Размерностная сложность. Интеллект

УДК 501
ББК 22
Б 87

Б р а н д и н В. Н.
Размерностная сложность. Интеллект. —
М.: 2008. — 168 с. — ISBN 978-5-9221-0954-3.

В монографии рассматриваются концептуальные понятия материи,
пространства, времени и сложности с позиций теории математической
размерности. Предлагаются эвристические зависимости для расчета
количественных характеристик творческой деятельности как функции
трех независимых размерностей. Изложение сопровождается многочисленными примерами из различных областей интеллектуальной деятельности: химии, математики, инженерно-конструкторской деятельности,
социально-экономической сферы, искусства.
В последних главах демонстрируются возможности размерностного
подхода к проблеме синтеза современной структуры для множества
химических элементов, а также к проблеме анализа процесса автоколебаний общественного сознания.
Рассчитана на преподавателей и студентов как естественно-научных, так и социально-общественных вузов.

ISBN 978-5-9221-0954-3
c⃝ В. Н. Брандин, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

ЧАСТЬ I
ВСЕЛЕННАЯ

Г л а в а 1. Что такое размерность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Г л а в а 2. Что такое структура? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

Г л а в а 3. Сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

Г л а в а 4. Оператор различения, исчисление различий . . . . . . . . . .
24

Г л а в а 5. Универсальные сущности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Г л а в а 6. Взаимодействие во Вселенной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

Г л а в а 7. Пространство — время — сложность.. . . . . . . . . . . . . . . . .
36

Г л а в а 8. Пятимерное пространство с точки зрения антропологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

Г л а в а 9. Симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Г л а в а 10. Размерностный подход к анормальным явлениям . . . .
49

Г л а в а 11. Размерностный подход к теории струн. . . . . . . . . . . . . . .
54

ЧАСТЬ II
ИНТЕЛЛЕКТ

Г л а в а 12. Что такое интеллект? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Г л а в а 13. Интеллектуальный процесс .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
13.1. Оценивание объекта на входе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
13.2. Оценивание объекта в стадии погружения . . . . . . . . . . . . .
65
13.3. Оценка объекта на выходе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
13.4. Операторное уравнение интеллектуального процесса .. .
68

Г л а в а 14. Интеллектуальная мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а 15. Примеры интеллектуальной деятельности . . . . . . . . . . .
77
15.1. Естественные науки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
15.2. Математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
15.3. Инженерно-конструкторская деятельность. . . . . . . . . . . . . .
85
15.4. Социально-экономическая сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
15.5. Искусство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

Г л а в а 16. Интеллектуальная ценность продуктов . . . . . . . . . . . . . .
105

Г л а в а 17. Суммирование интеллектуальных энергий . . . . . . . . . . .
110

Г л а в а 18. Химическая Мандала, размерностный подход к Периодической таблице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113

Г л а в а 19. Резонанс общественного самосознания . . . . . . . . . . . . . .
120
19.1. Борьба американских негров за равноправие . . . . . . . . . . .
120
19.2. Колебание общественного самосознания в социалистической системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
19.3. Развал социализма, как следствие резонанса общественного самосознания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
19.4. Процесс автоколебаний в романовской России. . . . . . . . . .
130

Г л а в а 20. Память, размерностный подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
20.1. Индивидуальная память . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
20.2. Универсальная память. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
20.3. Взаимодействие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
20.4. Эврика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
20.5. Барьер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151

Г л а в а 21. Третья революция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
21.1. Содержание первых двух революций . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
21.1. О третьей революции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
21.3. Парадоксы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165

