Электричество и магнетизм. Сборник задач и примеры их решения

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




В.Г. ДУБРОВСКИЙ, Г.В. ХАРЛАМОВ




            ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ


        СБОРНИК ЗАДАЧ И ПРИМЕРЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия








НОВОСИБИРСК

2011

УДК 537(076.2)
    Д 797

Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. ПА. Пуртов (НГУ); канд. физ.-мат. наук, доц. А.Г. Моисеев (НГТУ)

Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики

       Дубровский В.Г.
Д 797 Электричество и магнетизм. Сборник задач и примеры их решения : учеб. пособие / В.Г. Дубровский, Г.В. Харламов. -Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. - 92 с. . . . ________________________
         ISBN 978-5-7782-1600-6



Дубровский Владислав Георгиевич Харламов Георгий Владимирович

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ _ _ _ _______________________________
СБОРНИК ЗАДАЧ И ПРИМЕРЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Учебное пособие

Редактор И.Л. Кескевич Выпускающий редактор ИЛ. Брованова Корректор И.Е. Семенова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка ЛИ. Веселовская

Подписано в печать 14.03.2011. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 500 экз.
Уч.-изд. л.5,34. Печ. л.5,75. Изд. № 402. Заказ №      Цена договорная

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
УДК 537(076.2)
ISBN 978-5-7782-1600-6                   © Дубровский В.Г., Харламов Г.В., 2011
© Новосибирский государственный технический университет, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ
   Настоящее учебное пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу общей физики и самостоятельной работы студентов I курса физико-технического факультета НГТУ. Сборник включает 12 тем по разделам электростатики, постоянного тока и магнетизма. Каждая тема включает краткое теоретическое введение, примеры решения задач и задачи для решения на практических занятиях под руководством преподавателя. В конце пособия приведены варианты индивидуальных заданий для самостоятельного решения. Каждый студент обязан выполнить в течение семестра два задания (всего 18 задач) и защитить их перед преподавателем.
   Задачи, включенные в сборник, выбирались из различных учебных пособий, таких как: Иродов И.Е. Задачи по общей физике; Волькен-штейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики; Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике и др. Полный список использованных источников приведен в конце настоящего издания.
   Студентам рекомендуется:
   •    при подготовке к практическому занятию по одной из представленных в пособии тем внимательно изучить лекцию или прочитать главы из учебника, касающиеся этой темы;
   •    затем разобрать приведенные в пособии примеры решения задач. Если остались неясные моменты, разобрать их на практическом занятии при помощи преподавателя;
   •    использовать полученный опыт для решения задач на практическом занятии, а затем дома - для решения задач из своего варианта задания, относящихся к этой теме;
   •    наиболее «продвинутым» студентам рекомендуется самостоятельно решать сложные задачи из задачников, список которых приведен в конце настоящего издания. Особое внимание следует обратить на задачник [2].

1. РАСЧЕТ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ
  В природе существует два типа электрических зарядов: положительные и отрицательные. Электрические заряды взаимодействуют друг с другом - заряды одного знака отталкиваются, а разных знаков -притягиваются. Сила взаимодействия определяется законом Кулона:

¹       £
л _     2   ’
4Л8о £ Г

(1-1)

где q₁, q₂ - точечные заряды; Г - радиус-вектор, проведенный от одного заряда к другому; е₀ = 8,85 • 10“¹² Ф/м .
   Каждый покоящийся заряд создает вокруг себя электростатическое поле, которое действует на другой заряд, помещенный в это поле. Электростатическое поле характеризуется напряженностью - силой, действующей на единичный точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля. Если в некоторую точку поля поместить точечный заряд q и определить силу, действующую на этот заряд, то напряженность поля можно рассчитать по формуле
^Г
                                Г F                             z ч
                                Е = —.                          (1.2)
q
Таким образом, если электростатическое поле создается некоторым зарядом Q, то согласно закону Кулона (1.1)

г 1 qQ£ 1 Q£
Е =------2 =------2—.
4ле₀ г q г 4ле₀ г г

(1.3)

   Если электростатическое поле создается несколькими зарядами
Q₁, Q₂,..., Qₙ, то напряженность этого поля будет равна сумме напря
4

женностей, созданных каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции):

^Ф-    ^ф-    ^фЕ - Е₁ + Е₂

          ^Ф+... + Еп.

