Геометрия и графика, 2017, № 3

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский 
технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Назарова М.В. 
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2017

Подписано в печать 09.10.2017.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Ляшков А.А., Панчук К.Л., Варепо Л.Г. 
Особенность отображения гиперповерхности 
четырехмерного пространства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Сальков Н.А. 
Способы задания циклид Дюпена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Вышнепольский В.И., Сальков Н.А., 
Заварихина Е.В.
Геометрические места точек, равноотстоящих 
от двух заданных геометрических фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Федосов В.В., Федосова А.В., Буитраго О.
Оптимальное позиционирование источников выбросов 
загрязнений в задачах промышленной экологии . . . . . . . . . . 36

Беглов И.А., Рустамян В.В.
Метод вращения геометрических объектов вокруг 
криволинейной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Жихарев Л.А.
Фракталы в трехмерном пространстве. I-фракталы . . . . . . . . 51

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

Константинов А.В.
Наглядность изображений в техническом рисунке . . . . . . . . 67

Алексюк А.А. 
Лабораторный практикум по компьютерной графике . . . . . 78

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Варепо Л.Г., Трапезникова О.В., Панчук К.Л., 
Ляшков А.А., Голунов А.В.
Компьютерное визуальное представление 
цветового охвата систем воспроизведения 
многокрасочного изображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

2017. Том 5. Вып. 3
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им.  
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2017. Vol. 5. Issue 3
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
Московский технологический университет (Россия).
 
Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
Московский технологический университет, зам. гл. редактора 
(Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
Московский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
Московский технологический университет. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 3–10  
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017                                                              

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 621.9.04:004.94                                                           
DOI: 10.12737/article_ 59bfa3078af4c1.45321238

А.А. Ляшков
Д-р техн. наук, профессор,
Омский государственный технический университет,
Россия, 644050, Омск, пр. Мира, д. 11
К.Л. Панчук
Д-р техн. наук, профессор,
Омский государственный технический университет,
Россия, 644050, Омск, пр. Мира, д. 11
Л.Г. Варепо
Д-р техн. наук, профессор,
Омский государственный технический университет,
Россия, 644050, Омск, пр. Мира, д. 11

Особенность отображения 
гиперповерхности 
четырехмерного пространства 

Аннотация. В работе приводится исследование особенности отображения ортогональным проецированием гиперповерхности, заданной параметрическими уравнениями, в 4-мерном пространстве. На основе этого исследования предложены 
с единых позиций три подхода к определению дискриминанты гиперповерхности. Так, определены условия, которым 
удовлетворяют дискриминантное множество и криминанта 
исследуемой гиперповерхности. Получены зависимости, устанавливающие связь параметров гиперповерхности в точках 
ее дискриминанты. Они используются для определения особенности отображения гиперповерхности аналитическими 
методами в общем виде. Сложность такого подхода (первого) 
заключается в том, что уравнение, связывающее параметры 
гиперповерхности, содержит ее дифференциальные характеристики и часто в приложениях является трансцендентным, 
что вызывает определенные затруднения при его решении. 
Получены зависимости, при выполнении которых дискриминанта гиперповерхности имеет ребро возврата. Проведено 
исследование сечений гиперповерхности гиперплоскостями, 
параллельными координатным гиперплоскостям. Последние 
содержат координатную ось, вдоль которой выполняется 
отображение гиперповерхности. Установлено, что кривые, 
получаемые в этих сечениях, имеют экстремальные точки, 
принадлежащие дискриминанте гиперповерхности. Такое 
свойство используется для расчета точек дискриминанты 
гиперповерхности численными методами без использования 
дифференциальных характеристик гиперповерхности и является базой второго подхода к решению поставленной задачи. 
Показано также применение 3D-моделирования для исследования различных сечений гиперповерхности, а также ее 
дискриминанты, что представляет третий подход к исследованию. Все три подхода, имеющих общую основу, могут использоваться как самостоятельно, так и дополнять друг друга 
при определении огибающей однопараметрического семейства 
поверхностей. В качестве примера рассмотрена гиперповерхность, образованная семейством сфер. На основе изложенных 

результатов получены уравнения, определяющие дискриминанту гиперповерхности и соответствующую огибающую 
этого семейства, а также различные сечения. Приведенные 
уравнения использованы для создания полигональных 3D-моделей 
дискриминанты гиперповерхности и некоторых ее сечений.
Ключевые слова: особенность отображения, гиперповерхность, дискриминанта, огибающая, геометрическое моделирование.