Посвящается моему школьному
учителю математики
Петрову Севиру Зиновьевичу

ПРЕДИСЛОВИЕ

Однажды, в декабрьскую бессонную ночь 1992 года, откуда-то
прилетела мысль... связать между собой понятия размерности и интеллекта..., которая долбилась как дятел в моей голове.
Мы знаем, что на заре своего интеллектуального взросления
(5–6 тысяч лет тому назад, а может быть и больше) человечество
было “плоским” в мировоззренческом аспекте. Хотя каждый и
ощущал себя трёхмерным сущeством, но воспринимал окружающий мир в виде плоской Земли со сферическим куполом над
ней. Процесс освоения трёхмерного пространства продолжался
несколько тысяч лет и условно закончился с опубликованием
трудов (1665–1667) сэра Ньютона. Примерно через 250 лет мировоззрение стало медленно поворачиваться в сторону четырёхмерного континуума, заложенного Эйнштейном в общей теории
относительности (1916). Это мировоззрение сначала утвердилось
в науке, откликнулось также в живописи течением кубизма
и экспрессионизма. Относящийся к этому же времени сдвиг
национального стиля в музыке в сторону интернационального
не являлся столь резко выраженным и бесперспективным, как
кубизм в живописи, ибо мир музыки сам по себе является
четырёхмерным.
Ещё много десятков лет потребуется для того, чтобы четырёхмерное мировоззрение стало для всех привычным, но уже
через несколько лет после работы Эйнштейна появились серьёзные заявки на то, что наше физическое пространство является
пятимерным. И снова этот интерес к повышенной размерности
откликнулся в обычной жизни и искусстве. Поэт И. Бродский
уделял особое внимание проблеме размерности языка. И мы
увидим здесь, что язык относится к интеллектуальным продуктам с размерностью пять. Таким образом, большинство из
нас, можно сказать, перешло из троечников в хорошисты по
интеллектуальной успеваемости, а некоторые уже выбились в
отличники. И в этой работе делается попытка показать, что
творческое мышление человека непосредственно связано с изменением размерности.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а 15. Примеры интеллектуальной деятельности . . . . . . . . . . .
77
15.1. Естественные науки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
15.2. Математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
15.3. Инженерно-конструкторская деятельность. . . . . . . . . . . . . .
85
15.4. Социально-экономическая сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
15.5. Искусство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

Г л а в а 16. Интеллектуальная ценность продуктов . . . . . . . . . . . . . .
105

Г л а в а 17. Суммирование интеллектуальных энергий . . . . . . . . . . .
110

Г л а в а 18. Химическая Мандала, размерностный подход к Периодической таблице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113

Г л а в а 19. Резонанс общественного самосознания . . . . . . . . . . . . . .
120
19.1. Борьба американских негров за равноправие . . . . . . . . . . .
120
19.2. Колебание общественного самосознания в социалистической системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
19.3. Развал социализма, как следствие резонанса общественного самосознания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
19.4. Процесс автоколебаний в романовской России. . . . . . . . . .
130

Г л а в а 20. Память, размерностный подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
20.1. Индивидуальная память . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
20.2. Универсальная память. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
20.3. Взаимодействие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
20.4. Эврика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
20.5. Барьер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151

Г л а в а 21. Третья революция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
21.1. Содержание первых двух революций . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
21.1. О третьей революции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
21.3. Парадоксы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165

