Введение в общую теорию относительности, ее современное развитие и приложения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

ВВЕДЕНИЕ
В ОБЩУЮ ТЕОРИЮ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ,
ЕЕ СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ
И ПРИЛОЖЕНИЯ

Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
по программам бакалавриата и магистратуры
по направлению подготовки 03.03.02, 03.04.02 «Физика»,
по специальности 03.05.01 «Астрономия»

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017

УДК 530.12:531.51(075.8)
В24

Авторы:
С. О. Алексеев, Е. А. Памятных, А. В. Урсулов,
Д. А. Третьякова, К. А. Ранну

Рецензенты:
кафедра теоретической физики Челябинского государственного
университета (заведующий кафедрой доктор физико-математических
наук, профессор А. Е. Дудоров);
А. А. Шацкий, доктор физико-математических наук, старший
научный сотрудник Астрокосмического центра Физического института
им. П. Н. Лебедева РАН

Научный редактор:
С. О. Алексеев, доктор физико-математических наук, ведущий
научный сотрудник Государственного астрономического института
им. П. К. Штернберга МГУ

Введение
в
общую
теорию
относительности,
ее
современное
развитие и приложения [Электронный ресурс]: [учеб. пособие] / С.О.
Алексеев, Е. А. Памятных, А. В. Урсулов, Д. А. Третьякова, К.А. Ранну;
М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. – 2-е
изд., стер. – М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2017. – 380 с.

ISBN 978-5-9765-2612-9 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1584-0 (Изд-во Урал. ун-та)

Изложены основы общей теории относительности, дано введение в ее
современное развитие и состояние. Достаточно полно, но без перегрузки деталями
излагается необходимый математический аппарат. Обсуждаются основные
принципы и следствия теории, ее экспериментальный и наблюдательный статус.
Дано представление о современном состоянии общей теории относительности и
ее приложениях к астрофизике, физике черных дыр, космологии. Обсуждаются
возможные расширения теории и способы их экспериментальной проверки.
Для студентов, специализирующихся по теоретической физике, астрофизике
и астрономии, аспирантов, молодых преподавателей, а также для всех, кто
интересуется проблемами и достижениями теории гравитации.

При оформлении обложки использована гравюра анонимного автора
(«Гравюра Фламмариона», 1888 г.).

c⃝ Уральский федеральный
университет, 2015

ISBN 978-5-9765-2612-9 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1584-0 (Изд-во Урал. ун-та)

Оглавление

Список основных сокращений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Глава 1. Физические основы ОТО
. . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1
Ньютоновская теория гравитации . . . . . . . . . . .
13
1.2
Физические основы ОТО . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Глава 2. Элементы математического аппарата ОТО
. . . . . .
26
2.1
Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2
Тензорная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3
Ковариантное дифференцирование. Связность . . .
39
2.4
Параллельный перенос. Геодезическая . . . . . . . .
47
2.5
Тензор кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.6
Метрический тензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.7
Кривизна римановых пространств
. . . . . . . . . .
80
Глава 3. Частицы в гравитационном поле
. . . . . . . . . . . .
91
3.1
Расстояния и промежутки времени в ОТО . . . . . .
91
3.2
Движение частицы в гравитационном поле
. . . . .
96
3.3
Слабое гравитационное поле. Ньютоновский предел
98
3.4
Постоянное гравитационное поле
. . . . . . . . . . .
100
3.5
Распространение света в постоянном гравитационном
поле. Гравитационное смещение спектральных линий 103
Глава 4. Уравнения гравитационного поля
. . . . . . . . . . .
107
4.1
Уравнения Эйнштейна
. . . . . . . . . . . . . . . . .
107
4.2
Уравнения Эйнштейна и вариационный принцип . .
116
4.3
Тензор энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . . .
121
4.4
Ньютоновский предел . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
4.5
Космологическая постоянная
. . . . . . . . . . . . .
132
4.6
Законы сохранения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
Глава 5. Гравитационные волны
. . . . . . . . . . . . . . . . .
143
5.1
Слабые гравитационные поля в отсутствие источников. Гравитационные волны . . . . . . . . . . . . . .
143
5.2
Плоские гравитационные волны. Поляризация гравитационных волн
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
5.3
Поиски гравитационных волн . . . . . . . . . . . . .
151
Глава 6. Центрально-симметричное гравитационное поле
. . .
155
6.1
Решение Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
6.2
Движение частиц в центрально-симметричном гравитационном поле. Смещение перигелия орбит планет
164

