Среднеквадратичная многоцелевая оптимизация

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ 
МНОГОЦЕЛЕВАЯ 
ОПТИМИЗАЦИЯ

Е. И. Веремей

УДК 517.977:519.71(075)
ББК 22.18я73

В31

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В.М.Корчанов (НПО «Аврора»), 
д-р техн. наук, профессор М.В.Ульянов (ИПУ РАН)

Рекомендовано в печать
Учебно-методической комиссией факультета ПМ–ПУ  
Санкт-Петербургского государственного университета

Веремей Е.И. 
В31
Среднеквадратичная многоцелевая оптимизация: учеб. 
пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2016. — 408 с.
ISBN 978-5-288-05662-8

В учебном пособии рассматривается совокупность вопросов, 
относящихся к проблеме анализа и синтеза математических моделей 
оптимальных управляющих устройств для динамических объектов, 
функционирующих в условиях воздействия случайных возмущений 
и характеризующихся величиной среднеквадратичного функционала. Целью учебного пособия является формирование у обучающихся 
устойчивых навыков построения алгоритмического и программного 
обеспечения, предназначенного для реализации соответствующего 
математического аппарата с использованием современных информационных и компьютерных технологий. 
Издание рекомендовано для студентов программ бакалавриата 
по направлению «Прикладная математика и информатика» и магистратуры по направлению «Фундаментальные информатика и информационные технологии». Представляет значительный интерес для 
специалистов в области управления подвижными объектами.
ББК 22.18я73 

© Санкт-Петербургский

государственный
ISBN 978-5-288-05662-8
университет, 2016

ВВедение

Современный этап развития математических методов и моделей, используемых при исследовании, проектировании и практической реализации систем автоматического управления техническими объектами, характеризуется исключительной ориентацией на 
широкое применение различных средств вычислительной техники. 
Особое внимание уделяется поиску законов управления, анализу 
устойчивости и качества динамических процессов в синтезируемых системах, их технической реализации на базе цифровых и аналоговых элементов. В зависимости от круга проблем и от класса 
вычислительных средств, на которые возлагается их решение, осуществляется необходимая адаптация существующих или разработка новых математических методов и применяемых математических 
моделей. При этом актуальность соответствующих исследований 
в первую очередь определяется стремлением к повышению вычислительной эффективности, а следовательно, к уменьшению сроков 
выполнения необходимых работ и улучшению их качества.
Исключительно широкое распространение в теоретических 
исследованиях и практических приложениях получила теория 
аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для 
динамических управляемых объектов. Основы соответствующих 
подходов были разработаны в трудах А. М. Лётова, В. И. Зубова, 
А. А. Красовского, В. В. Солодовникова, В. С. Пугачёва, Н. Винера, 
Р. Калмана и многих других исследователей.
В частности, заслуженной популярностью пользуется теория 
синтеза оптимальных регуляторов, обеспечивающих минимум 
среднеквадратичных функционалов для линейных динамических 
объектов, подверженных воздействию стационарных внешних 
возмущений случайного характера.
Большой вклад в становление и развитие математических методов по данному направлению внесли В. В. Солодовников [121–
123], В. С. Пугачёв [109, 110], А. А. Красовский [79, 80], А. А. Первозванский [102, 103], Ю. П. Петров [104–107], Х. Квакернаак [75, 143]. 