Посвящается моему школьному
учителю математики
Петрову Севиру Зиновьевичу

ПРЕДИСЛОВИЕ

Однажды, в декабрьскую бессонную ночь 1992 года, откуда-то
прилетела мысль... связать между собой понятия размерности и интеллекта..., которая долбилась как дятел в моей голове.
Мы знаем, что на заре своего интеллектуального взросления
(5–6 тысяч лет тому назад, а может быть и больше) человечество
было “плоским” в мировоззренческом аспекте. Хотя каждый и
ощущал себя трёхмерным сущeством, но воспринимал окружающий мир в виде плоской Земли со сферическим куполом над
ней. Процесс освоения трёхмерного пространства продолжался
несколько тысяч лет и условно закончился с опубликованием
трудов (1665–1667) сэра Ньютона. Примерно через 250 лет мировоззрение стало медленно поворачиваться в сторону четырёхмерного континуума, заложенного Эйнштейном в общей теории
относительности (1916). Это мировоззрение сначала утвердилось
в науке, откликнулось также в живописи течением кубизма
и экспрессионизма. Относящийся к этому же времени сдвиг
национального стиля в музыке в сторону интернационального
не являлся столь резко выраженным и бесперспективным, как
кубизм в живописи, ибо мир музыки сам по себе является
четырёхмерным.
Ещё много десятков лет потребуется для того, чтобы четырёхмерное мировоззрение стало для всех привычным, но уже
через несколько лет после работы Эйнштейна появились серьёзные заявки на то, что наше физическое пространство является
пятимерным. И снова этот интерес к повышенной размерности
откликнулся в обычной жизни и искусстве. Поэт И. Бродский
уделял особое внимание проблеме размерности языка. И мы
увидим здесь, что язык относится к интеллектуальным продуктам с размерностью пять. Таким образом, большинство из
нас, можно сказать, перешло из троечников в хорошисты по
интеллектуальной успеваемости, а некоторые уже выбились в
отличники. И в этой работе делается попытка показать, что
творческое мышление человека непосредственно связано с изменением размерности.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта идея с первых шагов была поддержана А. В. Чечкиным,
одним из руководителей семинара по системам искусственного
интеллекта в МГУ имени М.В. Ломоносова. Постепенно идея
стала обрастать догадками, фактами, гипотезами и множеством
примеров из жизни (глава 15). Она стала втягивать в себя
некоторый математический аппарат, однако в небольшом объёме
и скорее на его содержательном, чем формальном уровне.
Книга состоит из двух частей, которые следуют в обратном
порядке по отношению к хронологическому порядку их появления. Часть II была подготовлена вначале и опубликована в
работах, относящихся к 1992–2002 годам. Затем возникла необходимость в более фундаментальных основах, и тогда была создана Часть I в течение 2002–2004 годов и опубликована в [29].
Трудно определить жанр этой книги и нелегко причислить её к
определённой области знаний. Здесь присутствуют философия,
математика, искусство и мой личный опыт. Этот интеллектуальный продукт кому-то покажется обескураживающим, некоторые
найдут его развлекательным, а кто-то отнесётся к нему очень
серьёзно. Такое разнообразие восприятий как раз и является
следствием того, что как сама книжка, так и любой читатель
имеют вполне определённые уровни сложности. Понятие сложности, как видно из самого названия, является предметом книги.
Оно занимает промежуточное положение между размерностью и
интеллектуальным уровнем. Короче говоря, книжка предназначена не столько для чтения, сколько для продумывания теми
читателями, которые занимаются или собираются заниматься
интеллектуальной деятельностью.

Ч А С Т Ь 1

ВСЕЛЕННАЯ

Г Л А В А 1

ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?

Начнём с того, что размерность — это не размер и не мера.
Размерность объекта — это топологическое свойство. Существует известная π-теорема, утверждающая, что любая фундаментальная закономерность между (k + 1) величинами, из которых p имеют независимые физические размерности, может быть
представлена в виде закономерности между (k + 1 − p) величинами, представляющими собой безразмерные комбинации из
(k + 1) размерных величин. Далее, любое соотношение между
этими (k + 1 − p) безразмерными величинами накладывает на
них функциональные связи, так что только m величин, где
m < (k + 1 − p), будут независимыми. Вот эта величина m и
является размерностью закономерности.
Получается довольно сложно. Сначала надо выявить все
переменные величины. Затем надо перейти к безразмерным переменным. Наконец, надо выявить все функциональные связи
и найти m независимых безразмерных переменных. Эти переменные, или факторы, будут полностью определять состояние
объекта.
Наши органы чувств могут воспринимать трёхмерное пространство, поэтому древние мыслители считали, что больше
трёх измерений быть не может. Поэтому геометрия Эвклида
не содержит такого понятия как размерность. Более высокие
размерности появились в геометрии только в 1854 году в работах
математического гения Б. Римана. Само понятие размерности
оформилось только во втором десятилетии 20 века в трудах
Г. Лебега и Ф. Хаусдорфа.
Идея Лебега заключается в покрытии. А именно, любое
замкнутое ограниченное множество, расположенное в n-мерном

