Вестник Удмуртского университета. Серия 1. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2005, № 1

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2005. №1

МАТЕМАТИКА

УДК 517. 968

А. И. Булгаков, О. П. Беляева, А. Н. Мачина

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ВКЛЮЧЕНИЕ С МНОГОЗНАЧНЫМ
ОТОБРАЖЕНИЕМ, НЕ ОБЛАДАЮЩИМ
СВОЙСТВОМ ВЫПУКЛОСТИ
ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ЗНАЧЕНИЙ 1

Рассмотрено функционально-дифференциальное включение с правой
частью, не обладающей свойством выпуклости по переключению. Для
такого включения введено понятие обобщенного решения. Доказано, что
для задачи Коши с вольтерровым по А. Н. Тихонову оператором локальное обобщенное решение существует, и оно продолжаемо до «максимального» интервала.

Ключевые
слова:
выпуклое
по
переключению
множество,
выпуклая
по
переключению
оболочка
множества,
функциональнодифференциальное включение, обобщенное решение.

Введение

В последние годы интенсивно изучаются возмущенные включения, порождаемые алгебраической суммой многозначных отображений, одно из которых имеет выпуклые по переключению значения
(определение см. ниже) [1–5]. К таким включениям сводятся многие классы дифференциальных включений (обыкновенные дифференциальные, функционально-дифференциальные и т. д.). В указанных работах исследованы вопросы разрешимости, получены оценки
решений, аналогичные оценкам А. Ф. Филиппова для обыкновенных
дифференциальных включений [6; 7], введено и исследовано понятие
квазирешения, доказан принцип плотности и «бэнг-бэнг» принцип.
В [8–11] рассмотрены возмущенные включения с внешними и внутренними возмущениями. Доказано, что «небольшими» внутренними

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04–01–00324) и
Министерства образования и науки РФ (грант E02–1.0-212).

А. И. Булгаков, О. П. Беляева, А. Н. Мачина

и внешними возмущениями нельзя пренебрегать, поскольку они могут существенно изменить множество решений возмущенного включения. В цитируемых работах доказательства полученных результатов существенно опирались на предположение, что многозначное
отображение имеет выпуклые по переключению образы. Поэтому
эти исследования еще раз подтверждают высказанное профессором
В. М. Тихомировым предложение о том, что выпуклость по переключению является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль, как
понятие выпуклости множества в банаховом пространстве. Выпуклость по переключению неявно используется во многих разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений и т. д. Если отказаться от требования выпуклости по переключению значений многозначного отображения, то все существующие в
настоящее время методы исследований многозначных отображений
нельзя будет применить даже для изучения вопроса разрешимости
возмущенного включения. Кроме того, в этом случае нарушится равенство между множествами квазирешений возмущенного включения и «овыпукленного» возмущенного включения, впервые установленное Т. Важевским для обыкновенных дифференциальных включений [12]. Дело в том, что в рассматриваемом случае замыкание
(в слабой топологии пространства суммируемых функций) значений
многозначного отображения не совпадает с его замкнутой выпуклой
оболочкой, вследствие чего не будут выполняться фундаментальные
свойства множеств решений: принцип плотности и «бэнг-бэнг» принцип [6; 13–17]). Данную ситуацию нельзя исправить никакой непрерывностью отображения, не обладающего свойством выпуклости по
переключению образов.

Здесь рассматривается задача Коши для функционально-дифференциального включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. В связи с вышесказанным для нее вводится понятие обобщенного решения и изучаются его свойства. Доказано, что для функциональнодифференциального включения с вольтерровым по А. Н. Тихонову
многозначным отображением имеет место теорема о существовании
локального обобщенного решения и его продолжаемости. Это соответствует одному из сформулированных в монографии А. Ф. Филип

Функционально-дифференциальное включение
5

пова [7] требований к обобщенным решениям для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Кроме того, в работе доказано, что в регулярном случае, когда многозначное отображение
имеет выпуклые по переключению значения, обобщенное решение
совпадает с обычным решением. В то же время предложенное здесь
обобщенное решение не удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к обобщенным (в смысле А. Ф. Филиппова [7]) решениям
дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Например, предел обобщенных (в терминологии данной работы) решений
может не быть обобщенным решением. Это связано с тем, что многозначное отображение, с помощью которого определяется обобщенное
решение (определение см. ниже), не обладает свойством ослабленной
замкнутости (см. [8]), поскольку оно невыпуклозначно.

