Принцип Даламбера. Инженерные задачи

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

С. А. Берестова
Ю. В. Денисов

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
ИНЖЕНЕРНЫЕ ЗАДАЧИ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом УрФУ 
для студентов, обучающихся 
по техническим направлениям подготовки 

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017

УДК 531.312(075.8)
ББК 22.213я73
         Б48
Рецензенты:
завкафедрой
теоретической
механики 
и 
оборудования 
целлюлозно-бумажных производств Уральского государственного 
лесотехнического  университета  доц., канд. физ.-мат. наук
Л.Т. Раевская; ин-т машиноведения УрО РАН (завлабораторией 
системного моделирования ИМАШ УрО РАН проф., д-р техн. 
наук А. Г. Залазинский).
Научный редактор — канд. физ.-мат. наук, доц. Т. В. Дружинина

Берестова, С. А.
Б48    Принцип Даламбера. Инженерные задачи [Электронный
ресурс]: учебное пособие / С. А. Берестова, Ю. В. Денисов. — 2-е
изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2017. —  92 с.

ISBN 978-5-9765-3042-3 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1717-2 (Изд-во Урал. ун-та)

В учебном пособии приведен принцип Даламбера для решения 
инженерных задач по определению ускорений и динамических реакций. 
Изложение ориентировано на реализацию инженерной подготовки 
бакалавров и магистров. Теоретический материал, представленный в
необходимом объеме, иллюстрируется многочисленными примерами. 
Рассматривается движение реальных объектов (механизмов), постоянно 
используемых в инженерной практике при конструировании механизмов 
и их эксплуатации.

Библиогр: 8 назв. Табл. 1. Рис. 54
УДК 531.312(075.8)
ББК 22.213я73

ISBN 978-5-9765-3042-3 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1717-2 (Изд-во Урал. ун-та)

 © Уральский федеральный 
      университет, 2016

Введение

П

олученные в классической механике уравнения движения материальных объектов, а также общие теоремы динамики позволяют решать многие задачи 
о движении механических систем, исследовать динамику механизмов и машин.
Для исследования движения механических систем, анализа движения реальных объектов можно использовать один 
из принципов механики — принцип Даламбера.
Принцип Даламбера упрощает процесс составления уравнений движения, так как при этом используются простые методы статики. В этом случае уравнения движения записываются 
в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики, основанный на принципе Даламбера, широко используется в динамике механизмов при проведении силового расчета и определении сил взаимодействия звеньев механизма друг на друга.
Метод, позволяющий уравнениям движения придать вид 
уравнений статики, Даламбер изложил в трактате «Динамика», 
вышедшем в свет в 1743 году. Французский ученый Ж. Даламбер (1717–1783) — механик и философ, профессор политехнической школы и член Парижской академии наук. В трактате ученый решил задачу — записать уравнения движения точки 
и точек системы в форме уравнений равновесия. Еще раньше этот принцип был сформирован и применялся Я. Германном и Л. Эйлером, которые работали в Петербургской академии наук, и получил название «Петербургского принципа». 

Введение

Германн Я. (1678–1733) — швейцарский математик и механик; Л. Эйлер (1707–1783) — знаменитый математик, астроном и физик. За 30 лет работы в Российской академии наук Эйлер создал большое количество работ по математике, механике 
твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. 
По установившейся традиции этот принцип механики называется принципом Даламбера, хотя правильнее его было бы называть принципом Германна — Эйлера — Даламбера.
В середине XIX века в трактовке принципа было использовано понятие силы инерции материальной точки, что сделало 
его удобным для решения инженерных задач. Новая трактовка 
принципа Даламбера с использованием понятия силы инерции 
и является основой важного метода инженерной механики — 
метода кинетостатики, широко используемого при решении 
инженерных задач.
Рассматриваемое учебное пособие не подменяет литературу, а дополняет ее. Материал учебного пособия позволяет установить более тесную связь методов теоретической механики 
со специальными дисциплинами.

Глава 1. Принцип Даламбера

1.1. Сила инерции материальной точки.  
Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду
Р

ассмотрим движущуюся материальную точку M  массой m  (рис. 1.1). Пусть a  — ускорение точки в инерциальной системе отсчета.
Дадим определение. Силой инерции материальной точки называют силу, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение.
Сила инерции
 



Ф = -ma

направлена противоположно ускорению. Отметим, что сила 


Ф  
не приложена к движущейся точке.
Рассмотрим движущееся твердое тело, состоящее из n точек, (рис. 1.2, а)

 



ФS
S
S
m a
= (
, ,..., )
s
n
=1 2
.

Добавим к каждой точке силу инерции и получим систему 
сил инерции. Пусть точка C — центр масс твердого тела. С использованием метода Пуансо приведем систему сил к центру 
масс, заменяя силой и парой сил, (рис. 1.2, б). Главный вектор 

RФ  и главный момент сил инерции 


MC
Ф  определяются по выражениям (1.1)

a

Ф

M

Рис. 1.1

Глава 1. Принцип Даламбера

 



R
MaC
Ф = , 




M
dK
dt
C
C
Ф = , 
(1.1)

где M  — масса тела; aC  — ускорение центра масс; K c

 — кинетический момент тела относительно центра масс (кг · м 2/с = 
= Н · м · с).
                а                                                                б

MS
C
C

R Ф

~

MФ
C
ФS

Рис. 1.2

Рассмотрим частные случаи движения тела.
1) Поступательное движение (рис. 1.3).

aC
C
R Ф

Рис. 1.3

Приняв в формуле (1.2) центр масс за центр приведения, 
получим

 



R
Ma
Ф

C
= , 


MC

Ф = 0  – 
(1.2)

силы инерции приводятся к равнодействующей, приложенной 
в центре масс.
2) Вращение тела вокруг оси, перпендикулярной плоскости 
материальной симметрии.

