Специальные разделы математики для системной инженерии

МІНІСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Севастопольський национальный технический университет

В.А. Крамарь

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ СИСТЕМНОЙ ИНЖЕНЕРИИ

Севастополь

2010

ББК 22.16

К78

ISBN 978-966-2960-58-7

УДК 517

Рецензенты:

д-р техн.
наук, проф., профессор кафедры производства приборов 

Национального 
технического 
университета 
Украины 
«Киевский 

политехнический институт»  Антонюк В.С.;
д-р техн.
наук, проф.,
заведующий кафедрой
«Высшей математики»

Севастопольского национального технического университета Ю.Е. Обжерин;
д-р техн. наук, начальник кафедры святи и автоматизированных систем 
управления Севастопольского Военно – морского ордена Красной Звезды 
института имени П.С. Нахимова Д.Б. Кучер;

Научный редактор – В.Я. Копп, д-р техн. наук, проф.

Решение МОН Украины о присвоении грифа учебного пособия №1/11-8/35 
от 29.09.2009

Крамарь В.А.

К78 Специальные разделы математики для системной инженерии: учебн. 

пособие /В.А. Крамарь. - Севастополь: Изд-во СевНТУ,2010.- 153с.

ISBN 978-966-2960-58-7

Рассмотрены специальные разделы математики, которые используются 

при изучении ряда специализированных дисциплин по направлению 
«Системная инженерия». Приведены основные понятия, определения, 
теоремы. Для закрепления теоретического материала в конце каждого 
раздела приведены упражнения.

Предназначено 
для 
студентов, 
магистрантов 
и 
аспирантов 

машиностроительных и приборостроительных специальностей вузов, а 
также слушателей отделений переподготовки и повышения квалификации в 
области системной инженерии.

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание..............................................................................................................3

Предисловие ............................................................................................................6

1. Теория множеств в описании систем................................................................7

1.1. Определение множества. Операции над множествами ..........................7

1.2. Операции над множествами.......................................................................9

1.3. Прямое произведение множеств .............................................................14

1.4. Проекция и сечения множеств.................................................................15

1.5. Отображения и функции множеств.........................................................17

1.6. Бинарные отношения................................................................................20

1.7. Упражнения ...............................................................................................23

2. Методы линейной алгебры в теории систем..................................................26

2.1. Матричная алгебра....................................................................................26

2.1.1. Определение матрицы....................................................................26

2.1.2. Некоторые специальные матрицы ................................................26

2.1.3. Операции над матрицами и их свойства......................................28

2.1.4. Определители и их свойства..........................................................33

2.1.5. Миноры и их свойства. Ранг матрицы..........................................36

2.1.6. Обратная матрица...........................................................................38

2.1.7. Упражнения.....................................................................................39

2.2. Линейные конечномерные пространства ...............................................41

2.2.1. Понятие линейного пространства.................................................41

2.2.2. Линейная зависимость векторов...................................................42

2.2.3. Базисы и координатные векторы. Замена базиса........................46

2.2.4. Нормированные и евклидовы конечномерные 

пространства..............................................................................................51

2.2.5. Неравенство Шварца (Коши-Буняковского) ...............................53

2.2.6. Проекция вектора на вектор..........................................................55

2.2.7. Ортогональный базис в пространстве 
n
R . Алгоритм 

ортогонализации Грама-Шмидта............................................................57

2.2.8. Линейные оболочки, подпространства.........................................60

2.2.9. Операции над линейными подпространствами...........................63

2.2.10. Ортогональные подпространства................................................65

2.2.11. Упражнения...................................................................................68

2.3. Линейные операторы................................................................................70

2.3.1. Линейные операторы в конечномерных пространствах.............70

2.3.2. Влияние замены базиса на матрицу линейного оператора ........72

2.3.3. Канонические формы оператора в конечномерных 

пространствах............................................................................................73

2.3.4. Линейные операторы, отображающие конечномерное 

пространство в себя..................................................................................75

