ОКСО: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Кубанский государственный аграрный университет
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 202
Дополнительно
Доступ онлайн
49 ₽
В корзину
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 1 УДК 621.3.013+537.212 UDC 621.3.013+537.212 УЧЁТ НЕОДНОРОДНОСТИ СРЕДЫ ПРИ РАСЧЁТЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ HEEDING OF HETEROGENEITY OF ENVIRONMENT WHEN CALCULATING A MAGNETIC FIELD Попов Борис Клавдиевич к.т.н., доцент Popov Boris Klavdievich Cand.Tech.Sci., associate professor Попова Ольга Борисовна к.т.н., доцент Popova Olga Borisovna Cand.Tech.Sci., associate professor Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия, 350072, ул. Московская, 2, pbk47@mail.ru Kuban State Technical University, Krasnodar, Russia Выведена формула для определения величины и направления вторичных источников поля в виде поверхностных токов для учёта неоднородности среды. Показано, что можно решать нелинейные полевые задачи, используя математические выводы, приведённые в статье The formula for definition of magnitude and direction of secondary sources of a field as surface currents for the registration of heterogeneity of environment is found. We have shown that it is possible to solve nonlinear field problems, using the mathematical deductions shown in this article Ключевые слова: РЯД ФУРЬЕ, МЕТОД ВТОРИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ПОЛЯ Keywords: FOURIER SERIES, METHOD OF SECONDARY SOURCES OF FIELD Одной из основных задач при проектировании нетрадиционных электромеханических устройств, таких как электрические машины, тяго вые электромагниты или трансформаторы, является расчёт электромагнит ного поля этих устройств. Как было ранее сказано в нашей статье [1], по добные расчёты в неоднородных средах связаны с решением краевых за дач уравнений математической физики. Здесь, в последнее время, нашёл применение метод конечных элементов, но мы остановили наше внимание на методе вторичных источников поля [1], который был введён на основа нии физических соображений. Однако можно показать, что данный метод вытекает и из математических рассуждений. Ниже мы покажем вывод формул, учитывающих неоднородность сред, полученных с помощью этих двух подходов. Также будет видно, что математический подход позволит решать нелинейные задачи. Остановимся на математическом выводе упомянутых выше формул. Рассмотрим известное уравнение электромагнитного поля .δ rot = H (1)
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 2 Умножим обе части уравнения (1) на функцию µ µ 0 .δ µ µ rot µ µ 0 0 = H (2) Применяя известное выражение теории поля [2] ( ) a a a × = ϕ ϕ ϕ grad rot rot (3) и предполагая в первом приближении, что µ µ0 представляет собой некото рую непрерывную функцию, можно преобразовать выражение (2) к виду ( ) ( ) .δ µ µ µ µ grad µ µ rot rot µ µ 0 0 0 0 = × = H H H (3) Произведя некоторую перестановку членов в уравнении (3), получим следующее равенство ( ) ( ) . µ µ grad δ µ µ µ µ rot 0 0 0 H H × + = (4) Учитывая, что , µ µ0 B H = (5) а также , µ µ0 B H = (6) получим уравнение ( ) ( ) . µ µ µ µ grad δ µ µ rot 0 0 0 B B × + = (7) Для простоты будем рассматривать плоскую задачу. На рисунке 1 показан участок неоднородности среды, на котором происходит изменение магнитной проницаемости. Известно, что при разложении функций в ряд Фурье и при стремлении области разрыва функции к бесконечно малой ве личине, любая функция будет иметь в этом месте среднее значение. Сле довательно, и функция µ µ0 , в месте скачка магнитной проницаемости так же будет иметь среднее значение [3]. Исходя из этого, представим второй сомножитель второго слагаемого в уравнении (7) в следующем виде ( ). µ µ µ 2 µ µ 1 2 0 0 + ≈ B B ср (8) Из аналогичных соображений первый сомножитель этого же слагае мого будет иметь вид
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 3 ( ) ( ) . 1 1 µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ grad 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 ∆ + ∆ − = ∆ − + ∆ − ≈ j y i x j y i x ср (9) Напомним формулу для вектора нормали к области раздела сред (см. рисунок 1) β. cos α cos j i n + = (10) Преобразуем второй сомножитель в правой части выражения (9). Для этого определим компоненту x ∆ (см. рисунок 1) . α cos или α cos n x x n = ∆ = ∆ (11) Рисунок 1. Эскиз участка неоднородности среды. Аналогично определим компоненту y ∆ . β cos или β cos n y y n = ∆ = ∆ (12) Отсюда, учитывая, что длина единичного вектора ,1 = n (13)
