Курс математического анализа: в 5 частях. Часть 3

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

О. Л. Виноградов, А. Л. Громов

    КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Часть третья









ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ББК 22.161
     В49



Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук А. Б. Александров (Петерб. отд. матем. ин-та им. В. А. Стеклова), д-р физ.-мат. наук В. В. Жук (С.-Петерб. гос. ун-т)





Рекомендовано к печати
Ученым советом математико-механического факультета С.-Петербургского государственного университета





       Виноградов О. Л., Громов А. Л.
В49 Курс математического анализа: в 5 частях. Часть 3. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2016. — 252 с.
       ISBN 978-5-288-04871-5
       ISBN 978-5-288-05648-2 (ч. 3)

          Книга представляет собой третью часть курса математического анализа, читаемого на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. Эта часть содержит материал, традиционно входящий в третий семестр курса, и включает следующие разделы: числовые и функциональные ряды, теория меры и интеграла.
          Для студентов математических специальностей университетов.


ББК 22.161











ISBN 978-5-288-04871-5
ISBN 978-5-288-05648-2 (ч. 3)

             © Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ




  Эта книга представляет собой третью часть курса математического анализа, читаемого на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. Содержание книги примерно соответствует материалу, излагаемому в конце третьего и начале четвертого семестров пятисеместрового курса (или в третьем семестре четырехсеместрового курса, в котором теория функций комплексной переменной читается отдельно). Этот том включает в себя следующие разделы: числовые и функциональные ряды, теория меры и интеграла.
  Про третью часть, как и про две первых, можно сказать, что она написана в жанре подробного конспекта лекций.
  Материал глав 7 и 8 о числовых и функциональных рядах традиционен. Отметим лишь, что мы рассматриваем как вещественные, так и комплексные ряды. Это относится и к степенным рядам. Здесь же впервые определяется производная функции комплексной переменной, после чего доказывается комплексная дифференцируемость суммы степенного ряда.
  На математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета принято рассказывать теорию меры и интеграла в общем курсе анализа. Эта обширная тема разбита на три главы, две из которых вошли в настоящую книгу. Глава 9 посвящена теории меры, а глава 10 — общей теории интеграла. В интересах читателя материал зачастую излагается шире, чем принято в реальном лекционном курсе. Это относится прежде всего к § 2 и 3 главы 9, посвященным системам множеств и объемам. Далее излагается непосредственно теория меры, строятся меры Лебега и Лебега - Стилтьеса, устанавливаются их свойства.
  Особенность нашего изложения теории интеграла состоит в не совсем обычном определении интеграла по мере. Он определяется как площадь подграфика, где под площадью понимается произведение исходной меры на одномерную меру Лебега. Это определение заметно упрощает доказательство многих свойств интеграла. Однако, чтобы определить таким способом интеграл по произвольной (не обязательно с-конечной) мере, необходимо построить и изучить

Предисловие


произведение мер без предположения об их ст-конечности. Преодолению возникающих при этом технических трудностей посвящен § 8 главы 9.
  В главе 10 изучаются измеримые функции, строится интеграл, устанавливаются его свойства и теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Затем с помощью интеграла вычисляется произведение мер и доказываются теоремы об интегрировании по произведению мер. В последнем параграфе в качестве приложения интеграла рассматривается теория суммируемых семейств.
  Нумерация теорем и лемм ведется отдельно в каждом параграфе; нумерация формул — отдельно в каждой главе; нумерация следствий и замечаний — отдельно к каждому утверждению или группе утверждений, к которым эти следствия и замечания относятся. Конец доказательства обозначается символом □.
  Авторы благодарны всем коллегам по кафедре математического анализа Санкт-Петербургского государственного университета, чьи методические находки использовались в этой книге.

ГЛАВА 7. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ



§ 1. Простейшие свойства рядов


   До сих пор понятие суммы имело смысл лишь для конечного семейства слагаемых. Определение суммы ряда — формализация наивного представления о том, что должно получиться, если “сложить бесконечно много чисел одно за другим”.
   Определение 1. Числовой ряд. Пусть {aₖ}'g_₁ —вещественная или комплексная последовательность. Символ


ОО
a a a^ = a± + a2 + аз + ...
                   k=i

называется числовым a-на) ом . a числа ak — его членами. Последовательность {ak}kOi называется общим членом ряда. Числа n
Sₙ = ak aₖ называются частными или частичными суммами ря-k
да. Если последовательность {Sₙ}O=i имеет предел S (конечный
О
S                                      ak
k
                      S
О
ak k
Если последовательность {Sₙ}(0=i сходитея, то есть S является числом, то говорят, что ряд сходится-, в противном случае говорят, что он расходится.
  Итак, по определению



n

О

ak k


lim 5
n^o k

ak,

если предел существует.

  Замечание 1. Нумерация общего члена ряда может начинать-О
ся не с 1, а с любого m G Z. Сходимость и сухгма ряда вида (Д ak k=m

ГЛАВА 7. Числовые ряды

                                 определяется аналогично. Частные суммы такого ряда определи-n
ются равенством Sₙ = 52 ak^ n ^ т                     k=m
   Замечание 2. Любая числовая последовательность {Sn}TO=i является последовательностью частичных сумм некоторого ряда то
52 а^. Общий член этого ряда однозначно восстанавливается по k=i
формулам

a s Si,    ак = Sk - Sfc-i ири к ^ 2.

Поэтому вопросы о сходимости последовательностей и рядов сводятся друг к другу.
   Пример 1. Ряд £0 = 0 + 0 + 0+ ... сходится к 0, так как все k
его частичные суммы равны 0.
                    то
   Пример 2. Ряд £1 = 1 + 1 + 1 + ... расходится к +то, так k
как Sₙ = n ^ +то.