1.1. Сила инерции материальной точки. Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду 

а) Ось проходит через центр масс (рис. 1.4).

C

MФ
C

z
ω

ω
ε

Рис. 1.4

В этом случае главный вектор и главный момент сил инерции определяются как

 


RФ = 0 , 



M
J
C
CZ
Ф = e , 
(
)
M
J
CZ
CZ
Ф =
e  — 
(1.3)

силы инерции приводятся к паре сил, расположенной в плоскости материальной симметрии.
В выражении (1.3) JCZ  — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (центральной), кг ·м 2; e — 
угловое ускорение тела, рад/с 2.

б) Ось вращения не проходит через центр масс; приведение 
сил инерции к равнодействующей.
Рассмотрим вращение диска (рис 1.5).
На рис. 1.5, а в качестве центра приведения выбрана точка С; 
h — расстояние центра масс C до оси вращения. При этом составляющие главного вектора и главного момента имеют значение

 
R
hт
t
e
Ф =
; 
R
hт
n
Ф =
w2 ; 
С
CZ
М
J
mR
Ф =
=
e
e

2

2
,

гдеR  — радиус диска; J
mR

CZ =

2

2
.

Глава 1. Принцип Даламбера

           а                                     б                                        в

O

z

ω,ε

R Ф
n
R Ф
τ

C

h
a n
C
a τ
C

MФ
C

O

z

ω, ε

R Ф
n

R Ф
τ

C

h
MФ
O
R

O

z

ω,ε

C
R
Ф
n

D
h

R Ф
τ

Рис. 1.5

На рис. 1.5, б в качестве центра приведения выбрана точка О. Составляющие главного вектора (в силу его инвариантности) имеют то же значение, а главный момент определяется 
относительно центра О.

 
R
hт
t
e
Ф =
; 
R
hт
n
Ф =
w2 ; 
О
ОZ
М
J
mR
mh
Ф =
=
+
ж
из
ц
шч
e
e

2
2
2
,

где момент инерции относительно оси OZ определяется по теореме Гюйгенса.

 
J
J
mh
mR
mh
OZ
CZ
=
+
=
+
2
2
2

2
.

На рис. 1.5, в в качестве центра приведения сил инерции выбрана точка D, причем

 
OD
M
R
h
M
R
R
h
h
C
O
=
+
=
=
+

Ф

Ф

Ф

Ф
t
t

2

2

при h
R
= 2 , OD
R
= 3

2
.

В этом случае силы инерции приводятся к равнодействующей, приложенной в точке D.

1.2. Принцип Даламбера для точки и механической системы

3) Плоскопараллельное движение, рис. 1.6.
Тело имеет плоскость материальной симметрии и движется 
параллельно этой плоскости. В этом случае силы инерции приводятся к силе 


RФ  и паре сил с моментом 


MC
Ф .

aC
C
R Ф
MФ
C

ε

Z

Рис. 1.6

Значение главного вектора и главного момента

 



R
MaC
Ф = , 



M
J
C
CZ
Ф = e
(
)
M
J
C
CZ
Ф =
e .

Отметим, что в этом случае плоскую систему сил инерции 
также можно привести к равнодействующей.
Обратим внимание на то, что при решении задач обычно 
вычисляют модули R
MaC
Ф =
 и M
J
C
CZ
Ф =
e , a направление сил 
инерции указывают на рисунке.

1.2. Принцип Даламбера для точки и механической системы

Рассмотрим движущуюся точку (рис. 1.7, а) и добавим к точке силу инерции 



Ф = -ma  (рис. 1.7, б).
                                        а                             б

F

a

N

M

F

a

N

M
Ф

Рис. 1.7

Глава 1. Принцип Даламбера

На рис. 1.7 


F  — равнодействующая активных сил; 


N  — равнодействующая реакций связей.
Сформулируем принцип Даламбера для точки: если к движущейся материальной точке кроме действующих на нее активных сил и реакций связей добавить силу инерции, то полученная 
система сил будет уравновешенной, и для нее можно составить 
уравнения статики.
Математически принцип Даламбера для точки записывается в виде

 
{ ,
,
}


 

F N Ф Ґ0 .

Уравнения статики (уравнения равновесия) в векторной 
форме имеют вид:
в скалярной форме

 




F
N
+
+
=
Ф
0 ;

в проекциях на декартовые оси координат

 
X S
X
+
=
е
Ф
0 ; 
YS
Y
+
=
е
Ф
0 ; 
Z S
Z
+
=
е
Ф
0 ; 
(1.4)

в проекциях на естественные оси координат

 
FS t
t
+
=
е
Ф
0 ; 
FSn
n
+
=
е
Ф
0 ; 
FSb =
е
0 . 
(1.5)

В выражении (1.4) Ф
Ф
Ф
X
Y
Z
,
,
 — проекции силы инерции 

на декартовые оси; в формуле (1.5) Фt, Фn, Фb — проекции силы 

инерции на естественные оси; Фt
t
= -m dV

dt ; Фn
mV
= 
2

r ; Фb = 0 . 

Фt  — касательная сила инерции; Фn  — нормальная или цен
тробежная сила инерции.