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 4 первое слагаемое во втором сомножителе правой части выражения (9) бу дет выглядеть так α, cos i i x n = ∆ (14) а второе – . β cos j j y n = ∆ (15) Следовательно, второй сомножитель в правой части уравнения (9) примет вид β. cos α cos j i + (16) А это не что иное, как вектор нормали к области раздела сред. Отсю да видно, что направление вектора нормали к разделу сред совпадает с направлением вектора градиента. Учитывая предыдущие выводы, равенство (9) можем преобразовать следующим образом ( ) ( )( ) ( ) . µ µ µ β cos α cos µ µ µ µ µ grad 1 2 0 1 2 0 0 n j i ср − ≈ + − ≈ (17) Приведённые рассуждения позволяют преобразовать второе слагае мое уравнения (7) к виду ( ) ( ) ( ) [ ]. µ µ µ µ 2 µ µ µ 2 µ µ µ µ µ µ µ grad 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 0 0 B n B n B + − = × + − = × (18) Теперь рассмотрим вывод аналогичной формулы для вторичных ис точников поля, исходя из физических соображений. Ранее нами для вторичных источников поля в виде поверхностных зарядов была выведена формула для определения величины и знака этих источников [4]. Однако, при решении задач распределения магнитного по ля, где источниками поля являются токи, более целесообразно применять вторичные источники в виде поверхностных токов. Это вызвано тем, что поле вторичных источников должно определяться по тем же уравнениям, что и поле исходных источников. То есть, если источником поля является ток, то поле определяется с помощью векторного потенциала. Следова тельно, и вторичные источники должны быть в виде поверхностных токов.
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 5 Это вытекает из того, что поле вторичных источников в виде поверхност ных токов также определяется через векторный потенциал. Данное утвер ждение вызвано тем, что при описании поля рядами Фурье, эти ряды должны быть однотипными. А это возможно лишь, когда источники одно типные: либо все источники − заряды, либо все источники − токи. В про тивном случае возникают сложности вычислительного характера. Используя магнитный векторный потенциал, мы будем оперировать магнитной индукцией B . Известно, что на поверхности раздела сред (см. рисунок 2) 2 1 n n B B = , (19) 2 0 2 1 0 1 µ µ µ µ t t B B = , (20) где n B − нормальная к поверхности составляющая индукции; tB − тангенциальная к поверхности составляющая индукции. Будем считать, что вся область однородна, а на поверхности раздела сред расположен поверхностный ток удельной плотности σ , имитирую щий неоднородность среды (см. рисунок 2). Независимый источник развивает индукцию в рассматриваемой точ ке tи B (или просто tB ). Тогда в среде 1 t t t B B B ′ − = 1 , (21) а в среде 2 t t t B B B ′ + = 2 , (22) где tB′ − индукция, развиваемая поверхностным током. Используя (20), получим 2 0 1 0 µ µ µ µ t t t t B B B B ′ + = ′ − . (23) Используя (23), определим индукцию, развиваемую вторичными ис точниками поля в виде поверхностных токов t t B B 1 2 1 2 µ µ µ µ + − = ′ . (24)
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 6 Рисунок 2. Поведение вектора индукции на поверхности раздела сред Напряжённость магнитного поля вторичных источников
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 7 0 µ t t B H = , (25) так как всё происходит уже в среде с 0 µ , где 1 µ = . Применим закон полного тока к элементу поверхности раздела сред длиной l ∆ i ld H = ∫ . (26) Если обход кругового интеграла будет происходить по часовой стрелке, то при направлении вектора H против часовой стрелки направле ние тока совпадёт с положительным направлением оси Z (см. рисунок 2). Элемент тока по поверхности длиной l ∆ l H l H l H ld H i t t t ∆ ′ = ∆ ′ + ∆ ′ = = ∫ 2 . (27) Поверхностная плотность тока t t t B B H l i 1 2 1 2 0 0 µ µ µ µ 2 µ 2 2 + − = ′ = ′ = ∆ = µ σ . (28) Здесь надо учесть, что tB − это средняя величина магнитной индук ции суммарного поля (то есть поля катушки и поля вторичных источников) на поверхности раздела сред. То есть 2 1 2 t t t B B B + = , (29) как это имело место с магнитными зарядами [3]. Если мы хотим знать направление поверхностной плотности тока, то, исходя из рисунка 3, можно записать такую формулу [ ] n Bt 1 2 1 2 0 µ µ µ µ µ 2 + − = σ , (30) где n − вектор внешней нормали к поверхности раздела сред (направление вектора из среды с большей магнитной проницаемости в среду с меньшей магнитной проницаемостью). Развернём векторное произведение в (30), учитывая, что по оси Z составляющие векторов tB и n равны нулю ( ) x ty y tx y x ty tx t n B n B k n n B B k j i n B − = = × 0 0 . (31)
