Хаос, синхронизация и структуры в динамике ротаторов

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
Н. Н. Веричев, С. Н. Веричев, 
С. И. Герасимов, В. И. Ерофеев 
 
 
 
 
ХАОС, СИНХРОНИЗАЦИЯ  
И СТРУКТУРЫ  
В ДИНАМИКЕ РОТАТОРОВ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2016 

 

УДК 517.938 
ББК 22.161.6 
Х 19 
 
 
Х 19 
Веричев, Н. Н., Веричев, С. Н., Герасимов, С. И., Ерофе- 
ев, В. И. Хаос, синхронизация и структуры в динамике ротаторов / Н. Н. Веричев, С. Н. Веричев, С. И. Герасимов, В. И. Ерофеев. – 
Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2016. – 267 с., ил. 
 
ISBN 978-5-9515-0324-4 
 
Монография посвящена динамике систем с цилиндрическим фазовым пространством. Данный класс моделей 
охватывает механические, квантово-механические, радиотехнические и многие другие системы из различных областей 
естествознания и технических приложений. Рассматриваются автономные и неавтономные системы с одной, полутора, 
двумя и более степенями свободы. Исследования и изложение материала проводятся в традициях школы нелинейных 
колебаний академика А. А. Андронова: в контексте фазового 
пространства моделей с привлечением методов качественной 
теории дифференциальных уравнений, теории бифуркаций  
и качественно-численных методов. Исследуются качественные картины характеристик вращения ротаторов и резонансные характеристики колебательных систем. Показана неопределенность и нестабильность этих характеристик в областях существования странных аттракторов, среди которых 
аттракторы Лоренца, Фейгенбаума, Шильникова и др. Рассматриваются кластерные структуры в однородных и упорядоченно неоднородных решетках динамических систем. Дана классификация кластерных структур и доказана ограниченность числа их типов для цепочки и кольца. Рассматриваются вопросы устойчивости кластерных структур.  
 
Издание предназначено для студентов вузов и аспирантов, а также специалистов, работающих в области машиностроения. 
 
УДК 517.938 
ББК 22.161.6 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0324-4                           © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2016 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие ……………………………………………………… 
5

Глава 1. АВТОНОМНЫЕ И НЕАВТОНОМНЫЕ 
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ………….. 
8
1.1. Динамика автономного ротатора и физические  
системы ……………………………………………………...... 
8
1.2. Синхронизация и хаотические вращения  
неавтономного ротатора …………………………………...... 
19

Глава 2. АВТОНОМНЫЕ И НЕАВТОНОМНЫЕ 
СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ …... 
39
2.1. Динамика ротатора с апериодической нагрузкой …...... 
39
2.2. Синхронизация и динамический хаос в системе  
неавтономного ротатора с апериодической нагрузкой ……. 51

Глава 3. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ 
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ …………..…………..…………….. 
69
3.1. Динамика ротатора с колебательной нагрузкой ………. 69
3.2. Хаотическая динамика простого вибрационного  
механизма …………………………………………………...... 78
3.3. Динамика связанных ротаторов ………………………... 94

Глава 4. КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ …………..…………..……….. 107
4.1. Нелинейный резонанс изгибных колебаний гибкого 
ротора в системе с источником возбуждения  
ограниченной мощности …………………………………...... 107
4.2. Гашение изгибных колебаний вала модуляцией  
частоты вращения двигателя ………………………………... 121
4.3. Хаотические крутильные колебания вала в системе  
с источником возбуждения ограниченной мощности …...... 131

Глава 5. СИНХРОНИЗАЦИЯ В ОДНОРОДНЫХ 
РЕШЕТКАХ …………..…………..…………..…………..……… 150
5.1. Синхронизация в решетках динамических систем.  
Общие сведения ……………………………………………… 150

Оглавление 
4 

5.2. Синхронизация вращений в цепочке  
и кольце диффузионно-связанных автономных  
и неавтономных ротаторов ………………………………...... 161
5.3. Регулярная и хаотическая синхронизация  
в однородной цепочке динамических систем  
«ротатор – осциллятор» ……………………………………... 170

Глава 6. ФИЗИКА, СУЩЕСТВОВАНИЕ, СИНТЕЗ  
И УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАСТЕРНЫХ СТРУКТУР ………... 
 
