Математика

Èçäàòåëüñêî-òîðãîâàÿ êîðïîðàöèÿ «Äàøêîâ è Ê°»

Ìîñêâà
2015

Å. Ñ. Êóíäûøåâà

Ó÷åáíèê äëÿ ýêîíîìèñòîâ

4-å èçäàíèå

Ðåêîìåíäîâàíî
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îáúåäèíåíèåì
ïî îáðàçîâàíèþ â îáëàñòè ýêîíîìèêè
è ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè â êà÷åñòâå ó÷åáíèêà
äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,
îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ïîäãîòîâêè
“Ýêîíîìèêà”

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

ISBN 978-5-394-02261-6
Кундышева Е. С., 2007

УДК 51
ББК 22.1
         К91
Рецензенты:
Б. С. Касаев — член-корреспондент РАЕН, проректор по научной работе ИНЭП,
почетный работник ВПО РФ, доктор экономических наук, профессор;
Ю. Н. Павловский — член-корреспондент Российской академии наук
(ВЦ РАН), доктор физико-математических наук, профессор (МФТИ).

Кундышева Е. С.
Математика: Учебник для экономистов / Е. С. Кундышева. —
4-е изд. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»,
2015. — 564 с.

ISBN 978-5-394-02261-6

В учебнике на простейшем уровне изложены необходимые экономистам
основы высшей математики, на которых базируются экономико-математические методы и строятся математические модели рыночной экономики.
Основные положения учебного материала сопровождаются большим
количеством примеров и задач из области корпоративного управления, макро- и микроэкономики с соответствующими упражнениями, контрольными
вопросами для самостоятельной работы.
Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Торговое дело».

К91

Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.007399.06.09 от 26.06.2009 г.

Подписано в печать 20.06.2014. Формат 60×84 1/16
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Печ. л. 35,25.
Тираж 500 экз.

Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732.
Тел./факс: 8(495) 741-34-28,
E-mail: sales@dashkov.ru — отдел продаж;
http://www.dashkov.ru

Отпечатано в ГУП Академиздатцентр «Наука» РАН,
ОП «Производственно-издательский комбинат «ВИНИТИ»-«Наука»,
140014, Московская обл., г. Люберцы, Октябрьский пр-т, д. 403.

Тел./факс: 554-21-86, 554-25-97, 974-69-76

Светлой памяти
любимого учителя,
доктора физико-математических наук,
профессора Моргунова Бориса Ивановича
посвящается...

Ââåäåíèå

Дорогие читатели! Ваши многочисленные отклики на первые
три издания учебного пособия "Математика" укрепили веру автора в необходимость продолжения работы над книгой. Огромное всем спасибо за отзывы и пожелания. Сейчас вы держите в
руках учебник, подготовленный с учетом высказанных замечаний
и предложений.
В книге рассмотрены основные вопросы курса высшей математики в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.
Учебник, помимо основных разделов математики (основ линейной алгебры, математического анализа и линейного программирования, введения в теорию вероятностей и математическую
статистику), содержит задачи моделирования экономических процессов и основные аспекты теории игр. Эти разделы, собранные
воедино, имеют большое практическое значение для подготовки
будущих экономистов.
Учебник отражает практику преподавания автором предмета
в Московском экономико-лингвистическом институте, в  Институте экономики Российской экономической академии им.
Г.В. Плеханова, на экономических факультетах Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) и Социально-технологического института МГУС, а также использует
опыт работы автора со студентами Всероссийской государственной налоговой академии при Министерстве финансов Российской Федерации.
Для наиболее эффективного усвоения материала рассмотрены примеры решения задач экономического содержания из об

