Вестник Удмуртского университета. Серия 1. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2007, № 1

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2007. №1

МАТЕМАТИКА

УДК 517.958 : 532.546

И. Б. Бадриев, И. Н. Исмагилов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
СТАЦИОНАРНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
ФИЛЬТРАЦИИ С МНОГОЗНАЧНЫМ ЗАКОНОМ1

Предложена математическая модель стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей анизотропному многозначному закону фильтрации с
предельным градиентом. Математически задача сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода. Доказана теорема существования.

Ключевые слова: теория фильтрации, математическое моделирование, вариационные неравенства, монотонный оператор.

Введение

Работа посвящена математическому моделированию стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом.
Аналогичные задачи в случае изотропной среды рассматривались в работах [4, 6]. Ранее рассматривался случай, когда функции, определяющие
закон фильтрации, являются непрерывными, неубывающими и имеют на
бесконечности линейный рост [1] .

§ 1. Постановка задачи

Пусть Ω — ограниченная область в R m, m ⩾ 1, с непрерывной по Липшицу границей Γ = Γ1
Γ2, Γ1
Γ2 = ∅, mes Γ2 > 0, где Γ1 — ограниченное открытое подмножество Γ, Γ2 — внутренность Γ\Γ1. Рассматривается
краевая задача

div v(x) = ˜f(x), x ∈ Ω,
(v(x), n) = 0, x ∈ Γ1,
u(x) = 0, x ∈ Γ2,
(1)

где ˜f — заданная функция, n — внешняя нормаль к Γ1,

vl(u) = −

m
k=1

m
i=1
α(i)
kl gi
T 2
i (u)
∂u
∂xk
,

T 2
i (u) =

m
k, l =1
α(i)
kl
∂u
∂xk

∂u
∂xl
,
i = 1, 2 . . . , m,

(2)

1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06–01–00633).

И. Б. Бадриев, И. Н. Исмагилов

МАТЕМАТИКА
2007. №1

ξ → gi(ξ2) ξ, i = 1, 2, . . . , m — функции, определяющие закон фильтрации. Предполагаем, что gi(ξ2) ξ = gi 0 (ξ2) ξ +gi 1 (ξ2) ξ, причем выполнены
следующие условия:

gi j(ξ2) ξ ⩾ 0
при
ξ ⩾ 0,
j = 0, 1,
(3)

gi j(ξ2) ξ = 0 при ξ ⩾ βi, j = 0, 1, (βi > 0− предельные градиенты) (4)

c1i (ξ − βi) p−1 ⩽ gi 0(ξ2) ξ ⩽ c2i ξ p−1,
ξ ⩾ βi,
c1 i, c2 i > 0,
(5)

gi 0(ξ2) ξ непрерывны,
gi 0(ξ2) ξ − gi 0(ζ2) ζ ⩾ 0
при
ξ − ζ ⩾ 0,
(6)

gi 1(ξ2) ξ = ϑi
при
ξ ⩾ βi.
(7)

Относительно коэффициентов α(i)
k l предполагаем, что

α(i)
kl = α(i)
lk ,

m
k, l=1
α(i)
kl ξk ξl ⩾ c4i

m
k=1
ξ2
k,

c4 i > 0,
α(i)
k l ⩽ c5i,
i, k, l = 1, 2, . . . , m.

(8)

Задачу (1)–(2) можно трактовать как стационарную задачу фильтрации несжимаемой жидкости, следующую анизотропному закону фильтрации (см., например, [3]).
Обозначим

(ξ, ζ)i =

m
k, l=1
α(i)
kl ξk ζl.
(9)

В силу условий (8) соотношение (9) порождает скалярное произведение
в R m. Поэтому для любых функций u, η имеют место неравенства

(∇u, ∇η)i ⩽ Ti(u) Ti(η),
T 2
i (u) ⩽ c6i|∇u|2,
c5i > 0, i = 1, 2, . . . , m. (10)

Пусть V =
η ∈ W 1
p (Ω) : η(x) = 0, x ∈ Γ2
, Ai : V → V ∗ — операторы,
порождаемые формами

⟨Aiu, η⟩ =
Ω
gi 0
T 2
i (u)
(∇u, ∇η)i dx
∀ u, η ∈ V, i = 1, 2, . . . , m,
(11)

⟨·, ·⟩ — отношение двойственности между V и V ∗, V ∗ — пространство, сопряженное к V .
Определим также функционалы Fi : V → R1 соотношением

Fi(η) =
Ω

Ti(η)