A.A. Lyashkov 
Doctor of Engineering, Professor,
Omsk State Technical University,
11, Pr. Mira, Omsk, 644050, Russia
K.L. Panchuk
Doctor of Engineering, Professor,
Omsk State Technical University,
11, Pr. Mira, Omsk, 644050, Russia
L.G. Varepo
Doctor of Engineering, Professor,
Omsk State Technical University,
11, Pr. Mira, Omsk, 644050, Russia

Four-Dimensional Space’s Hypersurface 
Mapping Singularity

Abstract. Investigation of singularity related to a mapping by 
the orthogonal projection in a four-dimensional space of a hypersurface given by parametric equations is presented in this paper. 
On this investigation’s basis have been proposed in a united way 
three approaches to the hypersurface’s discriminant determination. 
Thus, have been defined conditions which the investigated hypersurface’s discriminant set and criminant are satisfied. Have been 
obtained dependencies settling the relationship between parameters 
of the hypersurface at its discriminant points. They are used to 
determine the singularity of the hypersurface mapping by analytical methods in general form. The complexity of this approach (the 
first one) is that an equation connecting the hypersurface’s parameters contains its differential characteristics, and often is the transcendental one in applications, that causes certain difficulties when 
solving it. Have been obtained dependences in carrying out of which 
the hypersurface’s discriminant has an edge of regression. A study 
of hypersurface sections by hyperplanes which are parallel to coordinate hyperplanes has been performed. The last ones contain a 
coordinate axis along which the hypersurface mapping is performed. 
It has been established that curves obtained in these sections have 
extreme points belonging to the hypersurface’s discriminant. Such 
property is used to calculate the points of the hypersurface’s discriminant by numerical methods without using the hypersurface’s 
differential characteristics, and it is a basis for the second approach 
to solving the problem posed. It has been also demonstrated the 
use of 3D modeling for study of hypersurface’s different sections, 
as well as its discriminant that represents the third approach to the 
study. All three approaches having a common basis can be used 
both independently and complement each other in determining the 
envelope for one-parameter family of surfaces. As an example has 
been considered a hypersurface formed by a family of spheres. Based 
on stated results have been obtained equations determining the 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 3–10  

В некоторых прикладных задачах огибающая определяется численными методами без использования 
дифференциальных характеристик поверхности [15]. 
Такой подход основывается на установленных в ряде 
случаев закономерностях в расположении точек дискриминанты относительно некоторой линии или 
поверхности.
Эффективное решение задач формообразования 
поверхностей, включая и задачу определения огибающей или обволакивающей [24], может быть выполнено с применением методов моделирования 
средствами компьютерной графики [4; 6–9; 10; 13; 
14; 21].
В связи с изложенным научный и практический 
интерес представляет исследование особенностей 
отображения гиперповерхности с целью установления 
новых закономерностей, позволяющих определять 
ее дискриминанту как аналитическими, так и численными методами. Практический интерес имеет 
визуализация дискриминанты гиперповерхности и 
ее сечений средствами 3D-моделирования на различных этапах решения конкретной задачи. 

2. Криминанта и дискриминанта гиперповерхности

Проведем исследование гиперповерхности, заданной параметрическими уравнениями

 
x
f u v
y
f u v
z
f u v

t
f u v

=
=
=

=

1
2
3

4

( , , ),
( , , ),
( , , ),

( , , ),

ϕ
ϕ
ϕ

ϕ

 
(1)

где u, v, ϕ — независимые параметры.
Выполним отображение этой гиперповерхности 
ортогональным проецированием на координатную 
гиперплоскость XYZ. В точке M(x0, y0, z0, t0) гиперповерхности (1) уравнение касательной гиперплоскости имеет вид 

A
X
x
B Y
y
C
Z
z
D T
t
⋅
−
(
)+
⋅
−
(
)+
⋅
−
(
)+
⋅
−
(
) =
0
0
0
0
0, (2)

где

 

A

f
f
f

f
f
f

f
f
f

B

f
f
f

f
f
f

f
f
f

u
v

u
v

u
v

u
v

u
v

u
v

=
=

2
2
2

3
3
3

4
4
4

1
1
1

3
3
3

4
4
4

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ
;

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

,

,
C

f
f
f

f
f
f

f
f
f

D

f
f
f

f
f
f

f
f

u
v

u
v

u
v

u
v

u
v

u

=
=

1
1
1

2
2
2

4
4
4

1
1
1

2
2
2

3
3v
f3ϕ

,

где элементами определителей являются соответствующие частные производные функций (1).
Так как в точках криминанты гиперповерхности 
касательные гиперплоскости параллельны координатной оси T, что получим 

1. Введение

Понятие огибающей семейства линий или поверхностей широко используется в различных приложениях. В теории зацеплений огибающие используется для определения сопряженных поверхностей 
в зубчатых зацеплениях. В робототехнике они тесно 
связаны с проблемой обнаружения столкновений 
движущегося рабочего органа с препятствиями. Кроме 
того, большой интерес представляет использование 
огибающих в геометрической оптике, а также в области компьютерного автоматизированного моделирования формообразования поверхностей деталей 
режущим инструментом. Известно несколько определений огибающей семейства линий и поверхностей 
[2]. Основные направления изучения огибающих,  
а также методов для их вычисления, обсуждаются в 
классической литературе с позиций кинематики [11; 
12; 25] и дифференциальной геометрии [20; 22].  
В этих направлениях выполняется вывод уравнения 
связи параметров линии или поверхности и параметра их семейства. Как правило, это уравнение является трансцендентным, что вызывает существенные 
затруднения при его решении. 
В ряде исследований огибающая рассматривается как особенность отображения ортогональным 
проецированием поверхности или гиперповерхности на плоскость или гиперплоскость. Изучаемая 
поверхность или гиперповерхность получается 
проецированием семейств линий или поверхностей 
в пространство большей размерности, чем пространство, в котором заданы эти семейства. 
Дискриминанта полученной поверхности (гиперповерхности) является огибающей рассматриваемого семейства. Исследование дискриминанты и 
криминанты поверхности рассматривается в работах [1; 5; 16–18; 22; 26] и ряде других. В основном 
в этих работах определяются дифференциальные 
характеристики дискриминанты двумерной поверхности. Так, в работе [3] точки дискриминанты 
вычисляются по уравнениям поверхности и уравнениям, содержащим дифференциальные характеристики этой поверхности. Такое решение предполагает использование методов вычислительной 
математики и методов нелинейного программирования, что вызывает существенные сложности при 
его реализации. 

