Теорема Коши и особые решения дифференциальных уравнений

Егоров А.И.

Теорема Коши

и особые
решения

дифференциальных

уравнений

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.9
ББК 22.161.6
Е 30

Е г о р о в А. И. Теорема Коши и особые решения дифференциальных
уравнений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 256 с. — ISBN 978-5-9221-0942-0.

Рассматриваются проблемы существования и единственности решений
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными первого порядка, а также вопросы существования и практического
построения особых решений таких уравнений. Анализ проблем начинается
с обзора основных следствий теоремы Коши и завершается кратким изложением теории уравнений Каратеодори, дифференциальных включений и групп Ли.
Изложение теоретического материала сопровождается анализом многочисленных примеров.
Для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся
в области дифференциальных уравнений.

ISBN 978-5-9221-0942-0

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008

c⃝ А. И. Егоров, 2008

Оглавление

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка . . . . . . 13
1. Теорема существования решения задачи Коши. . . . . . . . . . . . .
13
1.1. Основные определения. Теоремы Пеано и Осгуда (13).
1.2. Теорема Коши (18). 1.3. Зависимость решения задачи Коши от параметров (24). 1.4. Уравнения, не разрешенные относительно производной (30).
2. Общие и особые решения уравнений первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.1. Общее решение уравнения 1-го порядка (35). 2.2. Особые
решения уравнений первого порядка (39).
3. Уравнения
первого
порядка,
не разрешенные относительно производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.1. Анализ простейших примеров (43). 3.2. Особые решения по Петровскому (47). 3.3. Уравнение F(x, y, p) = 0 с
многозначной относительно p функцией F (54). 3.4. Теоремы
Дарбу–Кэлли и Картана. Точки перегиба (56). 3.5. Необходимые и достаточные условия существования особой интегральной кривой (59). 3.6. Кривая касания и некоторые ее свойства (61). 3.7. c-дискриминантная кривая и некоторые ее свойства (65).
4. Однопараметрическое семейство плоских кривых . . . . . . . . . .
73
4.1. Параметрическая форма представления плоских кривых (74). 4.2. Неявное задание кривых на плоскости (81). 4.3.
Особые точки и предельные точки пересечения кривых семейства (88).

Г л а в а 2. Общие и особые решения систем уравнений и уравнений n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1. Частные и общие решения систем уравнений. . . . . . . . . . . . . . . 93

Оглавление

1.1. Теорема Коши, частные и общие решения систем уравнений (93). 1.2. Зависимость решений от параметров (97).
2. Фазовые пространства и фазовые траектории . . . . . . . . . . . . . 100
2.1. Интегральные кривые и фазовые траектории (100). 2.2.
Интегралы систем дифференциальных уравнений (102). 2.3.
Понижение порядка систем с помощью первых интегралов
(107). 2.4. Симметричная форма системы дифференциальных
уравнений (108). 2.5. Точки покоя системы уравнений второго
порядка. Классификация особых точек (111).
3. Частное и общее решение уравнения n-го порядка. . . . . . . . . 116
3.1. Теорема Коши, частные и общие решения (116).
4. Семейства кривых на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . 118
4.1. Однопараметрическое семейство кривых в пространстве
(119). 4.2. Неявно заданное семейство кривых (121). 4.3. Признак наличия огибающей (122). 4.4. Многопараметрические
семейства кривых на плоскости и в пространстве (123).
5. Огибающая однопараметрического семейства поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1. Параметризованные семейства поверхностей и их огибающие (125). 5.2. Ребро возврата огибающей поверхности (138).
5.3. Семейства неявно заданных поверхностей и их огибающие (146).
6. Однопараметрическое семейство плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1. Огибающая как развертывающаяся поверхность (158).
6.2. Огибающая нормальных плоскостей (160). 6.3.Огибающая
спрямляющих плоскостей (161).
7. Огибающая семейства поверхностей с двумя параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.1. Неявное задание двупараметрического семейства поверхностей (164).
8. Необычный пример. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Г л а в а 3. Уравнения с разрывной правой частью . . . . .
175
1. Уравнения Каратеодори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1.1. Уравнения с разрывной правой частью по независимой
переменной (175). 1.2. Уравнения с обобщенными функциями
(178). 1.3. Линейные уравнения n-го порядка (181). 1.4. Линейные уравнения с переменными коэффициентами (184). 1.5.
Системы уравнений с обобщенными функциями (186).
2. Уравнения с разрывной правой частью по фазовым
переменным и многозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.1. Гиперповерхности (190). 2.2. Выпуклые множества (191).
2.3. Многозначные функции (193).
3. Дифференциальные включения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.1.Теоремы одифференциальных включениях (196). 3.2. Примеры (201).

Оглавление
5

4. Особые точки и точки покоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.1. Стационарные множества дифференциальных включений
(206).

