Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и основные свойства

Учебное пособие

Гидромеханика  
идеальной жидкости 

постановка задач и основные свойства

М. А. Рыдалевская, Ю. Н. Ворошилова

издательство санкт-петерБУрГскоГо Университета

санкт-петерБУрГский ГосУдарственный Университет

УДК 532
ББК 22.253
P93

Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук, проф. Е. А. Нагнибеда (С.-Петерб. гос.
ун-т), д-р физ.-мат. наук, проф. А. В. Омельченко (С.-Петерб.
нац. иссл. акад. ун-т)

Рекомендовано к публикации
Учебно-методической комиссией
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета

Р93
Рыдалевская М. А., Ворошилова Ю. Н.
Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и
основные свойства: учеб. пособие — СПб.: Изд-во С.-Петерб.
ун-та, 2016. — 80 с. ISBN 978-5-288-05688-8

Настоящее учебное пособие посвящено описанию течений идеальной нетеплопроводной жидкости. Выводится замкнутая система уравнений, дается постановка задач и исследуются основные свойства течений этой жидкости. Предполагается, что в жидкости отсутствуют
внутренний момент, объемные источники массы и энергии.
Пособие предназначено для студентов вузов, специализирующихся
в области гидроаэромеханики.

ББК 22.253

У ч е б н о е и з д а н и е

РЫДАЛЕВСКАЯ Мария Александровна,
ВОРОШИЛОВА Юлия Николаевна

ГИДРОМЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Учебное пособие

Редактор Н. В. Седых
Корректор Е. В. Величкина

Подписано в печать 16.09.2016. Формат 60 × 84 1/16.
Усл. печ. л. 4,65. Тираж 1000 экз. (1-й завод — 90 экз.). Заказ № 188. 
Издательство СПбГУ. 199004, С.-Петербург, В. О., 6-я линия, 11.
Тел./факс +7(812) 328-44-22 
E-mail: publishing@spbu.ru 
publishing.spbu.ru

Типография Издательства СПбГУ. 199034, С.-Петербург, Менделеевкая лин., 5

ISBN 978-5-288-05688-8

c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2016

ВВЕДЕНИЕ

В общих курсах гидроаэромеханики жидкость обычно рассматривается как сплошная среда (см., например, [1–5]). Изложение
этих курсов, как правило, начинается с записи основных физических законов для жидкой среды. Совокупность полученных таким
образом уравнений, соответствующих законам сохранения массы,
импульса, энергии и полного момента импульса, не является замкнутой системой. Для ее замыкания требуются дополнительные соотношения, которые с какой-то степенью точности отражали бы
свойства рассматриваемой жидкости. Задание этих соотношений
определяет «модель» жидкости. Исторически первой такой моделью стала модель идеальной нетеплопроводной жидкости.

С тех пор гидромеханика идеальной жидкости составляет большой раздел любого курса теоретической гидроаэромеханики. Именно с него начинается изучение конкретных моделей в механике жидкости и газа. Это объясняется тем, что модель идеальной жидкости
обладает достаточной простотой и при этом позволяет решать важные практические задачи.

Настоящее учебное пособие посвящено описанию течений идеальной нетеплопроводной жидкости. В главе 1 выводится замкнутая система уравнений, дается постановка задач и рассматриваются
основные свойства течений этой жидкости. При этом предполагается, что в ней отсутствуют внутренний момент, объемные источники
массы и энергии. В главе 2 приводится вывод интегралов движения идеальной нетеплопроводной жидкости, рассматривается скорость распространения малых возмущений в идеальной жидкости.
В главе 3 изучаются проблемы возникновения, сохранения и изменения вихревых образований в идеальной жидкости. Особое внимание уделяется исследованию влияния энергетических процессов на
существование интегралов движения и вихревые свойства жидкости. Такое исследование позволяет прояснить некоторые причинноследственные связи и расширить область применения ряда известных положений гидромеханики идеальной жидкости.

