Дополнительные свойства специальных функций

УДК 517.5                                                     
А.Н. Дегтярев 
Севастопольский государственный университет
г. Севастополь

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрен метод ортогонализации функций на заданном интервале изменения аргу
мента, основанный на определении веса ортогональности, оптимального по условию минимума его энергии. С помощью этого метода описаны свойства систем эквидистантных линейно независимых функций и выявлены некоторые новые особенности уже известных специальных функций. Представлены неизвестные ранее свойства ортогональных полиномов, 
полиномов Чебышева, Эрмита и функций Бесселя. 

Введение. Общий метод исследования свойств специальных функций основан на изуче
нии дифференциальных свойств веса ортогональности этих функций [1]. В соответствии с 
данным методом теория специальных функций строится следующим образом. Через дифференциальное уравнение веса ортогональности вводится понятие классических ортогональных 
полиномов. Выводится формула Родрига – дифференциальное уравнение, решением которого являются классические ортогональные полиномы. Путем обобщения формулы Родрига на 
нецелые значения степени и комплексные значения коэффициентов уравнения в рассмотрение вводится дифференциальное уравнение гипергеометрического типа. Решением данного 
уравнения являются гипергеометрические, вырожденные гипергеометрические функции и 
функции Эрмита. С помощью замены переменных устанавливается связь уравнений гипергеометрического типа с обобщенными уравнениями гипергеометрического типа, при решении которых получаются цилиндрические и гипергеометрические функции.

Таким образом классическая теория позволяет вычислять ортогональные функции по из
вестному весу, но не отвечает на вопрос, как определить вес ортогональности для уже известных линейно независимых функций. Метод ортогонализации функций, представленный 
в работах [2] и [3],  позволяет решить эту задачу путем вычисления веса, оптимального по 
критерию минимума его энергии. Однако, вычисления, изложенные в [2] и [3], приведены 
только для эквидистантных линейно независимых функций. Представляется необходимым 
показать, что предложенный в работах [2] и [3] метод распространяется  на все виды линейно 
независимых функций.

1. Метод ортогонализации функций. Рассмотрим основные положения метода ортого
нализации согласно [2] и [3].

Для системы функций 
)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
введем в рассмотрение вес 
)t(
h
такой, что 

,j
i
,0

,j
i
,1
dt
)t(
h
)t(
f)t(
f

2

1

t

t

j
i
(1)

где 
)
t,
t(
2
1
- интервал выполнения условий (1).

Предложение 1. Пусть задан ансамбль функций 
)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
и функции 

)t(
l
),...,
t(
l
),
t(
l
k
2
1
, тогда, если 
2

)1
N
(
N
k
и система уравнений

.1
dt
)t(
l)t(
f
b
...
dt
)t(
l)t(
f
b
dt
)t(
l)t(
f
b

.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........

,0
dt
)t(
l)t(
f)t(
f
b
...
dt
)t(
l)t(
f)t(
f
b
dt
)t(
l)t(
f)t(
f
b

,1
dt
)t(
l)t(
f
b
...
dt
)t(
l)t(
f
b
dt
)t(
l)t(
f
b

уравнений

2

)1
N
(
N

k
всего

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

k

2
N
k

t

t

2

2
N
2

t

t

1

2
N
1

t

t

k
2
1
k

t

t

2
2
1
2

t

t

1
2
1
1

t

t

k

2
1
k

t

t

2

2
1
2

t

t

1

2
1
1

(2)

имеет решение относительно 
k
b , то функция

k

1
i

i
i
)t(
l
b
)t(
h
,                                   
(3)

является весом ортогональности функций 
)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
[2], [3]. 

Функции 
)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
, для которых существует вес h(t) в виде (3), полученный с по
мощью системы уравнений (2), оказываются линейно независимыми.

Введем критерий минимума энергии весовой функции

min
dt
)t(
h
)
h
(I

2

1

t

t

2
.                                                          (4)

Предложение 2. Вес, оптимальный по условию минимума энергии, представляет собой 

квадратичную форму от ортогонализируемых функций.

...
)t(
f
.
...
)t(
f)t(
f
)t(
f
)t(
h
2
2
n
2
1
2

2
1
1
,
(5)

где 
k определяются путем решения системы уравнений, полученной после подстановки (5) 

в (1) [2], [3].

Применение данного метода позволило определить вид весовых функций для некоторых 

эквидистантных функций.

Теорема 1 [2,3]. Функции вида 
z
z

z

n
)
n
t(

)
n
t(
sin
f
, где z – целое число ортогональны на бес
конечном интервале изменения аргумента с весом 

1

4

)
1
(
1

2
z

1
z

)

2

)
1
(
1
z
(

z

1
z

1
z

)t
(sin
a
)t(
h
, где 
z
a - ко
эффициенты тригонометрического полинома.

2. Общие свойства классических ортогональных полиномов. Одной из аксиом тео
рии специальных функций является положение о том,  что вес ортогональности полиномов 
должен быть неотрицательной функцией [4]. Такое ограничение, накладываемое на вид весовых функций, связано с условиями неотрицательности нормы и меры функционального 
пространства и позволяет доказать теоремы Хаусдорфа, которые связаны с проблемой моментов для весовой функции. Однако, неотрицательность меры и нормы функционального 
пространства следуют непосредственно из условий ортогональности (1). Кроме того, можно 
показать, что общем виде проблема моментов с требованием неотрицательности весовой 
функции не связана. 

Определение. Числа

2

1

x

x

n
n
dx
)
x
(
f)
x
(
g

называют моментами функции g(x) относительно последовательности функций 
)
x
(
f n
. 

Проблема моментов состоит в том, чтобы указать необходимые и достаточные условия, 

для того чтобы наперед заданная последовательность чисел 
n являлась последовательно
стью моментов. Пространство, в котором ищется функция g(x) играет существенную роль. 
Пусть 
)
x
(
f n
принадлежит пространству функций, интегрируемых со степенью p (это про
странство обозначается как 
p
L ). Тогда верно следующее утверждение [5]. 

Теорема 2. Для того чтобы в пространстве 
)
p
1(
Lp
существовала функция g(x), нор
ма которой 
и последовательность моментов которой была бы 
n , необходимо и доста
точно, чтобы для всех конечных числовых систем 
n
2
1
,...,
,
выполнялось неравенство

p
1

p
x

x

n

1
k

k
k

n

1
k

k
k
dx
)
x
(
f

2

1

,

или при p=1