Математические модели природы и общества

Калиткин Н.Н.
Карпенко Н.В.
Михайлов А.П.

Тишкин В.Ф. и др.

Математические
модели природы

и общ ества

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 519.8
ББК 32.81
М 34

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 04-01-14027д

Математические
модели
природы
и
общества
/
Н. Н.
Калиткин,
Н. В. Карпенко, А. П. Михайлов, В. Ф. Тишкин, М. В. Черненков. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 360 с. — ISBN 5-9221-0558-2.

Настоящая монография содержит основные результаты исследований в
области построения математических моделей природы и общества, полученные
Институтом математического моделирования РАН в содружестве с ГУИС
ФАПСИ и социологическим факультетом МГУ им. М. В. Ломоносова. Эти
исследования сконцентрированы на проблемах математического моделирования
развития сложных ситуаций, возникающих в природе и обществе. С помощью
мониторинговых и моделирующих систем поддержки принятия решений удаётся найти оптимальные способы и средства выхода из чрезвычайных ситуаций.
Результаты, полученные в работах, вошедших в данную монографию,
активно используются в настоящее время в научных исследованиях и при
принятии решений управленческими структурами общества. Монография будет
полезна для научных сотрудников и управленчиских кадров, а также для всех
обучающихся и овладевающих знаниями в данной области математического
моделирования.

ISBN 5-9221-0558-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2005
c⃝ Н. Н. Калиткин, Н. В. Карпенко,
А. П. Михайлов, В. Ф. Тишкин,
М. В. Черненков, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
5

Г л а в а I.
Создание систем мониторинга качества воздуха . .. . . .. . .
8
§ 1. Механизмы распространения загрязняющих веществ после аварийных выбросов на промышленных объектах . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
8
§ 2. Создание программных комплексов, основанных на статистических
представлениях . .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
13
§ 3. Тестирование разработанного комплекса программ . .. . .. . .. . . .. . .
47
§ 4. Архитектура пакета . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
49
§ 5. Исполнительные модули для интегрированной информационной системы . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
50
Список литературы . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . .
65

Г л а в а II.
Модели выбора и их применение к анализу социальных
конфликтов . . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
67
§ 1. Некоторые особенности моделирования социальных процессов . .. .
67
§ 2. Постановка проблемы, основные понятия и предположения. .. . .. . .
74
§ 3. Математическая формулировка базовой модели и описываемые ею
режимы эволюции . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
83
§ 4. Циклы политической самоидентификации дагестанского этноса —
модельные прогнозы и сопоставление с реальностью . .. .. . .. . . .. . .
90
§ 5. Некоторые обобщения моделей выбора . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
97
Список литературы . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
108

Г л а в а III.
Компьютерные методы клиринговых расчётов . .. . . .. . .
110
§ 1. Денежные расчёты: от курьера до электронной сети . .. .. . .. . . .. . .
110
§ 2. Взаимозачёт долгов методом фракционирования . .. .. . . .. . .. . . .. . .
119
§ 3. Переадресация . .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . .
172
§ 4. Банковские платежи. .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
179
§ 5. Оценка долгов. .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
194
§ 6. Заключение . .. .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. .. . .. . . .. . .. . . .. . .
212
Список литературы . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
215

Оглавление

Г л а в а IV. Стабильная пенсионная система . .. . .. .. . .. . . .. . .. . . .. . .
216
Введение . . . . .. .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
216
§ 1. Принципы пенсионной системы . .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
218
§ 2. Балансные расчёты средних величин. .. .. . . .. .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
235
§ 3. Управление Пенсионным фондом . .. .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
261
§ 4. Статистические данные. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
276
Заключение . .. .. .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
284
Список литературы . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
285

Г л а в а V. Математическое моделирование сложных трудноформализуемых проблем социально-экономического развития региона
286
Введение . . . . .. .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
286
§ 1. Исследование динамики развития социального явления . .. .. . . .. . .
287
§ 2. Прогнозирование значений показателей обучающимся генетическим алгоритмом прогнозирования LGAP. .. .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
295
§ 3. Исследование динамики развития социального явления при большом числе признаков . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. .. . .. . . .. . .. . . .. . .
306
§ 4. Сравнительный межрегиональный анализ социального явления . .. .
311
Заключение . .. .. .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
321
Список литературы . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
322

