Фракталы в прикладной физике

ФРАКТАЛЫ
В ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКЕ

РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР -ВНИИЭФ






   Фракталы в прикладной физике

Fractals in Applied Physics







                                            Под общей редакцией А.Е. Дубинова

                                              General editorship by А.Е. Dubinov




Арзамас-16
1995

       ББК2233
       Ф - 82
       УДК: 537.876.23



Фракталы в прикладной физике/ Под общей редакцией А.Б. Дубинова. -ВНИИЭФ, Арзамас-16, 1995. - 216 с.: ил. - ISBN 5-85165-064-8


         Сборник научных трудов ведущих специалистов Всероссийского научно-исследовательского института экспериментальной физики (ВНИИЭФ) содержит оригинальные теоретические и экспериментальные работы из различных областей прикладной физики: динамики разрушения, кинетики процессов роста, теории турбулентности, физики плазмы. Несмотря на кажущееся разнообразие рассмотренных в них проблем, их объединяет общий подход, основанный на сравнительно новых идеях фрактальной геометрии, описывающей объекты с размерностью дробного порядка.
         Сборник предназначен для широкого круга научных работников, студентов и аспирантов.

         Collection of scientific works of leading VNUEF specialists contains unique theoretic and experimental papers connected with different areas of applied physics, such as: destruction dynamics, growth kinetics, theory of turbulence, plasma physics. In spite of their apparent variety, the problems presented are bound with each other by a common approach, based on comparatively new ideas of fractal geometry, describing objects with dimensions of fractional order.
         The book is prepared for a wide circle of scientists, students and postgraduate students.




                                  © Российский федеральный ядерный центр - ВНИИЭФ, 1995

ISBN 5-85165-064-8

ПРЕДИСЛОВИЕ



    Как зарождается хаос и как происходит формирование высокоорганизованной структуры материи - фундаментальные вопросы естествознания. Новые горизонты этой проблемы открылись с началом проникновения идей фрактальной геометрии в различные разделы физики.
    Уже с первых шагов развития науки о фракталах начался стремительный прорыв в понимании сложных явлений природы, ранее не поддававшихся математическому описанию. Среди них следует отметить - явление турбулентности, образование кластеров, рост трещин при нагружении.
    В науке часто бывает так, что многие фундаментальные идеи одновременно и независимо друг от друга высказывались несколькими авторами. Наиболее показательным в этой связи оказался период, когда Бенуа Мандельброт опубликовал на английском языке свою первую работу о фракталах (1977 г.). Одновременно выходит в свет монография П. де Жена, будущего Нобелевского лауреата, где впервые используются идеи скейлинга в описании кинетики роста и динамики полимолекулярных образований. Приблизительно в это же время находит признание метод ренорм-группы при описании критических явлений (фазовых переходов) К.Вильсона (Нобелевская премия, 1982 г.). В 1978 году М.Фейгенбаум сообщает о своем открытии универсального характера поведения динамических систем при переходе к хаосу, где самоподобие играет основную роль. Однако первым, кто понял общность всех этих явлений, был все же Мандельброт.
    За всем этим стоит математический аппарат, разработанный к концу 1920-х годов такими известными математиками, как Хаусдорф, Безикович, Урысон.
    В настоящее время поток научных публикаций, связанных с фракталами, растет лавинообразно. За рубежом стали выходить научные журналы, в которых рубрика "Фракталы и их применение" входит в основную тематику.
    В Российском федеральном ядерном центре - ВНИИЭФ отдельными группами исследователей также ведутся работы, связанные с приложением фрактальной геометрии к различным областям физики. Оригинальные результаты этих работ, большей частью не публиковавшиеся ранее, стали основой содержания сборника.


3

    Сборник предназначен для широкого круга научных работников, студентов и аспирантов. Для тех, кто с понятием фракталов встречается впервые, ниже приведен список литературы, в которой можно найти необходимые начальные сведения.
    1.      Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. Т. 1, 2. М. - Л.: Гостехтеоретиздат, 1951.
    2.     П. де Жен. Идеи скейлинга в физике полимеров. М.: Мир, 1982.
    3.      Заславский ГМ., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников АЛ. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.
    4.     Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. М.: Мир, 1991.
    5.     Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.
    6.     Смирнов БМ. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991.

Дубинов А.Е.

