Введение в теорию поля и ее приложения

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
И. А. Мартынова, И. Г. Машин, В. Н. Фомченко  
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОЛЯ  

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2014 

УДК 512.623 
ББК 
22.14 
 
М29 
 
Одобрено научно-методическим советом  
Саровского физико-технического института  
Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» 
и ученым советом ФГМУ «Институт информатизации 
образования» Российской академии образования 
 
Рецензент: проректор по научной работе Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева кандидат 
технических наук, доцент Н. Ю. Бабанов 
 
 
Мартынова, И. А., Машин, И. Г., Фомченко, В. Н. 
           Введение в теорию поля и ее приложения: Монография. – Саров: 
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2014. – 108 с. : ил. 
 
   ISBN 978-5-9515-0262-9 
 
Рассмотрены аксиоматический метод познания, краткая история 
развития алгебры и основные понятия теории множеств. Приведены 
определения алгебраических структур, групп, колец, полей. Рассмотрены многочлены над полем, вычисления и преобразования в поля Галуа, цифровое устройство, его математическая модель и возможные 
варианты их применения.  
Изложенные материалы предназначены для аспирантов технических специальностей первого года обучения для приведения в систему ранее полученных знаний и могут быть полезны для широкого 
круга инженерно-технических работников, связанных с разработкой 
информационных технологий и защитой информации, а также студентов соответствующих специальностей. Приведенные материалы могут 
быть использованы студентами соответствующих специальностей и 
школьниками старших классов в качестве дополнительного учебного 
пособия при первоначальном ознакомлении с введением в теорию поля 
и подготовке к профильным предметным олимпиадам. 
 
УДК 512.623 
ББК 22.14 

 

ISBN 978-5-9515-0262-9                                © ФГУП  «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2014 

Содержание 
 
Введение ………………………………………………………... 
5 
1. Аксиома и аксиоматический метод ……………………… 
8 
    1.1. Аксиома ………………………………………………….
8 
    1.2. Аксиоматический метод ……………………………….. 
10 
    1.3. Непротиворечивость системы аксиом ………………… 
11 
2. Алгебра и краткая история ее развития ………………… 
11 
    2.1. Становление алгебры …………………………………… 
11 
    2.2. Развитие алгебры в Западной Европе …………………. 
14 
    2.3. Поворот в развитии алгебры …………………………… 
16 
    2.4. Композиции и основная задача алгебры ……………… 
17 
    2.5. Возникновение понятия группы ……………………….. 
18 
3. Основные понятия теория множеств ……………………. 
21 
    3.1. Понятие множества …………………………………….. 
21 
    3.2. Отображения и мощности ……………………………… 
23 
    3.3. Комбинаторика в теории множеств …………………… 
24 
    3.4. Пересечение, сложение, разбиение и вычитание  
           множеств ………………………………………………… 
26 
           3.4.1. Пересечение множеств …………………………… 
26 
           3.4.2. Сложение множеств ……………………………… 
27 
           3.4.3. Разность множеств ……………………………….. 
28 
    3.5. Арифметика остатков …………………………………… 
30 
    3.6. Алгебра множеств ………………………………………. 
32 
4. Алгебраические структуры и группы преобразова- 
    ний ……………………………………………………………. 
40 
    4.1. Понятие алгебраических структур …………………….. 
40 
    4.2. Определение изоморфизма …………………………….. 
42 
    4.3. Сложение и умножение вещественных чисел. Приме- 
           нение аксиоматического метода ………………………. 
43 

    4.4. Абелевы группы и смежные классы …………………… 
45 
    4.5. Кольца и поля …………………………………………… 
51 
    4.6. Подгруппы, подкольца и подполя …………………….. 
54 
    4.7. Группы преобразований ……………………………….. 
56 

5. Многочлены над полем. Поля Галуа ……………………. 
59 
    5.1. Многочлены над полем ………………………………… 
59 
    5.2. Многочлены над полем GF(p) …………………………. 
62 
    5.3. Модулярные кольца многочленов …………………….. 
63 
    5.4. Поля Галуа ………………………………………………. 
64 
6. Цифровое устройство и его математическая модель ….. 
67 