§ 1. Обозначения и некоторые определения

Пусть X — нормированное пространство с нормой ∥ · ∥X. Обозначим BX[x, ε] — открытый шар пространства X с центром в точке
x ∈ X и радиусом ε > 0. Если U ⊂ X, то U — замыкание множества U в пространстве X; ∥U∥X = sup{∥x∥X : x ∈ U}; ϱX[x; U] —
расстояние от точки x ∈ X до множества U в пространстве X;
h+
X[U1; U] ≡ sup
x∈U1
ϱX[x, U] — полуотклонение по Хаусдорфу множества

U1 ⊂ X от множества U; hX[U1; U] = max{h+[U1; U]; h+[U; U1]} —
расстояние по Хаусдорфу между множествами U1 и U.
Далее, пусть Rn — n -мерное пространство вектор-столбцов с нормой |·|; Cn[a, b] — пространство непрерывных функций t → x(t) из
[a, b] в Rn с нормой

∥x∥Cn[a,b] = max{|x(t)| : t ∈ [a, b]};

U ⊂ [a, b] — измеримое множество µ(U) > 0 ( µ — мера Лебега).
Обозначим Ln
p(U) пространство суммируемых с p -й степенью (если
p < ∞ ) и измеримых и ограниченных в существенном (если p = ∞ )
функций x : U → Rn с нормой

∥x∥Lnp (U) =
U
|x(s)|pds
1/p
, ∥x∥Ln∞(U) = vraisup
s ∈ U
|x(s)|.

Будем говорить, что множество Φ, расположенное в Ln[a, b],
ограничено суммируемой функцией, если существует такая функция

А. И. Булгаков, О. П. Беляева, А. Н. Мачина

u ∈ L1[a, b], что для всех ϕ ∈ Φ при почти всех t ∈ [a, b] выполнено
неравенство |ϕ(t)| ⩽ u(t). Далее, множество Φ выпукло по переключению (разложимо), если для любых x, y ∈ Φ и любого измеримого
множества U ⊂ [a, b] выполнено включение

χ(U)x + χ([a, b] \ U)y ∈ Φ,

где χ(U) — характеристическая функция множества U.
Обозначим Q[Ln
1[a, b]] ( Π[Ln
1[a, b]] ) — множество всех непустых
замкнутых и ограниченных суммируемыми функциями (ограниченных замкнутых выпуклых по переключению) подмножеств пространства Ln
1[a, b]; 2Ln
∞(U) — множество всех непустых ограниченных подмножеств пространства Ln
∞(U); C1
+[a, b] (или L1
+[a, b] ) конус неотрицательных функций пространства C1[a, b] (соответственно L1
1[a, b] ).

§ 2. Выпуклая по переключению оболочка множества
в пространстве суммируемых функций

Здесь введено понятие выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций. Исследованы свойства этой оболочки. Рассмотрено многозначное отображение, значения которого принадлежат пространству суммируемых функций и, вообще говоря, не обладают свойством выпуклости
по переключению. По этому отображению построено «овыпукленное» по переключению отображение. Изучены топологические свойства такого отображения.

О п р е д е л е н и е . Пусть Φ — непустое подмножество пространства Ln
1[a, b]. Обозначим через ΠΦ совокупность всевозможных конечных комбинаций

y = χ(U1)x1 + χ(U2)x2 + · · · + χ(Um)xm

точек xi ∈ Φ, i = 1, 2, . . . , m, где непересекающиеся измеримые под
множества Ui отрезка [a, b] удовлетворяют условию
mi=1
Ui = [a, b].

Пусть, далее, ΠΦ — замыкание множества ΠΦ в пространстве Ln
1[a, b].

Функционально-дифференциальное включение
7

Лемма 1. Для любого непустого множества Φ ⊂ Ln
1[a, b] множество ΠΦ выпукло по переключению.

Лемма 2. Если множество Φ ⊂ Ln
1[a, b] выпукло по переключению, то ΠΦ = Φ.

