Алгебра. Ч. II

УДК 501
ББК 22.14
К 44

К и с е л ё в А. П. Алгебра. Ч. II. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. — 248 с. —
ISBN 978-5-9221-1548-3.

В наше время книги А.П. Киселёва стали библиографической редкостью
и неизвестны молодым учителям. А между тем дальнейшее совершенствование преподавания математики невозможно без личного знакомства каждого
учителя с учебниками, некогда считавшимися эталонными. Именно по этой
причине и предпринимается переиздание «Алгебры» А.П. Киселёва.
Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия
для общеобразовательных школ и лицеев.

ISBN 978-5-9221-1548-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2005, 2014

c⃝ А. П. Киселёв, 2005, 2014

УРОКИ АЛГЕБРЫ

Издательство ФИЗМАТЛИТ свою новую серию «Библиотека физико-математической литературы для школьников и учителей» начало с переиздания
коллекции классических учебников А. П. Киселёва по математике для средней
школы. Уже вышли в свет «Арифметика» и «Геометрия». Теперь читателю
предлагается «Алгебра».
Истории российских школьных учебников по математике в 2003 г. исполняется три века, если считать с появившейся в 1703 г. «Арифметики»
Л.Ф.Магницкого. Авторами этих учебников были и известные учёные (среди
них — Л. Эйлер, Н. И. Лобачевский, В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский),
и люди, имена которых помнят разве что специалисты-историки; одни учебники быстро исчезали, другие просуществовали годы. Но А. П. Киселёв занимает среди российских просветителей совершенно особое, можно сказать —
уникальное место, ибо его учебники, по которым почти век учились многие
миллионы россиян, обозначили собой целый период отечественного математического образования. Переиздание этих книг приурочено к двум знаменательным событиям: 300-летию первой российской «Арифметики» и 150-летию со
дня рождения А. П. Киселёва.
Не станем подробно рассказывать здесь о почти 90-летнем жизненном
пути Андрея Петровича Киселёва (1852–1940)) — его биография освещена
в литературе достаточно полно (упомянем лишь одно мемориальное издание:
Авдеев Ф. С., Авдеева Т. К. «Андрей Петрович Киселёв. Жизнь. Научное
творчество. Педагогическая деятельность». Орёл: Изд. Орловской гостелерадиокомпании, 2002). Но нельзя не отметить, что в его судьбе много неординарного. Уроженец Орловской губернии (г. Мценск) — старинного русского
края, блестящий студент Петербургского университета (эпохи П. Л. Чебышёва, Д. И. Менделеева, А. Н. Коркина, Е. И. Золотарёва и др.), окончивший
обучение досрочно со степенью кандидата, А. П. Киселёв выбрал не научную,
а педагогическую стезю, полностью посвятив себя просвещению юношества,
созданию школьных учебников.
Во всех ситуациях ему сопутствовали успех и уважение — но не по капризу
случая, а в награду за удивительное трудолюбие, упорство и пытливость.
Триумф его учебников — следствие редкостного симбиоза в одном лице незаурядного педагогического таланта, богатого опыта учительствования, высокой
научной и методической компетентности. История его жизни «пример того,
как во времена исторических переустройств человек мог и получить признание
(в 1933 г. А. П. Киселёв был награжден орденом Трудового Красного Знамени),
и навсегда расстаться с близкими (его дочь, ученица И. Е. Репина, после
революции эмигрировала в Югославию). И есть что-то символическое в том,
что великого Учителя А. П. Киселёва похоронили рядом с могилой великого
Учёного Д. И. Менделеева.
Учебники А. П. Киселёва по арифметике, алгебре и геометрии долгие годы
пользовались — и вполне заслуженно — самой высокой репутацией. Дальнейшее совершенствование преподавания математики в школе и взвешенная