hypersurface’s discriminant and this family’s corresponding envelope, as well as various sections. These equations have been used 
for creating of polygonal 3D models of the hypersurface’s discriminant, and some of the hypersurface’s sections.
Keywords: mapping singularity, hypersurface, discriminant, 
envelope, geometric modeling.

f
f
f

f
f
f

f
f
f

u
v

u
v

u
v

1
1
1

2
2
2

3
3
3

0

ϕ

ϕ

ϕ

= .

 

(3) 

Это уравнение устанавливает связь параметров  
u, v, ϕ и совместно с уравнениями (1) определяет 
дискриминанту гиперповерхности на гиперплоскости XYZ. Кроме того, уравнение (3) предлагается 
рассматривать как уравнение двумерной поверхности 
F(u,v, ϕ) = 0 в декартовых координатах U, V, ϕ. Тогда 
отображение Ω: R3 → R4  такой поверхности на гиперповерхность, задаваемую уравнениями (1), выделяет на этой гиперповерхности некоторую поверхность — криминанту. 
Таким образом, полученные результаты представляют собой аналитическое решение задачи 
определения дискриминанты четырехмерной гиперповерхности и, соответственно, огибающей 
однопараметрического семейства двумерных поверхностей.
Для выявления геометрических закономерностей 
в расположении точек гиперповерхности относительно координатных гиперплоскостей исследуем 
ее криминанту, а также сечения этой гиперповерхности координатными гиперплоскостями. 
Уравнение касательной гиперплоскости к дискриминанте гиперповерхности, определяемой первыми тремя уравнениями системы (1) и уравнением (3), относительно гиперплоскости XYZ имеет 
вид 

 
A
X
x
B
Y
y
C
Z
z
1
0
1
0
1
0
0
⋅
−
(
)+
⋅
−
(
)+
⋅
−
(
) = ,  
(4)

где

 

A
f
f
F
f
f
F
f
f
F
B
f
f
F
f
f
F
f
f
F

C

u
u
u

v
v
v

u
u
u

v
v
v
1

2
3

2
3

2
3

1

3
1

3
1

3
1

1

=
=

ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

,
,

=
f
f
F
f
f
F
f
f
F

u
u
u

v
v
v

1
2

1
2

1
2
ϕ
ϕ
ϕ

,

Из полученных зависимостей следует, что касательная гиперплоскость к дискриминанте не определена, если

 
D f
f F

D u v

D f
f F

D u v

D f
f F

D u v

2
3
3
1
1
2
0
,
,

, ,

,
,

, ,

,
,

, ,

(
)

(
)
+
(
)

(
)
+
(
)

(
)
=
ϕ
ϕ
ϕ
,  (5)

где F = F(u, v, ϕ) = 0 — уравнение поверхности (3).
На дискриминанте гиперповерхности выделяется 
ребро возврата, если выполняется равенство (5).

3. Гиперповерхность и ее сечения

Рассмотрим касательное пространство к заданной 
гиперповерхности в ее некоторой точке. Оно состоит 
из двухпараметрического семейства касательных к кривым этой поверхности. Выделим из этого семейства 
касательных те из них, которые параллельны оси T — 
направлению проецирования. Эти прямые линии m 
будут касаться, в том числе, плоских кривых, полученных в пересечении гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям, 
содержащим ось T. Но такое свойство отражает необходимое условие существования условного экстремума 
функций, описывающих рассматриваемые плоские 
кривые. Следовательно, если выделить на гиперповерхности сечение координатными гиперплоскостями y = 
a, z = b, (а и b — некоторые вещественные числа), то 
параллельность m оси T выражает необходимое условие 
существования условного экстремума функции [19]

 
x
f u v
y a z b
=
(
)
=
=
1
, ,
,
,
ϕ
 
(6)

а параметры u и v связаны зависимостью (3).
Для определения необходимых и достаточных 
условий существования условного экстремума функции (6) используем метод неопределенных коэффициентов Лагранжа. В данном случае функция Лагранжа 
будет иметь вид

 
L u v
f u v
f u v
a

f
u v
b

, ,
, ,
, ,

, ,
.