УДК 537.876.23



ОБОБЩЕННЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СТАЦИОНАРНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СРЕДАХ

А.Е.Дубинов, В.Д.Селемир


         Выведены волновые уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн (ЭМВ) через стационарные фрактальные среды. В основу вывода положен формализм интегродифференцирования дробного порядка. Полученные уравнения могут быть использованы при изучении прохождения ЭМВ через сильно турбулизированные потоки жидкости, газа, плазмы.



                    ...если для какой-то формы материи мы имеем законы ее движения в форме дифференциальных уравнений, то эти уравнения содержат и представление о структуре пространства и времени *



ВВЕДЕНИЕ


     С момента появления обзора Мандельброта [1] началось стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в различные области современного естествознания. Фракталы обнаруживаются и в структуре твердых тел, и в турбулентных потоках, и на фазовых портретах динамических систем.
     Но, по-видимому, эпоха обнаружения новых фрактальных проявлений в природе начинает уже сменяться эпохой систематического изучения динамических явлений на фрактальных объектах. К числу таких явлений следует отнести перенос массы и энергии по фрактальным средам.
     Неудивительно, что первые попытки описания этих явлений основывались на использовании традиционных линейных уравнений: уравнения диф

* А. А.Логунов. Лекции по теории относительности и гравитации. М.: Наука, 1987.

5

фузии для описания переноса массы [2,3], волнового уравнения и уравнения Гельмгольца для описания прохождения квантовой частицы через потенциальный барьер [4] и для описания андерсеновской локализации волн [5]. В некоторых из вышеперечисленных работ изучалось прохождение потоков частиц путем искусственного введения в уравнение степенных зависимостей с соответствующим дробштм показателем, в других же работах исследовались уравнения на фрактальных средах, заданных функциями, порождаемыми множеством Кантора, или функцией Вейерштрасса-Мандель-брота, причем эти функции аппроксимировались гладкими предфракталами очередного поколения. Несмотря на существенное отличие гладких пред-фракталов от истинных фракталов все же эти работы не представляются нам бесполезными: в них удалось выяснить, что с увеличением номера очередного предфрактала решение соответствующих традиционных уравнений все более усложняется, так что для истинного фрактала решение вряд ли может быть продифференцировано по крайней мере два раза для подстановки в уравнение (например, волновое). Поэтому распростр«нение частиц и волн по истинным фрактальным средам должно описываться иными, более общими уравнениями, переходящими для гладких сред в традиционные линейные.
    Здесь уместно напомнить основные свойства фрактальных функций:
    - фрактальная функция всюду недифференцируема;
    -     фрактальная функция самоподобна (или самоаффинна), причем свойство самоподобия случайного фрактала нужно понимать в статистическом смысле;
    -     фрактальная функция имеет размерность Хаусдорфа-Безиковича, отличную от топологической (чаще всего дробную ).
    Заметим, что первое и, по нашему мнению, самое важное свойство зачастую остается без внимания. Веда именно операция дифференцирования, входящая в формализм традиционных уравнений переноса массы и энергии, делает их непригодными для всюду негладких функций.
    В настоящее время имеются достаточно веские основания предполагать, что для описания динамических явлений на фракталах может оказаться плодотворным формализм дробного интегродифференцирования (см. работы [6-8]). В этих работах анонсируются обобщенные уравнение диффузии и волновое уравнение, в которых используется оператор дифференцирования по временной переменной 0<X<1H1<X<2 порядка соответственно.

6

Однако из этих работ пока не ясно, как связано прохождение, например, электромагнитных волн через среду с фрактальными профилями диэлектрической и/или магнитной проницаемостей с решениями предложенных уравнений. На наш взгляд, проблема еще далека от разрешения, указан лишь один из вариантов путей.
    В настоящей работе с использованием дробного интегродифференцирования получены непосредственно из уравнений Максвелла новые обобщенные волновые уравнения для динамики электромагнитных волн в стационарных фрактальных средах. Структура работы следующая. Сначала вводятся некоторые математические понятия, необходимые для вывода и анализа новых волновых уравнений. Так, в разделе 1 рассматривается иерархия пространств функций Гельдера-Липшица, приводится без доказательств ряд утверждений, вводится удобная для дальнейших рассуждений расширенная иерархия таких пространств. В разделе 2 приведены примеры непрерывных фрактальных функций, а в разделе 3 вводятся понятия операций дифференцирования и интегрирования дробного порядка. Здесь же рассмотрены некоторые свойства операторов дробного интегродифференцирования. Приведенных в разделах 1-3 математических сведений оказалось достаточно для вывода волновых уравнений электродинамики во фрактальных средах, сделанного в разделе 4. В заключении рассматриваются дальнейшие перспективы данного подхода.