Предисловие

оценка нынешних пособий невозможны без личного знакомства с учебниками,
считавшимися в свое время эталонными. «Чаще и внимательнее перечитывайте
классиков» — эта глубокая мудрость касается не только бессмертных шедевров
художественной литературы. С полным правом распространяется она и на
книги «мэтров» педагогики и методики преподавания, ибо профессиональное
искусство обучающего и оригинальность преподнесения материала подчас важнее академических познаний учителя и следования инструктивным письмам.
Поэтому новое издание «Алгебры» А. П. Киселёва, несомненно, будет полезно и ищущему педагогу, и продвинутому ученику.
Появившаяся впервые в 1888 г. под названием «Элементарная алгебра»,
книга многократно автором совершенствовалась и регулярно переиздавалась.
В 1938 г. «Алгебра» А. П. Киселёва — после переработки, выполненной известным педагогом и методистом А. Н. Барсуковым — была официально утверждена как стабильный и единственный учебник по алгебре (в двух частях —
соответственно для 6–8 и 8–10 классов) советской средней школы (использовавшийся вместе со «Сборником задач по алгебре» Н. А. Шапошникова и
Н. К. Вальцова).
Учебник просуществовал (без всяких изменений) в качестве общепринятого до середины 50-х годов прошлого века, когда школьная программа по
математике претерпела изменения. Начали появляться другие учебники по
алгебре, включавшие также разделы, посвященные элементарным функциям,
началам анализа, тригонометрии (впрочем, они в школе не прижились и уже
забыты). «Алгебра» А. П. Киселёва больше не печаталась (в 1964 г. вышло
41-е издание) и стала библиографической редкостью, многие педагоги новых
поколений и студенты — будущие учителя математики — никогда не держали
ее в руках.
Сегодня актуальным является изучение и осмысление методического наследия А. П. Киселёва. Парадоксально, что ни сами его учебники (и когда они
были стабильными, и когда вынуждены были уйти), ни многолетний педагогический эксперимент по их использованию не подвергались всестороннему и
капитальному научно-методическому исследованию. (Конечно, хватало различных разработок и рекомендаций, комментариев и пояснений, но речь идет не
о поверхностных официозных писаниях-однодневках.) А ведь это богатейший
материал (особенно при сравнении с книгами других авторов) для обстоятельного анализа глубинных причин и направлений эволюции содержания и
методов школьного математического образования, выработки конструктивных
рекомендаций по развитию теории учебника математики. К сожалению, можно вспомнить, пожалуй, только одну давнюю диссертацию Ф. М. Шустеф,
посвященную исследованию российских учебников по алгебре (работа была
выполнена под руководством члена-корреспондента Академии педагогических
наук РСФСР И. В. Арнольда, отца нашего выдающегося математика академика
РАН В. И. Арнольда).
Для современного, прежде всего — начинающего, учителя будет интересно
познакомиться с содержанием программы курса алгебры советской средней
школы, с принятой тогда манерой преподнесения материала, его изложения и
оформления в учебнике. (Заметим, что не все главы учебника А. П. Киселёва
действительно изучались — например, диофантовы уравнения и непрерывные
дроби.) Очень важно, чтобы нынешние учителя составили собственное мнение
по тем вопросам, которые были предметом ожесточённых дискуссий при пересмотрах во второй половине XX века содержания школьного курса математики