ϕ
ϕ
λ
ϕ

λ
ϕ

(
) =
(
)+
(
)−

 +

+
(
)−



3
1
1

2
2

 
(7)

Записав на основе функции (7) соответствующую 
систему линейных уравнений относительно множителей Лагранжа и решив ее, получим уравнение, 
совпадающее с (3). Оно задает необходимое условие 
существования условного экстремума функции, определяющей координату x, при наложении условий 
связи на координаты y и z.
Для определения достаточных условий существования экстремума может быть использован второй 
дифференциал функции Лагранжа. 
Отсюда следует второй подход к определению 
огибающей однопараметрического семейства поверхностей. Он основан на использовании численных 
методов определения экстремумов функций [23].  
В этом случае не требуется получать уравнения связи параметров гиперповерхности.

4. Гиперповерхность, образованная семейством сфер, 
и ее исследование

В качестве примера использования полученных 
результатов рассмотрим гиперповерхность, образо
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 3–10  
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017                                                              

ванную семейством сфер. В практике такой задаче 
может соответствовать формообразование винтовой 
поверхности детали дисковым инструментом (поверхностью вращения). 
Пусть сфера задана в системе координат XYZ уравнением в неявном виде

 
x
y
z
r
2
2
2
2
+
+
=
  
(8)

и совершает она винтовое движение вокруг оси OZ1 
(рис. 1). Тогда в пространстве R3 будет образовано 
семейство сфер, параметром которого является угол 
поворота ϕ. Выполним отображение этого семейства 
в пространство R4. Тогда получим гиперповерхность, 
которая в системе координат X1Y1Z1Ψ1 задается уравнениями

 
x
x
R
y

y
x
R
y

z
z
p

p

1

1

1

1

=
+
(
)⋅
−
⋅

=
+
(
)⋅
+
⋅

=
+
⋅

=
⋅

cos
sin ,

sin
cos ,

,

,

ϕ
ϕ

ϕ
ϕ

ϕ

ψ
ϕ

  

(9)

где p — некоторое вещественное число.

Рис. 1. Множество сфер винтового

Для определения дискриминанты полученной 
гиперповерхности относительно гиперплоскости 
X1Y1Z1 установим связь параметров поверхности, 
используя зависимость (3). После подстановки входящих в нее параметров и преобразований получим 

 
y
p
R z
= −
⋅ .  
(10)

Тогда координата x определяется из уравнения 
сферы с учетом выражения для y из (10) в виде

 

x
r
z
p
R
= ±
−
⋅
+ 















2
2
2

1
.

Подставив выражения для координат x и y в уравнения (9), получим дискриминанту гиперповерхности 

x
r
z
p
R
R
p
R z

y

1
2
2
2
1
= ±
−
⋅
+ 














+









⋅
+
⋅ ⋅
cos
sin ,
ϕ
ϕ

1
2
2
2
1
= ±
−
⋅
+ 














+









⋅
−
⋅ ⋅
r
z
p
R
R
p
R z

z

sin
cos ,
ϕ
ϕ

1 =
+
⋅
z
p ϕ.

 

(11)

Графиком полученных уравнений является трубчатая винтовая поверхность (рис. 2). 

Рис. 2. Трубчатая винтовая поверхность и ее сечения

Для p = 0 система (11) преобразуется к виду

 
x
r
z
R

y
r
z
R

z
z

1
2
2

1
2
2

1

= ±
−
+
(
)⋅

= ±
−
+
(
)⋅

=

cos ,

sin ,

,

ϕ

ϕ

 
(12)

которая определяет поверхность тора (рис. 3).

Рис. 3. Тор и его сечение координатной плоскостью

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 3–10  

Для исследования строения гиперповерхности (9) 
рассмотрим сечение ее гиперплоскостью Z1 = 0. Тогда 
из третьего уравнения этой системы имеем z = –p  ϕ. 
После подстановки выражения для z в уравнение 
сферы получим 

 
x
r
y
p
1
2
2
2
= ±
−
−
⋅
(
)
ϕ
.  

Тогда уравнение поверхности, получаемой в пересечении гиперповерхности (9) гиперплоскостью 
Z1 = 0, будет

 
x
r
y
p
R
y

y
r
y
p
R

1
2
2
2

1
2
2
2

= ±
−
−
⋅
(
) +
(
) ⋅
−
⋅

= ±
−
−
⋅
(
) +
(
) ⋅

ϕ
ϕ
ϕ

ϕ
ϕ

cos
sin ,

sin
+
⋅

=
⋅

y

p

cos ,

.

ϕ

ψ
ϕ
1
1

 

(13)

Как следует из полученной системы уравнений, 
область определения переменных y и ϕ устанавливается из неравенства

 
r
y
p
2
2
2
0
−
−
⋅
(
) ≥
ϕ
.  
(14)

Из этого неравенства следует также, что на диапазон изменения значений параметров y, ϕ влияет и 
величина параметра p винтового движения исходной 
поверхности. Модели рассматриваемой поверхности 
для различных значений параметров R и p приведены на рис. 4–6. Из зависимостей (13), (14) следует, 
что для p ≠ 0 поверхность состоит из разомкнутых 
частей. Это подтверждают и рис. 4–6. Поверхность 
имеет вершины, координаты которых определяются 
из уравнений 

 
x
R
r p

y
R
r p

p r p

1

1

1
1

= ±
⋅

= ±
⋅

= ±
⋅

cos(
),

sin(
),

.
ψ

Рисунок 6 иллюстрирует строение поверхности в 
окрестности одной из вершин.