178
6.1. Физика кластерных структур …………………………... 179
6.2. Синтез и общие свойства схем кластерных структур ..... 195
6.3. К-осцилляторы цепочки и полнота типов  
ее кластерных структур ……………………………………… 204
6.4. К-осцилляторы кольца и синтез  
кластерных структур ………………………………………… 218
6.5. Устойчивость кластерных структур …………………… 232

Приложение I. Алгоритмы преобразования систем  
связанных ротаторов к стандартной форме …………………. 244

Приложение II. Вычисление собственных  
значений матриц ………………………………………………… 257

Список литературы ……………………………………………... 260
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
 
Системы физических маятников [1, 2] и системы сверхпроводящих переходов [3 – 5], системы связанных электрических машин [6] 
и вибрационные механизмы [7 – 9], системы фазовой синхронизации [10, 11] – далеко не полный набор систем из различных областей естествознания и технических приложений. Все они обладают 
общим свойством: некоторые физические переменные, определяющие динамическое состояние этих систем, являются пространственно-периодическими, иначе говоря, угловыми, фазовыми переменными. Наконец, главное: динамика названных систем описывается сходственными математическими моделями, заданными  
в цилиндрическом фазовом пространстве, – динамическими системами связанных ротаторов вида  

(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
, , ,
,
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
I
F
F
F
z
ϕ + δ
+
ϕ
ϕ + σ
ϕ
= γ +
ψ
φ φ




 
(
)
, , ,
,
=
+
ψ
z
Az
Z z φ φ

                               (П1) 

0.
ψ = ω

 

Здесь 
1, ;
k
n
=
 A  – (
)
m
m
×
 постоянная устойчивая матрица; 

,I
,
k
δ
,
k
σ
,
kγ
0
ω  – постоянные, безразмерные положительные параметры. Переменные 
,
ϕ ψ  являются фазовыми (угловыми), при
чем 
(
)
2
mod2
,
k
k
ϕ = ϕ + π
π
 
(
)
2
mod2
,
ψ = ψ + π
π
 
.
m
z
R
∈
 Дифференцирование ведется по безразмерному времени 
.τ  Функции 
(
)
1
,
k
k
F
ϕ
 
(
)
2k
k
F
ϕ
 
с 
нулевым 
средним 
(
)
1
0,
k
k
k
F
ϕ
ϕ
=
 

(
)
2
0,
k
k
k
F
ϕ
ϕ
=
 а также функции связей 
(
)
, , ,
,
k
F
z
ψ
φ φ
 
(
)
, ,ψ
Z φ φ
 
являются периодическими по фазовым переменным. Система (П1) 
задана в цилиндрическом фазовом пространстве 
(
)
, , ,
G
z
ψ
=
φ φ
 
1
.
n
n m
T
R
+
+
=
×
 
 
Единство математических моделей позволяет рассматривать  
не отдельные физические системы, а конкретные модели из клас- 
са (П1) как самостоятельные математические объекты с последу

Предисловие 
6 

ющей интерпретацией результатов на различные физические системы. С другой стороны, трансляция динамики моделей на их фазовые пространства позволяет не только адекватно описывать их 
нелинейные свойства, но и использовать весь арсенал методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории бифуркаций и качественно-численных методов исследования. В данном 
контексте проводятся исследования  динамики систем класса (П1) 
и дается изложение материала. Эта идея, ставшая методом современной науки, принадлежит А. А. Андронову, воплотившему ее  
в середине прошлого века в книге «Теория колебаний». Много лет 
спустя, по ставшей правилом случайности, она вернулась в отечественную науку из-за рубежа в виде «нового открытия» с нелепым 
названием «синергетика».    
 
Монография состоит из шести глав и построена по принципу 
«от простого к сложному». В первой главе дан обзор свойств модели с одной степенью свободы и описываемых этой моделью физических систем. Вводятся основные понятия, конкретизируется 
предмет исследования и дается апробация методов. 
Вторая глава посвящена динамике систем с полутора степенями 
свободы. Этими моделями описывается работа некоторых приборов сверхпроводниковой электроники, электродвигателей, работающих на разбалансированную апериодическую нагрузку, и других 
систем. Исследованы странные аттракторы, приводящие к хаотизации вращений ротаторов. 
В третьей главе исследуются динамические свойства моделей  
с двумя степенями свободы. Представлены качественные картины 
характеристик вращения ротаторов, а также резонансных характеристик колебательных систем, выступающих в качестве нагрузок. 
Указывается на существование областей нестабильности этих характеристик, обусловленных странными аттракторами Лоренца и Фейгенбаума. Дается интерпретация результатов на физические системы. 
Четвертая глава посвящена колебаниям валов, представляемых 
в рамках моделей из класса (П1). Показано, что кроме классического эффекта Зоммерфельда типичной стороной динамики валов является хаотизация крутильных колебаний. Изложен метод гашения 
изгибных колебаний валов путем управления частотой вращения 
исполнительного механизма. 