Предисловие
5

(впрочем, и в наше время можно услышать отзвук этих споров): должны
ли учащиеся массовой общеобразовательной школы овладевать формальными
основами теории комплексных чисел? обязательно ли им знать формулу бинома Ньютона? следует ли познакомить их с фундаментальными понятиями
производной и интеграла? (Чтобы не возникло недоразумений, подчеркнём:
речь идет о массовой общеобразовательной школе, а не о профильных физикоматематических классах.)
Практикующие учителя принимают обычно весьма вялое участие в обсуждении путей «модернизации преподавания математики в школе». И очень жаль!
Каждый учитель, если он хочет стать гроссмейстером своего дела, должен
творчески обдумывать такие важные проблемы, как наполнение школьного
курса математики, методика изложения конкретного материала, сочетание эвристики, доступности и строгости, а сегодня — ещё и использование компьютерных и мультимедийных обучающих продуктов.
Есть и иные проблемы, для обдумывания «на перспективу». Что должна
представлять собой арифметика и как её увязывать с алгеброй? Как «вписать» в школьную программу элементы анализа, теории вероятностей, теории
множеств, теории игр и других «нетрадиционных» для школы разделов математической науки, без знания которых, однако, немыслим человек XXI века?
А все ли «традиционные» факты, изучаемые (чаще, впрочем, зазубриваемые)
школьниками, действительно так уж бесценны для их образованности? Разве
в окружающем нас мире кривых и поверхностей нет ничего, кроме скучных
прямых и плоскостей, однообразных окружностей и шаров? Чем наполнить
и как преподавать «гуманитарную математику», чтобы реально обеспечить
дифференцированное обучение, ориентируясь на индивидуальность учащихся,
а не на желания профессионалов-математиков? Действительно ли школьная
математика даёт единственную и лучшую возможность воспитания логического мышления?
Творческий подход к содержанию и формам обучения математике важен
особенно, ибо формализм в её преподавании просто губителен. В истории
нашей школы было достаточно примеров, когда далёкие от подлинной науки
чиновники и «методисты» диктовали, что и как надо делать. Люди старшего
поколения хорошо помнят бывшее одно время незыблемым требование всегда
и обязательно «приводить к виду, удобному для логарифмирования», ответ в
задачах «по геометрии с применением тригонометрии» или долгий «научный»
спор о том, какое место в школьной программе должны занимать и как должны
вводиться Arcsin x, Arccos x и прочие «аркфункции с большой буквы».
Общепризнано, что уровень математической подготовки значительной части наших школьников находится на достаточно высоком уровне. Но хорошо
известен и тот факт, что большое число учащихся испытывает серьезные трудности и даже неприязнь при освоении школьного курса математики. Н. И. Лобачевский писал: «Если учение математики, свойственное уму человеческому,
остаётся для многих безуспешно, то это по справедливости должно приписать
недостаткам в искусстве и способе преподавания». Хотелось бы надеяться, что
ознакомление современного учительского корпуса с классическими школьными
учебниками А. П. Киселёва поможет избавиться от этих недостатков.

Н. Розов,
профессор, декан факультета
педагогического образования МГУ

Предисловие

оценка нынешних пособий невозможны без личного знакомства с учебниками,
считавшимися в свое время эталонными. «Чаще и внимательнее перечитывайте
классиков» — эта глубокая мудрость касается не только бессмертных шедевров
художественной литературы. С полным правом распространяется она и на
книги «мэтров» педагогики и методики преподавания, ибо профессиональное
искусство обучающего и оригинальность преподнесения материала подчас важнее академических познаний учителя и следования инструктивным письмам.
Поэтому новое издание «Алгебры» А. П. Киселёва, несомненно, будет полезно и ищущему педагогу, и продвинутому ученику.
Появившаяся впервые в 1888 г. под названием «Элементарная алгебра»,
книга многократно автором совершенствовалась и регулярно переиздавалась.
В 1938 г. «Алгебра» А. П. Киселёва — после переработки, выполненной известным педагогом и методистом А. Н. Барсуковым — была официально утверждена как стабильный и единственный учебник по алгебре (в двух частях —
соответственно для 6–8 и 8–10 классов) советской средней школы (использовавшийся вместе со «Сборником задач по алгебре» Н. А. Шапошникова и
Н. К. Вальцова).
Учебник просуществовал (без всяких изменений) в качестве общепринятого до середины 50-х годов прошлого века, когда школьная программа по
математике претерпела изменения. Начали появляться другие учебники по
алгебре, включавшие также разделы, посвященные элементарным функциям,
началам анализа, тригонометрии (впрочем, они в школе не прижились и уже
забыты). «Алгебра» А. П. Киселёва больше не печаталась (в 1964 г. вышло
41-е издание) и стала библиографической редкостью, многие педагоги новых
поколений и студенты — будущие учителя математики — никогда не держали
ее в руках.
Сегодня актуальным является изучение и осмысление методического наследия А. П. Киселёва. Парадоксально, что ни сами его учебники (и когда они
были стабильными, и когда вынуждены были уйти), ни многолетний педагогический эксперимент по их использованию не подвергались всестороннему и
капитальному научно-методическому исследованию. (Конечно, хватало различных разработок и рекомендаций, комментариев и пояснений, но речь идет не
о поверхностных официозных писаниях-однодневках.) А ведь это богатейший
материал (особенно при сравнении с книгами других авторов) для обстоятельного анализа глубинных причин и направлений эволюции содержания и
методов школьного математического образования, выработки конструктивных
рекомендаций по развитию теории учебника математики. К сожалению, можно вспомнить, пожалуй, только одну давнюю диссертацию Ф. М. Шустеф,
посвященную исследованию российских учебников по алгебре (работа была
выполнена под руководством члена-корреспондента Академии педагогических
наук РСФСР И. В. Арнольда, отца нашего выдающегося математика академика
РАН В. И. Арнольда).
Для современного, прежде всего — начинающего, учителя будет интересно
познакомиться с содержанием программы курса алгебры советской средней
школы, с принятой тогда манерой преподнесения материала, его изложения и
оформления в учебнике. (Заметим, что не все главы учебника А. П. Киселёва
действительно изучались — например, диофантовы уравнения и непрерывные
дроби.) Очень важно, чтобы нынешние учителя составили собственное мнение
по тем вопросам, которые были предметом ожесточённых дискуссий при пересмотрах во второй половине XX века содержания школьного курса математики