Г л а в а VI. Моделирование взаимосвязей проблем при обработке
текстов . .. .. .. .. . .. . .. . . .. . . .. . .. .. . .. . . .. . . .. .. .. . . .. .. . .. . .. . . .. . .
323
Введение . . . . .. .. .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
323
§ 1. Проблемы и их представление в моделях поиска; выделение актуальных проблем для анализа взаимосвязей. .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
325
§ 2. Установление связей между значимыми рубриками . .. . .. . .. . . .. . .
331
§ 3. Вероятностная модель определения области действия причинноследственных связей. .. .. . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
338
§ 4. Модель поиска исходной информации для анализа взаимосвязей
проблем . .. .. .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
354
Список литературы . .. .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .
358

Предисловие

В последние десятилетия значительно расширилась сфера приложения математического моделирования. Одной из бурно развивающихся
областей является прогнозирование средствами математического моделирования развития сложных ситуаций, возникающих в природе
и обществе. С помощью мониторинговых и моделирующих систем поддержки принятия решений удаётся найти оптимальные способы и средства выхода из чрезвычайных ситуаций. В настоящее время рамки
математического моделирования раздвинулись от уже традиционных
проблем мониторинга окружающей среды до прогнозирования экологической, социальной, экономической, политической и государственной
безопасности в масштабах произвольного региона и страны в целом.
Математическое моделирование во многих случаях даёт возможность
оценить степень опасности того или иного процесса в природе и обществе, провести оперативные расчёты рекомендуемых средств по предотвращению надвигающихся чрезвычайных обстоятельств или снижению
величины ущерба от неизбежных катаклизмов и дать соответствующие
прогнозы.
Несмотря на то, что математическое моделирование возникло почти
одновременно с появлением вычислительной техники, до сих пор в отечественной и зарубежной литературе описание результатов решения
подобного рода задач практически отсутствует. Общество испытывает
насущную потребность в моделирующих системах и прогнозах, помогающих принимать решения по оценке складывающихся ситуаций,
выработке стратегических направлений в развитии экономического
и социального потенциала страны.
Авторы поставили перед собой задачу подробно изложить некоторые оригинальные результаты, полученные при тесном сотрудничестве
Института математического моделирования РАН, ГУИС ФАПСИ и социологического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, и провести их
широкое обобщение.
В главе I нашли отражение многолетние исследования и разработки
по развитию численных методов для описания распространения в атмосфере токсичных газов и капельно-воздушных инфекций. Изложены
результаты вычислительных экспериментов, поставленных для задач,
описывающих эти процессы, с начальными и краевыми условиями и когнитивными коэффициентами. Эксперименты проведены на специально
разработанных вычислительных комплексах. Визуализация результатов даёт картину прогноза чрезвычайных ситуаций, что является необходимым условием выхода из такого положения. Результаты получены

Предисловие

авторским коллективом в составе к.ф.-м.н. Л. В. Клочковой, к.ф.-м.н.
Д. В. Сузана, д.ф.-м.н. В. Ф. Тишкина.
В гл. II представлены оригинальные математические модели для
мониторинга, анализа и прогноза типичных для российского социума
этнополитических конфликтов, реализованных в соответствующих информационно-моделирующих системах поддержки принятия решений.
Данный цикл работ выполнен коллективом специалистов в составе д.ф.-м.н А. П. Михайлова, к.ф.-м.н. Л. В. Шведовского, к.ф.-м.н.
А. И. Маслова, к.ф.-м.н. Л. Ф. Юхно, д.ф.-м.н. В. Ф. Ковалева.
Представленные в гл. III разработанные методы позволяют выполнять клиринговый взаимозачёт долгов предприятий, многократно
уменьшающих суммарную задолженность в стране; проводить мониторинг экономики страны, отслеживая монополистов и выявляя предприятия, скатывающиеся к банкротству. С их помощью можно определить,
каким предприятиям целесообразно выдать кредиты для расшивания
взаимных неплатежей, чтобы инициировать наиболее длинные цепочки
выплат. Они позволяют определить разумную стартовую цену при
аукционной продаже долгов.
В гл. IV сформулированы важнейшие требования к пенсионной системе: 1) она должна единообразно охватывать всех граждан независимо от профессиональной и ведомственной принадлежности; 2) размер
пенсии должен зависеть от трудового вклада за всю жизнь; 3) система
должна быть долгоживущей, не требующей законодательных изменений при сильной инфляции, обвалах экономики и банкротствах всевозможных компаний или фондов. Показано, что такая система должна
быть 1) государственной, а не коммерческой; 2) распределительного
типа, а не накопительного; 3) рассчитанной на граждан со средними
заработками, а не сверхвысокими. Рассматриваемые сейчас Правительством проекты во многом не удовлетворяют этим требованиям, и в них
заложены недостатки, которые через несколько лет станут источниками социальной напряжённости. Разработаны основы пенсионной системы требуемого типа. Даны простые формулы расчёта различных составляющих частей пенсии (социальной, трудовой, специальных надбавок) для разных категорий пенсионеров. Формулы содержат небольшое
число коэффициентов, зависящих от демографической структуры населения и состояния экономики страны и определяемых на базе данных
Пенсионного фонда, Госкомстата и налоговой службы. По статистическим данным найдена функция распределения населения России по
доходам. Для основной массы населения она оказалась бистепенной,
а учёт сверхвысоких доходов лишь незначительно изменил её. Это распределение исследовано, найден его децильный коэффициент. Расчёт
баланса Пенсионного фонда с этим распределением оказался очень
близким к расчёту по средним величинам. Это упрощает управление
Пенсионным фондом. Собраны и проанализированы статистические
данные, потребовавшиеся для данных расчётов. Даны рекомендации
по распространению данных подходов на медицинское страхование