ласти корпоративного управления, микро- и макроэкономики,
имеются задачи, в которых предлагается моделировать различные экономические процессы.
Объединение всех перечисленных выше разделов в одной книге, выразившееся не только в приведении основных сведений из
теории, но и в рассмотрении большого количества конкретных
примеров и задач, контрольных заданий для самостоятельной
работы, позволяет рекомендовать его не только для студентов
бакалавриата, но и для заочного и дистанционного обучения,
которое в последние годы получило широкое распространение.
Поэтому курс математики сопровождается контрольными работами, индивидуальными заданиями со ссылками на аналогичные уже решенные примеры и задачи из учебника. Также все желающие, в том числе преподаватели курса и их студенты, могут
пользоваться специально созданным автором электронным лабораторным практикумом к четырехсеместровому курсу “Математика”, включающим в себя не только обучающий комплеекс, но и
многократно опробованную систему опроса знаний студентов.
Электронный аппаратно-программный комплекс имеет широкие
возможности: электронный учебник плюс тестовая база опроса и
контроля знаний студентов со статистикой для преподавателя
(шкала оценок, журнал, диаграмма сложности вопросов, досье на
каждого студента и др.). В состав обучающего комплекса по математике входят Интернет-сайт, СD-диск, программа и, наконец,
учебник, который вы держите в руках.
Множество людей великодушно оказывали автору содействие
в ходе первоначального написания и последующей переработки
этой книги. Экспертные советы, доброжелательная критика специалистов, практический опыт преподавателей и общие консультации коллег оказались бесценными.
Отзывы и предложения со стороны студентов, получать которые особенно приятно, укрепили веру в необходимость продолжения работы над учебником.
Автор благодарит всех, кто оказал помощь при подготовке
данного издания, особенно Е.В. Безрукавую, а также В.Я. Якубова, Н.Д. Харламову, И.В. Мартынову, В.А. Каймина, В.П. Майбо

роду, Б.А. Суслакова, А.А. Никулина, И.Е. Степанова, Л. А. Ковалкину, Я.П. Кундышева за то, что стимулировали ее мышление.
Большое спасибо всему доброжелательному творческому коллективу Издательско-торговой корпорации «Дашков и К°» за успешное взаимовыгодное сотрудничество.
Со всеми замечаниями и предложениями по содержанию учебника, а также по вопросам сотрудничества, приобретения электронного аппаратно-программного комплекса обращайтесь на
WEB-сайт: http://www.matecon.com. Автор будет глубоко признательна вам за общение и за практические советы и рекомендации
по усовершенствованию своих разработок.

9 июня 2007 г.
Подпись
Кундышева Е.С.

à ë à â à  1

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ËÈÍÅÉÍÓÞ ÀËÃÅÁÐÓ

§1. Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà è ìàòðèöû

1.1. Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ î âåêòîðàõ
è âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ

Очень часто для построения экономических моделей требуется простая, компактная форма записи экономических процессов.
Этим объясняется необходимость введения понятия матрицы и
основанного на нем раздела математики — матричной алгебры.
Но прежде нужно вспомнить некоторые понятия и ввести ряд определений.
Многие утверждения и теоремы учебника приводятся без доказательств, чтобы упростить студентам-экономистам их и без
того нелегкий путь овладения необходимым математическим инструментарием. Цифры в квадратных скобках означают ссылки на
список рекомендуемой литературы, помещенный в конце книги.
Кроме того, все главы этой книги можно рассматривать как
продолжение школьного курса математики. Поэтому мы не ставим своей целью изложение логических основ предмета и опираемся на многие понятия и теоремы курса элементарной математики. Например, определение вещественных (действительных) чисел, декартовой системы координат, отображения, точки, прямой,
длины отрезка.
Понятие вектора также известно из школьного курса математики, но мы напомним основные положения, с ним связанные.
Если про две точки известно, какая из них первая, а какая —
вторая, то эту пару точек мы назовем упорядоченной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отрезок, концы которого упорядочены,
называется направленным отрезком, или вектором. Первый из его

концов называется началом, второй — концом вектора. Нулевым
будет вектор, у которого начало и конец совпадают.

В книге буквы, обозначающие вектора, набраны курсивным
шрифтом, например вектор а. Нулевой вектор обозначается о.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или абсолютной величиной, и обозначается |А|.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы называются коллинеарными, если
существует такая прямая, которой они параллельны. Векторы компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так
как он не имеет определенного направления. Его длина равна
нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два вектора называются равными, если они
коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Понятие множества также является одним из основных в математике.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Семейство объектов, объединенных по определенному признаку, называется множеством. Объекты, составляющие множество, называются его элементами, или точками.

Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы – малыми буквами. Элемент x из множества X соответствует записи x ∈ X (x принадлежит X); если же элемент x не входит в множество X, то это соответствует записи x ∉ X
(x не принадлежит X). Если все элементы множества X содержатся в другом множестве Y, то X ⊂ Y и говорят, что X является подмножеством множества Y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вещественным векторным пространством
называется множество L, элементы которого являются векторами, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам).