3

6.3
Распространение лучей света в центрально-симметричном гравитационном поле. Гравитационное отклонение лучей света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
6.4
Радиальное движение частиц и света в центральносимметричном гравитационном поле. Черные дыры
179
6.5
Гравитационный коллапс . . . . . . . . . . . . . . . .
189
Глава 7. Физика черных дыр
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
7.1
Классификация черных дыр . . . . . . . . . . . . . .
198
7.2
Законы термодинамики черных дыр
. . . . . . . . .
200
7.3
Испарение черных дыр . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
7.4
Информационный парадокс
. . . . . . . . . . . . . .
213
Глава 8. Космология
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
8.1
Наблюдательные основы космологии . . . . . . . . .
218
8.2
Метрика Фридмана — Робертсона — Уокера . . . . .
229
8.3
Модели расширяющейся Вселенной . . . . . . . . . .
236
8.4
Теоретические основы современной космологии . . .
248
8.5
Нерешенные проблемы современной космологии . .
259
Глава 9. Наблюдательный статус ОТО
. . . . . . . . . . . . . .
265
9.1
Параметризованный постньютоновский формализм
265
9.2
Современные подтверждения ОТО . . . . . . . . . .
286
9.3
Нерешенные проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
9.4
Необходимость расширения ОТО . . . . . . . . . . .
295
Глава 10. Расширенные теории гравитации
. . . . . . . . . . .
297
10.1
Теория Бранса — Дикке
. . . . . . . . . . . . . . . .
298
10.2
Модифицированная ньютоновская динамика
. . . .
315
10.3
Гравитационные теории f(R)
. . . . . . . . . . . . .
318
10.4
Скалярно-тензорные теории . . . . . . . . . . . . . .
327
10.5
Квантовые теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
10.6
Космологические расширения . . . . . . . . . . . . .
344
Заключение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351
Cписок библиографических ссылок
. . . . . . . . . . . . . . .
353
Список рекомендуемой литературы
. . . . . . . . . . . . . . .
370

Список основных сокращений

БАК — большой адронный коллайдер
МОНД — модифицированная ньютоновская динамика
ОТО — общая теория относительности
ППН — параметризованный постньютоновский (формализм)
СТО — специальная теория относительности
CDM — Cold Dark Matter (холодная темная материя)
GPS — Global Positioning System (система глобального позиционирования)
GUT — Grand Unification Theory (теория великого объединения)

Предисловие

Общая теория относительности (ОТО) — одно из наиболее значительных достижений физики, а наблюдения
предсказываемых ею эффектов не только блестяще подтвердили эту теорию, но и внесли значительный вклад в
развитие физических экспериментов и наблюдений. Уже
одного этого достаточно для обязательного знакомства
всех студентов, специализирующихся в области физики,
с основами ОТО.
Другая причина, делающая необходимым знакомство
с основными принципами и методами ОТО, — наблюдаемое в последние годы бурное развитие ОТО, ее методов
и приложений в космологии, физике звезд, черных дыр,
гравитационных волн, квантовой гравитации, а также во
многих смежных направлениях, включая физику твердого
тела. Именно в понимании и развитии ОТО совершен прорыв по разным направлениям, который, возможно, уже
в ближайшие годы выведет нас на новый уровень понимания космологических и гравитационных задач. Знание
ОТО для современных физиков (и общее представление
о ней других специалистов в области естественных наук)
на современном этапе развития научной мысли не менее
важно, чем знание других разделов теоретической физики: механики, электродинамики, квантовой механики, статистической физики и т. д.
В настоящее время имеется обширная литература,
посвященная ОТО и ее приложениям, которую условно
можно разделить на три направления. Первое включает
специальные книги, оригинальные обзорные и исследова
6

тельские статьи (в подавляющем большинстве на английском языке), излагающие различные аспекты ОТО, ее
развитие и приложения на высоком современном уровне,
написанные прежде всего для специалистов, активно работающих в данной области. Как правило, такую литературу
нужно читать, уже имея представление об ОТО и обладая
багажом современных методов теоретической физики.
Другая часть литературы по ОТО носит популярный характер, излагая основные идеи, принципиальные
результаты и ожидаемые перспективы, но опуская большую часть математического аппарата. Часто эти книги
написаны крупнейшими специалистами, активно работающими в данных направлениях. Такие книги чрезвычайно нужны и для информирования людей о грандиозных
достижениях науки, и для широкого привлечения молодых исследователей (и школьников) в эту чрезвычайно
актуальную область исследований. Однако они недостаточны для ее профессионального изучения (их авторы и
не ставят таких задач).
Третье направление — вузовские учебники, в которых,
как правило, излагается уже устоявшийся стандартный
материал. Ярчайшим и всемирно признанным примером
такого учебника является второй том курса теоретической
физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица под названием
«Теория поля». При всей незаменимости этих книг для
студентов, обучающихся по физическим направлениям и
не специализирующихся в данный момент в области ОТО
и ее приложений, курс обучения должен включать не только основы теории, но и давать представление о современных достижениях, проблемах, путях дальнейшего развития. На наш взгляд, учебной литературы по ОТО именно
такого рода явно недостаточно.
Существует и обширная «любительская» псевдонауч
7

