W-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики

W-функция Ламберта… 
2 

ФГУП Российский федеральный ядерный центр- 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики 
 
 
 
 
 
 
 
 
А. Е. Дубинов, И. Д. Дубинова, С. К. Сайков 
 
 
W-ФУНКЦИЯ ЛАМБЕРТА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ  
В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ 
 
 
Учебное пособие для вузов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Саров 

2006 

 

W-функция Ламберта… 
2 

 
УДК 517.5+537 
ББК  22.311я 73 
         Д79 
 
 
 
Дубинов А. Е., Дубинова И. Д., Сайков С. К. W-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики: Учеб. пособие для вузов.– Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2006. С. 160. 
 
В книге представлены основные свойства W-функции 
Ламберта, формулы дифференцирования и интегрирования 
выражений, содержащих ее, показаны способы решения 
трансцендентных и нелинейных дифференциальных уравнений, приводящих к W-функции. Также в ней уделено особое 
внимание вопросам, связанным с конформным отображением. Рассматриваются общие вопросы родственных функций 
с W-функцией Ламберта. Показаны примеры применения  
W-функции к анализу некоторых математических задач физики.  
Пособие предназначено для студентов старших курсов 
физико-математических специальностей. Книга может быть 
полезна специалистам по математической физике, преподавателям, инженерам и аспирантам соответствующих специальностей. 
 
 
 
Рецензенты: доктор физ.-мат. наук Ю. Б. Кудасов,  кафедра  
«Экспериментальная физика»  Саровского государственного  
физико-технического института, заведующий кафедрой  
доктор физ.-мат. наук В. И. Карелин 
 
 
 
 
ISBN 5-9515-0065-6                               © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2006 

 

Введение 
3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Перед вами новая книга по математике. И речь в ней пойдет о 
новой математической функции – W-функции Ламберта.  
Эта функция сравнительно недавно появилась в арсенале специальных функций, но получила широкое применение в работах 
ученых и специалистов различных областей математики и физики.  
Оказалось, что в отечественной математической литературе по 
специальным функциям не нашлось ни одной книги и ни одного 
обзора, где бы эта функция даже упоминалась. А узнать о ее основных свойствах нам удалось фактически по двум статьям [1, 2], 
первую из которых нам любезно предоставил проф. Гоннет Г.  
В 2004 г. была опубликована небольшим тиражом книга [3] авторов 
настоящего пособия о математических свойствах W-функции Лам- 
берта, однако она мгновенно разошлась и стала малодоступной. 
В связи с тем, что W-функция все еще мало известна отечественным специалистам, и в то же время она может использоваться 
при решении большого круга практических задач в математике и 
математической физике, мы посчитали полезным написать новую 
книгу, в которой, помимо рассмотрения основных свойств функции, представлены примеры ее применения в простейших задачах 
физики. 
В первой части учебного пособия изложены математические 
свойства W-функции Ламберта: основные тождества, правила дифференцирования и интегрирования, пределы и асимптотики, свойства на комплексной плоскости, алгебраические и дифференциальные уравнения. Эти свойства, собранные в цитируемой литературе 
или частично установленные нами, приводятся в основном в виде 
справочных сведений, т. е. без доказательства. Однако основные 
идеи доказательств мы старались приводить там, где это диктовалось логикой изложения. С полными доказательствами можно ознакомиться в тех литературных источниках, которые указаны в 
первой части книги. В этой же части рассмотрены и другие новые 
трансцендентные функции, родственные W-функции Ламберта. 

 

