Уравнения электромагнетизма и системы единиц электрических и магнитных величин

УДК 530.1(075.8)
ББК 39.3308я73
Т77

Рецензенты:
доктор технических наук, профессор А.И. Цаплин
(Пермский государственный технический университет);
доктор физикоматематических наук, профессор Ю.К. Братухин
(Пермский государственный университет им. А.М. Горького)

Трунов Г.М.
Т77
Уравнения электромагнетизма и системы единиц электрических и
магнитных величин : учебное пособие / Г.М. Трунов. — М. : ФОРУМ,
2011. — 104 с. — (Высшее образование).

ISBN 9785911345242

Рассмотрены этапы развития систем электромагнитных единиц от
СГСЭ и СГСМ до электромагнитных единиц СИ.
Проведен анализ причин различной формы записи уравнений электромагнетизма в системе СГС и СИ и показано, что электромагнитные единицы СИ основаны на уравнениях, соответствующих научным взглядам на
электромагнитное поле середины XIX века.
Уравнения электромагнетизма представлены в инвариантной форме, соответствующей современным научным взглядам на электромагнитное
поле, и поэтому не содержат размерных коэффициентов ε0 и µ0, но имеют
фундаментальную константу с — скорость света в вакууме и размерный коэффициент k0 = 10
−7·{с}
2 Н ⋅ м
2/Кл
2 ≅ 9 ⋅ 10
9 Н ⋅ м
2/Кл
2.
Книга предназначена для широкого круга специалистов и научнотехнических работников, аспирантов и студентов физических и технических
специальностей.

УДК 530.1(075.8)
ББК 39.3308я73

ISBN 9785911345242
© Трунов Г.М., 2011
© Издательство «ФОРУМ», 2011

Введение

В соответствии с ГОСТ «Единицы физических величин» [1] в
учебном процессе во всех учебных заведениях рекомендована к обязательному использованию Международная система единиц (СИ).
Тем не менее во многих учебниках физики, например в [2—5], при
изложении учения об электричестве параллельно приводятся формулы, записанные в системе СГС, а в учебниках наиболее авторитетных
авторов, таких как Л.Д. Ландау, И.Е. Тамм, Д.В. Сивухин [6—8], используется только система СГС.
Это связано с тем, что электромагнитные единицы СИ были полностью заимствованы из системы МКСА, разработанной в начале
XX в. и основанной на уравнениях электромагнетизма, отражающих
научные взгляды того времени на электромагнитное поле, и поэтому
изложение раздела физики «Электромагнетизм» с привлечением
электромагнитных единиц СИ может привести «к формированию у
студентов неправильных представлений о сущности электромагнитного поля» (Д.В. Сивухин).
Но возврат к системе СГС, на наш взгляд, является регрессивным
шагом, так как электромагнитные единицы СГС обладают многими
принципиальными недостатками, в частности, большинство единиц
имеют дробные показатели размерностей (по выражению А. Зоммефельда — «противоестественные» размерности).
Таким образом, можно констатировать следующее противоречие:
использование СИ при изложении раздела физики «Электромагнетизм» может привести к формированию у студентов неправильных
представлений о сущности электромагнитного поля, а использование
системы СГС является нерациональным и методологически неправильным, так как электромагнитные единицы системы СГС имеют
принципиальные недостатки и не используются в инженерной практике.