ная литература, посвященная проблемам гравитации, черным дырам, космологии и т. п. В ней содержится множество спорных и подчас просто неверных утверждений.
Необходимо понимать, что математический аппарат ОТО
отнюдь не прост, и далеко не каждый непрофессионал готов разбираться с тензорным анализом, теорией сингулярности, границами применимости. Именно из-за непонимания или незнания этих и других разделов математики и
физики появляются нелепые и бессмысленные представления, широко распространенные среди обычного населения. Поэтому еще одну цель данной книги мы видим в
знакомстве читателя с научным взглядом на Вселенную,
взглядом, следствием которого явилось техническое и технологическое развитие нашей цивилизации.
В этом и состояла основная цель нашей работы: восполнить указанные пробелы хотя бы на уровне учебного пособия. С этой целью был сформирован авторский коллектив, включающий как специалистов Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, активно
работающих в области расширения ОТО и поиска ее экспериментально проверяемых следствий, так и преподавателей Уральского федерального университета, которые в течение длительного времени читают студентам — физикам
и астрономам — курсы «Общая теория относительности»
и «Релятивистская механика» и представляют, какого типа учебное пособие необходимо студентам, специализирующимся в разных направлениях.
Такой состав авторов приводит к некоторым особенностям данной книги. Хотя весь текст написан и обсужден всеми авторами в долгой и очень непростой совместной работе, стиль изложения разделов отличается. Авторский коллектив понимает эти проблемы. Однако после
длительного обсуждения мы сочли целесообразным оста
8

вить книгу именно в таком виде, прежде всего потому, что
это — учебное пособие по специальному курсу. Целью данного учебного пособия является, во-первых, помощь студентам в изучении предмета «Общая теория относительности» (математический аппарат, идеи и принципы, границы применимости, приложение всего этого к исследованию конкретных вопросов) и, во-вторых, ознакомление их
на достаточно серьезном уровне с современными направлениями развития ОТО и ее обобщений и с конкретными приложениями ОТО к рассмотрению различных астрофизических и космологических задач так, чтобы студенты могли разбираться в современной научной литературе
по данным вопросам. Поэтому некоторые величины могут иметь неодинаковые обозначения в разных разделах
книги. Мы идем на это сознательно, чтобы унифицировать наше изложение с другими источниками и облегчить
понимание читателем этих источников, так как при изучении теории гравитации всерьез эта книга может служить
лишь прологом... Нам представляется, что принятый формат книги попутно поможет решить еще одну важную педагогическую задачу — помочь читателю научиться воспринимать разный стиль изложения (из разных источников) и уметь свободно пользоваться различными обозначениями и системами единиц, при необходимости переходя
от одной к другой. Все это необходимо при чтении оригинальной научной литературы.
Структура настоящего учебного пособия следующая:

• В гл. 1 мы обсуждаем физические основы ОТО,
включая ньютоновскую теорию гравитации, принцип эквивалентности, геометризацию гравитации,
принцип общей ковариантности и т. д.

• Гл. 2 посвящена элементам математического аппарата ОТО и включает изложение отдельных вопросов

9

из теории тензоров, тензорной алгебры, ковариантного дифференцирования, связностей, параллельного переноса, геодезических, тензора кривизны, метрического тензора, римановых пространств.

• В гл. 3 рассматриваются расстояния и промежутки
времени в ОТО, движение частицы в гравитационном поле, постоянное гравитационное поле и замедление хода часов, распространение света в гравитационном поле.

• Гл. 4 посвящена уравнениям гравитационного поля (уравнениям Эйнштейна) и включает изложение
вопросов получения уравнений гравитационного поля и их свойств, вывод уравнений из вариационного принципа, тензор энергии-импульса, слабое гравитационное поле и ньютоновский предел, введение
космологической постоянной, законы сохранения в
ОТО.

• В гл. 5 рассматриваются гравитационные волны,
свойства этих волн, экспериментальный поиск и проблемы, связанные с их обнаружением.

• Гл. 6 посвящена центрально-симметричному гравитационному полю и метрике Шварцшильда, включая
получение и исследование свойств решения Шварцшильда уравнений гравитационного поля, движение
частицы в центрально-симметричном гравитационном поле, распространение лучей света в центральносимметричном
гравитационном
поле,
радиальное
движение частиц и света в центрально-симметричном гравитационном поле, возможность существования черных дыр, гравитационный коллапс.

10