Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды

ÈÇÄÀÍÈÅ ×ÅÒÂÅÐÒÎÅ, ÏÅÐÅÐÀÁÎÒÀÍÍÎÅ

2015

УДК 517
ББК 22.161.1
К 88

Куд р я в це в Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной.
Ряды: Учебник. — 4-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. — 444 с. —
ISBN 978-5-9221-1585-8 (Т. 1).

Излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, теория рядов.
Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей.
Ил. 128.

Ре це н з е н т ы:

заведующий кафедрой общей математики факультета ВМиК

МГУ им. М. В. Ломоносова академик В. А. Ильин ;

профессор МФТИ, академик С. М. Никольский

ISBN 978-5-9221-1585-8 (Т. 1)
ISBN 978-5-9221-1584-1
c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008, 2009, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
14

Г л а в а 1.
Дифференциальное
исчисление
функций
одной
переменной . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
17
§ 1. Функции и множества. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
17
1.1. Множества (17). 1.2. Функции (19).
§ 2. Числа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
21
2.1. Действительные числа (21). 2.2. Расширенная числовая прямая. Окрестности (25). 2.3. Комплексные числа (27). 2.4. Перестановки и сочетания (35). 2.5. Формула бинома Ньютона (38).
§ 3. Элементарные функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
39
3.1. Числовые функции (39). 3.2. Понятие элементарной функции (40). 3.3. Многочлены (41). 3.4. Разложение многочленов
на множители (44). 3.5. Рациональные дроби (46). 3.6. Графики рациональных функций (52). 3.7. Степенная функция (55).
3.8. Показательная и логарифмическая функции (57). 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (58).
3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков (60).
§ 4. Числовые множества. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
62
4.1. Ограниченные и неограниченные множества (62). 4.2. Верхняя и нижняя грани (63). 4.3. Арифметические свойства верхних
и нижних граней (65). 4.4. Принцип Архимеда (67). 4.5. Принцип
вложенных отрезков (68). 4.6. Счетность рациональных чисел.
Несчетность действительных чисел (70).
§ 5. Предел числовой последовательности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74
5.1. Определение предела числовой последовательности (74).
5.2. Единственность предела последовательности (77). 5.3. Переход
к
пределу
в
неравенствах (78).
5.4. Ограниченность
сходящихся последовательностей
(81). 5.5. Бесконечно малые
последовательности (82). 5.6. Свойства пределов, связанные
с арифметическими действиями над числовыми последовательностями (84). 5.7. Монотонные последовательности (87).
5.8. Принцип
компактности (90).
5.9. Критерий
Коши (93).

Оглавление

5.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (95). 5.11. Предел последовательности комплексных чисел (101).

§ 6. Предел и непрерывность функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
102
6.1. Первое определение предела функции (102). 6.2. Определение непрерывности функции (108). 6.3. Второе определение
предела функции (109). 6.4. Условие существования предела
функции (111). 6.5. Предел функции по объединению множеств (112).
6.6. Односторонние
пределы
и
односторонняя
непрерывность (112). 6.7. Свойства пределов функций (114).
6.8. Бесконечно малые (118). 6.9. Непрерывные функции (119).
6.10. Классификация
точек
разрыва (122).
6.11. Пределы
монотонных функций (123). 6.12. Критерий Коши существования предела функции (126). 6.13. Предел и непрерывность
сложных функций (127). 6.14. Предел и непрерывность функций
комплексного аргумента (128).

§ 7. Свойства непрерывных функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
130
7.1. Ограниченность
непрерывных
функций.
Достижимость
экстремальных значений (130). 7.2. Промежуточные значения
непрерывных функций (131). 7.3. Обратные функции (133).
7.4. Равномерная непрерывность (136).

§ 8. Непрерывность элементарных функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
139
8.1. Многочлены и рациональные функции (139). 8.2. Показательная и логарифмическая функции (140). 8.3. Степенная
функция (147). 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (148). 8.5. Элементарные функции (149).

§ 9. Сравнение функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
149
9.1. Замечательные пределы (149). 9.2. Сравнение
функций
в
окрестности
заданной
точки (152).
9.3. Эквивалентные
функции (155).

§ 10. Производная и дифференциал . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
157
10.1. Определение
производной (157).
10.2. Дифференциал
функции (159).
10.3. Геометрический
смысл
производной
и дифференциала (161). 10.4. Физический смысл производной
и дифференциала (163). 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями (164).
10.6. Производная обратной функции (166). 10.7. Производная
и дифференциал сложной функции (167). 10.8. Гиперболические
функции и их производные (169). 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента (169).

§ 11. Производные и дифференциалы высших порядков. .. .. .. .. .. .. .. .. .
170
11.1. Производные высших порядков (170). 11.2. Производные
высших
порядков
сложных
функций,
обратных
функций
и функций, заданных параметрически (172). 11.3. Дифференциалы высших порядков (173).