Существенные результаты в рамках данной проблемы, создавшие 
почву для дальнейших исследований, приведены в таких известных работах, как [4, 85–87, 125, 61, 74, 95, 100, 101, 132, 133, 137].
Необходимо отметить, что, как и все подходы, находящиеся 
в рамках линейно-квадратичной гауссовской проблемы, среднеквадратичная оптимизация является сравнительно грубым математическим аппаратом анализа и синтеза динамических систем. 
Однако этот подход исключительно широко распространён в силу 
своей достаточной адекватности (как комплекса математических 
моделей) объективной реальности, что подтверждается богатым 
опытом его практического применения. Даже в самых сложных 
случаях среднеквадратичная оптимизация даёт определённую информацию о свойствах объекта, которая может быть полезной при 
использовании более тонких и глубоких методов теории управления.
Теоретическая и практическая значимости среднеквадратичного оптимального синтеза, при относительной грубости и простоте его математического аппарата, с очевидностью определяют 
выбор класса средств вычислительной техники для реализации 
соответствующих методов и вычислительных алгоритмов. В качестве таковых целесообразно применять современные персональные компьютеры, вычислительные ресурсы которых (при соответствующей ориентации математического обеспечения) вполне 
достаточны для указанной цели. Привлечение компьютеров, которые широко распространены в настоящее время, может позволить 
с максимальной эффективностью использовать среднеквадратичную оптимизацию в научных исследованиях и конструкторских 
разработках. 
Тем не менее известные методы среднеквадратичного оптимального синтеза не ориентированы на широкое применение в условиях вычислительной поддержки средствами малой мощности. 
Привлечение классической среднеквадратичной оптимизации при 
выполнении реальных научных и технических проектов в значительной мере затрудняется (а в ряде случаев становится невозможным) из-за ряда объективных трудностей, которые можно разделить на две группы:

• трудности реализации методов (алгоритмов) оптимального 
синтеза на базе современных средств вычислительной техники;

• трудности реализации результатов оптимального синтеза 
(математических моделей оптимальных регуляторов) с помощью реальных технических устройств.

Эти трудности обусловлены определёнными недостатками существующих подходов к решению проблем среднеквадратичной 
оптимизации, основными из которых, на взгляд автора, являются 
следующие.
1. 
Несовершенство формы представления (чаще всего — алгоритмического) результата синтеза — передаточной матрицы 
оптимального регулятора, что существенно затрудняет проведение аналитических исследований свойств оптимальных решений.
2. 
Относительная сложность расчётных схем, обеспечивающих 
поиск оптимальных решений даже в простейших случаях задания множества допустимых альтернатив. Это значительно 
препятствует широкому внедрению этих схем в практические 
разработки, требующему многократного уточнения математических моделей, перебора возможных вариантов ситуаций и, 
соответственно, многократного повторения решения задачи 
синтеза. Особо значимы вопросы, связанные с применением 
расчетных алгоритмов при адаптивной перенастройке законов 
управления в режиме реального времени, требующие всемерной экономии вычислительных ресурсов. 
3. 
Отсутствие аналитического решения (в частотной области) 
задач оптимизации с возмущениями, матрицы спектральных плотностей которых имеют неполный ранг. Как известно, 
к этим задачам сводится большое количество проблем управления подвижными объектами.
4. 
Недостаточная изученность возможности неединственности 
оптимальных регуляторов — общих условий, которым они 
удовлетворяют, и связей между ними, что затрудняет процесс 
поиска наиболее простых решений, обеспечивающих экстремум среднеквадратичных функционалов.
5. 
Неполная исследованность вопроса о поиске решения задачи 
среднеквадратичного синтеза на множестве альтернатив с неполной информацией, отсутствие условий совпадения экстремумов при наличии и отсутствии полной информации о векторе состояния объекта.

6. 
Сложность проведения анализа структурных особенностей 
оптимальных регуляторов по исходным данным без непосредственного решения задачи синтеза, недостаточная исследованность вопроса о физической реализуемости передаточных  
матриц оптимальных регуляторов.
7. 
Недостаточная разработанность оценочного подхода к среднеквадратичной оптимизации, отсутствие легко вычисляемых 
оценок сверху и снизу как для экстремума функционала в целом, так и для его отдельных слагаемых. Как известно, в ряде 
ситуаций такие оценки могут играть весьма важную роль в повышении практической эффективности оптимизации.
8. 
Отсутствие легко реализуемых алгоритмов синтеза на допустимых множествах, определяемых дополнительными (по отношению к устойчивости) требованиями и ограничениями, 
которые задают многоцелевую направленность среднеквадратичной оптимизации.
9. 
Наличие объективной возможности потери устойчивости оптимальной замкнутой системы при сколь угодно малых вариациях ее параметров, что в соответствующих ситуациях делает 
невозможной практическую реализацию решения задачи синтеза.
10. Отсутствие достаточно разработанных подходов (исключая 
параметрический синтез) к поиску оптимальных варьируемых элементов в передаточных матрицах регуляторов частично фиксированной структуры.
11. Недостаточная исследованность вопроса об учёте особенностей среднеквадратичного синтеза в конкретных приложениях, в частности при проектировании и исследовании систем 
управления морскими подвижными объектами.