2.3.5. Характеристический многочлен квадратной матрицы...............76

2.3.6. Инвариантные подпространства линейного оператора в 

пространстве 
n
R .......................................................................................79

2.3.7. Собственные векторы и собственные числа оператора .............79

2.3.8. Канонические формы линейного оператора в 

пространстве 
n
R .......................................................................................83

2.3.9. Нормы квадратных матриц............................................................85

2.3.10. Квадратичные формы...................................................................86

2.3.11. Упражнения...................................................................................92

3. Математические методы теории сигналов.....................................................95

3.1. Определение сигнала................................................................................95

3.2. Линейные пространства сигналов...........................................................98

3.3. Нормы непрерывных и дискретных сигналов .......................................98

3.4. Скалярное произведение. Ортогональность сигналов........................102

3.5. Линейные подпространства в пространстве сигналов........................103

3.6. Обобщенный ряд Фурье и его реализации...........................................109

3.7. Интеграл Фурье. Его связь с рядом Фурье...........................................116

3.8. Преобразование Лапласа непрерывных сигналов...............................119

3.8.1. Пространство сигналов экспоненциального роста ...................119

3.8.2. Свойства изображения сигнала по Лапласу ..............................123

3.8.3. Обратное преобразование Лапласа.............................................124

3.8.4. Взаимосвязь между свойствами сигнала и расположением 

полюсов его изображения......................................................................127

3.8.5. Изображения Лапласа преобразований сигналов .....................131

3.9. Преобразование Лапласа дискретных сигналов..................................134

3.9.1. Дискретные сигналы экспоненциального роста........................134

3.9.2. z-преобразование ..........................................................................135

3.9.3. Свойства изображения x(z) .........................................................136

3.9.4. Обратное z-преобразование.........................................................137

3.9.5. Дискретное преобразование Лапласа .........................................139

3.9.6. Обратное дискретное преобразование Лапласа ........................141

3.9.7. Соответствие между z и s-плоскостями .....................................144

3.9.8. z-преобразование операций над дискретными сигналами.......145

3.10. Упражнения ...........................................................................................147

Предметный указатель .......................................................................................150

Библиографический список ...............................................................................153

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие написано на основе курса лекций, 

прочитанных на протяжении ряда лет студентам, обучающимся по 

направлению «Системная инженерия». Целью преподавания дисциплины 

«Специальные разделы математики» является необходимость углубить и 

расширить знания студентов по ряду направлений высшей математики, 

которые являются теоретической основой специальных дисциплин, а также 

дать студентам полное представление об основных принципах работы с 

различными видами математических моделей, используемых в инженерной 

практике. Кроме того, студенты должны овладеть навыками решения 

практических задач. Для этого весь лекционный материал, изложенный в 

пособии, иллюстрируется
практическими задачами. Учебное пособие 

составлено в соотвествии с рабочей программой дисциплины специальности 

06.050201 и обеспечивает полную теоретическую и методическую 

поддержку соответствующих разделов математики.

Автор выражает глубокую признательность кандидату технических 

наук, доценту Карапетьяну В.А. и сотруднику университета Альчакову В.В. 

за помощь и ценные советы, оказанные при подготовке учебного пособия к 

изданию, а также рецензенту доктору технических наук, профессору 

Обжерину Ю.Е., чьи полезные замечания и пожелания были учтены в 

процессе работы над рукописью.

1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ В ОПИСАНИИ СИСТЕМ

1.1. Определение множества. Операции над множествами

Множество есть совокупность элементов. Все элементы множества 

предполагаются различными. Элементы множеств – это отдельные объекты, 

из которых состоит множество.

Принадлежность элемента множеству обозначается как 
a
A , 

непринадлежность – как a
A.

Конечным, называется множество, содержащее конечное число 

элементов. 
Количество 
элементов 
конечного 
множества 
называют 

мощностью множества A и обозначают A .

Множества можно задавать при помощи:

1) Перечисления:

A
{a,b,c,d,e}.

Данный способ возможен лишь для конечных множеств. В скобках 

перечисляются или называются элементы.

2) Задания свойств:

A
a условиепринадлежности .