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта идея с первых шагов была поддержана А. В. Чечкиным,
одним из руководителей семинара по системам искусственного
интеллекта в МГУ имени М.В. Ломоносова. Постепенно идея
стала обрастать догадками, фактами, гипотезами и множеством
примеров из жизни (глава 15). Она стала втягивать в себя
некоторый математический аппарат, однако в небольшом объёме
и скорее на его содержательном, чем формальном уровне.
Книга состоит из двух частей, которые следуют в обратном
порядке по отношению к хронологическому порядку их появления. Часть II была подготовлена вначале и опубликована в
работах, относящихся к 1992–2002 годам. Затем возникла необходимость в более фундаментальных основах, и тогда была создана Часть I в течение 2002–2004 годов и опубликована в [29].
Трудно определить жанр этой книги и нелегко причислить её к
определённой области знаний. Здесь присутствуют философия,
математика, искусство и мой личный опыт. Этот интеллектуальный продукт кому-то покажется обескураживающим, некоторые
найдут его развлекательным, а кто-то отнесётся к нему очень
серьёзно. Такое разнообразие восприятий как раз и является
следствием того, что как сама книжка, так и любой читатель
имеют вполне определённые уровни сложности. Понятие сложности, как видно из самого названия, является предметом книги.
Оно занимает промежуточное положение между размерностью и
интеллектуальным уровнем. Короче говоря, книжка предназначена не столько для чтения, сколько для продумывания теми
читателями, которые занимаются или собираются заниматься
интеллектуальной деятельностью.

Ч А С Т Ь 1

ВСЕЛЕННАЯ

Г Л А В А 1

ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?

Начнём с того, что размерность — это не размер и не мера.
Размерность объекта — это топологическое свойство. Существует известная π-теорема, утверждающая, что любая фундаментальная закономерность между (k + 1) величинами, из которых p имеют независимые физические размерности, может быть
представлена в виде закономерности между (k + 1 − p) величинами, представляющими собой безразмерные комбинации из
(k + 1) размерных величин. Далее, любое соотношение между
этими (k + 1 − p) безразмерными величинами накладывает на
них функциональные связи, так что только m величин, где
m < (k + 1 − p), будут независимыми. Вот эта величина m и
является размерностью закономерности.
Получается довольно сложно. Сначала надо выявить все
переменные величины. Затем надо перейти к безразмерным переменным. Наконец, надо выявить все функциональные связи
и найти m независимых безразмерных переменных. Эти переменные, или факторы, будут полностью определять состояние
объекта.
Наши органы чувств могут воспринимать трёхмерное пространство, поэтому древние мыслители считали, что больше
трёх измерений быть не может. Поэтому геометрия Эвклида
не содержит такого понятия как размерность. Более высокие
размерности появились в геометрии только в 1854 году в работах
математического гения Б. Римана. Само понятие размерности
оформилось только во втором десятилетии 20 века в трудах
Г. Лебега и Ф. Хаусдорфа.
Идея Лебега заключается в покрытии. А именно, любое
замкнутое ограниченное множество, расположенное в n-мерном

Часть 1. ВСЕЛЕННАЯ

пространстве,
имеет
целочисленную
размерность
m, n ⩾ m.
Объект с размерностью m имеет конечное покрытие кратности
(m + 1), состоящее из замкнутых множеств меньшего диаметра,
чем диаметр самого объекта. Это так называемая топологическая
размерность [1]. Идея размерности, опирающаяся на покрытие,
является очень ценной не только в количественном, но и в
качественном, познавательном смысле. Система до некоторой
степени известных, зависящих от нашего выбора, покрывающих
элементов может служить оригинальным средством познания
неизвестного объекта. Мы получаем некоторое представление об
объекте в результате достаточно простой операции наложения
на него специально подобранных элементов покрытия.
Известно, что пустое множество ∅ (множество, не содержащее элементов) имеет размерность m = −1. Изолированная
точка имеет размерность m = 0. Достаточно гладкая кривая
имеет размерность m = 1 независимо от того, какова размерность пространства, где она располагается. Поверхность является двумерным объектом, а тело — трёхмерным. Физическое
тело с переменной плотностью имеет размерность m = 4. Если
температура этого тела также является существенным фактором,
то мы должны рассматривать его как пятимерный объект, и
так далее. Согласно теории размерности, размерность сложного,
состоящего из нескольких элементов объекта равна размерности
того элемента, где она достигает наибольшего значения. Отсюда
следует, что размерность не имеет свойства аддитивности, которое присуще, например, мере множества.
Объекты могут быть настолько сложными, что выбор системы покрывающих множеств становится неразрешимой проблемой. К подобным объектам относятся, в частности, фракталы.
Они широко используются как в геометрии, так и в динамике.
Фракталами называются масштабно-инвариантные множества,
обладающие дробной размерностью Хаусдорфа–Безиковича [43].
Эта размерность строго не меньше топологической размерности,
и она не является топологически инвариантной в полном смысле,
она инвариантна только к преобразованию масштабирования.
Однако идея покрытия здесь сохраняется в какой-то степени, ибо
фрактальная размерность определяется через предел некоторого
выражения, которое включает бесконечно малый элемент покрытия. Фрактальная размерность заполняет числовую прямую
более плотно, чем целочисленная, но она не заходит в интервал
[−1, 0], так как является существенно положительной по определению.

