Специальные функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ



А. С. Дунаев
В. И. Шлычков


СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ




2-е издание, стереотипное













Москва Издательство «ФЛИНТА» Издательство Уральского университета 2017

УДК 517.4 (075.8)

Д 83

Р е ц е н з е н т ы:

Р. М. Алеев, доктор технических наук, профессор
Р. Д. Мухамедяров, доктор технических наук, профессор КГТУ им. А. Н. Туполева


        Дунаев, А. С.
        Специальные функции [Электронный ресурс] : [учеб. пособие] / А. С. Дунаев, В. И. Шлычков. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2017. — 938 с.


        ISBN 978-5-9765-3095-9 (ФЛИНТА)
        ISBN 978-5-7996-1523-9 (Изд-во Урал. ун-та)
        Книга «Специальные функции» является второй книгой справочного руководства по математике. Первая книга «Элементарные функции» опубликована в издательстве Уральского университета. В отличие от известных справочных руководств в книге «Специальные функции» значительно расширены сведения по всем известным специальным функциям, введены новые разделы по функции распределения Релея - Райса и неполным цилиндрическим функциям, содержатся заимствованные из различных источников сведения по функции Клаузена, цилиндрическим функциям от двух мнимых переменных, по функциям Ломмеля одной и двух переменных.
        Книга является учебным пособием для студентов высших технических учебных заведений и будет полезной для научных работников, аспирантов, инженеров и преподавателей. Она может служить ценным справочным руководством при решении различных инженерных и прикладных задач, требующих применения аппарата специальных функций. Некоторые результаты публикуются впервые.


УДК 517.4 (075.8)


ISBN 978-5-9765-3095-9 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1523-9 (Изд-во Урал. ун-та)

© Дунаев А. С., Шлычков В. И., 2015

2

ОГЛАВЛЕНИЕ


ВВЕДЕНИЕ.................................................................................11
Глава 1. ФУНКЦИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО ........................................................... 12
1.1. Определение.........................................................................12
1.2. Функциональные соотношения..........................................................13
1.3. Частные значения ...................................................................14
1.4. Связь с другими функциями...........................................................15
1.5. Интегральные представления ......................................................... 15
    1.5.1. Неопределённые интегралы .....................................................15
    1.5.2. Определённые интегралы .......................................................34
1.6. Представление в виде ряда ..........................................................40
1.7. Интегралы от функции Лобачевского ..................................................42
Глава 2. ФУНКЦИИ КЛАУЗЕНА ...............................................................44
2.1. Определение.........................................................................44
2.2. Функциональные соотношения..........................................................44
2.3. Частные значения ...................................................................45
2.4. Связь с другими функциями...........................................................45
2.5. Интегральные представления ......................................................... 45
2.6. Представление в виде ряда ..........................................................46
Глава 3. ДИЛОГАРИФМ ЭЙЛЕРА...............................................................48
3.1. Определение.........................................................................48
3.2. Функциональные соотношения..........................................................48
3.3. Частные значения ...................................................................49
3.4. Связь с другими функциями...........................................................50
3.5. Интегральные представления ......................................................... 50
    3.5.1. Неопределённые интегралы .....................................................50
    3.5.2. Определённые интегралы .......................................................58
3.6. Представление в виде ряда ..........................................................60
3.7. Интегралы от дилогарифма Эйлера.....................................................63
Глава 4. «УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ»...........................................................64
4.1. Определение.........................................................................64
4.2. Функциональные соотношения..........................................................64
4.3. Связь с другими функциями...........................................................64
4.4. Интегралы от «угла параллельности»..................................................65
Глава 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ.........................................................66
5.1. Неполные эллиптические интегралы....................................................66
5.1.1. Определение.......................................................................66
5.1.2. Функциональные соотношения........................................................66
5.1.3. Частные значения .................................................................68
5.1.4. Связь с другими функциями.........................................................68
5.1.5. Интегральные представления ....................................................... 69
5.1.6. Представление в виде ряда ........................................................87
5.1.7. Неопределённые интегралы от неполных эллиптических интегралов.....................88
      5.1.7.1. Интегралы по аргументу x ................................................88
      5.1.7.2. Интегралы по модулю k ...................................................90
5.1.8. Определённые интегралы от неполных эллиптических интегралов.......................90
      5.1.8.1. Интегралы по аргументу x ................................................90
      5.1.8.2. Интегралы по модулю k ...................................................94
5.2. Полные эллиптические интегралы......................................................95
5.2.1. Определение.......................................................................95
5.2.2. Функциональные соотношения........................................................96
5.2.3. Пределы и частные значения........................................................97
5.2.4. Связь с другими функциями.........................................................98
5.2.5. Представление в виде ряда ........................................................100
5.2.6. Интегральные представления ....................................................... 108