W-функция Ламберта… 
4 

Вторая часть книги посвящена вопросам применения W-функции Ламберта в математических задачах физики. Большинство 
примеров взято из оригинальных работ авторов, в которых были 
впервые решены точно и явно считавшиеся ранее не решаемыми 
уравнения. Авторы работают в области прикладной электрофизики 
в Российском федеральном ядерном центре-ВНИИ экспериментальной физики. Разумеется, это отразилось и на стиле изложения, 
и на подборе примеров, в основном связанных с задачами математической электрофизики (задачи электродинамики, теории цепей, 
физики плазмы и газового разряда и др.). Но известны примеры 
успешного применения W-функции и в других (в комбинаторикe 
[4, 5] и теории вероятностей [6] в математике, и в теории ускорителей электронов [7], биофизике [8] и статистической механике [9], 
оптике [10] и теории лазеров [11], гравитации [12] и квантовой 
хромодинамике [13] в физике). И число таких примеров со временем будет расти. 
Мы хотим выразить благодарность тем российским и зарубежным коллегам, которые предоставили нам свои работы, обсуждали 
с нами различные задачи и примеры нашей книги и способствовали 
тому, чтобы изложение материала в пособии было полнее. Среди 
них Алексеев Б. В. (МИТХТ, г. Москва), Голубев А. И. (РФЯЦВНИИЭФ, г. Саров), Кудасов Ю. Б. (РФЯЦ-ВНИИЭФ, г. Саров), 
Рухадзе А. А. (ИОФ РАН, г. Москва), Маркушин В. Е. (Институт 
Поля Шерера, Швейцария), Гоннет Г. (Институт научных вычислений, Швейцария), Галидакис И. (Критский университет, Греция), 
Люк Р., Стивенс Дж. (Государственный университет Миссисипи, 
США), Шрам П. (Эйндховенский технологический университет, 
Нидерланды). 
Часть исследований одного из авторов книги, Дубинова А. Е., 
была поддержана научным грантом NWO-047.016.020 (Нидерланды). Работа другого, Сайкова С. К., поддержана всероссийским некоммерческим фондом «Династия». 
 
 
 

Част ь  I .  Математические свойства W-функции 
5 

ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 
W-ФУНКЦИИ 
 
1.1. Определение W-функции Ламберта и ее простейшие 
свойства 
 
В соответствии с [1], история появления W-функции Ламберта 
в арсенале математики такова. Выдающийся немецкий математик, 
механик, оптик и философ Иоганн-Генрих Ламберт (1728–1777), 
известный как создатель фотометрии – науки об измерении силы 
света, показал иррациональность числа π  [14], тем самым закрыв 
вопрос о квадратуре круга. В 1758 году опубликовал без доказательства разложение наибольшего действительного корня 
max
y
 

триномиального уравнения 
m
y
q
y
=
+
 в ряд по степеням q [15]. 
Великий немецкий математик Леонард Эйлер (1707–1783), 
коллега И.-Г. Ламберта по Берлинской академии, представил триномиальное уравнение в более симметричной форме с помощью 

замены y  на y−β  и обозначений m = αβ  и 
(
)
q
v
= α −β
: 
 

 

И.-Г. Ламберт 
 
Л. Эйлер 

 

W-функция Ламберта… 
6 

(
)
y
y
v
y
α
β
α+β
−
=
α −β
.                              (1.1.1) 

В обозначениях Эйлера разложение Ламберта по степеням v  запишется так: 

(
)
(
)(
)

(
)(
)(
)

2
3
max

4

1
1
1
2
2
2
6
1
              
3
2
2
3
... .
24

n
y
nv
n n
v
n n
n
v

n n
n
n
v

= +
+
+ α + β
+
+ α + β
+ α + β
+

+
+ α + β
+ α + β
+ α + β
+
 

(1.1.2) 
После вывода (1.1.2) Эйлер рассмотрел частный случай, когда 
α = β . Разделив обе части уравнения (1.1.1) на разность (
)
α −β  и 
перейдя к пределу при β → α  [16] 

lim
ln
y
y
y
y
α
β
α

β→α
−
=
α −β
,                                  (1.1.3) 

он получил трансцендентное уравнение 

ln y
vyα
=
.                                          (1.1.4) 

Эйлер заметил, что, если можно решить уравнение (1.1.4) для 
1
α = , тогда можно его решить и для любого 
0
α ≠
. При 
1
α =  
уравнение (1.1.4) эквивалентно следующему 

exp
w
w
x
=
,                                         (1.1.5) 

где w
y
= −
 и 
(
)
exp
1
x
v
= −
−
. Этим замечанием Эйлер фактически 
признавал невозможность решения трансцендентных уравнений 
(1.1.4) и (1.1.5) в терминах известных функций. Оно же послужило 
толчком к тому, что удобную для решения уравнений (1.1.4) и 
(1.1.5) функцию в конце 1980-х ввели в обращение Р. Корлесс, 
Г. Гоннет, Д. Харе, Д. Джеффри и Д. Кнут [1], назвав ее 
W-функцией Ламберта в честь Иоганна-Генриха Ламберта. Однако 
мы отметим важную роль Леонарда Эйлера, получившего из триномиального уравнения Ламберта трансцендентное уравнение 
(1.1.4), которое легло в основу определения новой функции. 
Добавим несколько строк об авторах W-функции Ламберта. 