Предисловие
7

населения. Главы III и IV написаны чл.-корр. РАН Н. Н. Калиткиным,
а изложенные в них результаты получены им в соавторстве с к.ф.-м.н.
Л. В. Кузьминой. В этих работах принимали участие также д.ф.-м.н.
А. П. Михайлов, к.ф.-м.н. С. В. Поляков (гл. III, § 2), Д. С. Гужев
и к.ф.-м.н. И. О. Голосной (гл. III, § 1).
Представленные в гл. V математические модели разработаны на
основе оригинальных модифицированных методов многомерного статистического анализа.
В гл. VI даётся описание процедуры формирования системы знаний
по проблеме. Это даёт возможность на базе анализа отношений между
документами, затронутых в них проблем и систем рубрик построить
модель оригинальной информационной системы.
Цикл работ, изложенный в главах V и VI, выполнен коллективом
специалистов в составе к.э.н. М. В. Черненкова, к.т.н. Н. В. Карпенко,
к.ф.-м.н. А. Б. Карунина, С. В. Сычева.
В каждой главе своя нумерация формул, рисунков и таблиц, а также
свой список литературы. Ни в одной главе нет ссылок на другие главы.
Быстродействие всех предложенных методов таково, что они пригодны для создания общегосударственной системы, работающей в режиме «боевого дежурства». Такая система может предотвращать большинство кризисных и аварийных ситуаций.

Г л а в а I

СОЗДАНИЕ СИСТЕМ МОНИТОРИНГА

КАЧЕСТВА ВОЗДУХА

§ 1. Механизмы распространения загрязняющих
веществ после аварийных выбросов на промышленных
объектах

Существует множество работ, в каждой из которых исследован
какой-либо фактор или отражены несколько разных подходов для
описания процессов распространения загрязняющих веществ над местностью, имеющей сложный ландшафт или в условиях промышленной
застройки. Целью математического моделирования и проведения теоретических исследований механизмов распространения является оценка распределения воздушных потоков и примесей в них. Моделирование распространения примеси в атмосфере городов развивалось
в нескольких направлениях. Например, использовались статистические
модели распространения, основанные на функции распределения Гаусса [1]. Данное направление заключается в использовании моделей распространения, предназначенных для ровной подстилающей поверхности, модифицированных путём введения эмпирических коэффициентов,
учитывающих возможное повышение концентрации в застойных зонах
вблизи зданий и сооружений. Такой подход использован, например,
в документе ОНД-86. Этот метод рекомендуется для установления
нормативов ПДК в Российской Федерации. В этом документе вводится поправочный коэффициент, зависящий от взаимного расположения
источника загрязнения атмосферы и близлежащих зданий. Этот подход практически эквивалентен введению понятия эффективной геометрии источника, поскольку застройка, расположенная на удалении
от источника, не учитывается. Метод корректировки значений гори-
зонтальной дисперсии при использовании гауссовых моделей, так же
как и в ОНД-86, даёт возможность оценить вероятные повышения
концентраций вблизи зданий.
При моделировании течений в уличных «каньонах» в [1] учитываются только здания, расположенные вблизи источника. Такие же
предпосылки вводятся при решении уравнений термической гидродинамики и так называемых транспортно-диффузионных уравнений [2–8].
Моделирование течений в каньонах на основе решения уравнений