Рис. 4. Сечение гиперповерхности гиперплоскостью Z1 = 0 для p = 2, R = 30

Рис. 5. Сечение гиперповерхности гиперплоскостью Z1 = 0 для p = 10, R = 30

Рис. 6. Сечение гиперповерхности гиперплоскостью Z1 = 0 
в окрестности ее вершины

Для p = 0 (сфера совершает вращательное движение) уравнение рассматриваемой двумерной поверхности будет

 
x
r
y
R
y

y
r
y
R
y

p

1
2
2

1
2
2

1
1

= ±
−
+
(
)⋅
−
⋅

= ±
−
+
(
)⋅
+
⋅

=
⋅

cos
sin ,

sin
cos ,

ϕ
ϕ

ϕ
ϕ

ψ
ϕ.

 

Графиком полученной системы уравнений является винтовая поверхность, показанная на рис. 7. 
Образующей этой поверхности является плоская 
кривая вида

 
X
r
y
R

Y
y

1
2
2

1

= ±
−
+

=

,

.

 

Откуда X
R
Y
r
1

2

1
2
2
−
(
) +
=
, т.е. образующей является окружность, расположенная в координатной 
плоскости X1Y1. Следовательно, полученная поверхность является циклической винтовой поверхностью 
с плоскостью параллелизма X1Y1.

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 3–10  
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017                                                              

Рис. 7. Сечение гиперповерхности гиперплоскостью Z1 = 0 для p = 0, R = 20

Выводы

Проведены исследования особенностей отображения ортогональным проецированием трехмерной 
гиперповерхности пространства R4 на гиперплоскость. 
Выявлена аналитическая зависимость, устанавлива
ющая связь параметров гиперповерхности в точках 
ее дискриминанты. Установлены условия, при выполнении которых на дискриминанте появляется 
ребро возврата. Полученные результаты представляют собой аналитическое решение поставленной задачи.
Выявлено существование экстремальных точек 
на кривых, получаемых в пересечении гиперповерхностей некоторыми гиперплоскостями. Полученный 
результат в общем виде позволяет определить дискриминанту гиперповерхности численными методами без использования дифференциальных характеристик поверхности. 
Проведена апробация полученных результатов на 
примере гиперповерхности, образованной семейством 
сфер. Приведены аналитические зависимости для 
определения дискриминанты этой гиперповерхности 
и различных ее сечений гиперплоскостями. Эти зависимости использованы для создания компьютерных 
3D-моделей таких поверхностей. 
Полученные результаты имеют практическую 
направленность применительно к задачам моделирования формообразования поверхностей деталей 
режущим инструментом.

Литература

1. Арнольд В.И. Особенности гладких отображений [Текст] / 
В.И. Арнольд // Успехи мат. наук. — 1968. — Т. 23. — 
Вып. 1. — С. 4–44.
2. Брус Дж. Кривые и особенности [Текст] / Дж. Брус,  
П. Джиблин. — М.: Мир, 1988. — 262 c.
3. Быков В.И. Определение контурной линии на поверхности, заданной уравнением в неявной форме [Текст] / 
В.И. Быков, В.В. Найханов // В сб.: Тезисы Всесоюзного научно-методического симпозиума «Применение 
систем автоматизированного проектирования конструкций в машиностроении». — Ростов н/Д, 1983. — 
С. 40–41.
4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / 
Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической 
литературы, 2002. — 472 с.
5. Залгаллер В.А. Теория огибающих [Текст] / В.А. Залгаллер. — М.: Наука, 1975. — 104 с. 
6. Карачаровский В.Ю. Геометрическое моделирование 
формообразования пространственных поверхностей 
при винтовом относительном движении [Текст] /  
В.Ю. Карачаровский, С.А. Рязанов // Проблемы геометрического моделирования в автоматизированном 
проектировании и производстве: 1-я Междунар. науч. 
конф. М.: МГИУ, 2008. — С. 143–146.
7. Козлов Ю.В. Моделирование процесса фрезерования 
зубчатых колес и оценка их кинематических погрешно
стей [Текст] / Ю.В. Козлов // Вестник Белорусско-Российского университета. — 2008. — № 3. — С. 82–89.
8. Короткий В.А. Геометрическое моделирование поверхности посредством ее отображения на четырехмерное 
пространство [Текст] / В.А. Короткий // Омский научный вестник. — 2015. — № 137. — С. 8–12.
9. Короткий В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей [Текст] / В.А. Короткий,  
Л.И. Хмарова, Е.А. Усманова // Геометрия и графика. — 2015. –Т. 3. — № 4. — С. 19–26. — DOI: 
10.12737/17347. 
10.  Короткий В.А. Компьютерное моделирование фигур четырехмерного пространства [Текст] / В.А. Короткий // 
Вестник 
компьютерных 
информационных 
технологий. — 2014. — № 7. — С. 14–20. — DOI: 10.14489/
vkit.2014.07.pp.014-020.
11.  Лашнев С.И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ [Текст] /  
С.И. Лашнев, М.И. Юликов. — М.: Машиностроение, 
1975. — 392 с.
12.  Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений [Текст] /  
Ф.Л. Литвин.– М.: Наука, 1968. — 584 с.
13.  Ляшков А.А. Моделирование формообразования винтовых поверхностей деталей рейкой и червячной фрезой 
[Текст] / А.А. Ляшков // Металлообработка. — 2011. — 
№ 1. — С. 2–7.
14. Ляшков А.А. Компьютерное моделирование процесса 
формообразования дисковой фрезой деталей с винто
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 3–10  