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 8 Рисунок 3. Определение знака и величины поверхностного тока Следовательно, условие (30) можно записать в виде ( ) ( ) x ty y tx z n B n B l − + − = 1 2 1 2 0 µ µ µ µ µ 2 σ . (32)
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 9 Определим компоненты вектора tB . Рассмотрим выражение (30). В векторное произведение входит величина tB , то есть тангенциальная к по верхности раздела составляющая вектора B . Рассмотрим рисунок 3. Век торное произведение в формуле (30) равно n B n B t t = o 90 sin . (33) Рассмотрим, чему равно векторное произведение [ ] n B , где B вектор индукции на поверхности раздела сред ϕ sin n B . (34) В выражении (34) B Bt = ϕ sin . Подставим это выражение в (34) n B B B n B t t = . (35) Мы видим, что (35) и (33) равны. Поэтому выражению (30) можно придать вид ( ) [ ] n B l 1 2 1 2 0 µ µ µ µ µ 2 + − = σ . (36) Соответственно изменится и (32) ( ) ( ) x y y x z n B n B l − + − = 1 2 1 2 0 µ µ µ µ µ 2 σ . (37) Следует учесть, что рассматривая случай, когда n направлено из среды с меньшей магнитной проницаемостью в среду с большей магнит ной проницаемостью (как это имело место в математическом выводе), по рядок следования сомножителей в векторном произведении в выражении (36) изменится на противоположный. Отсюда следует, что выражения (18) и (36) идентичны. Выводы. Таким образом, математический и физический подход привели к одинаковому результату. То есть неоднородность среды право мерно учитывать вторичными источниками поля. Однако, математический подход позволяет расширить метод вторичных источников поля. Если бу дет иметь место нелинейная зависимость магнитной проницаемости от магнитной индукции, то градиент в этом случае не будет равным нулю. А
Научный журнал КубГАУ, №95(01), 2014 года http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf 10 это обстоятельство приведёт к появлению объёмных источников поля в области, занятой ферромагнетиком. Применяя метод последовательных приближений к уравнению (7), можно будет создать алгоритм решения по левых задач в нелинейных средах. Также следует заметить, что формулы, выведенные нами в данной статье, позволят разработать автоматический алгоритм определения величины и знака поверхностной плотности тока, имитирующей неоднородность среды при решении линейных задач. Список литературы 1. Попов Б.К. Решение полевых задач электротехники с помощью вторичных источников поля и рядов Фурье / Б.К. Попов, О.Б. Попова // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГАУ, 2013. – №09(093). – IDA [article ID]: 0931309040. – Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2013/09/pdf/40.pdf, 0,750 у.п.л. 2. Колобов А.М. Избранные главы высшей математики. Ч. 2. Векторный анализ и теория поля. Специальные функции. Методы математической физики (интегральные уравнения, краевые задачи устойчивость движения). – Минск: «Вышэйш. школа», 1967. – 296 с. 3. Попов Б.К. Определение зависимости вторичных источников поля от среднего значения напряжённости поля на границе раздела сред/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2004. – 4 с. – Деп. в ВИНИТИ 08.06.2004, № 970 – В2004. 4. Попов Б.К. Вывод формулы для определения величины и знака вторичных источников поля/ Кубан. гос. технол. ун-т.– Краснодар, 2004.– 4 с.– Деп. в ВИНИТИ 08.12.04, № 1962 – В 2004. References 1. Popov B.K. Reshenie polevyh zadach jelektrotehniki s pomoshh'ju vtorichnyh istochnikov polja i rjadov Fur'e / B.K. Popov, O.B. Popova // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universi-teta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. – Krasnodar: KubGAU, 2013. – №09(093). – IDA [article ID]: 0931309040. – Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2013/09/pdf/40.pdf, 0,750 u.p.l. 2. Kolobov A.M. Izbrannye glavy vysshej matematiki. Ch. 2. Vektornyj analiz i teorija polja. Special'nye funkcii. Metody matematicheskoj fiziki (integral'-nye uravnenija, kraevye zadachi ustojchivost' dvizhenija). – Minsk: «Vyshjejsh. shko-la», 1967. – 296 s. 3. Popov B.K. Opredelenie zavisimosti vtorichnyh istochnikov polja ot srednego znachenija naprjazhjonnosti polja na granice razdela sred/ Kuban. gos. tehnol. un-t. – Krasnodar, 2004. – 4 s. – Dep. v VINITI 08.06.2004, № 970 – V2004. 4. Popov B.K. Vyvod formuly dlja opredelenija velichiny i znaka vtorichnyh istochnikov polja/ Kuban. gos. tehnol. un-t.– Krasnodar, 2004.– 4 s.– Dep. v VINITI 08.12.04, № 1962 – V 2004.
Доступ онлайн
49 ₽
В корзину