Гл. 1. ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
9

Начальная же точка (−1) на шкале топологической размерности совсем не является формальной, как это может показаться
на первый взгляд. Во-первых, эта точка не противоречит определению топологической размерности, ибо ∅ имеет покрытие
с кратностью (0), здесь нечего покрывать; т. е. размерность ∅
будет равна −1, так как размерность меньше кратности покрытия на единицу. Во-вторых, обнаруживается ещё один очень
интересный факт. Эта точка является неподвижной точкой
на шкале размерностей по отношению к преобразованию
m ⇒ 2m + 1. Смысл этого преобразования определяется замечательной теоремой Д. Нэша [40], к которой мы вернёмся позже.
Таким образом, существует проблема отрицательной дробной
размерности, в решении которой заинтересованы как физики,
так и лирики. А именно, физический вакуум (void) и память
(memori) являются странным образом похожими, когда они проявляют себя как флюоресцирующие множества изолированных
точек, имеющих как бы поверхности нулевого уровня энергии.
Пары материальных частиц (одна имеет положительную энергию, а другая — отрицательную) на мгновение возникают в
вакууме и затем аннигилируют друг с другом [36]. Пузырьки
мыслей возникают на короткое время в чистом (пустом) сознании медитирующего человека и исчезают, не оставив в памяти
никакого следа [34].
Лет пять тому назад эта проблема так меня захватила,
что никакая другая мысль не возникала в моем сознании
в
течение
длительного
времени.
Я
думаю,
любой
гуру
согласился бы быть на моем месте ради такой концентрации. Это состояние было настолько стабильным, что
все мои попытки переключиться на отдых или что-то
другое не имели никакого успеха. К сожалению, мне не
удалось
достигнуть
результата,
который
сохранил
бы
идею какого-то покрытия на интервале [−1, 0]. Недавно
я обнаружил, что Б. Мандельброт занимается проблемой
отрицательной
дробной
размерности
уже
более
15
лет
(http://www.math.yale.edu/mandelbrot/webbooks/wb_neg.html).
Он
вводит
дробную
размерность
на
интервале
[−1, 0]
вероятностным
путем.
Однако
такое
решение
меня
не
совсем удовлетворяет, ибо шкала размерностей в этом
случае имеет два участка, опирающиеся на два совершенно
разных подхода. Я снова погрузился в состояние медитации,
и на этот раз возникла совершенно новая идея: использовать глубокую связь между мощностью множества X