Пример.

1
D
{x sin x
}
2
– в этом множестве бесконечное число элементов.

N
1,2,3,... – множество натуральных чисел.

Бесконечное 
множество, 
элементы 
которого 
могут 
быть 

пронумерованы натуральными числами, называется счетным.

Пример.

Z= ...-3,-2,-1,0,1,2,... – множество целых чисел – счетное множество.

Множество R и равные ему по мощности множества называются 

континуальными.

Пример. R
{x x
R и x
0}.

Пустое множество – это множество, не содержащее элементов

(обозначается
). Мощность пустого множества равняется нулю.

0.

Пример.

M
{x x
R и sinx
2}. M
.

Универсальное множество
–
это множество,
в которое входят 

элементы всех множеств, рассматриваемых в исследуемой математической 

модели. Универсальное множество обозначается как U .

Если любой элемент множества А входит во множество В, то 

множество А называется подмножеством множества В.

Обозначение: A
B.

Если существует элемент 
B
x
такой, что 
A
x
, то множество 

Aназывается собственным подмножеством множества B. 

Обозначение:
B
A
.

Два множества А и В равны (А = В), если А и В содержат строго 

одинаковые элементы.

Пример. A
{a,b,c,d,e}, B
{a,b,c,d,e}.

Если, А, В и С произвольные множества, то для них справедливы 

следующие свойства:

• A
A (рефлексивность);

• Если 
B
A
, то B
A (симметричность);

• Если 
B
A
и B
C , то A
C (транзитивность);

•
A;

• A
A (рефлексивность);

• Если A
B и 
C
B
, то A
C (транзитивность);

•
B
A
и 
A
B
если 
B
A
;

• Если 
B
A
, то A
B , и если 
B
A
, то 
B
A
.

1.2. Операции над множествами

В прикладных задачах часто приходится рассматривать операции над 

множествами, 
которые 
являются 
подмножествами 
универсального  

множества U. Поэтому, чтобы ввести операции нужно ввести систему

подмножеств такую, чтобы:

– операции можно было производить над любыми подмножествами из 

этой системы;

– результатом операции было подмножество из этой системы.

Наиболее 
часто 
используется 
система 
P(U) – множество 
всех 

подмножеств универсального множества U. Если множество U – конечное, 

то 
U
P(U)
2
.

Пример.

1. U
a,b,c , P U
, a , b , c , a,b , b,c , a,c , a,b,c
.

2. U
a , P U
, a
.

Объединением двух множеств А и В, обозначается A
B, называется 

множество элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В

или одновременно и А и В.

A
B
{x x
A или x
B или x
A, x
B}

Свойства операции объединения:

1. A
A
A.

2. Если A
B, то A
B
B (Следствия A
A, A
U
U ).

Рисунок 1 – Объединение множеств

Указанную операцию можно обобщить на любое число множеств:

n

i
i 1
B
A .

Пример. 
Если 
1
2
3
4
5
6
A
{x ,x ,x ,x ,x ,x }
и 
0
1
2
6
7
B
{x ,x ,x ,x ,x }, 
то 

объединение этих множеств имеет вид

0
1
2
3
4
5
6
7
A
B
{x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x }.

Пример. Если A
{x :0
x
1} и B
{x : 0,2
x
2}, то объединение этих 

множеств имеет вид

A
B
{x: 0
x
2}.

Пересечением двух множеств А и В, обозначается A
B, называется 

множество, элементы которого принадлежат одновременно и множеству А и 

множеству В.

A
B
{x x
A и x
B}.

Рисунок 2 – Пересечение множеств

Свойства операции пересечения:

1. A
A
A.

2. Если A
B, то A
B
A (Следствия A
, A
U
A).

Указанную операцию можно обобщить на любое число множеств

n

i
i 1
B
A .

Пример. Если
1
2
3
4
5
6
A
{x ,x ,x ,x ,x ,x } и 
0
1
2
6
7
B
{x ,x ,x ,x ,x }, то пересечение 

этих множеств имеет вид