3

Глава 1

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ В ГИДРОМЕХАНИКЕ
ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

В этой главе дается определение модели идеальной нетеплопроводной жидкости. Выводится замкнутая система уравнений для
описания течений этой жидкости. Исследуется влияние уравнений
состояния на постановку задач. Формулируются начальные и граничные условия. Отдельный параграф посвящен описанию стационарных течений. Так как для решения ряда задач удобнее использовать криволинейные координаты, приводятся выражения основных
векторных операций в этих координатах.

§ 1.1. МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОЙ
НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

Идеальной называется жидкость, если в ней действуют только нормальные напряжения, как и в состоянии покоя. В реальных условиях наряду с нормальными напряжениями в движущейся
жидкости всегда присутствуют касательные напряжения. В ситуации, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными и ими можно пренебречь, жидкость можно считать идеальной. Такие случаи наблюдаются довольно часто. В декартовой системе координат справедливы соотношения

τ n = τnn n,
τ x = τxx i,
τ y = τyy j,
τ z = τzz k,
(1.1.1)

где i, j, k — орты, соответствующие осям x, y, z; τ n — сила, действующая на единичную площадку с нормалью n; τxx, τyy, τzz — силы,
действующие в направлении соответствующих осей.

Известная формула Коши1 (см., например, [1–5])

τ n = τ x cos (n, x) + τ y cos (n, y) + τ z cos (n, z)

и соотношения (1.1.1) позволяют получить равенство

τnn = τxx = τyy = τzz = −p.
(1.1.2)

1Augustin Louis Cauchy (1789–1857) — французский математик и механик.

4

Из формулы (1.1.2) следует, что сила, действующая по нормали на
единичную площадку, не зависит от того, как площадка ориентирована в пространстве. Величина p называется давлением.

В рассматриваемых условиях формулы (1.1.1) могут быть переписаны следующим образом:

τ n = −p n,
τ x = −p i,
τ y = −p j,
τ z = −p k.
(1.1.3)

Так как касательные напряжения τik = 0 при i ̸= k, тензор
напряжений идеальной жидкости имеет вид

∥τik∥ =

−p
0
0
0
−p
0
0
0
−p

= −p

1
0
0
0
1
0
0
0
1

= −p
↔
I,
(1.1.4)

где
↔
I — единичный тензор.
Нетеплопроводной называется жидкость, в которой можно пренебречь процессами переноса энергии. При этом величины qn, которые определяют количество энергии, переносимое в единицу времени через единичную площадку с нормалью n, равны нулю. Если
ввести в рассмотрение вектор потока энергии

q = qx i + qy j + qz k,

то для нетеплопроводной жидкости будем иметь

q ≡ 0.
(1.1.5)

§ 1.2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ
ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

Уравнения гидроаэромеханики, представляющие собой запись
основных законов сохранения, при отсутствии объемных источников массы и энергии имеют вид [1–5]

dϱ
dt + ϱ divv = 0,
(1.2.1)

ϱ dv

dt = ϱ F + ∂τ x

∂x + ∂τ y

∂y + ∂τ z

∂z ,
(1.2.2)

ϱ dE

dt = τ x · ∂v

∂x + τ y · ∂v

∂y + τ z · ∂v

∂z + ∂qx

∂x + ∂qy

∂y + ∂qz

∂z .
(1.2.3)

5

Здесь ϱ, v, E — массовая плотность, скорость и удельная энергия
жидкости; F — сила, действующая на единицу массы. В левых частях уравнений (1.2.1)–(1.2.3) присутствуют материальные (индивидуальные) производные

dA
dt = ∂A

∂t + vx
∂A
∂x + vy
∂A
∂y + vz
∂A
∂z = ∂A

∂t + v · ∇A.
(1.2.4)

Закону сохранения момента количества движения при отсутствии внутреннего момента соответствует условие симметрии тензора напряжений
τik = τki,
i ̸= k.
(1.2.5)

Очевидно, что компоненты тензора напряжений (1.1.4) удовлетворяют условию (1.2.5).

Подставляя соотношения (1.1.3) в уравнение (1.2.2), будем иметь

ϱ dv

dt = ϱ F − i ∂p

∂x − j ∂p

∂y − k ∂p

∂z .
(1.2.6)

Уравнение движения (1.2.6) для идеальной жидкости, которое
обычно записывается в виде

dv
dt = F − 1

ϱ ∇p,
(1.2.7)

называется уравнением Эйлера2.

