x) = x2, х ∈ R. 
Решение. Легко заметить, что производная функции 
3
)
(
3
x
x
F
=
 

равна f(x) = x2. Первообразными будут также любые функции 

,
3
)
(
3
C
x
x
F
+
=
 так как 
.
3
)
(
2
3
x
C
x
x
F
=
+
=
′
′




 

Пример. Найти первообразную функции f(x) = cos x, х ∈ R. 
Решение. Первообразная равна F(x) = sin x + C. 
Tеоpeмa. Если функция F(x) является первообразной функции ƒ(х) на (а; b), то множество всех первообразных для ƒ(х) задается формулой F(x) + С, где С – постоянное число. 
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция F(x) + С является первообразной ƒ(х). Действительно, (F(x) + C)′ = F′(x) = ƒ(x). Пусть Ф(х) – 
некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции ƒ(х), 
т. е. Ф′(x) = ƒ(х). Тогда для любого х ∈ (а; b) имеем (Ф(x) – F(x))′ = 
= Ф′(x) – F′(x) = f(x) – f(x) = 0. А это означает, что Ф(x) – F(x) = C, 
где C = const. 
Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция на этом промежутке постоянна. Следовательно, Ф(х) = F(x) + С. Что и требовалось доказать. 
Определение. Множество всех первообразных функций 
F(x) + C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx. 
По определению ∫f(x)dx = F(x) + C. 
Функция ƒ(х) называется подынтегральнoй функцией, ƒ(x)dx – 
подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, 
∫ – знаком неопределенного интеграла. 

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. 
Неопределенный интеграл геометрически представляет собой 
семейство «параллельных» кривых F(x) + C (каждому числовому 
значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной 
кривой (рис. 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 1 

1.2. Свойства неопределенного интеграла 

10. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(∫f(x)dx) = f(x)dx. 
Свойство верно, так как d(∫f(x)dx) = d(F(x) + C) = dF(x) + 
+ d(C) = F′(x)dx = f(x)dx. 
20. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (∫f(x)dx)′ = f(x). 
30. Hеопpедeлeнный интеграл от диффepeнциaла некоторой 
функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: 
∫dF(x) = F(x) + C. 
Свойство верно, так как ∫dF(x) = ∫F′(x)dx = ∫f(x)dx = F(x) + C. 

y = F(x) + C1

y = F(x) + C2

y = F(x) + C3

y = F(x) + C4

y = F(x) + C5

y = F(x) + C6

y

x

40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 
∫af(x)dx = a∫f(x)dx (a ≠ 0). 
Пусть F′(x) = ƒ(х), тогда ∫af(x)dx = ∫aF′(x)dx = ∫(aF(x))′dx = 
= ∫d(aF(x)) = aF(x) + C1  = a(F(x) + C1/a) = a(F(x) + c) = a∫f(x)dx. 
50. Неопределенный интеграл от aлгeбpaическoй суммы конечного числа непрерывных функций равен aлгебpaичecкoй сумме интегралов от слагаемых функций: 

∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx. 

Пусть F'(x) = ƒ(х) и G'(x) = g(x), тогда ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫(F′(x) ± 
± G′(x))dx = ∫(F(x) ± G(x))′ dx = ∫d(F(x) ± G(x)) = F(x) ± G(x) + C = 
= (F(x) + C1) ± (G(x) + C2) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx, где C1 ± C2 = C. 

1.3. Таблица основных  
неопределенных интегралов 

1) ∫0dx = C. 

2) ∫xn dx = xn + 1/(n + 1) + C, n ≠ –1, в частности, ∫dx = x + C. 

3) ∫cos x dx = sin x + C. 
4) ∫sin x dx = –cos x + C. 

5) 
.
ln
C
a
a
dx
a

x
x
+
=
∫
 
6) ∫exdx = ex + C. 

7) 
.
ctg
sin2
C
x
x
dx
+
−
=
∫
 
8) 
.
tg
cos2
C
x
x
dx
+
=
∫
 

9) 
.
ln
1
C
x
dx
x
+
=
∫
 

10) 
.
 
arcctg
C
 
arctg
1
2
C
x
x
x
dx
+
−
=
+
=
+
∫
 

11) 
.
arccos
arcsin
1
2
C
x
C
x
x

dx
+
−
=
+
=
−
∫

Примеры. Вычислить интегралы: 

1) 
=








+
+
=
+
+
=
+
∫
∫
∫
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
1
2
1
1
2
)1
(
2

.
ln
4
2
2
1
C
x
x
x
x
dx
dx
x
dx
+
+
+
=
+
+
=
∫
∫
∫

−

 

2) 
=






+
+
=






+
∫
∫
dx
x
x
x
x
dx
x
x
2
cos
2
cos
2
sin
2
2
sin
2
cos
2
sin
2
2
2

(
)
.
cos
sin
1
C
x
x
dx
x
+
−
=
+
= ∫
 

3) 
∫
∫
∫
∫
=
+
−
=






+
−
=
+
−
+
=
+
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x

2
2
2

2

2

2

1
1
1
1
1
1
1
1
1

.
arctg
C
x
x
+
−
=
 

Самостоятельная работа 
Найти интеграл: 

1) 
.
3
2
2
4
3
3
2
3
∫






−
+
−
dx
x
x
x
 
Ответ: 
.
3
1
5
6

2
3
5
C
x
x
x
+
−
−
−
 

2) ∫
+
+
.
)
1(
1
2

2
2

2
dx
x
x
x
 
Ответ: 
.
arctg
1
C
x
x
+
+
−
 

3) 
.
sin
cos
2
cos

2
2
∫
dx
x
x
x
 
Ответ: –ctg x – tg x + C. 