Предисловие
5

(впрочем, и в наше время можно услышать отзвук этих споров): должны
ли учащиеся массовой общеобразовательной школы овладевать формальными
основами теории комплексных чисел? обязательно ли им знать формулу бинома Ньютона? следует ли познакомить их с фундаментальными понятиями
производной и интеграла? (Чтобы не возникло недоразумений, подчеркнём:
речь идет о массовой общеобразовательной школе, а не о профильных физикоматематических классах.)
Практикующие учителя принимают обычно весьма вялое участие в обсуждении путей «модернизации преподавания математики в школе». И очень жаль!
Каждый учитель, если он хочет стать гроссмейстером своего дела, должен
творчески обдумывать такие важные проблемы, как наполнение школьного
курса математики, методика изложения конкретного материала, сочетание эвристики, доступности и строгости, а сегодня — ещё и использование компьютерных и мультимедийных обучающих продуктов.
Есть и иные проблемы, для обдумывания «на перспективу». Что должна
представлять собой арифметика и как её увязывать с алгеброй? Как «вписать» в школьную программу элементы анализа, теории вероятностей, теории
множеств, теории игр и других «нетрадиционных» для школы разделов математической науки, без знания которых, однако, немыслим человек XXI века?
А все ли «традиционные» факты, изучаемые (чаще, впрочем, зазубриваемые)
школьниками, действительно так уж бесценны для их образованности? Разве
в окружающем нас мире кривых и поверхностей нет ничего, кроме скучных
прямых и плоскостей, однообразных окружностей и шаров? Чем наполнить
и как преподавать «гуманитарную математику», чтобы реально обеспечить
дифференцированное обучение, ориентируясь на индивидуальность учащихся,
а не на желания профессионалов-математиков? Действительно ли школьная
математика даёт единственную и лучшую возможность воспитания логического мышления?
Творческий подход к содержанию и формам обучения математике важен
особенно, ибо формализм в её преподавании просто губителен. В истории
нашей школы было достаточно примеров, когда далёкие от подлинной науки
чиновники и «методисты» диктовали, что и как надо делать. Люди старшего
поколения хорошо помнят бывшее одно время незыблемым требование всегда
и обязательно «приводить к виду, удобному для логарифмирования», ответ в
задачах «по геометрии с применением тригонометрии» или долгий «научный»
спор о том, какое место в школьной программе должны занимать и как должны
вводиться Arcsin x, Arccos x и прочие «аркфункции с большой буквы».
Общепризнано, что уровень математической подготовки значительной части наших школьников находится на достаточно высоком уровне. Но хорошо
известен и тот факт, что большое число учащихся испытывает серьезные трудности и даже неприязнь при освоении школьного курса математики. Н. И. Лобачевский писал: «Если учение математики, свойственное уму человеческому,
остаётся для многих безуспешно, то это по справедливости должно приписать
недостаткам в искусстве и способе преподавания». Хотелось бы надеяться, что
ознакомление современного учительского корпуса с классическими школьными
учебниками А. П. Киселёва поможет избавиться от этих недостатков.