В настоящей работе представлено единственное решение этого
противоречия, в результате которого:
1) уравнения электромагнетизма, имеющие в системе СГС и СИ
различный вид, представлены в инвариантной форме, независимой
от систем единиц и соответствующей современным научным взглядам на электромагнитное поле;
2) разработана новая четырехразмерная Теоретическая система
электромагнитных единиц, сокращенно — СИ(Т), предназначенная
для преподавания курса физики «Электромагнетизм» и для теоретических исследований.
Автор признателен проф. А.И. Цаплину, заведующему кафедрой
общей физики Пермского государственного технического университета, за постоянную поддержку в моей научной деятельности и ряд
ценных советов при рецензировании книги.
Автор особо признателен проф. Л.К. Исаеву, вицепрезиденту
МКЗМ, и проф. Я. Миллсу, президенту Консультативного комитета
по единицам при МБМВ, за внимание к моим научным исследованиям в области теоретической метрологии и за полезные обсуждения.
Автор благодарит Л.Г. Журавеля, ответственного редактора журнала «Законодательная и прикладная метрология», за публикацию в
2003—2008 гг. моих статей и комментарии к ним.
Автор благодарит А.И. Кириллова, главного редактора журнала
«Мир измерений», за публикацию в 2009—2010 гг. моих статей и комментарии к ним.

4
Введение

Глава 1
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О СИСТЕМАХ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

§ 1. Физическая величина, ее размер и значение

В настоящее время предлагается вместо термина «физическая величина» применять термин «величина». Обоснованный отказ от прилагательного «физическая» приведен в ряде работ [10—12]. В настоящей работе используется терминология в соответствии с нормативными документами [13—19], а многие из приведенных ниже основных
терминов и определений цитируются из пособий и справочных изданий по метрологии [20—23].
Физическая величина (величина) — характеристика одного из
свойств физического объекта (физической системы, явления или
процесса), общая в качественном отношении для многих физических
объектов, но в количественном отношении индивидуальная для каждого объекта. Например, масса тела — физическая величина, являющаяся общей характеристикой физических объектов, но имеющая
для каждого объекта свое индивидуальное значение. Индивидуальность в количественном отношении понимают в том смысле, что
свойство для одного объекта может быть в определенное число раз
больше или меньше, чем для другого.
Размер физической величины (размер величины) — количественная определенность физической величины, присущая конкретному
материальному объекту, системе, явлению или процессу.
Значение физической величины (значение величины) — оценка
размера величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц.
Необходимо отметить, что значение величины не является ее размером. Размер величины какоголибо объекта существует реально и
независимо от того, знаем мы его или нет, выражаем его в какихлибо
единицах или нет. Значение же физической величины появляется

только после того, как размер величины данного объекта выражен с
помощью какойлибо единицы.
Физические величины могут быть экстенсивными и интенсивными. Различие между этими величинами можно выразить следующим
образом: экстенсивные величины следуют закону аддитивности, интенсивные величины ему не подчиняются.
Экстенсивная величина, по выражению Гегеля, есть «некое многообразие в себе самой» [24] и подчиняется закону аддитивности.
Примерами экстенсивных величин могут служить электрический заряд, сопротивление. Измерение экстенсивной величины — это сравнение ее с другой, однородной с ней величиной.
Интенсивная величина, например, температура или поверхностная
плотность электрического заряда, по выражению Гегеля, «имеет свою
определенность в некотором другом» [24] и не подчиняется закону аддитивности. Измерение интенсивной величины состоит в использовании объективной связи между изменениями данной интенсивной величины и изменениями какойлибо экстенсивной величины. В частности, для первых опытов по измерению интенсивной величины —
температуры газа — в качестве такой экстенсивной величины использовался объем, так как объем газа зависит от его температуры.

§ 2. Системы физических величин

Анализ связей между физическими величинами показал, что эти
связи не являются случайными, а имеют общий характер. В частности, было установлено, что если произвольно выбрать несколько физических величин, условно приняв их не зависящими друг от друга и
от других величин, то остальные физические величины могут быть
выражены через эти произвольно выбранные величины.
Система физических величин — совокупность взаимосвязанных
физических величин, образованная в соответствии с принятыми
принципами, когда одни величины принимаются за независимые, а
другие являются функциями независимых величин.
Система физических величин состоит из основных и производных величин.
Основная физическая величина (основная величина) — физическая величина, входящая в систему величин и условно принятая в качестве не зависящей от других величин этой системы. Выбор величин, принимаемых за основные, и их число является произвольным,