1.4. Метод интегрирования подстановкой  
(заменой переменной) 

Пусть требуется вычислить интеграл ∫f(x)dx. 
Сделаем подстановку: х = φ(t), где φ(t) – функция, имеющая 
непрерывную производную. Тогда dx = φ'(t)dt. Получаем формулу 
интегрирования подстановкой: 

∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ′(t)dt. 

Примеры. Вычислить интеграл: 

1) 
.
3
3
3
3

3
3
1
3

3
3
 
C
e
C
e
dt
e
dt
e

dt
dx

dt
dx

t
x

dx
e

x
t
t
t
x
+
=
+
=
=
=























=

=

=

=
∫
∫
∫
 

2) 
=
+
−
=
−
=
−
=





















−
=

=
−
=
−
=
−
∫
∫
∫
C
t
t
dt
t
dt

dt
dx

dt
dx
t
x

x
dx
ln
3
1
3
1
3

3

3
3
2

3
2

.
3
2
ln
3
1
C
x +
−
−
=
 

3) 
=
=
=





















=

=
=
−
=
−
∫
∫
∫
dt
t
dt
t
dt
dx

dt
dx
x
dx
x
sin
5
1
5
sin

5

5
t
3
5
3)
(5
sin

.
3)
(5
cos
5
1
cos
5
1
C
x
C
t
+
−
−
=
+
−
=
 

4) 
=
+
=
=
=





















=

=

=
−

=
−
∫
∫
∫
C
t
dt
t
dt
t

dt
dx

dt
dx

t
x

dx
x
5
6
5
1
5
5
12
5
2
1
2
1

2
1

2

1
2

1
2

.
1
2
1)
(2
12
5
12
5
5
5
C
x
x
C
t
t
+
−
−
=
+
=

5) 
=
+
=
+
=





















=

=
=
=
+
∫
∫
C
t
t
dt

dt
dx

dt
dx
t
x

x
dx
arctg
3
1
1
3
1

3
1
3
3

9
1
2
2

.
)
(3
arctg
3
1
C
x +
=
 

В примерах была использована подстановка t = ax + b, где  
a и b – константы (а ≠ 0). 
Tеоpeмa. Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции 

f(x). Тогда 
,
)
(
1
)
(
C
b
ax
F
a
dx
b
ax
f
+
+
=
+
∫
 где a и b – константы 

(a ≠ 0).  
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся определением неопределенного интеграла ∫f(ax + b)d(ax + b) = F(ax + b) + C, так как 
d(ax + b) = d(ax) + db = adx ⇒ a∫f(ax + b)dx = F(ax + b) + C ⇒  

⇒ ∫f(ax + b)dx = F(ax + b)/a + C/a ⇒ ∫f(ax + b)dx = а
1 F(ax + b) + C1. 

Самостоятельная работа 

Найти интеграл: 

1) 
.
2
7
∫
− dx
e
x
 
Ответ: 
.
2
1
2
7
C
e
x +
−
−
 

2) 
.
4
2∫
− x
dx
 
Ответ: 
.
4
2
ln
4
1
C
x +
−
−
 

3) 
.
1
2
cos
∫






+
dx
x
 
Ответ: 
.
1
2
2sin
C
x
+






+
 

4) 
.
4)
(7
4
∫
−
dx
x
 
Ответ: 
.
4)
(7
35
1
5
C
x
+
−
 

5) 
.
9
1
2
∫
− x

dx
 
Ответ: 
.
3
arcsin
3
1
C
x +
 

Рассмотрим интегралы, берущиеся с помощью нелинейных 
подстановок. При нахождении таких интегралов нет единого 

алгоритма, необходимо увидеть замену, которая приведет к нахождению более простого интеграла. 

Примеры. 

1) 
=
+
−
=
−
=





















−
=

=
−

=
−

=
∫
∫
−
C
e
dt
e

dt
dx
x

dt
dx
x

t
x

dx
e
x
t
t
x
3
1
3
1

3
1
3
 

2

2

3

2
3

.
3
1
3
C
e x +
=
−
 

2) 
=
+
−
=
−
=
−
=














=
−

=
−
=
−
∫
∫
∫

−
C
t
dt
t
t
dt
dt
x
dx
t
x

x
x
dx
2
1
2
1
2
ln
1

ln
1

.
ln
1
2
C
x +
−
−
=
 

3) 
=
+
−
=
−
=






=
−

=
=
=
∫
∫
∫
C
t
t
dt
dt
dx
x

t
x
dx
x
x
dx
x
ln
sin

cos

cos
sin
tg

.
cos
ln
C
x +
−
=
 

4) 
∫
∫
∫
+
=
+
=



















=
+
=

=
−

=
−
dt
t
dt
t
t
tdt
dx
t
x

t
x

dx
x
x
2
2
2
2
6
)
3
(
2
2
3

3

3

.
)
3
(
5
2
)
3
2(
5
2
2
2
5
3
5
3
4
C
x
x
C
t
t
dt
t
+
−
+
−
=
+
+
=
+ ∫
 

5) 
=
+
=
+
=






=

=
−
=
−
∫
∫
∫
dt
t
t
dt
t
t
dt
dx

t
x
dx
x
x
)
(
1)
(
1
1)
(
11
12
11
11

.
1)
(
12
1
1)
(
13
1
12
1
13
1
12
13
12
13
C
x
x
C
t
t
+
−
+
−
=
+
+
=