(1-4)

Дано: т - 0,6-10 кг, I - 0,4м , q₁ - q ₂ - q, а = 60°.

   Рассмотрим пример расчета равновесия системы зарядов.
   Задача 1. Два шарика одинакового объема, обладающие массой 0,6-10“³ г каждый, подвешены на шелковых нитях длиной 0,4 м так, что их поверхности соприкасаются. Угол, на который разошлись нити при сообщении шарикам одинаковых зарядов, равен 60°. Найти величину зарядов и силу

Найти: q, F.

   электрического отталкивания.
              Изобразим на рисунке все силы, действующие на заряженный шарик.

   Запишем уравнения равновесия шарика в проекциях на оси координат:


F - Т sin — - 0, ³         2
а
Т cos — - mg - 0.


По закону Кулона


F - ——
4л£0

                                                  2
qi q 2 ₌ ¹ q r² 4ле₀ 1²


5

   Решая эти уравнения, получаем


q —

а
4ле₀mgl²tg — — 7,8 •Ю ⁹Кл,

1 q²
F —-----q- — 3,4•10’⁶ н.
                        э 4ле₀ 11


   Ответ'.


q —

           4л s₀mgl²tg - — 7,8 • 10’⁹ Кл, F —     — 3,4 • 10’⁶ Н .
⁰       2                э 4ле₀ 11


   Следующие задачи решите самостоятельно.
   Задача 2. Два равных по величине заряда q₁ — q₂ — 3 • 10“⁹ Кл расположены в вершинах при острых углах равнобедренного прямоуголь





ного треугольника на расстоянии —V—cm. Определить, с какой силой эти два заряда действуют на третий заряд 10“⁹ Кл, расположенный в вершине при прямом угле треугольника. Рассмотреть случаи, когда первые два заряда одно- и разноименные. (F — 9,5 • 10“⁵ н).
   Задача 3. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м помещены заряды по 0,1 нКл. Определить напряженность в центре квадрата, если один из зарядов отличается по знаку от остальных. (Е — 360 В/м).

   Задача 4. На рисунке АА - заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда о — 40 мкКл/м² и В - одноименно заряжен

»
—


ный шарик с массой т — 1 г и зарядом q — 1 нКл. Какой угол а с плоскостью АА образует нить, на которой висит шарик? (а —13°).
   Задача 5. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд q надо сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равна Т — 98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса I — 10 см; масса каждого шарика т — 5 г . (1,1 мкКл).


6

   Задача 6. Четыре положительных заряда связаны нитями. Длина каждой нити I. Определить силу натяжения нити, связывающей заряды Q между собой ( Q > q).


(
Т =
У

1
4ле₀1²

2
4-зТз))

2. РАСЧЕТ ПОТЕНЦИАЛА И НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ
  Потенциалом электростатического поля называется работа, совершаемая силами поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в точку, потенциал которой полагается равным нулю. Последнюю точку можно выбирать произвольно, однако удобнее выбирать такую точку, в которой силы электрического поля, действующие на заряд, помещенный в эту точку, равны нулю. Так, если поле создано точечным зарядом, то точка с нулевым потенциалом будет находиться на бесконечности. В таком случае потенциал точечного заряда Q определяется выражением

Ф = -^,              (2.1)
q


где —т - работа по перемещению заряда q из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал электростатического поля равен потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля.
   Существует связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля:

г ⁽          ⁽~дФ , гдф , г⁵Ф^
Е =-grad Ф = - г--н 1---н к— I.
^ дх   ду    дz J

(2.2)