§ 1. Механизмы распространения загрязняющих веществ после
9

термической гидродинамики сопряжено с известными математическими трудностями, а также с принципиальными трудностями для всех
моделей — заданием входных параметров:
— условий на границах (нижняя граница с потоком транспорта, здания со своим воздухообменом с уличным воздухом, верхняя граница,
параметры которой зависят от многих метеорологических факторов);
— начальных значений, которые, как правило, должны зависеть от
времени и, в частности, от тех же метеоусловий.
Кроме того, метеорологические модели в условиях больших городов
могут иметь свои специфические особенности, например, они могут
описывать образование острова тепла над промышленными и жилыми
районами. Проблема при решении уравнений заключается ещё и в том,
что необходимо задавать коэффициент переноса, зависящий от энергии
турбулентных движений — функции многих величин. Наиболее простой способ определения этой функции следует из уравнения баланса
турбулентной энергии. Адекватность приводимых моделей реальным
условиям во многом определяется выбором значений эмпирических
констант. Для описания формирования полей концентраций примеси
часто используется полуэмпирическое уравнение переноса и диффузии.
Так, в работе [4] сделана попытка на основе полуэмпирического уравнения переноса и диффузии примеси получить распределение примеси
в отдельных уличных каньонах. В работе [5] распределение примеси
над застройкой моделируется транспортно-диффузионным уравнением.
Физическое моделирование в аэродинамических трубах заключается в проведении физических экспериментов в аэродинамических
трубах [9]. Эти эксперименты дают возможность оценить некоторые
особенности распределения примеси в условиях застройки для таких
метеорологических условий, которые можно с той или иной точностью
воспроизвести в аэродинамической трубе. Следует отметить, что в трубах невозможно соблюсти подобие течения по достаточному набору
критериев, например, задать число Рейнольдса одновременно с числом
Росби. В то же время метод физического моделирования в аэродинамических трубах является практически единственным для определения
некоторых необходимых для моделирования параметров и даёт возможность сравнения модели с измерениями, например, распределения
потоков воздуха по улицам при различных направлениях ветра.
Моделирование потоков в аэродинамических трубах использовалось в работах Института гигиены и патологии с участием Института глобального климата и экологии РАН. Построение эмпирических
моделей на основе комплексного подхода — анализа результатов натурных экспериментов, результатов численного моделирования и физического моделирования позволяет анализировать результаты натурных
экспериментов. Результаты численного моделирования и физического
моделирования сопряжены с построением параметрических моделей.
Распределения примеси в уличных каньонах строятся в зависимости
от метеоусловий: скорости и направления ветра, температурной стра

Гл. I. Создание систем мониторинга качества воздуха

тификации атмосферы, влажности и т. п. В параметрических моделях
концентрацию загрязняющего вещества в уличном каньоне представляют как сумму концентраций:
— концентраций поступающих непосредственно от источников самого каньона (в основном автотранспорт);
— концентраций от сторонних источников (например, примесь, переносимая над данной местностью от промышленных предприятий);
— концентраций, обусловленных явлением рециркуляции внутри
каньона.
Распределение примеси по этим моделям зависит от скорости ветра
в каньоне и от коэффициента дисперсии, который, в свою очередь,
зависит от координаты, скорости ветра, начальной дисперсии, связанной с масштабами начальных выбросов в приземный подслой, а также
дисперсией значений турбулентной скорости. Эта последняя величина определяется характером вертикальных потоков над поверхностью
земли.
Кроме того, в этих работах представлены подмодели химических
трансформаций оксидов азота в атмосферном воздухе. Там же имеется
сравнение с экспериментальными данными, полученными в Дании,
Норвегии и Голландии.
В работах обращается внимание на факторы, влияющие на возникновение опасных концентраций в местах скопления пешеходов.
Отмечается, что наибольшие колебания значений концентрации отмечаются на перекрёстках. При этом наибольшие значения концентрации
наблюдаются при направлениях ветра, параллельных улицам. Одним из
возможных путей развития такого направления является моделирование течений в уличных каньонах. Это осуществляется путём решения
уравнений сохранения. Используются вспомогательные приёмы оценки
характера течения вблизи зданий на основе сравнений параметров
подобия. Например, при моделировании течения над местностью, имеющей сложный рельеф с перепадами высот. На основе оценки числа
Фруда заключается, будет ли поток двигаться вверх по склону горы
или обтекать её по горизонтальному уровню.
В настоящее время такие исследования проводятся в ряде научных
центров мира (Калифорнийский университет, Международный институт Системного анализа в Австрии, Германский Национальный Исследовательский центр Информационных технологий). Однако проблемы,
отвечающие в полной мере поставленной задаче, не нашли отражения
в научных публикациях, что заставило приступить к разработке новых
математических моделей.
В Институте математического моделирования в течение ряда лет
разрабатывались вопросы, связанные с построением моделей распространения примесей в турбулентной атмосфере над местностью, имеющей сложный рельеф и в условиях городской застройки [10–17].
В основе этих моделей лежат фундаментальные разработки специальных вычислительных алгоритмов для решения определённого класса