Следствие 1. Если Φ ⊂ Ln
1[a, b], то ΠΦ является наименьшим
выпуклым по переключению множеством, содержащим Φ.

Лемма 3. Если множество Φ ⊂ Ln
1[a, b] выпукло, то множество ΠΦ также выпукло в пространстве Ln
1[a, b].

З а м е ч а н и е 1. Отметим, что если множество Φ ⊂ Ln
1[a, b]
ограничено или слабо компактно, то множество ΠΦ, вообще говоря,
может быть и не ограниченным и не слабо компактным множеством
пространства Ln
1[a, b], поскольку справедливо равенство

Π[BLnp [a,b][0, 1]] = Ln
p[a, b], p ∈ [1, ∞).

В то же время если Φ ограничено суммируемой функцией, то множество ΠΦ также ограничено этой же суммируемой функцией.

По аналогии с определением выпуклой оболочки в нормированном пространстве множество ΠΦ будем называть выпуклой по переключению оболочкой множества Φ в пространстве суммируемых
функций или просто выпуклой по переключению оболочкой множества Φ. Аналогично ΠΦ будем называть замкнутой выпуклой по
переключению оболочкой множества Φ.

Лемма 4. Пусть множества Φ1, Φ2 ⊂ Ln
∞(U) и ограничены. Тогда справедливо неравенство

h+
Ln
1 (U)[ΠΦ1; ΠΦ2] ⩽ µ(U)h+
Ln∞(U)[Φ1; Φ2].
(2.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ ΠΦ1. Тогда существуют такие функции xi ∈ Φ1 и такие непересекающиеся измеримые множе
ства ei ⊂ U , i = 1, 2, . . . , m, что
mi=1
ei = U и справедливо равенство

x = χ(e1)x1 + χ(e2)x2 + · · · + χ(em)xm.
(2.2)

А. И. Булгаков, О. П. Беляева, А. Н. Мачина

Из равенства (2.2) и леммы 2 получаем соотношения

ϱLn
1 (U)[x; ΠΦ2] =

m
i=1
ϱLn
1 (ei)[xi; ΠΦ2] ⩽

m
i=1
µ(ei)ϱLn∞(ei)[xi; Φ2] ⩽

⩽

m
i=1
µ(ei)h+
Ln∞(U)[Φ1; Φ2] = µ(U)h+
Ln∞(U)[Φ1; Φ2].
(2.3)

Из (2.3) вытекает неравенство

ϱLn
1 (U)[x; ΠΦ2] ⩽ µ(U)h+
Ln∞(U)[Φ1; Φ2].

Из последней оценки получаем соотношение (2.1).
□
Рассмотрим отображение Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]]. Пусть U —
измеримое множество отрезка [a, b]. Определим отображение ΦU из
Cn[a, b] в Q[Ln
1(U)] следующим образом: каждое значение ΦU(x) состоит из всех сужений на U функций множества Φ(x).

О п р е д е л е н и е (см. [19]). Будем говорить , что отображение
Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]] непрерывно ( полунепрерывно снизу, полунепрерывно сверху ) аппроксимируется в Ln
∞[a, b] на множестве
K ⊂ Cn[a, b], если для любого ν > 0 существует такое измеримое
множество Uν ⊂ [a, b], что выполнены следующие условия:
µ([a, b] \ Uν) < ν;
для любого x ∈ K множество Φν(x) ∈ 2Ln
∞(Uν), здесь Φν ≡ ΦUν;
отображение Φν : K → 2Ln
∞(Uν) непрерывно (полунепрерывно снизу, полунепрерывно сверху) по Хаусдорфу.
Далее, будем говорить, что отображение Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]]
ограничено суммируемой функцией на множестве K ⊂ Cn[a, b], если образ Φ(K) ограничен суммируемой функцией.

Лемма 5. Пусть X – линейное нормированное пространство.
И пусть Mi = Ai ∪ Bi, i = 1, 2, где Ai, Bi ⊂ X, i = 1, 2. Тогда
справедливо неравенство

h+
X[M1; M2] ⩽ max{h+
X[A1; A2]; h+
X[B1; B2]}.