Часть 1. ВСЕЛЕННАЯ

пространстве,
имеет
целочисленную
размерность
m, n ⩾ m.
Объект с размерностью m имеет конечное покрытие кратности
(m + 1), состоящее из замкнутых множеств меньшего диаметра,
чем диаметр самого объекта. Это так называемая топологическая
размерность [1]. Идея размерности, опирающаяся на покрытие,
является очень ценной не только в количественном, но и в
качественном, познавательном смысле. Система до некоторой
степени известных, зависящих от нашего выбора, покрывающих
элементов может служить оригинальным средством познания
неизвестного объекта. Мы получаем некоторое представление об
объекте в результате достаточно простой операции наложения
на него специально подобранных элементов покрытия.
Известно, что пустое множество ∅ (множество, не содержащее элементов) имеет размерность m = −1. Изолированная
точка имеет размерность m = 0. Достаточно гладкая кривая
имеет размерность m = 1 независимо от того, какова размерность пространства, где она располагается. Поверхность является двумерным объектом, а тело — трёхмерным. Физическое
тело с переменной плотностью имеет размерность m = 4. Если
температура этого тела также является существенным фактором,
то мы должны рассматривать его как пятимерный объект, и
так далее. Согласно теории размерности, размерность сложного,
состоящего из нескольких элементов объекта равна размерности
того элемента, где она достигает наибольшего значения. Отсюда
следует, что размерность не имеет свойства аддитивности, которое присуще, например, мере множества.
Объекты могут быть настолько сложными, что выбор системы покрывающих множеств становится неразрешимой проблемой. К подобным объектам относятся, в частности, фракталы.
Они широко используются как в геометрии, так и в динамике.
Фракталами называются масштабно-инвариантные множества,
обладающие дробной размерностью Хаусдорфа–Безиковича [43].
Эта размерность строго не меньше топологической размерности,
и она не является топологически инвариантной в полном смысле,
она инвариантна только к преобразованию масштабирования.
Однако идея покрытия здесь сохраняется в какой-то степени, ибо
фрактальная размерность определяется через предел некоторого
выражения, которое включает бесконечно малый элемент покрытия. Фрактальная размерность заполняет числовую прямую
более плотно, чем целочисленная, но она не заходит в интервал
[−1, 0], так как является существенно положительной по определению.

Гл. 1. ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
9

Начальная же точка (−1) на шкале топологической размерности совсем не является формальной, как это может показаться
на первый взгляд. Во-первых, эта точка не противоречит определению топологической размерности, ибо ∅ имеет покрытие
с кратностью (0), здесь нечего покрывать; т. е. размерность ∅
будет равна −1, так как размерность меньше кратности покрытия на единицу. Во-вторых, обнаруживается ещё один очень
интересный факт. Эта точка является неподвижной точкой
на шкале размерностей по отношению к преобразованию
m ⇒ 2m + 1. Смысл этого преобразования определяется замечательной теоремой Д. Нэша [40], к которой мы вернёмся позже.
Таким образом, существует проблема отрицательной дробной
размерности, в решении которой заинтересованы как физики,
так и лирики. А именно, физический вакуум (void) и память
(memori) являются странным образом похожими, когда они проявляют себя как флюоресцирующие множества изолированных
точек, имеющих как бы поверхности нулевого уровня энергии.
Пары материальных частиц (одна имеет положительную энергию, а другая — отрицательную) на мгновение возникают в
вакууме и затем аннигилируют друг с другом [36]. Пузырьки
мыслей возникают на короткое время в чистом (пустом) сознании медитирующего человека и исчезают, не оставив в памяти
никакого следа [34].
Лет пять тому назад эта проблема так меня захватила,
что никакая другая мысль не возникала в моем сознании
в
течение
длительного
времени.
Я
думаю,
любой
гуру
согласился бы быть на моем месте ради такой концентрации. Это состояние было настолько стабильным, что
все мои попытки переключиться на отдых или что-то
другое не имели никакого успеха. К сожалению, мне не
удалось
достигнуть
результата,
который
сохранил
бы
идею какого-то покрытия на интервале [−1, 0]. Недавно
я обнаружил, что Б. Мандельброт занимается проблемой
отрицательной
дробной
размерности
уже
более
15
лет
(http://www.math.yale.edu/mandelbrot/webbooks/wb_neg.html).
Он
вводит
дробную
размерность
на
интервале
[−1, 0]
вероятностным
путем.
Однако
такое
решение
меня
не
совсем удовлетворяет, ибо шкала размерностей в этом
случае имеет два участка, опирающиеся на два совершенно
разных подхода. Я снова погрузился в состояние медитации,
и на этот раз возникла совершенно новая идея: использовать глубокую связь между мощностью множества X