Оглавление
5

§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
174
12.1. Теорема Ферма (174). 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях (176).

§ 13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя . .. .. .. .. .. .. .
181

13.1. Неопределенности вида 0

0 (181). 13.2. Неопределенности ви
да ∞

∞ (182).

§ 14. Формула Тейлора . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
187
14.1. Вывод формулы Тейлора (187). 14.2. Примеры разложения
по формуле Тейлора (191). 14.3. Применение метода выделения
главной части функций для вычисления пределов (193).

§ 15. Исследование функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
195
15.1. Признак монотонности функций (195). 15.2. Локальные
экстремумы функций (196). 15.3. Выпуклость и точки перегиба (203). 15.4. Асимптоты (207). 15.5. Построение графиков
функций (208).

§ 16. Векторные функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
210
16.1. Предел
и
непрерывность
векторной
функции (210).
16.2. Производная и дифференциал векторной функции (214).

§ 17. Длина кривой . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
220
17.1. Понятие кривой (220). 17.2. Касательная к кривой (225).
17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые (227).

§ 18. Кривизна кривой . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
232
18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой (232).
18.2. Формула для кривизны (233). 18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость (235). 18.4. Центр кривизны. Эволюта (238). 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой (238).

Г л а в а 2.
Интегральное исчисление функций одной переменной. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
242

§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла. .. .. .. .. .. .. .. .
242
19.1.
Первообразная
и
неопределенный
интеграл
(242).
19.2. Основные
свойства
интеграла (244).
19.3. Табличные
интегралы (246).
19.4. Формула
замены
переменной (247).
19.5. Формула интегрирования по частям (251).

§ 20. Интегрирование рациональных дробей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
251
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей (251).
20.2. Общий случай (253).

§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
254
21.1. Рациональные функции от функций (254). 21.2. Интегралы

вида
R
x,
ax + b

cx + d

r1, ...,
ax + b

cx + d

rndx (254). 21.3. Интегралы

от дифференциального бинома (256).

Оглавление

§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций . .. .. .. .. .
257

22.1.
Интегралы
R(sin x, cos x) dx (257).
22.2.
Интегралы
sinm x cosn x dx
(258).
22.3.
Интегралы
sin αx cos βx dx,
sin αx sin βx dx,
cos αx cos βx dx (259).
22.4. Интегралы
от

трансцендентных
функций,
вычисляющиеся
с
помощью
интегрирования по частям (260).

§ 23. Определенный интеграл . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
261
23.1. Определенный интеграл Римана (261). 23.2. Ограниченность интегрируемых функций (263). 23.3. Верхние и нижние
суммы Дарбу (265). 23.4. Нижний и верхний интегралы (268).
23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости
функций (269). 23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций (271).

§ 24. Свойства интегрируемых функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
272
24.1.
Основные
свойства
определенного
интеграла (272).
24.2. Интегральная теорема о среднем (282).

§ 25. Определенный и неопределенный интеграл . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
286
25.1. Дифференцирование определенного интеграла по пределам
интегрирования (286). 25.2. Существование первообразной (288).

§ 26. Формулы замены переменной и интегрирования по частям
в определенном интеграле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
290
26.1. Формула замены переменной (290). 26.2. Формула интегрирования по частям (291).

§ 27. Площади и объемы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
294
27.1. Понятие площади плоского множества (294). 27.2. Пример
неограниченного множества положительной конечной площади (296). 27.3. Понятие объема (297).

§ 28. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
298
28.1. Вычисление
площадей криволинейных
трапеций (298).
28.2. Вычисление площадей в полярных координатах (301).
28.3. Вычисление
длины
кривой (303).
28.4. Площадь
поверхности вращения (304). 28.5. Объем тел вращения (307).
28.6. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их
моменты относительно осей (308).

§ 29. Несобственные интегралы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
313
29.1. Определение несобственных интегралов (313). 29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов (318). 29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных
функций (322). 29.4. Критерий Коши (327). 29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы (328). 29.6. Признаки сходимости Дирихле
и Абеля (332). 29.7. Интегралы от комплекснозначных функций
действительного аргумента (335).