Перечисленные недостатки известных подходов к решению 
проблем, связанных со среднеквадратичным синтезом, определяют потребность в дальнейшем развитии теории и построении на 
её основе соответствующего алгоритмического и программного 
обеспечений. Эти же недостатки можно отнести и к учебно-методической литературе, посвященной теории среднеквадратичной 
оптимизации и ее приложениям для решения практических задач 
аналитического проектирования систем управления. 
В связи с отмеченными обстоятельствами целью данного учебного пособия служит доступное представление исследований, на

правленных на развитие математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических объектов. Эти методы априорно 
ориентированы на выполнение комплекса требований, предъявляемых к синтезируемым регуляторам, исходя из позиций необходимости реализации на базе технических устройств, описываемых найденными в процессе синтеза математическими моделями. 
Целью пособия является также предоставление алгоритмического 
обеспечения полученных методов, предназначенного для реализации соответствующего математического аппарата в виде программ 
для современных персональных компьютеров малой мощности.
При этом основное внимание в учебном пособии уделяется 
следующим вопросам.

1. 
Представление новой техники поиска оптимального решения 
задачи в классической постановке (на множестве устойчивости замкнутой линейной системы), позволяющей построить 
эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для исследований форме.
2. 
Изучение (на базе принятого представления) особенностей 
и свойств оптимальных регуляторов для малоисследованных 
вариантов постановки задачи синтеза с возмущениями неполного ранга и разработка методов поиска этих регуляторов.
3. 
Построение системы оценок экстремального значения среднеквадратичного функционала сверху и снизу, позволяющих судить об эффективности оптимизации без непосредственного 
решения задачи синтеза и принимать необходимые меры по её 
повышению.
4. 
Разработка комплекса методов и реализующих их алгоритмов, предназначенных для решения задачи среднеквадратичного синтеза в многоцелевой постановке, определяемой различными вариантами (локальными и комплексными) сужения 
допус тимого множества регуляторов по сравнению с их стабилизирующей совокупностью.
5. 
Рассмотрение общих принципов и конкретных вариантов применения предлагаемого математического и алгоритмического 
аппарата в интегрированных комплексах автоматизации научных исследований и проектирования систем управления.
6. 
Адаптация подхода, принятого в работе, к решению задач 
управления движением морских подвижных объектов различ

ных типов с модификацией методов и алгоритмов, учитывающей специфику конкретной ситуации.

Учебное пособие состоит из введения, десяти глав, заключения и списка литературы, включающего 167 наименований.
Глава 1 является вводной. Она посвящена обсуждению двух 
центральных проблем, рассматриваемых в учебном пособии, связанных с реализуемостью методов поиска и искомого результата. 
Приводится краткий обзор научных публикаций по теме исследований и дается общая формулировка решаемых в учебном пособии 
задач.
В главе 2 рассматривается задача среднеквадратичного оптимального синтеза в классической постановке, когда решение 
ищется на множестве передаточных матриц регуляторов, обеспечивающих гурвицевость характеристического полинома замкнутой системы. Основу главы составляет обоснование предлагаемого 
спектрального подхода к технике поиска оптимального решения 
и его конкретизация для различных вариантов постановок задачи.
Глава 3 посвящена исследованию проблемы среднеквадратичного синтеза на множестве обратных связей с неполной информацией о векторе состояния объекта управления. Особое внимание 
уделяется задаче синтеза со скалярным возмущением, для которой 
подробно рассматривается вопрос о возможности сов падения экстремумов на множестве решений с полной и неполной информацией.
В главе 4 исследуются структурные особенности передаточных матриц оптимальных регуляторов. Для задач синтеза с единственным решением выводятся формулы для степеней числителей 
и знаменателей компонент этих матриц. В случае неединственности решения рассматривается вопрос об ограничениях на выбор 
степеней, назначаемых априорно.
Глава 5 учебного пособия содержит материал, связанный 
с оценочными подходами к среднеквадратичной оптимизации. Основное внимание уделяется разработке методов построения оценок оптимума минимизируемого функционала снизу, гарантированных оценок в условиях неопределённости спектра возмущения 
и оценок качества аппроксимации алгоритмически заданной спектральной плотности.