3

Оглавление

5.2.7. Неопределённые интегралы от полных эллиптических интегралов...........................115
5.2.8. Определённые интегралы от полных эллиптических интегралов ............................117
      5.2.8.1. Полные эллиптические интегралы, степенная и алгебраическая функции ...........117
      5.2.8.2. Полные эллиптические интегралы, алгебраическая, степенная и показательная функции......130
      5.2.8.3. Полные эллиптические интегралы, алгебраическая, степенная и тригонометрические функции.134
      5.2.8.4. Полные эллиптические интегралы и гиперболические функции ............................. 140
      5.2.8.5. Полные эллиптические интегралы и обратные тригонометрические функции...................141
      5.2.8.6. Полные эллиптические интегралы и логарифмические функции ............................. 142
      5.2.8.7. Произведение полных эллиптических интегралов и специальные функции ........... 143
Глава 6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ...............................................................145
   6.1. Эллиптические функции Якоби..........................................................145
   6.1.1. Определение .......................................................................145
   6.1.2. Функциональные соотношения ........................................................145
   6.1.3. Частные значения...................................................................153
   6.1.4. Представления эллиптических функций Якоби в виде ряда и их аппроксимация ..........156
      6.1.4.1. Разложения в степенные ряды...................................................156
      6.1.4.2. Разложения в тригонометрические ряды .........................................156
      6.1.4.3. Аппроксимация тригонометрическими функциями ..................................157
      6.1.4.4. Аппроксимация гиперболическими функциями .....................................157
   6.1.5. Связь с другими функциями .........................................................157
   6.1.6. Интегралы от эллиптических функций Якоби ..........................................166
   6.2. Тэта-функции..................................................................................168
   6.2.1. Определение ................................................................................168
   6.2.2. Функциональные соотношения .................................................................169
   6.2.3. Частные значения............................................................................172
   6.2.4. Представления тэта-функций в виде ряда......................................................173
   6.2.5. Связь с другими функциями ..................................................................174
   6.2.6. Интегральные представления тэта-функций ....................................................174
   6.2.7. Интегралы от тэта-функций ..................................................................174
Глава 7. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ...............................................186
   7.1. Определения...................................................................................186
   7.2. Пределы и частные значения .................................................................. 188
   7.3. Функциональные соотношения ...................................................................188
   7.4. Интегральные представления ...................................................................194
   7.5. Представление в виде ряда............................................................204
   7.6. Связь с другими функциями ...........................................................212
   7.7. Разложения в непрерывную дробь ......................................................212
   7.8. Неопределённые интегралы.............................................................213
   7.9. Определённые интегралы...............................................................220
      7.9.1. Интеграл вероятности и степенная функция .......................................220
      7.9.2. Интеграл вероятности, степенная и алгебраическая функции.................................228
      7.9.3. Интеграл вероятности, показательная и степенная функция .................................234
      7.9.4. Интеграл вероятности, показательная, степенная и алгебраическая функции..................251
      7.9.5. Интеграл вероятности, степенная и тригонометрические функции ........................... 257
      7.9.6. Интеграл вероятности, степенная, тригонометрические и показательная функции..............263
      7.9.7. Интеграл вероятности, степенная, показательная и гиперболические функции.................271
      7.9.8. Интеграл вероятности, степенная, показательная, алгебраические и гиперболические функции.277
      7.9.9. Интеграл вероятности, степенная, показательная, гиперболические и тригонометрические функции................................................................................278
      7.9.10. Интеграл вероятности, степенная, показательная и логарифмическая функции ......280
      7.9.11. Интеграл вероятности и другие специальные функции .............................282
Глава 8. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ ..................................................................284
   8.1. Определения..........................................................................284
   8.2. Функциональные соотношения ..........................................................286
   8.3. Интегральные представления ..........................................................288
   8.4. Представление в виде ряда............................................................290
   8.5. Неопределённые интегралы от интегралов Френеля.......................................294