Г л а в а 4. Уравнения с частными производными
первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
1. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
1.1. Общее решение линейного однородного уравнения (210).
1.2. Задача Коши для линейного однородного уравнения (215).
2. Квазилинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
2.1. Построение общего решения. Особые решения (219).
2.2. Задача Коши для квазилинейного уравнения (226).
Г л а в а 5. Групповой анализ дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
1. Группы точечных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
1.1. Инфинитезимальный оператор и инварианты группы
(231). 1.2. Продолжение группы и инфинитезимального оператора (234).
2. Интегрирование уравнения, допускающего группу. . . . . . . . . 236
2.1. Уравнения, допускающие группу (236). 2.2. Интегрирование уравнения первого порядка (237). 2.3. Интегрирование
уравнения второго порядка (242).
3. Негладкие преобразования в теории групп Ли . . . . . . . . . . . . . 244
3.1. Инварианты негладких преобразований (244).

З а к л ю ч е н и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Введение

В предлагаемой вниманию читателей книге рассматриваются разделы общего курса обыкновенных дифференциальных
уравнений, о многих из которых знает каждый студент
второго курса университета или технического вуза, но которые,
к сожалению, недостаточно полно освещаются в различных научных монографиях и учебниках. Значительная часть из них
связана с проблемой существования и единственности решения
задачи Коши, а также с проблемой существования и практического построения особых решений.
Этот материал излагается здесь на основе детального анализа теоремы Коши и ее обобщений. Такой подход к проблеме
позволяет провести четкую грань между общим, частным, особым решениями и особыми точками уравнений и систем уравнений, а также сделать детальный анализ вопроса о структуре решений уравнений с частными производными. Последовательное
рассмотрение этого материала приводит к достаточно естественному переходу от классических дифференциальных уравнений
к уравнениям Каратеодори и дифференциальным включениям.
В приложении «Теорема Коши. Общие и особые решения»
к книге автора «Обыкновенные дифференциальные уравнения
с приложениями» (3-e издание, 2007 г.) изложены основные факты теории, основанные на различных публикациях по этой теме.
По ряду причин во многих случаях там пришлось ограничиваться констатацией фактов без соответствующих обоснований.
Однако в теории особых решений обоснование (доказательства соответствующих теорем) представляют не меньший интерес, чем сами теоремы. В частности, они могут подсказать новые
возможные приложения теории, а таких приложений более чем
достаточно. Отметим лишь некоторые из них.

Введение
7

При решении задач классического вариационного исчисления приходится иметь дело с уравнением Эйлера, которое обычно бывает нелинейным
уравнением
выше
первого порядка.
Оно может иметь особые решения. При исследовании систем
обыкновенных дифференциальных уравнений и, особенно, при
решении уравнений с частными производными первого порядка
обычно
ограничиваются
использованием
общего
и первого
интегралов систем. Особые решения также при этом не принимаются во внимание. Поэтому представляется целесообразным
рассмотреть проблему особых решений для всех типов указанных уравнений.
В предлагаемой книге для
доказательства
многих утверждений, относящихся к теории особых решений, широко используется теория огибающих 1), которая рассмотрена здесь с достаточной полнотой. Это позволило детально анализировать
различные практические методы отыскания особых решений.
Вместе с тем следует отметить, что более общие результаты, относящиеся к этой теории, связаны с теорией особенностей дифференцируемых многообразий 2). В учебной и научной литературе материал по особым точкам и особым решениям излагается
недостаточно последовательно. При этом вводимые различными
авторами определения зачастую противоречат друг другу.
И. Г. Петровский рассматривает уравнение
dy
dx = f(x, y)
(0.1)
или
dx
dy = f1(x, y),
(0.2)

в которых правые части определены в некоторой области G
плоскости xOy. Если можно указать такую окрестность точки
P, лежащей внутри области G или на ее границе, что через каждую точку этой окрестности проходит единственная интегральная кривая и, кроме того, по крайней мере одна из функций
f(x, y) или f1(x, y) непрерывна, то точку P он называет обыкновенной точкой уравнения (0.1) или (0.2). Согласно теореме
Коши непрерывность f(x, y) по x и выполнение условия Липшица по y или непрерывность f1(x, y) по y и выполнение условия
Липшица по x достаточны, чтобы точка P была обыкновенной.

1) См. З а л г а л л е р В. А. Теория огибающих. — М.: Наука, 1975.
2) А р н о л ь д В. И., В а р ч е н к о А. Н., Г у с с е й н - З а д е С. М, Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Наука, 1982.

Введение

Однако И. Г. Петровский отмечает, что это условие не является
необходимым. Это подтверждается примером:

dy
dx =

y ln y
при y ̸= 0,
y
при y = 0.

Здесь в точках оси Ox условие Липшица нарушается, но все
точки плоскости — обыкновенные.
По определению И. Г. Петровского точка P называется особой точкой, если она не является обыкновенной для уравнения
(0.1) или (0.2). Следовательно, точка P может быть особой только в трех случаях.
1. Точка P лежит на границе области G.
2. Точка P является точкой неединственности, т. е. такой
точкой, что в любой ее окрестности через нее проходит более
одной интегральной кривой. Точка P может быть также предельной для точек неединственности.
3. Поле направлений в точке P может иметь разрыв.
Исходя из этих фактов И. Г Петровский вводит следующее

Определение 0.1. Интегральная кривая уравнения (0.1)
или (0.2), все точки которой являются особыми, называется
особой интегральной кривой этого уравнения.