В главе 6 рассматриваются предельные возможности среднеквадратичной оптимизации. Исследуется зависимость точности 
оптимальных замкнутых систем от интенсивности работы управления. Выводятся формулы для оценок сверху и снизу указанных 
характеристик, позволяющие без непосредственного решения задачи синтеза провести анализ динамических свойств системы.
Глава 7 посвящена ряду вопросов, касающихся оптимизации 
нестационарных режимов движения динамических объектов. Соответствующие исследования формируют основу для учёта ограничений, определяемых нестационарными режимами, в среднеквадратичном многоцелевом синтезе.
Глава 8 посвящена минимизации среднеквадратичных функционалов на допустимых множествах, которые сужены по отношению к области устойчивости за счёт введения дополнительных локальных требований к свойствам синтезируемой системы. В центре 
внимания находится учёт модальных ограничений, динамических 
ограничений на качество нестационарных режимов, требований 
физической реализуемости и сохранения устойчивости при малых 
вариациях параметров.
В главе 9 на примере конкретных проблем управления морскими подвижными объектами рассматриваются общие концепции 
и разрабатываются отдельные методы и алгоритмы среднеквадратичного синтеза в многоцелевой постановке. В известной мере главу можно трактовать как итоговую, поскольку в ней используются 
все основные результаты теоретических исследований и разработок, проведенных в учебном пособии.
Глава 10 посвящена формированию идеологии автоматизированного синтеза законов управления морскими судами, движущимися в горизонтальной плоскости (авторулевыми) в условиях 
морского волнения. Алгоритмическая и программная поддержка 
системы целиком построена на базе материалов предыдущих глав 
учебного пособия.

Глава 1  

МногоцелеВой среднекВадратичный синтез 
и проблеМы реализуеМости

Данная глава определяет общий круг вопросов, рассматриваемых в учебном пособии. Эти вопросы касаются двух центральных 
проблем, которые в тех или иных формах и объёмах всегда учитываются при практическом применении математических методов 
и алгоритмов теории управления в научных исследованиях и проектировании управляемых систем. 
Первая проблема обусловлена необходимостью реализации 
соответствующего математического обеспечения в форме алгоритмической и программной поддержки на современных вычислительных средствах определённых классов, обладающих в ряде 
случаев существенно ограниченными ресурсами. 
Вторая проблема связана с необходимостью реализации результатов решения математических задач, получаемых в виде математических моделей управляющих систем, на базе конкретных 
технических устройств с широким спектром различных условий, 
ограничений и требований. 
Учёт этих проблем можно осуществлять тремя путями: выбором соответствующего математического аппарата в рамках известных подходов; выбором необходимых средств вычислительной техники; разработкой специализированных математических 
методов поиска решений, удовлетворяющих условиям реализации.
В учебном пособии в качестве основы принят третий путь как 
наиболее адекватно отражающий специфику идеологии среднеквадратичной оптимизации.
В связи с этим основное содержание главы составляет обоснование принятого подхода к учёту проблем реализуемости. Приводится общая формулировка решаемых в учебном пособии математических задач и дается краткая библиографическая справка по 
теме учебного пособия.