    6.1. Представление цифрового устройства в виде «черного 
           ящика» …………………………………………………… 
67 

    6.2. Основные переменные цифрового устройства ………. 
70 
    6.3. Характеристические матрицы цифрового устройства .. 
72 
7. Матрицы и их преобразования …………………………… 
75 
    7.1. Векторные пространства и подпространства …………. 
75 
    7.2. Матрицы над полем …………………………………….. 
76 
    7.3. Нуль пространство матрицы …………………………… 
79 
    7.4. Обратная матрица ………………………………………. 
80 
    7.5. Элементарные делители матрицы …………………….. 
81 
    7.6. Характеристический и минимальный многочлены 
            матрицы ………………………………………………… 
93 

    7.7. Естественная нормальная форма матрицы ……………. 
94 
    7.8. Матрица преобразования подобия …………………….. 
96 
8. Приложения теории поля …………………………………. 100 
    8.1. Умножение, деление и преобразование многочленов .. 
101 
    8.2. Модулярные и линейные счетчики ……………………. 101 
    8.3. Обнаружение и исправление ошибок …………………. 101 
    8.4. Генерация последовательностей псевдослучайных 
           чисел …………………………………………………….. 
103 

    8.5. Повышение точности радиолокационных станций ….. 
104 
    8.6. Шифрование сообщений ……………………………….. 104 
    8.7. Адресация ……………………………………………….. 105 
    8.8. Генерация тестовых последовательностей ……………. 105 
Список литературы …………………………………………... 106 
 
 
 
 

Введение 
 
Первоначально идея создания данной монографии возникла из необходимости прочитать вводный курс лекций по математической теории поля для научных и инженерно-технических работников, занимающихся внедрением информационных технологий и разработкой специализированных цифровых и вычислительных устройств и систем с элементами 
защиты информации. 
В курсах алгебры для высших учебных заведений к понятию группы, кольца и поля часто приходят через предварительное рассмотрение элементов теории множеств. Результаты анализа показывают, что большинство авторов предполагают значительную математическую подготовку читателей  
и сразу переходят к рассмотрению сути вопроса, вводя много 
новых терминов, определений и сокращений, оставляя предысторию, а также выводы теорем на домашнюю проработку. 
Большинство учебников на эту тему написаны для специалистов с хорошей предварительной математической подготовкой, желающих углубить свои знания в конкретных областях 
алгебры. Но кроме специалистов математиков существуют 
прикладные специалисты в конкретных областях знаний, которым нужна не глубина проработки материала, а возможность 
на элементарном уровне осознать стоящую перед ними задачу и практически применить определенные результаты. 
Первые результаты, полученные в данном направлении, 
показали, что подготовленные материалы содержали только 
голые математические выражения и не содержали пояснений 
и рекомендаций для практического применения полученных 
знаний, поэтому подходили больше для студентов-алгебраистов 
соответствующих специальностей, а не для научных и инже

нерно-технических работников. Потребовалась тщательная 
переработка полученного материала. 
В результате объединения усилий специалистов трех разных направлений появилась данная монография. В процессе 
работы был учтен опыт, полученный сотрудниками РФЯЦВНИИЭФ, кафедры «Радиофизика и электроника» СарФТИ 
НИЯУ «МИФИ» и физико-математической школы МФТИ – 
РФЯЦ-ВНИИЭФ. В результате включенные в монографию 
первые три раздела, рассчитаны на школьников старших классов. Это привело к некоторой повторяемости материала, но 
дало возможность изучать данные разделы независимо, а при 
изучении алгебраических структур осуществлять повторение 
пройденного материала на более высоком уровне. 
В первом разделе рассмотрены аксиомы и аксиоматический метод исследования, а также требование непротиворечивости системы аксиом той или иной науки. 
Во втором разделе, посвященном алгебре и краткой истории ее развития, рассмотрены вопросы становления алгебры, 
развития алгебры в Западной Европе, повороты в ее развитии, 
композиции и основная задача алгебры, возникновение понятия группы, введение понятий кольца и поля. 
В третьем разделе рассмотрены основные понятия теории 
множеств: понятие множества, его отображения и мощности, 
а также вопросы, касающиеся комбинаторики в теории множеств, пересечения, сложения, разбиения и вычитания множеств, арифметики остатков и алгебры множеств. 
Четвертый раздел посвящен алгебраическим структурам 
и группам преобразований. В нем приведено понятие алгебраических структур и определение изоморфизма. Рассмотрено сложение и умножение вещественных чисел, применение 
аксиоматического метода. Приведены определения и понятия 
абелевых групп, смежных классов, колец и полей. Рассмотрены также подгруппы, подкольца, подполя и группы преобра