Н. Розов,
профессор, декан факультета
педагогического образования МГУ

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДВЕНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящее издание печатается без изменения с одиннадцатого, в
котором были сделаны некоторые изменения сравнительно с предыдущим изданием. Главнейшие из этих изменений следующие:
1) добавлены возведение в квадрат многочлена, исследование уравнений и геометрическое представление комплексных чисел;
2) несколько изменён порядок изложения: например, теорема Безу,
неравенства и неопределённые уравнения из «дополнений» перенесены
в основной курс книги;
3) значительно увеличено число упражнений;
4) исправлены некоторые чертежи и дано несколько новых.
В составлении настоящего учебника принимал частичное участие
А . Н . Б а р с у к о в.

Ленинград.
А. Киселёв.

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

В шестнадцатом и последующих изданиях второй части «Алгебры»
А. П. Киселёва изменён текст в § 6–12 и в § 138; исправлен ряд мелких
неточностей в других параграфах.
В двадцать четвёртом издании в соответствии с требованиями программы по теме «Комплексные числа» дополнены: § 140 а и
§ 140 б — тригонометрическая форма комплексного числа. Добавлена
тема «Исследование квадратного трёхчлена. Неравенства второй степени», § 182–187.
Дополнительный материал написан А . Н . Б а р с у к о в ы м.
Настоящее издание книги печатается без изменения с предыдущего
издания.
В соответствии с новой программой по математике материал данного учебника в 1964/65 учебном году будет использоваться в IX и
Х классах.

Г л а в а 1

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СО СТЕПЕНЯМИ И КОРНЯМИ

I. Возведение в степень

1. Действие возведения в степень.
В начале курса мы уже
видели, что возведение в степень есть действие, посредством которого
данное число (основание степени) берётся сомножителем столько раз,
сколько единиц содержится в другом данном числе (показателе степени): 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32; (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = (−3)4 = 81.

a · a · a = a3.

Вообще:
a · a · a · ... · a
n раз
= an.

2. Степень отрицательного числа. При умножении отрицательных чисел мы видели, что произведение бывает положительно, если
число отрицательных множителей чётное. В противном случае произведение будет отрицательным. Применяя это свойство к произведению
равных отрицательных сомножителей, т. е. возведению в степень отрицательного числа, мы получили правило (ч. I, § 30).

Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна.

Так: (−2)2 = 4;
(−2)6 = 64;
(−5)4 = 625;
(−2)5 = −32;
(−2)7 = −128;
(−5)5 = −3125 и т. п.

3. Возведение в степень одночленов. В первой части мы вывели
правила возведения одночлена в квадрат и куб. Покажем теперь, что по
тем же правилам производится возведение одночлена в любую степень.
а) Возведём в степень n произведение abc. Пользуясь известными
свойствами умножения, получим:

(abc)n = abc · abc · ... · abc
n раз
= (aa ... a)
n раз

· (bb ... b)
n раз

· (cc ... c)
n раз

= anbncn.

Гл. 1. Тождественные преобразования со степенями и корнями

Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в эту степень
каждый сомножитель отдельно и результаты перемножить.

б) Таким же способом найдём степень дроби a

b :
a

b

n
= a

b · a

b · a

b · ... · a

b
n раз

= a · a · ... · a

b · b · ... · b = an

bn .

Чтобы возвести в степень дробь, надо возвести в эту степень отдельно
числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй.

в) Пусть требуется возвести в степень n число am. Будем иметь:

(am)n = am · am · am · ... · am
n раз
= am+m+m+...+m = amn.

Чтобы возвести степень какого-либо числа в другую степень, надо
перемножить показатели степеней.

г) Возьмём теперь какой-либо одночлен, например, 2a2b3. Возведём
его в какую-либо степень n. Применяя выведенные правила, получим:

(2a2b3)n = 2na2nb3n.

Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень
коэффициент, а показатели букв умножить на показатель степени, в
которую возводится одночлен.