Оглавление
7

Г л а в а 3.
Ряды. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
338
§ 30. Числовые ряды . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
338
30.1. Определение ряда (338). 30.2. Свойства сходящихся рядов (339). 30.3. Критерий Коши (341). 30.4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (342). 30.5. Знакочередующиеся ряды (350). 30.6. Абсолютно сходящиеся ряды (352).
30.7. Условно сходящиеся ряды (356). 30.8. Признаки Дирихле
и Абеля сходимости рядов (360). 30.9. Исследование сходимости
рядов методом выделения главной части ряда (363). 30.10. Суммирование рядов методом средних арифметических (365).
§ 31. Функциональные последовательности и ряды . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
367
31.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов (367). 31.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (370). 31.3. Специальные признаки
равномерной сходимости рядов (378). 31.4. Свойства равномерно
сходящихся последовательностей и рядов (381).
§ 32. Степенные ряды . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
389
32.1. Радиус сходимости и круг сходимости (389). 32.2. Аналитические функции в действительной области (396). 32.3. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора (398). 32.4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (404). 32.5. Формула
Стирлинга (413).

Контрольные вопросы. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
416
Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
437

ВВЕДЕНИЕ

Ни одно человеческое исследование
не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства. Никакой
достоверности нет в науках там, где
нельзя приложить ни одну из математических наук, и в том, что не имеет
связи с математикой 1).

Леонардо да Винчи

Математика 2) является точной абстрактной наукой, изучающей
специальные логические структуры, называемые математическими,
у которых описаны определенные отношения между их элементами.
Каждая математическая структура — аналитическая, алгебраическая, топологическая, вероятностная и другие имеют, конечно, специальные описания.
Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме.
Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения
являются не материальные объекты или отношения между ними,
а логические понятия и отношения между ними. Однако важно подчеркнуть, что отношения и взаимодействия между материальными
объектами можно изучить с помощью их математического моделирования. Возникающие таким образом математические модели нередко приводили, в свою очередь, к созданию новых математических
структур.

2) μαθημα (греч.) — познание, наука.

Введение
9

Существенно то, что одна и та же математическая модель может
описывать с определенным приближением свойства очень далеких
друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов,
а лишь существующие между ними соотношения. Абстрактность математики порождает определенную трудность ее применения к описанию и решению конкретных задач, в то же самое время абстрактность
математики придает ей силу, универсализм и общность.
Роль математики, конечно, не сводится только к описанию с помощью тех или иных моделей определенных сторон каких-то явлений.
Она представляет интерес и имеет большую ценность прежде всего
сама по себе как наука, как знание. Математика дает мощные методы
для познания мира, для изучения его закономерностей.
Математические методы исследования всегда играли и продолжают играть огромную, все увеличивающуюся роль в естествознании.
В качестве примера можно привести уже ставшие хрестоматийными
такие теоретические открытия, как открытие планеты Нептун, открытие электромагнитных волн или открытие позитрона, сделанные
сначала математически «на кончике пера» и лишь потом нашедшие
свое экспериментальное подтверждение.
Математика неустанно продолжает развиваться, в ней создаются
новые методы, появляются новые разделы. Развитие математики в целом определяет уровень ее использования и оказывает существенное
влияние на развитие других наук и техники. В свою очередь, задачи практики, прогресс других фундаментальных и прикладных наук
приводят к созданию новых направлений математики, стимулируют
ту или иную направленность математических исследований, расширяют возможность применения математических методов. В силу этого
область применения математики постоянно расширяется.
Бурное развитие компьютерной техники привело к качественному скачку возможностей математических методов исследований. Они
стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех
областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно
либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось
возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.).
Проникновение качественных и количественных математических
методов в другие науки, использование в этих науках уже имеющегося
математического аппарата, создание новых математических понятий
и методов для описания и изучения рассматриваемых явлений, т. е.
все то, что обычно называется математизацией науки, является характерной чертой всего естествознания наших дней.
Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными

Введение

математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса,
нужно, конечно, прежде всего иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели.
Этим, однако, не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического
творчества, т. е. познания объективно существующих математических
истин. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных,
для выделения существенных из них и для выбора способа решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией
и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат
прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать
ожидаемый результат и наметить путь исследований с помощью правдоподобных рассуждений — это далеко не все. Интуитивное чувство
гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной
ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения
отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства
или опровержения.
Для записи проводимых исследований и получающихся результатов используются язык цифр, разнообразные математические символы и словесные логические описания.
При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода — залог успеха и, более того, часто приводит к тому, что в результате
получается больше полезной информации об изучаемом предмете,
чем заранее предполагалось. Это связано с тем, что математический
аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства,
накапливавшихся в нем в течение веков, благодаря чему формулы
могут оказаться «умнее» применяющего их и дать больше, чем от них
ожидалось.
Следует отметить, что в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не
проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказательной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной
логики.
Конечно, и эксперименты и примеры также играют большую роль
в математических исследованиях: они могут или дать иллюстрацию
утверждения, или опровергнуть его, или натолкнуть на какую-либо
(в том числе и новую) идею. За последние годы в связи с быстрым развитием вычислительной техники особенно возросло значение
математического эксперимента в прикладных исследованиях: здесь