6
Глава 1. Общие понятия о системах физических величин

но практические соображения приводят к некоторому ограничению
свободы в выборе основных величин. Так, например, СИ основана на
системе величин, в качестве основных величин которой были выбраны величины, характеризующие такие основополагающие свойства
материального мира, как длина, масса, время, а также величины,
представляющие один из разделов физики: сила электрического тока,
термодинамическая температура, количество вещества, сила света.
Каждой основной величине присваивается символ в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита, в частности: длине —
L, массе — М, времени — Т, силе электрического тока — I, температуре — θ, количеству вещества — N, силе света — J. Эти символы входят в название системы физических величин. Так, например, система
величин механики, в которой основными величинами являются длина, масса и время, называется системой LМТ, а система величин, на
основе которой строится Международная система единиц (СИ), называется системой величин LMTIθNJ.
Производная физическая величина (производная величина) —
величина, входящая в систему величин и определяемая через основные величины этой системы.
При построении системы физических величин подбирается такая
последовательность определяющих уравнений, в которой каждое последующее уравнение содержит только одну новую производную величину, что позволяет выразить эту величину через совокупность ранее определенных величин, в конечном счете — через основные величины данной системы величин. Это условие приводит к установлению
некоторой очередности и последовательности образования производных величин. Так, скорость v определяют как отношение пути ds,
пройденного за интервал времени dt, к этому интервалу времени:
v
ds / dt; ускорение a есть отношение приращении скорости dv за интервал времени dt к этому интервалу времени: а
dv / dt; силу F определяют из закона Ньютона F
ma и так далее.

§ 3. Размерность физической величины

Физические величины и их единицы с качественной стороны характеризуются так называемой размерностью.
Размерность физической величины — это выражение в форме
степенного одночлена, составленного из произведений символов ос§ 3. Размерность физической величины
7

новных физических величин в различных степенях и отражающего
связь данной физической величины с физическими величинами,
принятыми в данной системе величин за основные, и с коэффициентом пропорциональности, равным единице [19]. Это определение
размерности дополнено следующими положениями:
• размерность величины следует обозначать знаком dim (от английского dimension — размерность), например:

dim F = LMT−2;

• понятие «размерность» распространяется и на основные величины, т. е. формула размерности основной величины совпадает
с ее символом, например:

dim L = L, dim М = M.

В системе величин, построенной на семи основных величинах
(длина, масса, время, сила электрического тока, термодинамическая
температура, количество вещества, сила света), размерность физической величины Х может быть представлена в виде

dim Х = Lα Mβ Tγ Iδ θε Np Jq,
(1.1)

где α, β, γ, ... — показатели размерностей физической величины.
Показатель размерности физической величины — показатель степени, в которую возведена размерность основной физической величины, входящей в размерность производной физической величины.
Показатели размерности физической величины могут принимать различные значения: целые или дробные, положительные или отрицательные, и даже могут равняться нулю.
На практике чаще всего применяются системы с тремя или четырьмя основными размерностями. Международная система единиц
(СИ) содержит семь основных единиц, но охватываемую ею совокупность производных величин можно разделить на несколько трехили
четырехразмерных групп. В частности, механические величины определяются через длину, массу и время; электрические и магнитные величины — через длину, массу, время и силу электрического тока; тепловые величины — через длину, массу, время и температуру, световые
величины — через длину, время и силу света. Система СГС построена
на основе уравнений, определяющих все величины (как механические, так и электромагнитные) только через длину, массу и время.
Поэтому система СГС является трехразмерной системой. Над размерностями можно производить действия умножения, деления, возведе8
Глава 1. Общие понятия о системах физических величин