Н. П. Еругин, Б. Л. Рождественский, В. К. Романко и другие авторы определяют особые решения как решения, в каждой
точке которых нарушена единственность решения. В. В. Степанов и Л. Э. Эльсгольц определяют особую интегральную кривую
как огибающую семейства интегральных кривых, определяемых
общим решением. То же самое определение особого решения дает и Дж. Сансоне. Таким образом, особое решение определяется
неоднозначно разными авторами. Дело здесь не только в форме. Различными определениями могут выделяться и различные
интегральные кривые.
Другая часть проблемы особых решений состоит в том, что
возможность появления таких решений не учитывается при исследовании задач в теории систем дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.
В этой книге предлагается исходить из того, что особое решение состоит из особых точек. Отсюда следует, что на интегральной кривой не выполняются условия теоремы Коши существования и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения или системы уравнений. При этом мы

Введение
9

будем исходить из того, что нарушение условий теоремы состоит в том, что не выполнено условие Липшица. Предположение о
том, что не выполняется условие непрерывности в правой части
уравнения
y′ = f(x, y)

не определяет особые решения. Оно лежит в основе теории
уравнений
Каратеодори
и
дифференциальных
включений.
Элементы этой части теории
дифференциальных
уравнений
в предлагаемой книге также рассматриваются.

Изложение материала имеет две особенности.
1. Сформулированные теоремы, относящиеся к теории особых решений, как правило, доказываются, обсуждаются и при
необходимости иллюстрируются конкретными примерами. Это
позволяет заострить внимание читателя на принципиальной стороне факта, сформулированного в теореме.
2. Обсуждение практически всех рассмотренных вопросов
завершается анализом результатов, изложение которых не предусмотрено в учебной программе университетов по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В частности, при анализе
теоремы Коши существования и единственности решения задачи
Коши потребовалось проанализировать все варианты не выполнимости условий этой теоремы. В итоге пришлось рассматривать уравнения Каратеодори и дифференциальные включения,
которые обычно не рассматриваются в учебной литературе по
обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Весь материал книги излагается путем последовательного
анализа классической теоремы Коши существования единственного решения задачи Коши. На основе этого анализа в первой
главе вводятся понятия общего и частного решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Эти решения существуют там, где выполнены все условия
теоремы Коши. Затем определяется понятие особого решения
одного уравнения первого порядка как решения, в каждой точке которого не выполняются
условия
теоремы
Коши и,
в частности, условие Липшица и которое не может быть получено из общего решения выбором конкретного значения произвольной постоянной.
Общий анализ особых решений проводится на основе теории
огибающих семейства плоских кривых. Основные факты теории приводятся в этой главе с необходимыми доказательствами

Введение

и примерами. Из такого определения особого решения не следует, что в каждой точке особого решения нарушается единственность решения дифференциального уравнения. Приводятся соответствующие иллюстративные примеры. Примерами также
иллюстрируется достаточная корректность введенных определений.
Во второй главе анализируются общие и особые решения систем дифференциальных уравнений и уравнений n-го порядка.
целью Сначала находятся достаточные условия, при выполнении которых общее решение непрерывно зависит от произвольных постоянных и дифференцируемо по ним достаточное число
раз. Поэтому общее решение системы уравнений или ее общий
интеграл можно рассматривать как многопараметрическое семейство кривых, которые анализируются в теории огибающих,
и в полном объеме использовать результаты этой теории.
Необходимые факты теории огибающих приводятся с более
или менее полным обоснованием и иллюстративными примерами. Для анализа первых интегралов и их различных сочетаний
потребовалось рассмотреть семейства поверхностей и их огибающие. На основе этого анализа введены понятия особых интегралов, которые в книге называются особыми интегралами первого, второго и т. д. рода. Соответствующие теоретические выводы
иллюстрируются примерами.
Третья глава посвящена системам уравнений
˙xi = fi(t, x1, . . . , xn),
i = 1, 2, . . . , n,
при
различных
предположениях
относительно
функций
fi(t, x1, . . . , xn).
Если функции fi(t, x1, . . . , xn), i = 1, 2, . . . , n, непрерывны
по совокупности переменных x1, . . . , xn и разрывных по
t,
то естественным продолжением классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теории Каратеодори, в основе которой лежит соответствующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.
В книге приводятся основные факты этой содержательной
теории с необходимыми пояснениями и примерами. Из этой теории следует, что наличие разрывов функций fi(t, x1, . . . , xn) по
переменной t не приводит к появлению новых типов особых решений, а интегральные кривые не столь гладкие, как соответствующие кривые, определяемые теорией Коши. Если же допускать, что функции
fi(t, x1, . . . , xn), i = 1, 2, . . . , n,