Качественные модели кинетики образования компактных объектов с сильными внутренними связями

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
Э. Э. Лин 
 
 
КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ КИНЕТИКИ 
ОБРАЗОВАНИЯ КОМПАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ  
С СИЛЬНЫМИ ВНУТРЕННИМИ  
СВЯЗЯМИ 
 
 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2011 

     УДК 524.354.6; 530.1; 532; 593; 539.16 
     ББК 22.3 
 
Л 59 
 
Лин Э. Э. Качественные модели кинетики образования компактных объектов с сильными внутренними связями: Монография. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011. 132 с. 
 
 
Разработан асимптотический метод исследования кинетики образования компактных объектов с сильными внутренними связями, основанный на соотношении неопределенностей для координаты и импульса в 
пространстве размеров объектов – кластеров с выраженными коллективными квантовыми свойствами, обусловленными обменными взаимодействиями различной физической природы, зависящей от пространственных 
масштабов рассматриваемых процессов. Предлагаемый феноменологический подход «создан» по аналогии с общеизвестными представлениями о 
когерентных состояниях квантово-механических систем осцилляторов, 
для которых произведение неопределенностей (дисперсий) координаты и 
импульса принимает минимально возможное в рамках соотношения неопределенностей значение. При таком подходе «ведущими» процессами 
являются колебания элементов, составляющих объекты, например коллективные колебания нуклонов в ядре и фононные возбуждения кристаллической решетки мезоструктур. Это позволяет рассматривать образование и рост субатомных и мезоскопических объектов в рамках одного 
формализма. Полученные результаты на качественном уровне адекватно 
описывают размерные и временные характеристики процессов образования рассматриваемых объектов: кластеров ядерной материи, углеродных 
наноструктур, наноструктурированных частиц легких актиноидов. Представленные результаты расширяют область применения качественных 
диффузионных моделей образования кластеров с квантовыми свойствами 
в физике высоких плотностей энергии и высокоинтенсивных процессов.  

Ключевые слова: компактные объекты, сильные внутренние связи, 
пространственные масштабы, квантовые свойства, кинетика образования, 
пространство размеров, соотношение неопределенностей, кластеры ядерной материи, углеродные наноструктуры, легкие актиноиды.  
 
 
ISBN   978-5-9515-0181-3                        © ФГУП  «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4 

Глава 1. Общий кинетический подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  9 

Глава 2. Субатомные и астрофизические объекты . . . . . . . . . . .   26 
2.1. Асимптотическая модель образования кластеров 
       ядерной материи в процессах приближенияк равно- 
       весию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  27 
2.2. Феноменологическое рассмотрение астрофизичес- 
       ких объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   34 

Глава 3. Мезоскопические объекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  38 
3.1 Приближенные законы роста мезоскопических  
      объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39 
3.2. Сравнение расчетных и экспериментальных дан- 
       ных для углеродных наноструктурированных 
       объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   49 
3.3. Характеристики полиморфных превращений лег- 
       ких актиноидов в мезоскопических масштабах . . . .   65 

Глава 4. Обсуждение результатов, вопросы дальнейших иссле- 
               дований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   93 

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   112 

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  114 

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  126 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Разнообразные физические объекты и их окружение представляют интерес не только с точки зрения индивидуальных свойств, 
определяемых их строением и размерами, но и в плане определения 
пространственной границы между макро- и микромирами (макрофизикой и микрофизикой). Размеры мезоскопических объектов, 
поведение которых одновременно подчиняется как законам квантовой физики, так и законам макроскопической физики, могут достигать значительных величин, при которых достигается нижний 
предел сложности макроскопического твердого тела [1]. Например, 
фундаментальные соображения и оценки применимости квантовых 
представлений показывают, что соотношение неопределенностей 
«координата–импульс» может выполняться для тел с размерами 
порядка 10-7 м, т. е. на уровне нанометрических масштабов [2]. В 
настоящее время исследованию образования, эволюции и свойств 
наноструктур и материалов на их основе посвящается все большее 
количество работ, в которых рассматриваются процессы различной 
физико-химической природы, протекающие в мезоскопической области пространственных масштабов  ∼10-10 ÷ 10-4 м: от  формирования атомных кластеров на молекулярном уровне и синтеза нанокристаллов до глобальных изменений состояния сплошной макроскопической среды, таких как нелинейные эффекты пластичности и 
разрушения твердых тел при их деформировании, структурноскейлинговые переходы в ансамблях зернограничных дефектов  
и т. п. [3–7]. Поведение наноструктурированных объектов описывается с помощью методов молекулярной динамики, а также с помощью статистических моделей, учитывающих как термодинамический, так и кинетический аспекты рассматриваемых проблем. К 
таким проблемам относятся неполнота классического описания 
процессов в мезомире и в кристаллических средах и необходимость 
формулирования новых, в том числе и феноменологических моде