Упражнения.
Произвести возведение в степень:
1. (−3)5; (−7)3; (−4)4; (−10)6; (−0,1)5.
2.
3a2b
3;
− 2a2b23;
− 5a4b2c
4.

3.
x2y
z3

4
;
−3ab3

2c2

3
;
0,2a3bc

d2

6
.

II. Возведение в квадрат многочлена

4. Вывод формулы. Пользуясь формулой (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
мы можем возвести в квадрат трёхчлен a + b + c, рассматривая его как
двучлен (a + b) + c:

[(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b) · c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2(a + b) · c + c2.

Таким образом, с прибавлением к двучлену a + b третьего члена
с после возведения суммы в квадрат прибавились два члена: 1) удвоенное произведение суммы первых двух членов на третий член и
2) квадрат третьего члена.

II. Возведение в квадрат многочлена
9

Теперь нетрудно четырёхчлен a + b + c + d возвести в квадрат,
принимая сумму a + b + c за один член:

[(a + b + c) + d]2 = (a + b + c)2 + 2(a + b + c) · d + d2.

Подставляя вместо (a + b + c)2 то выражение, которое мы нашли
раньше, получим:

(a + b + c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2(a + b) · c + c2 + 2(a + b + c) · d + d2.

Мы опять замечаем, что с прибавлением нового члена к возводимому в квадрат многочлену к степени прибавляются два члена:
1) удвоенное произведение суммы прежних членов на новый член и
2) квадрат нового члена. Очевидно, что такое прибавление к степени
двух членов будет идти и дальше по мере прибавления новых членов к
возводимому в квадрат многочлену. Значит:

Квадрат многочлена равен квадрату 1-го члена, плюс удвоенное произведение 1-го члена на 2-й, плюс квадрат 2-го члена, плюс удвоенное
произведение суммы первых двух членов на 3-й, плюс квадрат 3-го члена,
плюс удвоенное произведение суммы первых трёх членов на 4-й, плюс
квадрат 4-го члена и т. д.

Конечно, члены многочлена могут быть и отрицательными.
Если в правой части последнего равенства раскроем скобки, то
получим после перестановки членов:

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd.

Можно поэтому предыдущее правило формулировать так:

Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной с удвоенными произведениями каждого члена на каждый из
последующих.

5. Замечание о знаках.
В окончательном результате возведения
в квадрат многочлена со знаком плюс окажутся, во-первых, квадраты
всех членов многочлена и, во-вторых, те удвоенные произведения,
которые появились при умножении членов с одинаковыми знаками.
Например:

(3x2− x +1)2 = (3x2)2+ 2 · (3x2) · (− 2x) + (− 2x)2 + 2(3x2−2x) · 1+12 =

= 9x4 − 12x3 + 4x2 + 6x2 − 4x + 1 = 9x4 − 12x3 + 10x2 − 4x + 1.

Упражнения.

4.
2a2 − 1

2a + 1
2
.
5.
1
2x2 − 4x − 3
2
.

6. (−5a3x + 3a2x2 − ax3 + 3x4)2.
7.
0,3x3 − 0,1x2 − 3

4x + 0,5
2
.

Гл. 1. Тождественные преобразования со степенями и корнями

Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в эту степень
каждый сомножитель отдельно и результаты перемножить.

б) Таким же способом найдём степень дроби a

b :
a

b

n
= a

b · a

b · a

b · ... · a

b
n раз

= a · a · ... · a

b · b · ... · b = an

bn .

Чтобы возвести в степень дробь, надо возвести в эту степень отдельно
числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй.

в) Пусть требуется возвести в степень n число am. Будем иметь:

(am)n = am · am · am · ... · am
n раз
= am+m+m+...+m = amn.

Чтобы возвести степень какого-либо числа в другую степень, надо
перемножить показатели степеней.

г) Возьмём теперь какой-либо одночлен, например, 2a2b3. Возведём
его в какую-либо степень n. Применяя выведенные правила, получим:

(2a2b3)n = 2na2nb3n.

Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень
коэффициент, а показатели букв умножить на показатель степени, в
которую возводится одночлен.