  Пример 3. Рассмотрим ряд

                  то
                 Z (-1 )k = 1-1 + 1-1 + ... k

Для него
,n
,n


Последовательность {Sₙ} не имеет ни конечного, ни бесконечного предела, поэтому ряд расходится и, более того, не имеет суммы.
   Пример 4. Пусть z G C. Рассмотрим сумму геометрической прогрессии: то
                    Z Z zk — 1 “h z "4" Z + ... k

Sn

§ 1. Простейшие свойства рядов

7

При z = 1 и -1 получаются расходящиеся ряды из примеров 2 и 3.

В случае z Л

      n
Sₙ = Z£zk
     k=0

1 - zⁿ⁺¹
1 - z

Если |z| <1, то, как было доказано в § 2 главы 2, |z|ⁿ ^ 0, а тогда и zⁿ ^0. По этому Sₙ ^ —^ и

О
Е z ■
      -z к

|z| < 1
Если |z| >1, то zⁿ ^ то; поэтому Sₙ

^ то, и ряд расходится к то.

                         |z|
сходимости (см. теорему 1 далее), поскольку zⁿ Л 0. На самом деле, при \z| = 1, z уЫ ряд не имеет ни конечной, ни бесконечной суммы. Этот более тонкий результат читателю предлагается доказать самостоятельно.
ОО
   Пример 5. Исследуем ряд        ₖ(k₊i) ■ Так как
к=1



            -Ё(!


 к

k+ij

n
Е к

1 к(к+1)

	


4т-¹' n + 1 n ■'■■-.

ряд сходится к сумме 1.
   Эта сумма, с которой мы уже встречались в примере § 5 главы 4, относится к так называемым телескопическим, то есть суммам слагаемых вида bk+1 — bk* Ясно, что


                      n —1
                       ^~^(bk+1 — bk) = bn — bl к


(все слагаемые, кроме крайних, взаимно уничтожаются). Пределы левой и правой частей существуют или нет одновременно, и в случае их существования


                      О
                     ^~^(bk+1 — bk) = limbn — bi-k

ГЛАВА 7. Числовые ряды

В частности, сходимость ряда равносильна сходимости последовательности {bₙ}.
  Пример 6. В § 6 главы 3, посвященном формуле Тейлора, для всех x G R были фактически доказаны равенства


от k
                         Exk
ТГ
                         fc=0

                    V' (-¹ )fc 2fc _
E (2k)! x -cosx’

от

    E

fc=0

  (⁻¹ )fc X fc+1 (2k+ 1)!

= sinx.

В частности,

от

                          E

fc=0


  Пример 7. Ряд


            от
            Ek-¹⁺2 ⁺ 3⁺-" k=i


называется гармоническим. Его частичные суммы

ⁿ 1
Я" = E k^ k k=l

также называются гармоническими.
  В § 8 главы 4 было доказано, что последовательность {Hₙ} не ограничена сверху. Поскольку она возрастает, Hₙ ^ +то. Следовательно, гармонический ряд расходится к +то.
  Впоследствии мы докажем расходимость гармонического ряда еще несколькими способами и исследуем поведение гармонических сумм подробнее.
  Установим некоторые простейшие свойств рядов.

§ 1. Простейшие свойства рядов

9

                 m
   S1. Если ряд Ok aₖ сходится, то для любого m G N ряд к=1 m
  ak aₖ тоже сходится и k=m+l

              m    m       m
£> = £ak+ £ ak.
              k=l  k=l   k=m+l

(1)

Обратно, тли при некотором m G N ряd £ ak сходится, mo k=m+l
сходится и ряд £ ak.
              k

  Доказательство. При всех n > m
                   n     m         n
ak     ak        ak.
                  k=l    k=l    k=m+l


При n ^ то предел обеих частей равенства (2) существует или нет mm
                                          ak       ak
                                       k=l    k=m+l
ся, то сходится и другой. Равенство (1) получается переходом к пределу в (2). □

m
ak
                       km
m
   ak     m
k

   Свойство S1 утверждает, что ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.



m

m

  Ok ak —> 0. Другими k=m+l  m '

    ak k

словами, остаток сходящегося ряда стремится к нулю.


  Действительно,

 mm
  ak ak
km  k

mm
Eak —> T^ak m^m г kk

 m
- ^k= 0.
 k

ГЛАВА 7. Числовые ряды

ОО  то
  S3. Линейность суммирования. Если ряды 52 ak, 52 bₖ k=l                               k=l
О
сходятся, а,в G R (C)? то pяд V (aak + ^bk) сходится и k
TO         TOTO
         ^2(aak + Pbk) = aX^ak + в 'У bk■ к=1         к=1  к=1
  Для доказательства надо перейти к пределу в равенстве для частичных сумм
n          n    n
y^(aak + вЬк) = a У2 ak + в 'У bk■
         k=l         k=l  k=l
                 ОО ak             bk
kk О ak bk k ak bk
бы и ряд с членами ak = (ak + bk) — bk, что неверно.
  S4. Если {zₖ} — комплексная noхаедовательность, xₖ = Rezₖ, О
yk = Imzk? то сходимость ряда ^2 zk равносильна одновременен k
            ОО
сходимости ^ядов Xk xk и 52 Уk- При этом
           kk
ОО         О
^2zk= y^Xk + i^yk ■
             kk        k
  Действительно, равносильность вытекает из аналогичного утверждения о покоординатной сходимости последовательности частных сумм (см. замечание 2 к теореме 1 § 2 главы 5), а равенство для сумм — из свойства линейности.
                                ОО ak    bk
k=l k=l
с вещественными члешми имеют RMOkbi в R, aₖ < bₖ при всех k G N, то
ОО
0T^aₖ < £bk■