1. Определена операция сложения векторов, результатом которой является вектор: a, b ∈ L ⇒ a + b ∈ L.
2. a + b = b + a для всех a, b ∈ L (коммутативность).
3. a + (b + c) = (a + b) + c для всех a, b, c ∈ L (ассоциативность).
4. Существует нулевой вектор о, такой, что о + a = a + о = a для
любого a ∈ L.
5. Для всякого вектора a ∈ L и вещественного числа α ∈ R
определено их произведение aα ∈ L.
6. (α + β)a = αa + βa для всех α, β ∈ R и a ∈ L.
7. α (a + b) = αa  + αb для всех α ∈ R и a, b ∈ L.
8. 0a = o для всех a ∈ L.
9. 1a = a для всех a ∈ L.
Элементами (точками, векторами) вещественного векторного
пространства Rn являются векторы-столбцы, состоящие из n ве
щественных чисел
 

;
2

1

=

na

a
a

a
M
 
операции сложения и умножения на

число определены следующим образом:

.
;

1
1
1
1
1

=
+

+
=
+
=
+

n
n
n
n
n
a

a
a

b
a

b
a

b

b

a

a
b
a

α

α
α
M
M
M
M

Нулевой вектор имеет все координаты, равные нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор a = (a1, a2, ..., an) и вектор b = (b1, b2 ,
..., bn) равны в том случае, если совпадают их компоненты, стоящие
на одинаковых местах, т.е. если aj = bj, при j = 1, 2, ..., n .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Противоположным вектору a называется
вектор –a = (–a1 , –a2 , ..., –an). Очевидно, что a + (–a) = 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью векторов a и b называется вектор a – b = a + (–b), или a – b = (a1 – b1, a2 – b2 , ... , an – bn).

Сложение n-мерных векторов возникло из геометрического
сложения векторов на плоскости или в трехмерном пространстве
и производится по правилу параллелограмма.
Умножение вектора a на действительное число k означает растяжение вектора в |k| раз при |k| > 1 и сжатие вектора в |k| раз при
|k| < 1. При этом если k < 0, то направление вектора ka противоположно направлению вектора a .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением двух векторов a и
b называется действительное число, равное сумме произведений
соответствующих компонент этих векторов: a·b = a1 b1 + a2 b2 + ... +
+ an bn.

В векторной записи ( a , b ) = a b  = 
|
a
|
|
b
|
 cosϕ, т. е. скалярное
произведение равно произведению длин этих векторов на косинус
угла ϕ между ними .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Длиной вектора a, или его модулем, называ
ется действительное неотрицательное число 
2
2
2
2
1
n
a
...
a
a
a
+
+
+
=
.

Рассмотрим линейное уравнение, содержащее n неизвестных:
a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = b. Левая часть этого уравнения — линейная
функция от n неизвестных:
z = a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn ; она может быть представлена в виде
скалярного произведения векторов z =a · x, где a = (a1, a2, ..., an),
x = (x1, x2, ..., xn).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор b n–мерного векторного пространства называется пропорциональным вектору a, если существует такое число k, при котором выполняется соотношение b = ka.
В частности, нулевой вектор пропорционален любому вектору a, так как 0 · a = 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор b называется линейной комбинацией
векторов a1, a2, ..., an , если существуют такие числа k1, k2, ... , kn , при
которых выполняется соотношение: b = k1 a1 + k2 a2 + ...+ kn an .
Следовательно, каждая j –я компонента вектора b при j = 1,
2, ... , n равна сумме произведений j-х компонент векторов a1, a2, ..., an
соответственно на числа k1, k2 , ... , kn .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов a1, a2, ..., ar, (r ≥ 0) называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы
является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой — в противном случае.
Например, система векторов b = (8, 5, 11), a1 = (1, 2, 3), a2  = (3, 2, 1),
a3 = (3, 1, 2) линейно зависима, так как вектор b — линейная комбинация векторов a1 , a2 , a3 , так как вектор b можно представить в
виде  b = 2a1 – a2 + 3a3:

.
+
−
=
2

1
3
3

1

2
3

3

2
1
2

11

5
8

Можно несколько иначе определить линейно независимые и
линейно зависимые векторы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы a1, ..., ak называются линейно независимыми, если из того, что

α1a1 + α2a2 + ... + αkak = 0, αi ∈ R,

следует, что все αi = 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы a1, ..., ak называются линейно зависимыми, если существует набор αi, i = 1, ..., k, где хотя бы одно αi
отлично от нуля.

Например, система двух векторов a1 = (1, 0) и a2 = (0, 2) линейно независима; система двух векторов b1 = (1, 2, 1) и b2 = (2, 4, 2)
линейно зависима, так как b2 – 2b1 = 0 или b2 = 2b1.
Укажем свойства линейно зависимой системы векторов.
1°. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима.
2°. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
3°. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится,
по крайней мере, один вектор, который линейно выражается через остальные.