   Используя эту формулу и выражение для напряженности электростатического поля точечного заряда (1.3), можно получить формулу для потенциала точечного заряда Q :


7

ф =

1 Q
а
4ns₀ г

(2аЗ)

    Для потенциала, так же как для напряженности электростатического поля, выполняется принцип суперпозицииа Если электростатическое поле создается несколькими зарядами Q₁, Q₂, ..., Qₙ, то потенциал этого поля будет равен сумме потенциалов, созданных каждым зарядом в отдельности:

ф = ф1 +ф2 + ••• + Ф П а

(2а4)

    Один из методов расчета напряженности и потенциала электростатического поля, созданного системой зарядов с некоторой плотностью р, заключается в использовании принципа суперпозицию Для этого систему зарядов надо разбить на бесконечно малые «кусочки», каждый из которых можно считать точечным зарядом, а затем сложить (проинтегрировать) напряженности или потенциалы, созданные всеми этими зарядами в данной точке полЯа
    Часто для расчетов напряженности электростатического поля оказывается удобным использовать теорему или закон Гауссаа Теорема Гаусса', поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в вакууме ФЕ равен сумме зарядов, помещенных внутри объема, ограниченного этой поверхностью, деленной на S0 '


Ф Е = ф Е ■ dS = — £qₜ. S            So i

(2а5)

   Используя эту формулу, легко получить напряженность поля, созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда о:


Е = —
2So

(2аб)

бесконечной равномерно заряженной нитью (цилиндром) с линейной плотностью заряда т:


Е =
2ns₀ г

(2а7)

8

и заряженным шаром (сферой) с зарядом Q :


Е =

Q л 2 , 4я8₀ г


(2-8)

где г - расстояние от нити (оси цилиндра) или центра шара.
   Часто надо знать не абсолютную величину потенциала в некоторой точке поля, а разность потенциалов между двумя точками поля Аф = ф₂ - ф₂ или напряжение U = ф₂ - ф₂. Эти величины определяются работой, которую совершают силы поля, по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую.
   Рассмотрим пример решения задач.
   Задача 1. Рассчитать напряженность и потенциал электростатического поля в центре равномерно заряженного полушара радиусом R, с объемной плотностью заряда р.
        Изобразим на рисунке полушар. Центр системы координат поместим в центре полушара. Оси координат направим так, как показано на рисунке. Данную задачу удобно решать в сферической системе координат. В этой системе координатами являются: г - расстояние от центра до выбранной точки и углы 0 и ф, показанные на рисунке.


Дано: R, р.

Найти: Е, ф.

9

    Выразим декартовы координаты точки через сферические:
х - г sin 0 cos ф,
у - г sin 0 sin ф, z — г cos 0.
    Найдем величину бесконечно малого объема в сферической системе координат:
dV — г² dr sin 0 d0 dф.
    В этом объеме содержится заряд dq - рdV , который можно считать точечным. Потенциал и напряженность электрического поля, созданные в центре полусферы таким зарядом, равны
d ф - -!_, dS — —%L.
4ле₀ г          4ле₀ г г
    Знак «минус» в последнем выражении связан с тем, что напряженность электрического поля направлена противоположно радиусу-вектору г . Чтобы определить потенциал и напряженность электрического поля, созданного всеми зарядами в центре полушара, надо проинтегрировать полученные выражения по заряду dq:

ф ⁻ i

1 dq

4л^0

R 2 2л
—ш-4ле₀ J

г² dг sin 0d0 dф

р
4л£.

2л

’0 0

R    2        2Л       п/?2
j ^г jsin 0 d0 j dф ------4    4        4        4S0

'0

0 0 0

R

л

2

2

a

0

0

             /___1 ^ di?______р Rr-г²dгsin0d0 dф г
             \ ⁴лЧ> J г² г ⁴ле0 Ш         г³

р
4ле

R 2 2л




                ЧП




0 0 0 0

г dг sin 0 d0
        г

10