ния в степень. Действия сложения и вычитания размерностей не имеют смысла.
Своеобразие размерностей заключается в том, что они, с одной
стороны, отражают качественную сторону величин, их место в размерной системе (например, в системе величин LМТ), с другой стороны, размерности имеют количественное содержание.
По мнению К.П. Широкова [25], качественная сторона размерностей подчеркивается в первую очередь тем, что для них не существует действий сложения и вычитания. При этом размерности не полностью раскрывают «качество», т. е. физическую природу величин.
В частности, в пределах одной размерной системы существует совпадение размерностей у величин, различных по своей природе. Например, в системе величин LМТ электрическая емкость и длина имеют
одинаковую размерность L. Поэтому необходимо считать, что «размерность, будучи качественной характеристикой физической величины, несомненно, не является полной и исчерпывающей, а лишь условной ее характеристикой» [26].
Количественное содержание размерностей проявляется в том,
что, пользуясь размерностью величины, можно определить, во сколько раз изменится размер единицы данной производной физической
величины при изменении размеров единиц основных величин.
Можно указать и другие практические применения понятия «размерность физической величины». Вопервых, с помощью размерностей физических величин можно проверить правильность физических уравнений, полученных в ходе математических преобразований.
В основе такой проверки лежит следующее требование, предъявляемое к любому физическому уравнению: размерности левой и правой
части уравнения, связывающего различные физические величины,
должны быть одинаковыми. Если при проверке выяснится, что размерности левой и правой части уравнения не одинаковы, то это будет
означать, что в процессе математических преобразований допущена
ошибка. Вовторых, на основе размерностей физических величин
разработан метод установления функциональных связей между величинами — анализ размерностей [27, 28], который позволяет по известным физическим величинам, которые характеризуют некоторый
физический процесс, найти с точностью до безразмерного множителя уравнение, показывающее связь этих величин между собой. Решения задач разного уровня сложности с помощью анализа размерностей приведены в научных монографиях [27, 28] и в популярных книгах [29—31].

§ 3. Размерность физической величины
9

§ 4. Выбор числа основных величин

Имеются различные мнения о произвольности выбора числа основных величин системы. Обычно число основных величин определяется путем вычитания числа уравнений связи между физическими
величинами из общего числа этих величин [25, 32]. Однако такой способ не всегда дает однозначный результат, так как «включение одного
из уравнений, выражающих опытные законы, в категорию определяющих уравнений позволяет отнести величину, ранее считавшуюся
независимой, к производной величине» [25]. В частности, если считать электрический заряд независимой величиной, то закон Кулона
следует рассматривать как опытный закон и для уравнивания размерностей обеих частей уравнения в нем должен присутствовать размерный коэффициент. В СИ (система величин LМТI) таким коэффициентом является электрическая постоянная ε0. В системе СГС (система
величин LМТ) закон Кулона рассматривается как уравнение, определяющее электрический заряд, поэтому заряд будет производной величиной. Следовательно, в вопросе о числе основных величин (базис
размерной системы) существует некоторая неопределенность.
К.П. Широков считает [25], что о достаточности базиса свидетельствует количество совпадений размерностей величин различной
физической природы. При недостаточном базисе некоторые величины, имеющие разную физическую природу, имеют одинаковую размерность.
Уместно привести следующую аналогию. Дано mмерное пространство, в котором есть векторы, отличающиеся между собой только mй координатой. При переходе к (m − 1)мерному пространству, в
котором нет этой координаты, эти векторы становятся неразличимы.
Поэтому неудивительно, что при переходе от четырехразмерной системы величин LМТI к трехразмерной системе величин LМТ электрическая емкость и индуктивность теряют свои, отличающиеся друг от
друга размерности и приобретают одинаковую размерность — размерность длины. Поэтому из факта совпадения размерностей двух величин в какойлибо системе единиц нельзя делать вывод об одинаковой физической сущности этих величин. М. Планк высказался по
этому поводу следующим образом: «Размерность какойлибо физической величины не есть свойство, связанное с существом ее, но представляет просто некоторую условность, определяемую выбором системы измерений» [33]. Несмотря на эту общепринятую точку зрения,

10
Глава 1. Общие понятия о системах физических величин