О п р е д е л е н и е . Будем говорить, что отображение F : [a, b]×
Rn → comp[Rn] удовлетворяет условиям Каратеодори, если оно обладает следующими свойствами: при каждом x ∈ Rn функция F(·, x)

Функционально-дифференциальное включение
9

измерима; при почти всех t ∈ [a, b] отображение F(t, ·) непрерывно по Хаусдорфу; для каждого ограниченного B ⊂ Rn существует
функция βB ∈ L1
1[a, b], что для почти всех t ∈ [a, b] и всех x ∈ B
выполнено неравенство ∥F(t, x)∥ ⩽ βB(t).
Напомним, что оператор Немыцкого N : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]],
порожденный функцией F : [a, b] × Rn → comp[Rn], определяется
равенством

Nx = {y ∈ Ln
1[a, b] : y(t) ∈ F(t, x(t))
при п.в.
t ∈ [a, b]}.

Отметим, что оператор Немыцкого N : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]], порожденный функцией F : [a, b] × Rn → comp[Rn], удовлетворяющей
условиям Каратеодори, непрерывно аппроксимируется в Ln
∞[a, b] на
пространстве Cn[a, b] (см. [19]).
Рассмотрим отображение P : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]], заданное равенством

P(x) = N1(x)
N2(x),
(2.4)

где отображения Ni : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]], i = 1, 2 — операторы
Немыцкого, порожденные функциями Fi : [a, b]×Rn → comp[Rn], i =
1, 2, удовлетворяющие условиям Каратеодори. Согласно лемме 5 и
сделанному выше замечанию, отображение P(·), имеющее вид (2.4),
непрерывно аппроксимируется в Ln
∞[a, b] на пространстве Cn[a, b].
По заданному отображению Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]] определим
многозначный оператор Φ : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]] равенством

Φ(x) = ΠΦ(x).
(2.5)

Отображение Φ : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]] будем называть «овыпукленным» по переключению отображением.
Из леммы 4 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть отображение Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]] непрерывно ( полунепрерывно снизу, полунепрерывно сверху ) аппроксимируется в Ln
∞[a, b] и ограничено суммируемой функцией на каждом предкомпактном множестве из Cn[a, b]. Тогда «овыпукленное»
по переключению отображение Φ : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]], определенное равенством (2.5), непрерывно ( полунепрерывно снизу, полунепрерывно сверху ) и ограничено суммируемой функцией на каждом
предкомпактном множестве из пространства Cn[a, b].

А. И. Булгаков, О. П. Беляева, А. Н. Мачина

Лемма 6. Пусть множества Φ1, Φ2 ∈ Q[Ln
1[a, b]] и пусть существует функция ω ∈ L1
+[a, b] такая, что для любого измеримого
множества U ⊂ [a, b] выполнено неравенство

h+
Ln
1 (U)[Φ1; Φ2] ⩽
U
ω(s)ds.
(2.6)

Тогда для любого измеримого множества U ⊂ [a, b] имеет место
оценка

h+
Ln
1 (U)[ΠΦ1; ΠΦ2] ⩽
U
ω(s)ds.
(2.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U — измеримое множество отрезка [a, b], причем µ(U) > 0. Пусть z ∈ ΠΦ1 и пусть функции
zi ∈ Φ1, i = 1, 2, . . . , m, и непересекающиеся измеримые множества

ei ⊂ [a, b], для которых справедливо условие [a, b] =
mi=1
ei, удовлетворяют равенству

z = χ(e1)z1 + χ(e2)z2 + · · · + χ(em)zm.
(2.8)

Далее, сужения функций z, zi, на U будем обозначать этими же
буквами, а ei = ei ∩ U. Из (2.8) и леммы 2 получаем соотношения

ϱLn
1 (U)[z; ΠΦ2] =

m
i=1
ϱLn
1 (ei)[zi; ΠΦ2] ⩽

m
i=1
ϱLn
1 (ei)[zi; Φ2].
(2.9)

В силу (2.6) для любого i = 1, 2, . . . , m справедлива оценка

ϱLn
1 (ei)[zi; Φ2] ⩽
ei
ω(s)ds.
(2.10)

Из (2.9), (2.10) следует неравенство

ϱLn
1 (U)[z; ΠΦ2] ⩽
U
ω(s)ds.
(2.11)

Так как (2.11) имеет место для любого z ∈ ΠΦ1, то из оценки (2.11)
следует неравенство (2.7).