Часть 1. ВСЕЛЕННАЯ

и размерностью его топологического представления (X, τ)
и
установить
специальное
отображение
между
шкалой
мощностей в теории множеств и шкалой размерностей в
топологии. Остановимся на этой идее более подробно.
Множество X (совокупность, собрание элементов, толпа,
тьма и т. п.) является фундаментальным и совершенно неизощрённым понятием в математике. Элементы, принадлежащие множеству, не имеют никаких индивидуальных качеств и даже не
имеют никаких отношений между собой. Таким образом, множества не имеют внутренней структуры и различаются между
собой только мощностью (численностью своих элементов). Топологическое пространство (X, τ) определяется как пара, состоящая из множества X и некоторой системы его подмножеств {τ}.
Элементы пространства приобретают некоторые отношения между собой в рамках этой топологии. Понятие подмножества
трансформируется в понятие многообразия, а понятие мощности
трансформируется в понятие размерности многообразия. В связи
с этим следует различать, например, такие понятия как “пустое
множество, содержащее конечное множество точек” и просто
“конечное множество точек”, ибо первое подразумевает некоторое отношение, связывающее изолированные точки с пустотой.
Второе понятие никаких отношений не подразумевает. Если
конечное множество точек имеет размерность 0, то оно же в
пустоте может иметь размерность, отличную от 0, вследствие
специфических отношений, накладываемых на свободу этих точек.
Итак, имеются две шкалы (рис. 1).

Рис. 1

Шкала мощности (P) имеет в начале точку 0, далее следует точка ℵ0,, обозначающая мощность счётного множества,
которое имеет самую маленькую мощность из всех бесконечных
множеств. Правее точки ℵ0 находится мощность континуума ℵ,
соответствующая бесконечному несчётному множеству, и далее
располагаются точки, определяющие ещё большие мощности,
так как множество всех подмножеств данного множества может
иметь большую мощность. Шкала размерностей (D) имеет в

Гл. 1. ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
11

начале точку −1, которая обозначает размерность множества ∅.
Размерность счётного множества равна 0, так как операция счёта
естественным образом изолирует элементы множества друг от
друга. Размерность любого отрезка прямой равна 1, а мощность
равна ℵ. Размерность поверхности равна 2, и где-то правее ℵ
должна располагаться точка мощности на шкале (P).
Таким образом, точка 0 на шкале (P) и точка −1 на шкале (D) согласованы по соответствию ∅, далее ℵ0 ⇔ 0 по соответствию счётного множества, и ℵ ⇔ 1 по соответствию континуума. Нетрудно получить взаимно-однозначные соответствия
между отрезками [0, ℵ0] и [−1, 0]; между [ℵ, ℵ0] и [0, 1]. Далее
возникают некоторые трудности, но нас пока интересуют именно
начальные участки двух шкал. Между ℵ0 и ℵ, в силу гипотезы
Коэна, существуют множества с промежуточной мощностью.
Отображение [ℵ0,ℵ] ⇒ [0, 1] должно содержать дробные размерности. Мощность конечного множества из N элементов равна
P = N, и все такие множества относятся к (0, ℵ0). В результате
отображения (0, ℵ0) ⇒ [−1, 0] мы получим, что любое конечное
число элементов в пустоте должно иметь отрицательную размерность: −1 < D < 0.
Это конечно не доказательство. Для этого здесь недостаточно места, и возраст мой уже не позволяет сделать
это. Поэтому мы воспользуемся таким мощным средством,
как Аксиома, и будем полагать, что размерность D есть
непрерывный параметр на числовой прямой [−1, ∞).
Теория размерности [1] содержит некоторые факты об изменении размерности при различных преобразованиях. Прежде
всего, это основные теоремы об инвариантности размерности
(Пуанкаре и Брауэр), а также теорема Нэша о вложении [40, 41].
Имеются различные способы определения размерности для сложных объектов: это факторный анализ для стохастических объектов [17] и процедура Такенса для объектов с хаотической
динамикой [43]. Размерность относится к важнейшим топологическим инвариантам. Если преобразования обладают свойствами
связности и непрерывности (гомеоморфные преобразования), то
размерность объекта не изменяется. В противном случае она
может изменяться как в сторону уменьшения, так и в сторону
увеличения.
Достаточно наглядным примером, иллюстрирующим это
положение, может служить процесс изготовления пельменей.
Когда вы замешиваете тесто, волтузите его кулаками как
боксёрскую грушу, подбрасываете вверх, позволяя ему шлё