зований, играющие важную роль в вопросах криптографической защиты информации. 
В пятом разделе рассмотрены многочлены над полем, 
многочлены над полем GF(p), модулярные кольца многочленов и поля Галуа. 
В шестом разделе приведено представление цифрового 
устройства в виде «черного ящика» и его математическая модель. Рассмотрены основные переменные цифрового устройства и его характеристические матрицы. 
Седьмой раздел, как следствие предыдущего, посвящен 
матрицам и их преобразованиям. В нем рассмотрены векторные пространства и подпространства, матрицы над полем, 
нуль-пространство матрицы, обратная матрица, элементарные делители матрицы, характеристический и минимальный 
многочлены матрицы, естественная нормальная форма матрицы и матрица преобразования подобия. 
Восьмой раздел посвящен приложениям теории поля. В нем 
отмечены такие приложения, как умножение, деление и преобразование многочленов, модулярные и линейные счетчики, 
устройства и алгоритмы обнаружения и исправления ошибок, 
генерации последовательностей псевдослучайных чисел, 
повышения точности радиолокационных станций, шифрования сообщений, адресации и генерации тестовых последовательностей. 

1. Аксиома и аксиоматический метод 
 
1.1. Аксиома 
 
Аксиома – принятое положение, факт, не требующий доказательства. Иначе говоря, аксиомы – это основные исходные положения (первоначальные факты) той или иной науки 
или теории настолько очевидные, что не требуют доказательства и позволяют вывести из них все дальнейшие понятия 
этой науки. 
Первоначальные факты накапливаются в результате практической деятельности человека. Их проверяют, уточняют  
и систематизируют. Исключают из них те, которые выведены 
из других первоначальных фактов. Иногда обнаруживается, 
что оставшийся список простейших фактов (аксиом) неполный, т. е. их недостаточно для вывода всех теорем, и тогда к 
этому списку добавляют недостающие аксиомы. В результате 
получается полный набор аксиом (аксиоматика) той или иной 
науки [1–3]. Аксиоматику науки можно представить в виде 
модели, приведенной на рис. 1.1. 

 
Рис. 1.1. Аксиоматика науки 

Для множества натуральных чисел N (1, 2, 3, …) известна 
следующая система аксиом (система аксиом Пеано): 
1) в множестве N существует элемент, непосредственно 
не следующий ни за одним элементом этого множества, этот 
элемент называется единицей, и для его обозначения используется цифра 1; 
2) для каждого элемента а из N существует единственный 
элемент, непосредственно следующий за а; 
3) для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а; 
4) каждое число либо вовсе не является последующим ни 
для какого числа, либо является последующим точно для одного числа; 
5) каждое множество натуральных чисел, которое содержит 
число 1 и, вместе с каждым содержащимся в нем числом а, 
содержит последующее за ним число, содержит все натуральные числа «принцип индукции». 
На свойстве 5 основан метод доказательства с помощью 
индукции. Для того чтобы доказать, что некоторым свойством обладают все числа, доказывают сначала, что им обладает 
число 1, а затем доказывают его для произвольного числа n+ 
(следующего за n) при «индуктивном предположении», что 
число n этим некоторым свойством уже обладает. На множестве натуральных чисел определены операции сложения 
и умножения, а также (с некоторыми оговорками) операции 
вычитания и деления [4–6]. 
Аксиоматика элементарной геометрии содержит около 
20 аксиом, аксиоматика числового поля – 9 аксиом и т. д.