Подстановка равенств (1.1.3) и (1.1.5) в (1.2.3) приводит к уравнению

ϱ dE

dt = − p ∂vx

∂x − p ∂vy

∂y − p ∂vz

∂z = − p divv.
(1.2.8)

Обычно уравнение энергии (1.2.8) записывают в виде

dE
dt = − p

ϱ divv.
(1.2.9)

Система пяти уравнений (1.2.1), (1.2.7) и (1.2.9) является системой уравнений в частных производных относительно шести неизвестных функций ϱ, vx, vy, vz, E и p. Для ее замыкания нужно знать

2Леонард Эйлер (1707–1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик.

6

уравнение состояния рассматриваемой жидкости. Обычно это уравнение определяет связь между плотностью ϱ, давлением p и температурой жидкости T. Оно называется термическим уравнением
состояния и записывается в виде

f (p, ϱ, T) = 0.
(1.2.10)

В связи с появлением в уравнении (1.2.10) температуры T для замыкания системы уравнений (1.2.1), (1.2.7), (1.2.9) и (1.2.10) необходимо определить связь этого параметра с введенными ранее параметрами ϱ, p и E. Эта связь известна, если задано соотношение

E = E (p, ϱ, T).
(1.2.11)

Уравнение (1.2.11) часто называют калорическим уравнением
состояния.

Замечание. Уравнение состояния (1.2.10) позволяет исключить
в соотношении (1.2.11) один из параметров и заменить калорическое уравнение состояния одним из соотношений

E = E (ϱ, T),
E = E (p, T),
E = E (p, ϱ).

Система уравнений

dϱ
dt + ϱ divv = 0,

dv
dt = F − 1

ϱ ∇p,

dE
dt = −p

ϱ divv,
(1.2.12)

f (p, ϱ, T) = 0,

E = E (p, T)

является замкнутой системой, описывающей течения идеальной
нетеплопроводной жидкости.

Если divv выразить из уравнения неразрывности (1.2.1), подставить в (1.2.8), добавить в обе части полученного равенства слагаемое (1/ϱ) dp/dt и ввести в рассмотрение функцию

H = E + p

ϱ,
(1.2.13)

7

которая соответствует удельной энтальпии, то вместо уравнения
энергии в системе (1.2.12) можем записать уравнение

dH
dt = 1

ϱ
dp
dt .
(1.2.14)

При записи уравнения энергии в форме (1.2.14) вместо калорического уравнения состояния (1.2.11) нужно использовать соотношение (1.2.13), записанное в виде

H (p, ϱ, T) = E (p, ϱ, T) + p

ϱ.
(1.2.15)

Следует отметить, что термическое и калорическое уравнения
состояния (1.2.10) и (1.2.11) могут оказывать существенное влияние на характер течения жидкости. В некоторых случаях их конкретизация может привести к упрощению постановки задач. Для
иллюстрации рассмотрим два примера.

Баротропная жидкость. Если уравнение (1.2.10) не содержит
температуры, его можно заменить уравнением

ϱ = Φ(p)
(1.2.16)

и считать, что плотность жидкости зависит только от давления.
Такая жидкость называется баротропной. В противном случае ее
называют бароклинной.

В этом случае система уравнений (1.2.12) «расщепляется». Уравнения неразрывности (1.2.1), движения (1.2.7) и состояния (1.2.16)
составляют замкнутую систему относительно плотности ϱ, скорости v и давления p. Их можно решать отдельно, не обращая внимания на происходящие в жидкости энергетические процессы.

Однородная несжимаемая жидкость. Если термическое
уравнение состояния (1.2.10) имеет вид

ϱ = ϱ0 = const,
(1.2.17)

такая жидкость называется несжимаемой.

В этом случае индивидуальная производная dϱ/dt равна нулю,
и уравнение неразрывности (1.2.1) принимает вид

divv = 0.
(1.2.18)

8