Дополнительные свойства специальных функций

УДК 517.5                                                     
А.Н. Дегтярев 
Севастопольский государственный университет
г. Севастополь

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрен метод ортогонализации функций на заданном интервале изменения аргу
мента, основанный на определении веса ортогональности, оптимального по условию минимума его энергии. С помощью этого метода описаны свойства систем эквидистантных линейно независимых функций и выявлены некоторые новые особенности уже известных специальных функций. Представлены неизвестные ранее свойства ортогональных полиномов, 
полиномов Чебышева, Эрмита и функций Бесселя. 

Введение. Общий метод исследования свойств специальных функций основан на изуче
нии дифференциальных свойств веса ортогональности этих функций [1]. В соответствии с 
данным методом теория специальных функций строится следующим образом. Через дифференциальное уравнение веса ортогональности вводится понятие классических ортогональных 
полиномов. Выводится формула Родрига – дифференциальное уравнение, решением которого являются классические ортогональные полиномы. Путем обобщения формулы Родрига на 
нецелые значения степени и комплексные значения коэффициентов уравнения в рассмотрение вводится дифференциальное уравнение гипергеометрического типа. Решением данного 
уравнения являются гипергеометрические, вырожденные гипергеометрические функции и 
функции Эрмита. С помощью замены переменных устанавливается связь уравнений гипергеометрического типа с обобщенными уравнениями гипергеометрического типа, при решении которых получаются цилиндрические и гипергеометрические функции.

Таким образом классическая теория позволяет вычислять ортогональные функции по из
вестному весу, но не отвечает на вопрос, как определить вес ортогональности для уже известных линейно независимых функций. Метод ортогонализации функций, представленный 
в работах [2] и [3],  позволяет решить эту задачу путем вычисления веса, оптимального по 
критерию минимума его энергии. Однако, вычисления, изложенные в [2] и [3], приведены 
только для эквидистантных линейно независимых функций. Представляется необходимым 
показать, что предложенный в работах [2] и [3] метод распространяется  на все виды линейно 
независимых функций.

1. Метод ортогонализации функций. Рассмотрим основные положения метода ортого
нализации согласно [2] и [3].

Для системы функций 
)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
введем в рассмотрение вес 
)t(
h
такой, что 

,j
i
,0

,j
i
,1
dt
)t(
h
)t(
f)t(
f

2

1

t

t

j
i
(1)

где 
)
t,
t(
2
1
- интервал выполнения условий (1).

Предложение 1. Пусть задан ансамбль функций 
)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
и функции 

)t(
l
),...,
t(
l
),
t(
l
k
2
1
, тогда, если 
2

)1
N
(
N
k
и система уравнений

.1
dt
)t(
l)t(
f
b
...
dt
)t(
l)t(
f
b
dt
)t(
l)t(
f
b

.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........

,0
dt
)t(
l)t(
f)t(
f
b
...
dt
)t(
l)t(
f)t(
f
b
dt
)t(
l)t(
f)t(
f
b

,1
dt
)t(
l)t(
f
b
...
dt
)t(
l)t(
f
b
dt
)t(
l)t(
f
b

уравнений

2

)1
N
(
N

k
всего

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

k

2
N
k

t

t

2

2
N
2

t

t

1

2
N
1

t

t

k
2
1
k

t

t

2
2
1
2

t

t

1
2
1
1

t

t

k

2
1
k

t

t

2

2
1
2

t

t

1

2
1
1

(2)