4

Оглавление

   8.6. Определённые интегралы...............................................................297
      8.6.1. Интегралы Френеля и степенная функция..........................................297
      8.6.2. Интегралы Френеля, степенная и алгебраическая функции..........................299
      8.6.3. Интегралы Френеля, степенная и тригонометрические функции......................301
      8.6.4. Интегралы Френеля, степенная и показательная функции...........................304
      8.6.5. Интегралы Френеля, степенная, показательная и тригонометрические функции.......306
      8.6.6. Интегралы Френеля, степенная, алгебраическая и тригонометрические функции......307
      8.6.7. Интегралы Френеля, тригонометрические и гиперболические функции................308
      8.6.8. Интегралы Френеля и другие специальные функции ............................... 308
Глава 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ ........................311
   9.1. Интегральная показательная функция ..................................................311
      9.1.1. Определения ....................................................................311
      9.1.2. Функциональные соотношения......................................................311
      9.1.3. Интегральные представления......................................................312
      9.1.4. Связь с другими функциями.......................................................316
      9.1.5. Представления в виде ряда.......................................................316
      9.1.6. Неопределённые интегралы .......................................................318
      9.1.7. Определённые интегралы ......................................................... 320
       9.1.7.1. Интегральная показательная функция, степенная и алгебраическая функции .....320
       9.1.7.2. Интегральная показательная функция, степенная и показательная функции ......322
       9.1.7.3. Интегральная показательная функция, степенная и тригонометрические фунции ..325
       9.1.7.4. Интегральная показательная функция, степенная, показательная и
               тригонометрические функции ...................................................326
       9.1.7.5. Интегральная показательная функция, степенная, показательная и логарифмическая функции...............................................................328
       9.1.7.6. Интегральная показательная функция и другие специальные функции ............. 329
   9.2. Интегральный синус и интегральный косинус ...........................................334
      9.2.1. Определения ....................................................................334
      9.2.2. Функциональные соотношения......................................................334
      9.2.3. Интегральные представления......................................................335
      9.2.4. Представление в виде ряда.......................................................341
      9.2.5. Неопределённые интегралы .......................................................344
      9.2.6. Определённые интегралы ......................................................... 345
         9.2.6.1. Интегральные синус и косинус, степенная и алгебраическая функции ..........345
        9.2.6.2. Интегральные синус и косинус, степенная, алгебраическая и тригонометрические функции...........................................................346
         9.2.6.3. Интегральные синус и косинус, степенная и показательная функции ...........349
         9.2.6.4. Интегральные синус и косинус, степенная, показательная и тригонометрические функции ............................................................................ 350
         9.2.6.5. Интегральные синус и косинус, степенная и логарифмическая функции..........352
         9.2.6.6. Интегральные синус и косинус, степенная и другие специальные функции ......352
   9.3. Интегральный логарифм ...............................................................355
      9.3.1. Определение ....................................................................355
      9.3.2. Интегральные представления......................................................355
      9.3.3. Представления в виде ряда.......................................................355
      9.3.4. Определённые интегралы ......................................................... 356
   9.4. Интегральный гиперболический синус и интегральный гиперболический косинус............357
      9.4.1. Определения ....................................................................357
      9.4.2. Функциональные соотношения......................................................358
      9.4.3. Интегральные представления......................................................358
      9.4.4. Представления в виде ряда.......................................................359
      9.4.5. Определённые интегралы ......................................................... 360

Глава 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ.............................................363
   10.1. Гамма-функция.......................................................................363
      10.1.1. Определения ...................................................................363
      10.1.2. Функциональные соотношения.....................................................363
      10.1.3. Пределы и частные значения.....................................................366
      10.1.4. Интегральные представления.....................................................367
      10.1.5. Представления в виде ряда......................................................370
      10.1.6. Определённые интегралы ........................................................ 370