0
gi 1(ξ2)ξdξ dx = ϑi

Ω

Ti(η) − βi
+
dx,

a+ = (|a| + a)/2,
i = 1, 2, . . . , m.
(12)

Математическое моделирование стационарных анизотропных задач
5

МАТЕМАТИКА
2007. №1

Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом, будем понимать функцию u ∈ V , являющуюся решением вариационного неравенства (см. [4, 6])

⟨Au, η − u⟩ + F(η) − F(u) ⩾ ⟨f, η − u⟩
∀ η ∈ V,
(13)

где

A =

m
i=1
Ai,
(14)

F =

m
i=1
Fi,
(15)

элемент f ∈ V ∗ определен по формуле ⟨f, η⟩ =
Ω
˜f η dx.

§ 2. Свойства оператора и функционала. Разрешимость задачи

Для исследования разрешимости задачи (13) установим предварительно ряд свойств оператора A, определяемого соотношениями (11), (14), и
функционала F, определяемого соотношениями (12), (15).

Лемма 1. Если выполнены условия (4)–(6), то оператор A является
монотонным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

⟨Aiu − Aiη, u − η⟩ =
Ω

gi 0
T 2
i (u)
∇u − gi 0
T 2
i (η)
∇η, ∇u − ∇η
idx =

=
Ω

gi 0
T 2
i (u)
(∇u, ∇u)i + gi 0
T 2
i (η)
(∇η, ∇η)i−

−gi 0
T 2
i (u)
(∇u, ∇η)i − gi 0
T 2
i (η)
(∇η, ∇u)i
dx ⩾

⩾
Ω

gi 0
T 2
i (u)
Ti(u) − gi 0
T 2
i (η)
Ti(η)
Ti(u) − Ti(η)
dx ⩾ 0,

и в силу условия (6) операторы Ai монотонны. Отсюда следует, что оператор A является монотонным. Лемма доказана.
□

Лемма 2. Если выполнены условия (4)–(6), то оператор A непрерывен.

И. Б. Бадриев, И. Н. Исмагилов

МАТЕМАТИКА
2007. №1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим Y = Lp(Ω). Тогда Y ∗ = Lq(Ω), q =
p/(p − 1). Далее, по определению

∥Aiu − Aiv∥V ∗ = sup
z̸=0
⟨Aiu − Aiv, z⟩/∥z∥V .
(16)

В силу неравенства Гельдера получим

|⟨Aiu − Aiv, z⟩| =
Ω

gi 0(T 2
i (u))Ti(u) − gi 0(T 2
i (v))Ti(v), Ti(z)
idx
⩽

⩽
Ω

gi 0
T 2
i (u)
Ti(u) − gi 0
T 2
i (v)
Ti(v)
p/(p−1)
dx
(p−1)/p
×

×
Ω
|Ti(z)|p dx
1/p
⩽ c5i∥z∥V ∥gi 0(T 2
i (u))Ti(u) − gi 0(T 2
i (v))Ti(v)∥Y ∗. (17)

Определим на Y оператор hi по формуле hi(ξ) = gi(ξ2)ξ, ξ = (ξ1, ξ2, . . . ξm).
Из условий (5), (6) вытекает, что hi(ξ) является оператором Немыцко
го (см., например, [2, с. 213]). В силу (5)
Ω
|hi(ξ)|qdx ⩽ cq
2imes Ω < +∞,

то есть hi действует из Y в Y ∗. Из (16), (17) имеем ∥Aiu − Aiv∥V ∗ ⩽
∥hi(Ti(u)) − hi(Ti(v))∥Y ∗. Тогда непрерывность оператора Ai следует из
непрерывности оператора Немыцкого (см. теорему 19.1 [2, с. 204]). Из этого следует, что сумма непрерывных операторов является непрерывным
оператором. Лемма доказана.
□

Лемма 3. Если выполнены условия (4)–(6), то оператор A коэрцитивен, причем ⟨Au, u⟩ ⩾ c1∥u∥p
V − c2∥u∥p−1
V
для любого u ∈ V .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим Ω+i = {x ∈ Ω : Ti(u) ⩾ βi}, Ω−i =
Ω \ Ω+i. Поскольку gi
T 2
i (u)
Ti(u) = 0 на Ω−i, то с учетом условия (5) и
неравенства xα ⩾ yα + αyα−1(x − y), справедливого для всех x ⩾ 0, y ⩾ 0,
α > 1, имеем

⟨Aiu, u⟩ =
Ω+i
gi 0(T 2
i (u))T 2
i (u)dx ⩾
Ω+i
c1i(Ti(u) − βi)p−1Ti(u)dx ⩾

⩾ c1i

Ω+i
(Ti(u) − βi)p−1(Ti(u) − βi)dx = c1i

Ω+i
(Ti(u) − βi)pdx ⩾

⩾ c1i
Ω+i
T p
i (u)dx − p βi

Ω+i
T p−1
i
(u)dx
⩾

⩾ c1i
Ω
T p
i (u)dx − p βi

Ω
T p−1
i
(u)dx
⩾ c1i∥u∥p
V − c1ipβi∥u∥p−1
V
.