лей, учитывающих образование квантовых систем [2, 8]; определение закономерностей роста и консолидации наноструктур; определение размерных зависимостей фазовых переходов, в частности, 
установление влияния мезоскопики полиморфных превращений на 
синергетику мартенситных структур [9, 10].  
В свете сказанного принципиально важно определить общие 
черты динамики роста объектов как микро-, так и мезомира. В предлагаемой работе рассматривается кинетика образования различных 
по физической природе компактных объектов с сильными внутренними связями и со значительно различающимися пространственными масштабами: кластеров ядерной материи, а также наноструктурированных мезоскопических структур с ковалентными и квазиковалентными связями между атомами в кристаллической решетке. Для этих объектов характерно существование чисто 
квантового эффекта обменного взаимодействия [11]. Так, между 
нуклонами происходит обмен виртуальными мезонами, в кристаллических структурах с ковалентными связями происходит обмен 
электронами. Наличие эффекта обменного взаимодействия позволяет рассматривать упомянутые объекты как компактные кластеры 
с выраженными коллективными квантовыми свойствами. В случае 
ядер квантовые свойства вещества связаны с сильным взаимодействием и проявляются в наличии колебательных и вращательных 
оболочек. В мезокристаллах происходит возбуждение квазичастиц – 
фононов.  
Сказанное выше создает предпосылку для рассмотрения кинетики образования изучаемых объектов с единой точки зрения. Будем рассматривать замкнутые стохастические системы компактных 
квантовых кластеров, взаимодействующих друг с другом случайным образом [12–15]. В соответствии со стандартными представлениями физической кинетики, необратимая агрегация объектов 
описывается с помощью понятия волны f(a, t) плотности распределения кластеров по размерам a, распространяющейся с течением 
времени t в сторону их увеличения. Поведение волнового пакета 
любой физической природы подчиняется вытекающему из теоремы 
Фурье универсальному соотношению для полуширины волнового 

пакета и полуширины спектральной линии ∆a·∆k ≥ 1⁄4π, k – волновое число. Отсюда вытекает соотношение неопределенностей для 
координаты и импульса в пространстве размеров кластеров. Для 
квантово-механических систем, находящихся в когерентном состоянии (гармонические колебания), записанное выше произведение принимает минимальное значение, соотношение неопределенностей выполняется в виде точного равенства, а траектория процесса в фазовом пространстве является классической [16]. Это означает возможность рассмотрения сравнительно крупных объектов, размеры которых превосходят величины, соответствующие 
достижению нижнего предела сложности макроскопического твердого тела. Таким образом, предлагаемый феноменологический 
подход описывает предельную, асимптотическую стадию процесса 
роста кластеров.  
Необходимо отметить, что предлагаемый феноменологический 
метод ни в коей мере не может заменить собой разработанные 
фундаментальные методы исследований и физические модели динамики явлений микромира и мезомира (см., например, [17–22]). 
С другой стороны, хорошо известно, что «при взаимодействии  
с внешним миром физические объекты никогда не раскрывают весь 
свой внутренний потенциал сложности. Соответственно неполное 
или даже феноменологическое описание физических явлений или 
физических объектов иногда лучше отвечает и сути дела, и пониманию того, что происходит» [2].  
Например, при решении кинетических уравнений, как правило, 
вводятся подгоночные параметры, которые определяются с помощью экспериментов. При планировании же экспериментов с новыми или с мало изученными объектами возникает необходимость 
провести предварительные оценки конечных размерных и временных характеристик исследуемых процессов, т. е. определить зависимость между характерным размером объектов и временем их 
роста. В свете этого, предлагаемые качественные модели могут 
оказаться полезными при первом знакомстве с той или иной задачей, при проведении оценок и первичном анализе результатов экспериментов. Например, при изучении кластерной радиоактивности 