5

Оглавление

   10.2. Логарифм гамма-функции.............................................................371
      10.2.1. Функциональные соотношения....................................................371
      10.2.2. Интегральные представления....................................................372
      10.2.3. Представления в виде ряда.....................................................372
      10.2.4. Определённые интегралы ....................................................... 373
   10.3. Пси-функция........................................................................374
      10.3.1. Определение ..................................................................374
      10.3.2. Функциональные соотношения....................................................374
      10.3.3. Частные значения .............................................................376
      10.3.4. Интегральные представления....................................................376
      10.3.5. Представления в виде ряда.....................................................377
      10.3.6. Определённые интегралы ....................................................... 378
   10.4. Производные пси-функции ...........................................................379
      10.4.1. Определение ..................................................................379
      10.4.2. Функциональные соотношения....................................................380
      10.4.3. Частные значения .............................................................380
      10.4.4. Представления в виде ряда.....................................................382
      10.4.5. Определённые интегралы ....................................................... 383
   10.5. Функция р (z)......................................................................384
      10.5.1. Определение ..................................................................384
      10.5.2. Функциональные соотношения....................................................384
      10.5.3. Частные значения .............................................................384
      10.5.4. Представления в виде ряда.....................................................386
      10.5.5. Интегральные представления....................................................386
   10.6. Неполная гамма-функция.............................................................386
      10.6.1. Определение ..................................................................386
      10.6.2. Функциональные соотношения....................................................387
      10.6.3. Связь с другими функциями.....................................................389
      10.6.4. Интегральные представления....................................................390
      10.6.5. Представления в виде ряда и в виде непрерывной дроби..........................391
      10.6.6. Неопределённые интегралы .....................................................392
      10.6.7. Определённые интегралы ....................................................... 397
      10.6.8. Ряды, содержащие неполные гамма-функции ......................................401
   10.7. Бета-функция.......................................................................403
      10.7.1. Определения ..................................................................403
      10.7.2. Функциональные соотношения....................................................403
      10.7.3. Частные значения .............................................................403
      10.7.4. Интегральные представления....................................................404
      10.7.5. Представление в виде ряда.....................................................405
   10.8. Неполная бета-функция..............................................................405
      10.8.1. Определение ..................................................................405
      10.8.2. Функциональные соотношения....................................................406
      10.8.3. Частные значения .............................................................407
      10.8.4. Представления в виде ряда и разложения в непрерывную дробь ................... 408
      10.8.5. Неопределённые интегралы .....................................................409
      10.8.6. Определённые интегралы ....................................................... 410
   10.9. Дзета-функция Римана ..............................................................418
      10.9.1. Определение ..................................................................418
      10.9.2. Функциональные соотношения....................................................419
      10.9.3. Частные значения .............................................................419
      10.9.4. Интегральные представления....................................................420
      10.9.5. Определённые интегралы ....................................................... 423

Глава 11. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ............................................................424
   11.1. Функции Бесселя и интегральные функции Бесселя ....................................424
      11.1.1. Определения ..................................................................424
      11.1.2. Функциональные соотношения....................................................425
      11.1.3. Разложения в ряд по функциям Бесселя..........................................432
      11.1.4. Интегральные представления....................................................433
      11.1.5. Представления в виде ряда.....................................................434
      11.1.6. Неопределённые интегралы от функций Бесселя...................................435
      11.1.7. Определённые интегралы ....................................................... 435