О п р е д е л е н и е . Будем говорить, что многозначное отображение Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]] обладает свойством A, если найдется непрерывный оператор Γ : C1
+[a, b] → L1
+[a, b] такой, что для

Функционально-дифференциальное включение
11

всех x, y ∈ Cn[a, b] и любого измеримого множества U ⊂ [a, b] имеет
место неравенство

hLn
1 (U)[Φ(x); Φ(y)] ⩽ ∥Γ(Z(x − y))∥L1
1(U),
(2.12)

где отображение Z : Cn[a, b] → C1
+[a, b] задано равенством

(Zx)(t) = |x(t)|.

Из леммы 6 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть многозначное отображение Φ из Cn[a, b] в
Q[Ln
1[a, b]] обладает свойством A. Тогда «овыпукленное» по переключению отображение Φ : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]], определенное равенством (2.5), для всех x, y ∈ Cn[a, b] и любого измеримого множества U ⊂ [a, b] удовлетворяет неравенству (2.12).

З а м е ч а н и е 2. Если отображение Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]]
обладает свойством A, то и отображение Φ : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]],
определенное равенством (2.5), обладает этим свойством, а поэтому
и непрерывно.

§ 3. Обобщенное решение
функционально-дифференциального включения

Рассмотрим задачу Коши для функционально-дифференциального включения

˙x ∈ Φ(x),
x(a) = x0,
(3.1)

где многозначное отображение Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]] удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества B ⊂ Cn[a, b]
образ Φ(B) ограничен суммируемой функцией. Мы не предполагаем, что правая часть включения (3.1) обладает свойством выпуклости по переключению значений. Изучение такой задачи наталкивается на принципиальные трудности, описанные во введении. В связи
с этим введем понятие обобщенного решения задачи (3.1) и изучим
его свойства.

А. И. Булгаков, О. П. Беляева, А. Н. Мачина

О п р е д е л е н и е . Обобщенным решением задачи (3.1) будем
называть абсолютно непрерывную функцию x : [a, b] → Rn, удовлетворяющую соотношениям

˙x ∈ ΠΦ(x),
x(a) = x0.
(3.2)

Отметим, что, согласно лемме 2, если множество Φ(x) в (3.1)
выпукло по переключению, то обобщенное решение задачи (3.1) совпадает с классическим решением.

Отметим также, что к включению (3.1) сводятся, например, математические модели сложных многокомпонентных систем автоматического управления, в которых в связи с отказами тех или иных приборов и устройств объекты регулируются разными законами управления (разными правыми частями) с разными множествами допустимых значений управления [20]. Так как отказы (переключения)
могут происходить в любые моменты времени, и при этом всегда
должно быть гарантировано управление объектом, то модель должна учитывать все возможные траектории (состояния), соответствующие любым переключениям. Обобщенные решения включения (3.1)
и составляют множество всех таких фазовых траекторий.

О п р е д е л е н и е . Будем говорить, что оператор Φ, действующий из Cn[a, b] в Q[Ln
1[a, b]], вольтерров по А. Н. Тихонову (или
просто вольтерров) [21], если из условия x = y на отрезке [a, τ],
τ ∈ (a, b] следует равенство (Φ(x))τ = (Φ(y))τ, где (Φ(z))τ — множество сужений всех функций из Φ(z) на отрезок [a, τ].

Далее, предположим, что оператор Φ : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]] (правая часть включения (3.1)) вольтерров и полунепрерывно снизу аппроксимируется в Ln
∞[a, b] на каждом предкомпактном множестве
из пространства Cn[a, b]. Из этого условия вытекает, что овыпукленный по переключению оператор Φ : Cn[a, b] → Π[Ln
1[a, b]], определенный равенством (2.5), вольтерров и полунепрерывен снизу (теорема 1). Отметим, что отображение P : Cn[a, b] → Q[Ln
1[a, b]], заданное равенством (2.4), удовлетворяет всем выше сформулированным
условиям § 3.

Пусть τ ∈ [a, b]. Далее, обозначим непрерывное отображение