⟨Au, u⟩ = ⟨

m
i=1
Aiu, u⟩ ⩾

m
i=1

c1i∥u∥p
V − c1ipβi∥u∥p−1
V
= c1 ∥u∥p
V − c2 ∥u∥p−1
V
.

Лемма доказана.
□

Математическое моделирование стационарных анизотропных задач
7

МАТЕМАТИКА
2007. №1

Лемма 4. Функционал F, определенный соотношениями (12), (15), является выпуклым и липшиц-непрерывным с константой

L =
mes (Ω)
1/2
m
i=1
c6iϑi.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольных a, b ∈ R1 и 0 ⩽ λ ⩽ 1 выполнено неравенство | λa + (1 − λ)b | ⩽ λ|a| + (1 − λ) |b|, пользуясь которым,
получаем
λa + (1 − λ)b
+ ⩽ λa+ + (1 − λ) b+. Отсюда с учетом того, что
a+ ⩾ b+ при a ⩾ b, имеем

Fi
λu + (1 − λ)v
= ϑi

Ω

Ti
λu + (1 − λ)v
− βi
+
dx ⩽

⩽ ϑi

Ω

λTi(u) − (1 − λ)Ti(v) − βi
+
dx =

= ϑi

Ω

λ
Ti(u) − βi
+
1 − λ
Ti(v) − βi
+
dx ⩽

⩽ ϑi

Ω

λ
Ti(u) − βi
+ +
1 − λ
Ti(v) − βi
+dx = λFi(u) + (1 − λ)Fi(v).

F
λu + (1 − λ)v
=

m
i=1
Fi
λu + (1 − λ)v
⩽

⩽

m
i=1

λFi(u) + (1 − λ)Fi(v)
= λF(u) + (1 − λ)F(v),

то есть F — выпуклый функционал.
Далее, для произвольных a, b ∈ R1 выполнено неравенство |a+ − b+| ⩽
|a − b|, следовательно, в силу неравенства Коши–Буняковского получаем

|Fi(u) − Fi(v)| ⩽

⩽ ϑi

Ω

Ti(u) − βi
+ −
Ti(v) − βi
+dx ⩽ ϑi

Ω
|Ti(u) − Ti(v)| dx ⩽

⩽ ϑi
Ω
12dx
1/2Ω
|Ti(u) − Ti(v)|2 dx
1/2
⩽ c6iϑi
mes (Ω)
1/2∥u − v∥V .

Отсюда имеем

|F(u) − F(v)| ⩽

m
i=1
|Fi(u) − Fi(v)| ⩽
mes (Ω)
1/2∥u − v∥V

m
i=1
c6iϑi.

Лемма доказана.
□

И. Б. Бадриев, И. Н. Исмагилов

МАТЕМАТИКА
2007. №1

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)–(8). Тогда задача (13) имеет по крайней мере одно решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу лемм 1–3 оператор A является монотонным, непрерывным и коэрцитивным. В силу леммы 4 функционал F является выпуклым и липшиц-непрерывным, а следовательно, слабо полунепрерывным снизу. Из этих свойств оператора A и функционала F и
следует существование решения неравенства (13) (см. [5, 7]).
□

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.
Бадриев И. Б., Исмагилов И. Н. Итерационные методы решения нелинейных
стационарных задач анизотропной фильтраци // Труды Средневолжского
матем. общ-ва. 2006. Т. 8, № 1. С. 150–159.

2.
Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. 344 с.

3.
Костерин А. В. Об уравнениях нелинейной анизотропной фильтрации // Изв.
АН СССР. МЖГ. 1980. № 5. С. 158–160.

4.
Лапин А. В. Об исследовании некоторых задач нелинейной теории фильтрации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1979. Т. 19, № 3. С. 689–700.

5.
Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:
Мир, 1972. 588 с.