6

Оглавление

         11.1.7.1. Функции Бесселя, степенная и алгебраические функции ......................... 435
         11.1.7.2. Функции Бесселя, степенная, алгебраические и тригонометрические функции ..... 444
         11.1.7.3. Функции Бесселя, степенная, алгебраические и показательная функции...........460
         11.1.7.4. Функции Бесселя, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические и гиперболические функции........................................467
        11.1.7.5. Функции Бесселя, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические и логарифмическая функции............................................470
         11.1.7.6. Функции Бесселя и другие специальные функции.................................472
   11.2. Функции Неймана и интегральные функции Неймана ........................................480
      11.2.1. Определения ......................................................................480
      11.2.2. Функциональные соотношения........................................................481
      11.2.3. Интегральные представления........................................................484
      11.2.4. Неопределённые интегралы от функций Неймана.......................................485
      11.2.5. Определённые интегралы от функций Неймана.........................................486
         11.2.5.1. Функции Неймана, степенная и алгебраические функции .........................486
         11.2.5.2. Функции Неймана, степенная, алгебраические и тригонометрические функции .....493
         11.2.5.3. Функции Неймана, степенная, алгебраические и показательная функции ..........499
         11.2.5.4. Функции Неймана и другие элементарные функции ...............................502
         11.2.5.5. Функции Неймана, функции Бесселя и элементарные функции......................504
         11.2.5.6. Функции Неймана и другие специальные функции ................................ 507
   11.3. Функции Ханкеля........................................................................511
      11.3.1. Определения ......................................................................511
      11.3.2. Функциональные соотношения........................................................511
      11.3.3. Интегральные представления........................................................512
      11.3.4. Неопределённые интегралы .........................................................513
      11.3.5. Определённые интегралы ........................................................... 514
   11.4. Модифицированные и интегральные модифицированные функции Бесселя ...................... 519
      11.4.1. Определения ......................................................................519
      11.4.2. Функциональные соотношения........................................................520
      11.4.3. Разложения в ряд по модифицированным функциям Бесселя ............................ 522
      11.4.4. Интегральные представления........................................................523
      11.4.5. Представления в виде ряда.........................................................525
      11.4.6. Неопределённые интегралы от модифицированных функций Бесселя .....................527
      11.4.7. Определённые интегралы от модифицированных функций Бесселя .......................527
         11.4.7.1. Модифицированные функции Бесселя, степенная и алгебраические функции.........527
        11.4.7.2. Модифицированные функции Бесселя, степенная, алгебраические и тригонометрические функции..............................................................530
        11.4.7.3. Модифицированные функции Бесселя, степенная, алгебраические и показательная функции ..................................................................532
        11.4.7.4. Модифицированные функции Бесселя, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические и гиперболические функции ............................539
        11.4.7.5. Модифицированные функции Бесселя, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические и логарифмические функции.............................542
         11.4.7.6. Модифицированные функции Бесселя и другие специальные функции................543
   11.5. Функции Макдональда и интегральные функции Макдональда.................................549
      11.5.1. Определения ......................................................................549
      11.5.2. Функциональные соотношения........................................................550
      11.5.3. Интегральные представления........................................................552
      11.5.4. Разложения в ряд по функциям Макдональда ......................................... 555
      11.5.5. Неопределённые интегралы от функций Макдональда...................................555
      11.5.6. Определённые интегралы от функций Макдональда.....................................556
         11.5.6.1. Функции Макдональда, степенная и алгебраические функции......................556
         11.5.6.2. Функции Макдональда, степенная, алгебраические и тригонометрические функции .560
         11.5.6.3. Функции Макдональда, степенная, алгебраические и показательная функции ......568
        11.5.6.4. Функции Макдональда, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции...........................573
         11.5.6.5. Функции Макдональда, функции Бесселя и элементарные функции..................577
         11.5.6.6. Функции Макдональда и другие специальные функции ............................590
         11.5.6.7 Функции Макдональда с мнимым индексом ........................................595
   11.6. Функции Кельвина.......................................................................606
      11.6.1. Определения ......................................................................606
      11.6.2. Функциональные соотношения........................................................607
      11.6.3. Интегральные представления........................................................613