[23] данный метод позволяет определить спектр наиболее вероятных массовых чисел сравнительно легких нуклонных кластеров, 
образующихся внутри тяжелых ядер [24]. Метод позволяет также 
оценить как среднее, так и максимальное массовые числа сверхтяжелых ядер, образующихся внутри сверхновых звезд и определить 
массовые числа, соответствующие «пикам» распространенности 
элементов в Галактике, найденным путем численных расчетов [25]. 
Можно получить оценки времен образования и характерного размера нейтронных звезд при сжатии сверхновых. В области мезоскопики данный подход справедлив и достаточно эффективен для 
веществ с выраженными сильными межатомными связями: углеродных наноструктур с ковалентными связями [3], а также для наноструктурированных частиц легких актиноидов с сильным сближением атомов [26]. В рамках этого подхода удается описать 
имеющиеся данные по синтезу алмазов и углеродных нанотрубок, а 
также известные результаты по фазовой стабильности и полиморфным превращениям плутония [14, 15].  
В то же время подавляющее большинство работ по мезоскопике и нанопроблематике направлено на изучение поведения широкого спектра веществ, обладающих различными типами внутренних 
связей и разнообразными физико-химическими свойствами [3–10, 
27, 28]. Однако при сжатии веществ до высоких давлений расстояния между атомами значительно уменьшаются и связи становятся 
более сильными. В этом случае предлагаемый асимптотический 
метод имеет «право на жизнь». Это показано на примере определения ширины детонационной зоны, рассматриваемой как возбужденная квантово-механическая система, находящаяся в когерентном состоянии [29]. В качестве другого примера рассматривается 
«ударная» рекристаллизация алюминиевого сплава при коллективном воздействии твердых тел (см. главу 4).  
В данной монографии приводится сводка и обобщение результатов, полученных автором за период с 1992 по 2011 годы. В главе 1 
представлен общий кинетический подход, основанный на уравнении Фокера–Планка (УФП), записанного для пространства размеров кластеров [12, 13]. Глава 2 посвящена субатомным объектам. 

Верификация предложенного в главе 1 формализма осуществляется 
на примере так называемых жестких процессов лобовых столкновений элементарных частиц. Установленное соответствие с общеизвестными представлениями о таких процессах позволило применить данный формализм для описания внутриядерных процессов 
приближения к равновесию, занимающих промежуточное положение между прямыми ядерными реакциями и процессами образования промежуточного составного ядра. Рассчитаны наиболее вероятные массовые числа кластеров-нуклидов во всем диапазоне, 
включая трансфермиевые элементы. В целом, главу 2 можно рассматривать как тестирование разработанного формализма на описании процессов в микромире. Основное содержание книги приведено в главе 3, где представлены результаты определения размерных и временных характеристик образования и роста наноструктурированных мезоскопических объектов с сильными межатомными 
связями. В частности, описаны процессы образования и роста алмазных частиц при экстремально высоких температурах, достигаемых в процессах кавитации [30]. Мартенситные переходы дельтафазы плутония в альфа-фазу, а также обратные переходы рассмотрены как процессы образования и роста наночастиц соответствующих кристаллических фаз. Дается оценка состояния плутония при 
очень низких температурах. В главе 4 приводятся обобщающие 
положения и намечаются вопросы для дальнейших исследований.  
В разное время отдельные аспекты разработки моделей обсуждались с М. В. Горбатенко, Б. А. Надыкто (РФЯЦ-ВНИИЭФ), 
Б. М. Смирновым (ИФВТАН, Москва), а также с У. Фано (Чикагский университет). Автор благодарит А. Л. Михайлова и В. Н. Хворостина за оказанную поддержку, В. А. Аринина и А. В. Чернова 
за обсуждения материалов книги и критические замечания. Книга написана при частичной финансовой поддержке Госконтракта 
№ 02740.11.0180. 

Глава 1. ОБЩИЙ КИНЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД 
 
Предлагаемый подход основан на аналогии с общеизвестными 
представлениями [16] о когерентных состояниях квантово-механических систем осцилляторов, для которых произведение неопределенностей (дисперсий) координаты и импульса принимает минимально возможное в рамках соотношения неопределенностей значение. При таком подходе «ведущими» процессами являются колебания элементов, составляющих объекты: коллективные колебания 
нуклонов в ядре и фононные возбуждения кристаллической решетки 
мезоструктур. Это позволяет рассматривать образование и рост 
субатомных и мезоскопических объектов с единой точки зрения.  
Рассмотрим образование компактных кластеров в консервативных стохастических системах, определяемых как ограниченные 
по полной массе ансамбли квантовых объектов, взаимодействующих 
друг с другом случайным образом. Процесс необратимой агрегации 
объектов будем описывать в терминах волны φ(a,t) плотности распределения в пространстве размеров кластеров a, распространяющейся с течением времени t в сторону их увеличения. Такой одномерный подход позволяет не учитывать отклонение геометрической 
формы объекта от идеальной. На основе вытекающего из теоремы 
Фурье универсального соотношения ΔxΔk ≥ 1/4π для полуширины 
Δx волнового пакета и полуширины Δk спектральной линии (k – 
волновое число) [31], справедливого для волны любой физической 
природы, можно записать «соотношение неопределенностей» для 
координаты и импульса в пространстве размеров кластеров:  

a p
Δ Δ  ≈ 

2
h .                                       (1.1) 

Здесь 
p
p
m a
t
Δ
=
Δ
Δ
– неопределенность импульса, m – масса 
кластера, h  – приведенная постоянная Планка. Неопределенность 
импульса по порядку величины равна самому импульсу, т. е. взаи