6.
Ляшко А. Д., Бадриев И. Б., Карчевский М. М. О вариационном методе для
уравнений с разрывными монотонными операторами // Изв. вузов. Математика. 1978. № 11. С. 63–69.

7.
Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир,
1979. 400 c.

Поступила в редакцию 01.11.06

I. B. Badriev, I. N. Ismagilov
Mathematical simulation of stationary anisotropic problems of seepage
theory with multi-valued law

In this paper the mathematical model of a stationary problem of a seepage theory
is offered. We assume, that the filtered non-compressible fluid follows the multivalued anisotropic filtration law with limiting gradient. This problem is formulated
mathematically in the form of variational inequality of the second kind. The existence
theorem is proved.

Бадриев Ильдар Бурханович
Казанский государственный
университет
Россия, Казань
E-mail: Ildar.Badriev@ksu.ru

Исмагилов Ирек Наилевич
Казанский государственный
университет
Россия, Казань
E-mail: Ildar.Badriev@ksu.ru

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2007. №1

УДК 517.958 : 513.145.6

Л. Е. Баранова

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА
С УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Изучается задача рассеяния для одномерного дискретного оператора Шредингера H0 + V, действующего в пространстве l2(Z), где V = λ(·, ϕ0)ϕ0. Доказана
единственность обратной задачи.

Ключевые слова: дискретный оператор Шредингера, сепарабельный потенциал,
уравнение Липпмана–Швингера, обратная задача рассеяния.

Введение

Рассматривается одномерный дискретный оператор Шредингера H =
H0 + V, действующий в пространстве l2(Z), где

H0{ψ(n)}n∈Z = {ψ(n + 1) + ψ(n − 1)}n∈Z

и
V = λ(·, ϕ0)ϕ0
(0.1)

— оператор ранга один с вещественным параметром λ (или «сепарабельный потенциал» [1]). Здесь {ϕ0(n)} — заданная ненулевая последовательность из пространства l2(Z), являющаяся четной или нечетной, для которой выполнено неравенство

|ϕ0(n)| ⩽ Ce−a|n|,
n ∈ Z,
(0.2)

где C, a > 0 — некоторые константы. Последовательности, удовлетворяющие оценкам такого вида, будем называть экспоненциально убывающими. Операторы такого вида встречаются, например, в теории спиновых
волн [2], в задаче рассеяния в модели сильной связи [3].
Согласно работе М. Рида и Б. Саймона [4] спектр оператора H0 совпадает с отрезком [−2, 2]. Обозначим через R0(E) = (H0 − E)−1 резольвенту

Л. Е. Баранова

МАТЕМАТИКА
2007. №1

оператора H0. Ядро G0(n, m, E) этой резольвенты, возможно продолженное по параметру E на интервал (−2, 2), будем называть функцией Грина.
Имеет место формула

G0(n, m, E) = G0(n − m, E) = −
1
E2 − 4

E −
E2 − 4
2

|n−m|
,

где n, m ∈ Z [2, 5].
Рассеяние на потенциале, как и в «непрерывном» случае [6], описывается уравнениями Липпмана–Швингера

ψ±(n, E) = ψ0(n, E) −
m∈Z
G0(n, m, E ± i0)V ψ±(m, E),
(0.3)

где E ∈ (−2, 2), ψ0(n, E) — некоторая последовательность (см. ниже), удовлетворяющая уравнению H0ψ0 = Eψ0.
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями R0(E ± i0)ϕ(n) вместо m∈Z
G0(n, m, E ± i0)ϕ(m) и (ψ, ϕ) = n∈Z
ψ(n)ϕ(n) в случае сходимости

этого ряда.
В первом параграфе данной работы исследована прямая задача рассеяния. В частности, получена асимптотика решений уравнения (0.3) при
n → ±∞ и установлена связь между коэффициентами прохождения и отражения.
Во втором параграфе изучается обратная задача рассеяния. Данная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению. При некоторых
условиях доказана единственность этой задачи в случае, когда коэффициент прохождения (или отражения) задан для всех энергий (см. обзор
различных типов обратных задач [7]).