Упражнения.
Произвести возведение в степень:
1. (−3)5; (−7)3; (−4)4; (−10)6; (−0,1)5.
2.
3a2b
3;
− 2a2b23;
− 5a4b2c
4.

3.
x2y
z3

4
;
−3ab3

2c2

3
;
0,2a3bc

d2

6
.

II. Возведение в квадрат многочлена

4. Вывод формулы. Пользуясь формулой (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
мы можем возвести в квадрат трёхчлен a + b + c, рассматривая его как
двучлен (a + b) + c:

[(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b) · c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2(a + b) · c + c2.

Таким образом, с прибавлением к двучлену a + b третьего члена
с после возведения суммы в квадрат прибавились два члена: 1) удвоенное произведение суммы первых двух членов на третий член и
2) квадрат третьего члена.

II. Возведение в квадрат многочлена
9

Теперь нетрудно четырёхчлен a + b + c + d возвести в квадрат,
принимая сумму a + b + c за один член:

[(a + b + c) + d]2 = (a + b + c)2 + 2(a + b + c) · d + d2.

Подставляя вместо (a + b + c)2 то выражение, которое мы нашли
раньше, получим:

(a + b + c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2(a + b) · c + c2 + 2(a + b + c) · d + d2.

Мы опять замечаем, что с прибавлением нового члена к возводимому в квадрат многочлену к степени прибавляются два члена:
1) удвоенное произведение суммы прежних членов на новый член и
2) квадрат нового члена. Очевидно, что такое прибавление к степени
двух членов будет идти и дальше по мере прибавления новых членов к
возводимому в квадрат многочлену. Значит:

Квадрат многочлена равен квадрату 1-го члена, плюс удвоенное произведение 1-го члена на 2-й, плюс квадрат 2-го члена, плюс удвоенное
произведение суммы первых двух членов на 3-й, плюс квадрат 3-го члена,
плюс удвоенное произведение суммы первых трёх членов на 4-й, плюс
квадрат 4-го члена и т. д.

Конечно, члены многочлена могут быть и отрицательными.
Если в правой части последнего равенства раскроем скобки, то
получим после перестановки членов:

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd.

Можно поэтому предыдущее правило формулировать так:

Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной с удвоенными произведениями каждого члена на каждый из
последующих.

5. Замечание о знаках.
В окончательном результате возведения
в квадрат многочлена со знаком плюс окажутся, во-первых, квадраты
всех членов многочлена и, во-вторых, те удвоенные произведения,
которые появились при умножении членов с одинаковыми знаками.
Например:

(3x2− x +1)2 = (3x2)2+ 2 · (3x2) · (− 2x) + (− 2x)2 + 2(3x2−2x) · 1+12 =

= 9x4 − 12x3 + 4x2 + 6x2 − 4x + 1 = 9x4 − 12x3 + 10x2 − 4x + 1.

Упражнения.

4.
2a2 − 1

2a + 1
2
.
5.
1
2x2 − 4x − 3
2
.

6. (−5a3x + 3a2x2 − ax3 + 3x4)2.
7.
0,3x3 − 0,1x2 − 3

4x + 0,5
2
.

Гл. 1. Тождественные преобразования со степенями и корнями

Убедиться на следующих двух примерах, что квадрат многочлена не изменится, если мы переменим знаки перед всеми его членами на обратные:
8. (a − b + c)2 = (−a + b − c)2.
9. (2x3 − x2 − 3x + 1)2 = (−2x3 + x2 + 3x − 1)2.
10. Если верно равенство (a − b)2 = (m − n)2, можно ли из него заключить,
что a − b = m − n?

III. Понятие об иррациональных числах

6. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки.
Как известно из
геометрии, общей мерой двух отрезков прямой называется такой отрезок, который в каждом из них содержится целое число раз без остатка.
В геометрии разъясняется, что могут быть такие два отрезка, которые
не имеют общей меры (например, сторона квадрата и его диагональ).
Два отрезка называются соизмеримыми или несоизмеримыми между собой, смотря по тому, имеют ли они общую меру или не имеют.