7

Оглавление

      11.6.4. Связь с другими функциями.....................................................613
      11.6.5. Представления в виде ряда.....................................................613
      11.6.6. Неопределённые интегралы от функций Кельвина..................................615
      11.6.7. Определённые интегралы от функций Кельвина ...................................616
   11.7. Цилиндрические функции дробного индекса............................................619
      11.7.1. Функции Эйри Ai (z) и Bi (z)..................................................619
         11.7.1.1. Определения..............................................................619
         11.7.1.2. Функциональные соотношения...............................................620
         11.7.1.3. Интегральные представления .............................................. 621
         11.7.1.4. Представления в виде ряда ...............................................622
         11.7.1.5. Интегралы от функций Эйри................................................622
      11.7.2. Функции Бесселя дробного индекса..............................................628
         11.7.2.1. Определения..............................................................628
         11.7.2.2. Функциональные соотношения...............................................631
   11.8. Функции, связанные с функциями Бесселя ............................................644
      11.8.1 Многочлены Неймана.............................................................644
         11.8.1.1. Определения..............................................................644
         11.8.1.2. Функциональные соотношения...............................................645
         11.8.1.3. Интегральные представления ..............................................645
      11.8.2. Многочлены Шлефли.............................................................646
         11.8.2.1. Определения..............................................................646
         11.8.2.2. Функциональные соотношения...............................................646
         11.8.2.3. Интегральное представление...............................................646
      11.8.3. Функция распределения Релея-Райса.............................................646
         11.8.3.1. Определение..............................................................646
         11.8.3.2. Функциональные соотношения...............................................647
         11.8.3.3. Интегральные представления ..............................................648
         11.8.3.4. Связь с другими функциями................................................649
         11.8.3.5. Представления в виде ряда ...............................................658
   11.9. Цилиндрические функции от двух мнимых переменных ..................................658
      11.9.1. Определения ..................................................................658
      11.9.2. Функциональные соотношения....................................................659
      11.9.3. Интегральные представления....................................................666
      11.9.4. Связь с другими функциями.....................................................667
   11.10. Неполные цилиндрические функции ..................................................667
      11.10.1. Введение.....................................................................667
      11.10.2. Определение неполных цилиндрических функций.................................668
         11.10.2.1. Неполные цилиндрические функции в форме Пуассона ......................668
         11.10.2.2. Неполные цилиндрические функции в форме Бесселя .......................672
         11.10.2.3. Неполные цилиндрические функции в форме Сонина-Шлефли..................684
      11.10.3. Функциональные соотношения...................................................685
      11.10.4. Интегральные представления...................................................690
      11.10.5. Определённые интегралы от неполных цилиндрических функций ...................690
Глава 12. ФУНКЦИИ СТРУВЕ И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ...........................................692
   12.1. Функции Струве.....................................................................692
      12.1.1. Определения ..................................................................692
      12.1.2. Функциональные соотношения....................................................692
      12.1.3. Интегральные представления....................................................695
      12.1.4. Представления в виде ряда.....................................................695
      12.1.5. Связь с другими функциями.....................................................696
      12.1.6. Неопределённые интегралы от функций Струве....................................696
      12.1.7. Определённые интегралы от функций Струве .....................................697
         12.1.7.1. Функции Струве и элементарные функции....................................697
         12.1.7.2. Функции Струве и специальные функции.....................................701
   12.2. Модифицированные функции Струве....................................................706
      12.2.1. Определения ..................................................................706
      12.2.2. Функциональные соотношения....................................................706
      12.2.3. Интегральные представления....................................................708
      12.2.4. Представления в виде ряда.....................................................708
      12.2.5. Неопределённые интегралы от модифицированных функций Струве...................709
      12.2.6. Определённые интегралы от модифицированных функций Струве ....................710
         12.2.6.1. Модифицированные функции Струве и элементарные функции ..................710

8

Оглавление

        12.2.6.2. Модифицированные функции Струве и специальные функции ..................713
   12.3. Функции Ангера и Вебера..........................................................716
      12.3.1. Определения ................................................................716
      12.3.2. Функциональные соотношения..................................................716
      12.3.3. Интегральные представления..................................................717
      12.3.4. Представления в виде ряда...................................................718
      12.3.5. Определённые интегралы от функций Ангера и Вебера ..........................718
Глава 13. ФУНКЦИИ ЛОММЕЛЯ.................................................................720
   13.1. Функции Ломмеля одной переменной ................................................ 720
      13.1.1. Определения ................................................................720
      13.1.2. Функциональные соотношения..................................................720
      13.1.3. Связь с другими функциями...................................................726
      13.1.4. Интегральные представления..................................................733
      13.1.5. Определённые интегралы от функций Ломмеля одной переменной..................733
   13.2. Функции Ломмеля двух переменных..................................................735
      13.2.1. Определения ................................................................735
      13.2.2. Частные значения ...........................................................736
      13.2.3. Функциональные соотношения..................................................737
      13.2.4. Связь с другими функциями...................................................738
      13.2.5. Интегральные представления..................................................738
      13.2.6. Представления в виде ряда...................................................743
      13.2.7. Определённые интегралы от функций Ломмеля двух переменных...................748
Глава 14. ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ...............................................749
   14.1. Определения ..................................................................... 749
   14.2. Функциональные соотношения ......................................................749
   14.3. Частные значения.................................................................750
   14.4. Связь с другими функциями .......................................................781
   14.5. Интегральные представления ......................................................781
   14.6. Асимптотические ряды.............................................................782
   14.7. Определённые интегралы от функций параболического цилиндра.......................783
        14.7.1. Функции параболического цилиндра и элементарные функции...................783
        14.7.2. Функции параболического цилиндра и специальные функции ...................789
Глава 15. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ .......................................................794
   15.1. Общие замечания об ортогональных многочленах.....................................794
   15.2. Многочлены Лежандра..............................................................794
      15.2.1. Определения ................................................................794
      15.2.2. Функциональные соотношения..................................................795
      15.2.3. Связь с другими функциями...................................................795
      15.2.4. Интегральные представления..................................................796
      15.2.5. Разложение функций по многочленам Лежандра .................................796
      15.2.6. Определённые интегралы от многочленов Лежандра..............................798
        15.2.6.1. Многочлены Лежандра и элементарные функции..............................798
        15.2.6.2. Многочлены Лежандра и специальные функции ..............................803
   15.3. Многочлены Эрмита................................................................807
      15.3.1. Определение ................................................................807
      15.3.2. Функциональные соотношения..................................................808
      15.3.3. Связь с другими функциями...................................................808
      15.3.4. Интегральные представления..................................................809
      15.3.5. Разложение функций по многочленам Эрмита....................................809
      15.3.6. Интегралы от многочленов Эрмита.............................................810
        15.3.6.1. Многочлены Эрмита и элементарные функции................................810
        15.3.6.2. Многочлены Эрмита и специальные функции.................................814
   15.4. Многочлены Лагерра...............................................................815
      15.4.1. Определение ................................................................815
      15.4.2. Функциональные соотношения..................................................816
      15.4.3. Связь с другими функциями...................................................817
      15.4.4. Интегральные представления..................................................817
      15.4.5. Разложение функций по многочленам Лагерра...................................817
      15.4.6. Неопределённые и определённые интегралы от многочленов Лагерра..............819
        15.4.6.1. Многочлены Лагерра и элементарные функции...............................819
        15.4.6.2. Многочлены Лагерра и специальные функции................................822
   15.5. Многочлены Якоби.................................................................825