Част ь  I .  Математические свойства W-функции 
7 

Авторы W-функции Ламберта (слева направо): 
Г. Гоннет, Р. Корлесс, Д. Кнут и Д. Джеффри 
(из www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/photos.html) 

Дональд Кнут – известный математик, программист и популяризатор науки. Профессор Стэнфордского университета США, автор многотомного труда «Искусство программирования на ЭВМ», 
3 тома которого переведены на русский язык, один из авторов популярной математической книги «Конкретная математика», автор 
издательской системы ТЕХ. 
Гастон Гоннет – сотрудник Института научных вычислений, 
(Швейцария), профессор. Один из основателей группы символьных 
вычислений Университета Ватерлоо, которая является разработчиком системы Maple. 
Дэвид Джеффри и Роб Корлесс – профессора Университета Западного Онтарио (Канада), разработчики системы Maple. 
Итак, определим действительную W-функцию Ламберта для 
действительных x  как решение функционального уравнения  

( )
( )
(
)
exp
W x
W x
x
=
.
 (1.1.6) 

Другими словами, W-функция Ламберта есть функция, обратная к функции 
exp
W
x
x
=
, что позволяет достаточно легко пред

W-функция Ламберта… 
8 

ставить внешний вид графика функции (рис. 1.1.) и установить ее 
простейшие свойства. 
 

A

B

–1

1

–1
1
2

–3

3

–2

–4
 
Рис. 1.1. График действительных ветвей W-функции Ламберта 
 
W-функция Ламберта не является ни четной, ни нечетной 
функцией. Она определена в интервале ( 1 ; )
e
−
∞ , где принимает 
значения от – ∞ до ∞, причем для отрицательных x  функция двузначна. Точка А с координатами ( 1 ; 
1)
e
−
−
 делит график функции 

на две ветви, верхнюю 
( )
0
W
x  и нижнюю 
( )
1
W
x
−
, так, что обе ветви в точке А имеют вертикальную касательную. Верхняя ветвь 
( )
0
W
x , часто называемая основной, проходит через начало коор
динат и больше не имеет особенностей. Нижняя же ветвь 
( )
1
W
x
−
 

имеет точку перегиба B с координатами 
2
( 2
; 
2)
e
−
−
 и вертикальную асимптоту при 
0
x =
.  
Другие целые значения индекса 
0, 
1
k ≠
−  для функции 
( )
k
W
k  
относятся к комплекснозначным ветвям [17]. В дальнейшем мы 
будем опускать индексы ветвей функции, если рассматриваемые 
свойства справедливы для всех ветвей и если это не вносит путаницу. 

Част ь  I .  Математические свойства W-функции 
9 

Как уже указывалось, W-функция является трансцендентной, 
т. е. целым значениям аргумента соответствуют трансцендентные 
значения функции, и наоборот, целые значения функции соответствуют трансцендентным значениям аргумента. Действительные 
значения W-функции Ламберта для некоторых целых значений аргумента приведены в табл. 1. 

Таблица 1 

Значения W-функции Ламберта для некоторых 
целых значений аргумента 
 

x  
( )
W x  

0
0

1 
0,5671432904 

2 
0,8526055020 

3 
1,049908895 

4 
1,202167873 

5 
1,326724665 

6 
1,432404776 

7 
1,524345205 

8 
1,605811996 

9 
1,679016420 

10 
1,745528003 

20 
2,205003278 

30 
2,489225688 

40 
2,696809899 

50 
2,860890178 

60 
2,996799632 

70 
3,112930634 

80 
3,214389261 

90 
3,304518804 

100 
3,385630140 

1000 
5,249602852 

Возникает также вопрос, при каких значениях аргумента x  
значения функции 
( )
0
W
x  принимают целые значения n? Ответ