7. Понятие об измерении.
Пусть требуется измерить длину отрезка AB (см. рис. 1) при помощи единицы длины CD. Для этого

A
E
B

C
D

Рис. 1

узнаем, сколько раз единица CD содержится в AB. Пусть окажется, что она
содержится в AB 3 раза с некоторым
остатком EB (меньшим CD). Тогда число 3 будет приближённым результатом
измерения с точностью до 1, и притом с
недостатком, так как AB больше 3CD, но
меньше 4CD (число 4 тоже можно назвать приближённым результатом
измерения с точностью до 1, но с избытком). Желая получить более
точный результат, узнаем, сколько раз в остатке EB содержится
1
10
единицы CD. Положим, что эта доля содержится в EB более 8, но
менее 9 раз. Тогда числа 3,8 и 3,9 будут приближёнными результатами измерения отрезка AB с точностью до
1
10: первое число
с недостатком, второе — с избытком. Желая получить ещё более
точный результат измерения, узнаем, сколько раз в последнем остатке
содержится
1

100 единицы CD. Пусть эта доля содержится в остатке
более 5, но менее 6 раз. Тогда числа 3,85 и 3,86 будут приближёнными
результатами измерения отрезка АВ с точностью до
1

100. Можно
продолжать такое измерение всё далее и далее. При этом возможны
два случая:
1) может случиться, что при последовательных измерениях с точностью до 0,1, 0,01, 0,001, ... рано или поздно не получится никакого
остатка;
2) может случиться, что с какой бы точностью до 0,1, 0,01, 0,001, ...
мы ни измеряли, остаток всегда будет получаться.

III. Понятие об иррациональных числах
11

В первом случае в результате измерения получится конечная десятичная дробь. Во втором случае в результате измерения получится
бесконечная десятичная дробь.
Конечная десятичная дробь получается лишь в том случае, если
какая-нибудь десятичная доля единицы (одна десятая, или одна сотая,
или одна тысячная и т. д.) является общей мерой измеряемого отрезка
и единицы длины.
Если же измеряемый отрезок соизмерим с единицей длины, но ни
1
10, ни
1

100, ни
1

1000, вообще никакая десятичная доля единицы не
является общей мерой измеряемого отрезка и единицы длины, то в
результате измерения получается бесконечная периодическая 1) десятичная дробь.
Наконец, если измеряемый отрезок несоизмерим с единицей длины,
то в результате измерения получается бесконечная непериодическая
десятичная дробь.

8. Иррациональные числа и их приближённые значения. Числа целые и дробные носят общее название рациональных чисел.
Всякое рациональное число может быть записано в виде конечной
десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной
дроби; десятичные бесконечные непериодические дроби называются
иррациональными числами. Рациональные числа служат мерой величин, соизмеримых с единицей, иррациональные числа — мерой величин, несоизмеримых с единицей 2).
Иррациональное число считается известным (или данным), если
указан способ, посредством которого можно находить любое число его
десятичных знаков.
Обрывая на каком-нибудь десятичном знаке бесконечную десятичную дробь, выражающую данное (рациональное или иррациональное)
число, получаем приближённое значение этого числа с точностью до
0,1, 0,01, 0,001 и т. д. с недостатком. Увеличивая на 1 последний со
1) Действительно, в случае соизмеримости мы всегда могли бы получить
точный результат измерения в виде обыкновенной дроби. Обратив эту обыкновенную дробь в десятичную, мы выразили бы результат измерения в виде десятичной дроби. Но обыкновенная дробь, обращаясь в бесконечную десятичную,
даёт всегда периодическую дробь. В случае же несоизмеримости измеряемого
отрезка бесконечная десятичная дробь не может оказаться периодической, так
как если бы она была такой, то её можно было бы обратить в обыкновенную,
тогда эта обыкновенная дробь была бы точным результатом измерения, а
такого результата не может быть в случае несоизмеримости. Значит, в этом
случае бесконечная десятичная дробь должна быть непериодической.
2) Латинское слово r a t i o означает отношение. Рациональные числа —
те, которые могут быть представлены в виде отношения двух целых чисел,
иррациональные — те, которые в таком виде представлены быть не могут.