вой поверхностью [Текст] / А.А. Ляшков // СТИН. — 
2012. — № 1. — С. 26–29.
15.  Несмелов И.П. Недифференциальный подход к решению 
задачи огибания [Текст] / И.П. Несмелов, В.И. Гольдфарб // В сб. «Механика машин». — Вып. 61. — 1983. — 
С. 3–10.
16.  Платонова О.А. Особенности проекций гладких поверхностей [Текст] / О.А. Платонова // Успехи мат. наук. — 
1984. — Т. 39. — Вып. 1. — С. 149–150.
17.  Платонова О.А. Особенности проектирований гладких 
поверхностей [Текст] / Успехи. мат. наук. — 1979. —  
Т. 34. — Вып. 2. — С. 3–38.
18.  Платонова О.А. Проекции гладких поверхностей [Текст] / 
О.А. Платонова // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. — 
1984. — Т. 10. — С. 135–149.
19.  Пшеничный Б.Н. Необходимое условие экстремума 
[Текст] / Б.Н. Пшеничный. — М., 1969. — 151 с.
20. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии 
[Текст] / П.К. Рашевский. — М.: Гос. изд-во техн.-теор. 
литер., 1956. — 420 с.
21. Сальков Н.А. Геометрическое моделирование и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия 
и графика. — 2016. –Т. 4. — № 4. — С. 31–40. — DOI: 
10.12737/22841
22. Толстов Г.П. К отысканию огибающей семейства плоских кривых [Текст] / Г.П. Толстов // УМН. — 1952. — Т. 
7. — Вып. 4. — С. 173–179.
23.  Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума [Текст] / Д.Дж. 
Уайлд. — М.: Наука, 1967. — 267 с.
24. Шевелева Г.И. Теория формообразования и контакта 
движущихся тел [Текст] / Г.И. Шевелева. — М.: Мосстанкин, 1999. — 494 с. 
25.  Litvin F.L. Alfonso Fuentes Geometry and Applied Theory 
[Текст] / F.L. Litvin. — Cembridge University Press, 2004. — 
816 pp.
26.  Schulz T. Envelope Computation by Approximate Implicitization / T. Schulz, B. Juttler // Industrial Geometry. — 2010. — 
20 p. — URL: http://www.industrial-geometry.at

References

1. Arnol'd V.I. Osobennosti gladkikh otobrazheniy [Singularities of smooth maps]. Uspekhi matematicheskikh nauk 
[Progress in mathematical sciences]. 1968, V. XXIII, I. 1,  
pp. 4–44.
2. Brus Dzh., Dzhiblin P. Krivye i osobennosti [Curves and features]. Moscow, Mir Publ., 1988. 262 p.
3. Bykov V.I., Naykhanov V.V. Opredelenie konturnoy linii na 
poverkhnosti, zadannoy uravneniem v neyavnoy forme [Determination of a contour line on a surface defined by an equation in implicit form]. Tezisy Vsesoyuznogo nauchno-metodicheskogo simpoziuma “Primenenie sistem avtomatizirovannogo 
proektirovaniya konstruktsiy v mashinostroenii” [Theses of the 
All-Union Scientific and Methodological Symposium "Application of Automated Design of Structures in Mechanical 
Engineering"]. Rostov-on-Don, 1983, pp. 40–41.