    1. ИЕРАРХИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ ГЕЛЬДЕРА-ЛИПШИЦА

    Пусть функция одной переменной /(х) задана на отрезке Q=[a,d], Говорят, что функция, заданная на Q, удовлетворяет условию Гельдера порядка X на Q, если для всех Xj;x₂ е О выполняется неравенство

sup |/(Xj) - f(x₂)| <. A|xj - x₂|\        (1.1)

где A - постоянная. В этом случае говорят, что указанная функция принадлежит пространству функций Гельдера порядка X. Этот факт будем обозначать /(х) еНб1л(О).


7

    Легко видеть, что интересен случай 0 £ X 1, так как при X < 1 пространство функций HdP(Q) содержит лишь постоянные функции (/(х)= = const). При X = 1 пространство Гельдера обычно называют пространством Липшица (обозначение: f (х) е Lip(Q)). Имеет место следующее вложение:

    H61‘(Q) ■ Lip(Q) с H61“(Q) с HdP’(Q) с H61°(Q) = C°(Q); (1.2) (0 < fJ < a < 1),


где C°(Q) - пространство непрерывных функций. C"(Q) обозначим как пространство п раз непрерывно дифференцируемых функций.
   Справедливы следующие утверждения (см. [9, 10]).
    Утверждение 1.1. Если /,(х) и /₂(х) удовлетворяют условию Гельдера на Q порядка и Я₂ соответственно, то их сумма, разность, произведение, а также частное при условии, что знаменатель не обращается в нуль, также удовлетворяют условию Гельдера порядка X = min
    Утверждение 1.2 Если /(х) удовлетворяет условию Гельдера порядка X, то такому же условию и того же порядка удовлетворяет и функция 1/(х)1.
    Утверждение 1.3. Пусть функция м(х), заданная на отрезке О, удовлетворяет условию Гельдера порядка р, и пусть функция f(u), заданная на множестве значений, принимаемых и(х), удовлетворяет условию Гельдера по переменной и порядка и. Тогда сложная функция F(x) = /(и(х)) также удовлетворяет условию Гельдера порядка 2 = pv.
    Нам также могут понадобиться пространства функций Гельдера с более сильным условием, нежели (1.1),


sup |/(х,) - Дхг)] < о (|xₜ - х^).



Обозначим такие пространства h61A(O). Имеют место вложения


hOlA(Q) с Ь61Л(О);


(1.3)

(1.4)

8

       C'(Q) = h61*(Q) = lip(Q) a h01“(Q) c hOl^(Q) <z hOl°(Q); (1.5) (0 < P < a < 1).


    Утверждения, аналогичные утверждениям 1.2 - 1.3, имеют место и для пространств функций Ьд1Л(О).
    В чем отличие пространств Гельдера-Лишпица типа Hol^Q) и типа hOlA(Q)? Оно не более того, чем отличие открытого интервала от закрытого. Действительно, для любого сколь угодно малого £ > 0 принадлежность функции /(х) к пространству Н61л(<1) означает, что


sup |/(x,) - /(х₂)| < о (|xi - х/’Ч
                            4**2


в то время как при £ = 0


                                SUP |/(Xj) - /(х₂)| * o(|xₜ - x₂f), 4*4


(1.6)

(1.7)

а при /(х) е hdlA(O) условие (1.6) включает и конец отрезка 0 < к-£ < < А (£ = 0). Иными словами, h61x(Q) с HolA(Q) с Ьб1л⁻е(П) при £ > 0.
    Вложения (1.2) - (1.5) позволяют провести некоторое обобщение системы пространств функций типа Н61Л(О) и типа hdlA(Q) соответственно. Пусть имеется показатель 0 < А < со. Его можно представить в виде суммы его целой и дробной частей А=[А]+{А}. Тогда будем говорить, что функция /(х) принадлежит пространству функций H61A(Q) (или holA(Q)) из расширенной системы этих пространств, если сама функция /(х) е C”(Q), где п = [Л], а ее n-я производная принадлежит пространству Н61Л(О) (h61A(Q)) порядка X = {Л} [11].
    Это обобщение для пространств, например, типа h61A(Q) можно кратко записать в виде


9