Предисловие 
7 

В пятой главе рассматриваются вопросы синхронизации в решетках динамических систем, представляемых цепочкой, двумерной 
и трехмерной решеткой, а также кольцом идентичных связанных 
систем. Представлены условия локальной и глобальной устойчивости изохронной синхронизации.   
Шестая глава посвящена кластерной динамике цепочки и кольца 
динамических систем. Вводятся необходимые понятия и определения, а также набор эквивалентных преобразований и правила синтеза схем кластерных структур. Дается классификация кластерных 
структур, доказываются теоремы о числе типов кластерных структур в цепочке и кольце. Приводятся результаты исследования 
устойчивости кластерных структур в решетках данного вида. 
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект № 14-19-01637. 

Глава 1 

АВТОНОМНЫЕ И НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ  
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 

1.1. Динамика автономного ротатора и физические системы 

Простейшей моделью из класса (П1) является автономный ротатор – дифференциальное уравнение вида 

( )
(
)
( )
1
2
1
.
I
F
F
ϕ +
+
ϕ
ϕ +
ϕ = γ


                           (1.1) 

Динамические свойства этого уравнения с различными выражениями нелинейных функций исследовались в многочисленных работах и достаточно хорошо известны [1, 2, 12 и др.]. Приведем их  
для случая 
( )
( )
1
2
cos ,
sin ,
F
F
ϕ = ε
ϕ
ϕ =
ϕ
1.
ε ≤
  
 
На рис. 1.1 показаны бифуркационная диаграмма (рис. 1.1,а)  
и фазовые портреты уравнения (1.1) на развертке фазового цилиндра (
)
,
ϕ ϕ  для каждой из областей параметров (все точки фазового 
портрета на левой и правой границах развертки отождествляются!). 

На бифуркационной диаграмме: 
1/2,
I −
λ =
 
( )
*
λ
γ  – бифуркационная 

кривая (Трикоми) петли сепаратрисы седла (седло-узла при 
0
λ > λ ), 
при пересечении которой слева направо от петли рождается предельный цикл, а в обратном направлении цикл «влипает» в петлю. 
Бифуркационная линия 
1
γ =  соответствует слиянию состояний 
равновесия с последующим их исчезновением, если пересечение 
прямой происходит слева направо, или рождению – при обратном 
ходе параметра.   
На фазовых портретах (рис. 1.1,б – г): 
1
O  – устойчивое состояние равновесия типа фокус (узел), 
2
O  – состояние равновесия типа 
седло, L – устойчивый предельный цикл, рождающийся от петли 
сепаратрисы седла (седло-узла) при прямом ходе параметра γ (слева 
направо) и «влипающий» в эту петлю в обратном направлении. Цикл 
смещается вверх по цилиндру (увеличивается скорость вращения) 
при увеличении параметра γ. Состояния равновесия сближаются  
по мере приближения этого параметра к прямой γ = 1 слева. 

Автономные и неавтономные системы с одной степенью свободы 
9 

( )
3  

γ

C 
D 

( )
2  

( )
*
λ
γ
 
В 

( )
1  

0
λ  

1

А 

λ

ϕ

O1

О2 

ϕ  

 
                                     а                                                   б 
 

 
                                   в                                                    г 

Рис. 1.1. Бифуркационная диаграмма и фазовые портреты  
автономного ротатора 
 
Область параметров (1) на рис. 1.1,а соответствует глобальной 
устойчивости  состояния равновесия 
1
O  на рис. 1.1,б. В этом случае ротатор (считай – маятник) из любого начального состояния  
с течением времени приходит в данное состояние равновесия (для 
маятника – нижнее). Для параметров из области (2) (рис. 1.1,а) 
наряду с устойчивым состоянием равновесия существует вращательный предельный цикл (рис. 1.1,в). В этом случае при одних 
начальных условиях ротатор приходит в состояние равновесия, при 
других  выходит на режим стационарных вращений. Для параметров из области (3) (рис. 1.1,а) предельный цикл устойчив глобально 
(рис. 1.1,г). Для этих параметров ротатор из любого начального состояния с течением времени выходит на режим стационарного 
вращения. Как уже говорилось, при переходе из области (1) в область (2) предельный цикл рождается от петли сепаратрисы седла 

2,
O
 а при переходе из области (1) в область (3) – от петли седло
L 

λ

0
λ

( )
∗
λ
γ

γ

ϕ

ϕ

L 
L