4. Golovanov N.N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometric modeling]. Moscow, Fiziko-matematicheskaya literature 
Publ., 2002. 472 p.
5. Zalgaller V.A. Teoriya ogibayushchikh [Theory of Envelopes]. 
Moscow, Nauka Publ., 1975. 104 p. 
6. Karacharovskiy V.Yu. Geometricheskoe modelirovanie formoobrazovaniya prostranstvennykh poverkhnostey pri vintovom otnositel'nom dvizhenii [Geometric modeling of the 
formation of spatial surfaces under screw relative motion]. 
Problemy geometricheskogo modelirovaniya v avtomatizirovannom proektirovanii i proizvodstve: 1-ya Mezhdunarodnaya 
nauchnaya konferentsiya [Problems of geometric modeling in 
automated design and production: 1st International Scientific 
Conference]. Moscow, MGIU Publ., 2008, pp. 143–146.
7. Kozlov 
Yu.V. 
Modelirovanie 
protsessa 
frezerovaniya 
zubchatykh koles i otsenka ikh kinematicheskikh pogreshnostey [Modeling the process of milling gears and evaluating their kinematic errors]. Vestnik Belorussko-Rossiyskogo 
universiteta [Bulletin of the Belarusian-Russian University]. 
2008, I. 3, pp. 82–89.
8. Korotkiy V.A. Geometricheskoe modelirovanie poverkhnosti posredstvom ee otobrazheniya na chetyrekhmernoe prostranstvo [Geometric modeling of a surface by means of its 
mapping to four-dimensional space]. Omskiy nauchnyy vestnik [Omsk Scientific Herald]. 2015, I. 137, pp. 8–12.
9. Korotkiy V.A., Khmarova L.I., Usmanova E.A. Komp'yuternoe modelirovanie kinematicheskikh poverkhnostey [Computer Simulation of Kinematic Surfaces]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 4, pp. 19–26. (in 
Russian). DOI: 10.12737/17347. 
10. Korotkiy V.A. Komp'yuternoe modelirovanie figur chetyrekhmernogo 
prostranstva 
[Computer 
modeling 
of 
four-dimensional space figures]. Vestnik komp'yuternykh 
informatsionnykh tekhnologiy [Herald of computer information technologies]. 2014, I. 7, pp. 14–20. DOI: 10.14489/
vkit.2014.07.pp.014-020.
11. Lashnev S.I. Raschet i konstruirovanie metallorezhushchikh 
instrumentov s primeneniem EVM [Calculation and design 
of metal-cutting tools with the use of computers]. Moscow, 
Mashinostroenie Publ., 1975. 392 p.
12. Litvin F.L. Teoriya zubchatykh zatsepleniy [Theory of gearing]. Moscow, Nauka Publ., 1968. 584 p.
13. Lyashkov A.A. Modelirovanie formoobrazovaniya vintovykh 
poverkhnostey detaley reykoy i chervyachnoy frezoy [Modeling of the Forming of Screw Surfaces by Rack and Worm 
Cutter]. Metalloobrabotka [Metalloobrabotka]. St. Petersburg, Politekhnika Publ., 2011, I. 1, pp. 2–7.
14. Lyashkov A.A. Komp'yuternoe modelirovanie protsessa 
formoobrazovaniya diskovoy frezoy detaley s vintovoy poverkhnost'yu [Computer modeling of the process of shaping 
by disk milling of parts with a screw surface]. STIN [STIN]. 
2012, I. 1, pp. 26–29.
15. Nesmelov I.P. Nedifferentsial'nyy podkhod k resheniyu zadachi ogibaniya [A non-differential approach to the solution 
of the envelope problem]. "Mekhanika mashin" ["Mechanics 
of machines"]. 1983, I. 61, pp. 3–10.

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 3–10  
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017                                                              

16. Platonova O.A. Osobennosti proektsiy gladkikh poverkhnostey [Peculiarities of projections of smooth surfaces]. Uspekhi 
matematicheskikh nauk [Progress in mathematical sciences]. 
1984, V. 39, I. 1, pp. 149–150.
17. Platonova O.A. Proektsii gladkikh poverkhnostey [Projections of smooth surfaces]. Trudy Seminara im. I.G. Petrovskogo [Proceedings of the Seminar. I.G. Petrovsky]. 1984, V. 10,  
pp. 135–149.
18. Platonova O.A. Osobennosti proektirovaniy gladkikh poverkhnostey [Features of projections of smooth surfaces]. 
Uspekhi matematicheskikh nauk [Progress in mathematical 
sciences]. 1979, V. 34, I. 2, pp. 3–38.
19. Pshenichnyy B.N. Neobkhodimoe uslovie ekstremuma [Necessary condition for an extremum]. Moscow, 1969. 151 p.
20. Rashevskiy P.K. Kurs differentsial'noy geometrii [Course 
of differential geometry]. Moscow, Gos. tekhn.-teor. liter. 
Publ., 1956. 420 p.

21. Sal'kov N.A. Geometricheskoe modelirovanie i nachertatel'naya geometriya [Geometric modeling and descriptive 
geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 
2016, V. 4, I. 4, pp. 31–40. DOI: 10.12737/22841
22. Tolstov G.P. K otyskaniyu ogibayushchey semeystva ploskikh 
krivykh [To find the envelope of a family of plane curves]. 
UMN Publ., V. 7, I. 4, 1952, pp. 173–179.
23. Uayld D.Dzh. Metody poiska ekstremuma [Methods for finding an extremum]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 267 p.
24. Sheveleva G.I. Teoriya formoobrazovaniya i kontakta dvizhushchikhsya tel [The theory of the formation and contact of moving bodies]. Moscow, Mosstankin Publ., 1999. 494 p. 
25. Litvin F.L. Alfonso Fuentes Geometry and Applied Theory  
[Tekst] / F.L. Litvin – Cembridge University Press, 2004. – 816 pp.
26. Schulz T. Envelope Computation by Approximate Implicitization / T. Schulz, B. Juttler // Industrial Geometry, http://
www.industrial-geometry.at/ 2010. 20 p.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 3–10  