§ 1. Прямая задача рассеяния

Положим q = E −
E2 − 4
2
. Поскольку E ∈ (−2, 2), то |q| = 1. Перейдем к новой переменной θ = arg q. Считаем, что θ ∈ (0, 2π), θ ̸= π,
тогда соответствие между E ∈ (−2, 2) и θ будет взаимно однозначным.
Используем обозначения вида G0(n − m, θ) вместо G0(n − m, E). В новых
переменных

G(n − m, θ) = −
i

2 sin θeiθ|n−m|,
n, m ∈ Z,
(1.1)

и уравнение Липпмана–Швингера примет вид

ψ(n, θ) = ψ0(n, θ) −
m∈Z
G0(n − m, θ)V ψ(m, θ).
(1.2)

Обратная задача рассеяния
11

МАТЕМАТИКА
2007. №1

При этом очевидно, что ψ0(n, θ) = eiθn.
Следует заметить, что в силу свойств аналитической функции w =
z −
√

z2 − 1, обратной к функции Жуковского, изменению θ в промежутке
(π, 2π) соответствует предел E+i0, а изменению θ ∈ (0, π) — предел E−i0.
Положим ξ0(n, θ) = m∈Z
eiθ|n−m|ϕ0(m). Так как

(H0 − E)ξ0 = sin θ(H0 − E)
1

sin θξ0 = sin θ · ϕ0 ̸= 0,

то ξ0 ̸= 0. В дальнейшем предполагается, что

1 −
λi

2 sin θ
ξ0(m, θ), ϕ0(m)
̸= 0.
(1.3)

Теорема 1. Уравнение (1.2) имеет единственное решение в пространстве l∞(Z).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Перепишем уравнение (1.2) с учетом (0.1):

ψ(n, θ) = eiθn +
λi

2 sin θ

k∈Z
ψ(k, θ)ϕ0(k) ·
m∈Z
eiθ|n−m|ϕ0(m).
(1.4)

Согласно (1.4) ψ(n, θ) = eiθn + C0ξ0(n, θ), где

C0 =

λi

2 sin θ

m∈Z
eiθmϕ0(m)

1 −
λi

2 sin θ

m∈Z
ξ0(m, θ)ϕ0(m)
.
(1.5)

Ограниченность последовательности ψ очевидна, теорема доказана.
□

Теорема 2. Решение уравнения (1.2) имеет вид

ψ(n, θ) = A+(θ)eiθn + η+(n),
n > 0,
ψ(n, θ) = eiθn + A−(θ)e−iθn + η−(n),
n < 0.
(1.6)

Здесь
A+(θ) = 1 + C0
m∈Z
e−iθmϕ0(m),

A−(θ) = C0
m∈Z
eiθmϕ0(m)
(1.7)

— коэффициенты прохождения и отражения соответственно, C0 взято
из (1.5), а функции η+(n), η−(n) экспоненциально убывают при n → ±∞
соответственно.

Л. Е. Баранова

МАТЕМАТИКА
2007. №1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим уравнение (1.2) при n > 0:

ψ(n, θ) = eiθn + C0
m∈Z
eiθ|n−m|ϕ0(m) =

= eiθn + C0eiθn m∈Z
e−iθmϕ0(m) + C0
m>n
(e−iθ(n−m) − eiθ(n−m))ϕ0(m).

Обозначим последнее слагаемое через η+(θ).
Оценим, пользуясь (0.2),

|η+(n)| ⩽ 2i|C0|
m>n
| sin(θ|n − m|)ϕ0(m)| ⩽
C1

1 − e−a e−a|n|,

где C1 — некоторая константа.Таким образом, η+ экспоненциально убывает при n → ∞. Случай n < 0 рассматривается аналогичным образом.
Теорема доказана.
□

З а м е ч а н и е 1. Легко видеть из (1.7), что коэффициент отражения
может быть выражен через коэффициент прохождения следующим образом:
A−(E) = ±A+(E) − 1.
(1.8)

Знак перед A+(E) зависит от того, является последовательность ϕ0 четной
или нечетной.

Теорема 3. Справедливо соотношение

|A−|2 + |A+|2 = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим

lim
N→∞

N
n=−N
Hψ · ψ −

N
n=−N
ψ · Hψ
= lim
N→∞

E

N
n=−N
|ψ|2 − E

N
n=−N
|ψ|2= 0

С другой стороны lim
N→∞

Nn=−N
Hψ · ψ −
Nn=−N
ψ · Hψ
=

= lim
N→∞
ψ(−N + 1)ψ(−N) + ψ(−N)ψ(−N − 1) + ψ(N + 1)ψ(N)−

−ψ(N)ψ(N + 1)
= |A−|2eiθ − e−iθ−
eiθ − e−iθ
+ |A+|2eiθ − e−iθ=

=
eiθ − e−iθ|A−|2 + |A+|2 − 1
.

В силу наложенного ранее условия θ ∈ (0, 2π), θ ̸= π теорема доказана. □