9

Оглавление

      15.5.1. Определение ................................................................825
      15.5.2. Функциональные соотношения..................................................825
      15.5.3. Связь с другими функциями...................................................826
      15.5.4. Разложение функций по многочленам Якоби.....................................827
      15.5.5. Определённые интегралы от многочленов Якоби.................................827
   15.6. Многочлены Гегенбауэра...........................................................829
      15.6.1. Определение ................................................................829
      15.6.2. Функциональные соотношения..................................................830
      15.6.3. Связь с другими функциями...................................................831
      15.6.4. Интегральные представления..................................................831
      15.6.5. Разложение функций по многочленам Гегенбауэра...............................831
      15.6.6. Интегралы от многочленов Гегенбауэра........................................832
         15.6.6.1. Многочлены Гегенбауэра и элементарные функции..........................832
         15.6.6.2. Многочлены Гегенбауэра и специальные функции ..........................835
   15.7. Многочлены Чебышева..............................................................836
      15.7.1. Многочлены Чебышева первого рода ...........................................836
         15.7.1.1. Определение............................................................836
         15.7.1.2. Функциональные соотношения.............................................837
         15.7.1.3. Связь с другими функциями..............................................838
         15.7.1.4. Интегральные представления ............................................ 839
         15.7.1.5. Разложение функций по многочленам Чебышева первого рода ............... 839
         15.7.1.6. Интегралы от многочленов Чебышева первого рода ........................840
           15.7.1.6.1. Многочлены Чебышева первого рода и элементарные функции ...........840
           15.7.1.6.2. Многочлены Чебышева первого рода и специальные функции ............ 842
      15.7.2. Многочлены Чебышева второго рода............................................843
         15.7.2.1. Определение............................................................843
         15.7.2.2. Функциональные соотношения.............................................843
         15.7.2.3. Связь с другими функциями..............................................844
         15.7.2.4. Разложение функций по многочленам Чебышева второго рода ...............845
         15.7.2.5. Интегральные представления ............................................ 845
         15.7.2.6. Интегралы от многочленов Чебышева второго рода.........................845
Глава 16. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ............................................................847
   16.1. Определения ..................................................................... 847
   16.2. Функциональные соотношения ......................................................849
   16.3. Связь с другими функциями .......................................................867
   16.4. Интегральные представления ......................................................870
   16.5. Неопределённые интегралы от сферических функций..................................872
   16.6. Определённые интегралы от сферических функций ...................................877
      16.6.1. Сферические и элементарные функции .........................................877
      16.6.2. Сферические и другие специальные функции....................................891
   16.7. Функции конуса ..................................................................898
      16.7.1. Определение ................................................................898
      16.7.2. Функциональные соотношения..................................................901
      16.7.3. Интегральные представления..................................................902
      16.7.4. Определённые интегралы от функций конуса....................................902
          16.7.4.1. Функции конуса и элементарные функции ................................902
          18.7.4.2. Функции конуса и специальные функции .................................918
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ, НЕКОТОРЫХ ПОСТОЯННЫХ И СИМВОЛОВ............................927
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ..................................................................935

10