УДК 514.18                                                                            
DOI: 10.12737/article_ 59bfa354466be1.50763524

Н.А. Сальков 
Канд. техн. наук, профессор,
Московский государственный академический 
художественный институт имени В.И. Сурикова,
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30

Способы задания циклид Дюпена

Аннотация. Мы очень мало знаем о такой интересной 
поверхности, как циклида Дюпена. Она принадлежит к каналовым поверхностям, ее частными случаями являются тор, 
коническая и цилиндрическая поверхности вращения. Известно, 
что циклиды Дюпена – единственные поверхности, у которых 
фокальные поверхности, т.е. поверхности, состоящие из множеств точек центров кривизн, вырождены в кривые второго 
порядка. Два множества дают две софокусные коники. Именно 
поэтому любое исследование циклид Дюпена имеет большой 
интерес — как научный, так и прикладной. В работах, посвященных циклиде Дюпена и опубликованных на страницах 
журнала «Геометрия и графика», приводятся различные свойства циклид и показывается применение этих поверхностей 
в различных отраслях, в основном в строительстве. На основе свойств циклид разработаны в 80-е гг. прошлого века многочисленные изобретения, касающиеся приборов для вычерчивания и имеющие возможность применяться в различных 
геометрических построениях с применением компьютерных 
технологий. В настоящей работе рассмотрены различные 
варианты задания циклид Дюпена на различной основе – от 
традиционного способа при помощи трех заданных сфер до 
кривых второго порядка. При этом, если тремя сферами можно задать четыре циклиды, а при задании циклиды посредством 
кривой второго порядка (коникой) и сферой их число уменьшается до двух, то при задании с помощью коники и одной 
из двух осей циклиды получаем единственную циклиду Дюпена. 
Сама же коника без дополнительных параметров задает однопараметрическое множество циклид. Рассмотрены задания 
циклид Дюпена при помощи эллипса, гиперболы и параболы. 
Работа в достаточной мере иллюстрирована.
Ключевые слова: циклида Дюпена, конструирование поверхности, кривые второго порядка, начертательная геометрия, 
компьютерная графика, инженерная графика.

N.A. Salkov 
Ph.D. in Engineering, Professor,
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov,
30, Tovarishcheskiy per., Moscow, 109004, Russia

Representations of Dupin Cyclides

Abstract. We know very little about such an interesting surface 
as Dupin cyclide. It belongs to channel surfaces, its special cases 
are tor, conical and cylindrical surfaces of rotation. It is known that 
Dupin cyclides are the only surfaces whose focal surfaces, that are 
surfaces consisting of sets of curvatures centers points, have been 
degenerated in second-order curves. Two sets give two confocal 
conics. That is why any study of Dupin cyclides is of great interest 
both scientific and applied. In the works devoted to Dupin cyclide 
and published in the "Geometry and Graphics" journal, are presented various properties of cyclides, and demonstrated application 
of these surfaces in various industries, mostly in construction. Based 
on the cyclides’ properties in 1980s have been developed numerous 

inventions relating to devices for drawing and having the opportunity to be applied in various geometric constructions with the use 
of computer technologies. In the present paper have been considered various options for representation of Dupin cyclides on a 
different basis – from the traditional way using the three given 
spheres unto the second-order curves. In such a case, if it is possible to represent four cyclides by three spheres, and when cyclide 
is represented by the second-order curve (konic) and the sphere 
their number is reduced to two, then in representation of cyclide 
by the conic and one of two cyclide’s axes a single Dupin cyclide 
is obtained. The conic itself without any additional parameters 
represents the single-parameter set of cyclides. Representations of 
Dupin cyclides by ellipse, hyperbola and parabola have been considered. The work has been sufficiently illustrated.
Keywords: Dupin cyclide, surface constructing, second-order 
curves, descriptive geometry, computer graphics, engineering graphics.

Мы очень мало знаем о такой интересной поверхности, как циклида Дюпена [25]. Она принадлежит 
к каналовым поверхностям [3–6; 8], ее частными 
случаями являются тор, коническая и цилиндрическая 
поверхности вращения. Известно, что циклиды — 
единственные поверхности, у которых фокальные 
поверхности, т.е. поверхности, состоящие из множеств 
точек центров кривизн, вырождены в кривые второго порядка. Два множества дают две софокусные 
коники.
Именно поэтому любое исследование циклид 
Дюпена имеет большой интерес — как научный [2; 
5; 8; 12–14; 16–22; 24], так и прикладной [1; 11; 18–
23]. Тем более что сейчас остро стоит вопрос о сопряжениях кривых второго порядка [7; 9; 11; 15].
В работах [5; 8; 10] было описано задание циклид 
Дюпена традиционным способом — как огибающая 
∞1 (однопараметрического множества) сфер, касающихся трех заданных (рис. 1). В этом случае можно 
получить четыре циклиды Дюпена. 

                             Рис. 1                                                       Рис. 2 
 

Рис. 3

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 3. 11–20  
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2017