Комплексный анализ в матричных областях

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Министерство  высшего  и  среднего  специального 

образования  Республики Узбекистан 

Сибирский федеральный университет 

Национальный университет Узбекистана 

имени Мирзо Улугбека 

Г. Худайберганов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов 

КОМПЛЕКСНЫЙ  АНАЛИЗ  В  МАТРИЧНЫХ  ОБЛАСТЯХ 

Монография 

Красноярск, Ташкент  

2011 

УДК 517.55 

ББК 22.161 

  Х98 

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Л.А. Айзенберг 

                      д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Варисов  

Х98    Худайберганов, Г. 

Комплексный анализ в матричных областях / Г. Худайберганов, 

А.М. Кытманов, Б.А. Шаимкулов. – Красноярск: Сибирский 

федеральный ун-т, 2011. –  290  с. 

ISBN 978-5-7638-2199-4 

Монография посвящена комплексному анализу в матричных областях многомерного 

комплексного пространства. В ней рассмотрены интегральные представления для 
голоморфных функций и их различные приложения к вопросам голоморфного продолжения, 
построению локального вычета и др. 

Предназначена для студентов, аспирантов и специалистов по многомерному 

комплексному анализу.   

УДК 517.55 

ББК 22.161 

ISBN 978-5-7638-2199-4                                    © Сибирский        
                                                                                 федеральный       
                                                                                 университет, 2011 

© Национальный     

университет                                    
Узбекистана имени                       
Мирзо Улугбека, 
2011 

Оглавление 

Предисловие……….…………………………………………………...8 

ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ 

НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ .………………………………………………….9 

 
§ 1. Некоторые матричные области в пространстве ……..9 

1.1. 
Матричный единичный круг…………..…………………..9 

1.2. 
Матричная верхняя  полуплоскость………..……………11 

1.3. 
Матричный единичный поликруг…………………..…...11 

1.4. 
Матричный шар…………….……………………….……12 

1.5. 
Матричная область Зигеля второго рода…….…….........13 

1.6. 
Матричная область Рейнхарта.…………………………..13 

          § 2. Степенные ряды от матриц…………………………………….….16 

2.1. 
Матричная норма …………………………….……..........16 

2.2. 
Степенные ряды в ……………….....………….17 

2.3. 
Формула Коши-Адамара…………………………………22 

2.4. 
Области сходимости степенных рядов………….………23 

2.5. 
 Степенные ряды в .……….………………….24 

2.6. 
 Критерий (абсолютной) сходимости……………………25 

2.7. 
Логарифмически выпуклая оболочка области в 

........………...………………………………………….27 

2.8. 
 Теорема Гартогса………………….……………………..29 

§ 3. Голоморфные функции и области голоморфности в     

.……………………………………………………………...30  

3.1. 
Определения………………………………………………30 

3.2. 
Связь между голоморфными функциями от nm2  

переменных и голоморфными функциями от нескольких  

матриц …………………………………………………………….33 

3.3. 
Области сходимости – области голоморфности…..........35 

3.4. 
Кратная интегральная формула Бохнера-Хуа Локена ....36 

3.5. 
Доказательство основного результата главы 1…………40 

Примечания к главе 1……………..…………….……..……………….44 

ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА...45 

§ 4. Многомерные граничные теоремы Морера в поликруге и шаре45 

4.1. 
 Известные результаты…….………………………..........45 

4.2. 
 Граничная теорема Морера для поликруга…….………48 

4.3. 
 Граничная теорема Морера для шара………….……….52 

§ 5. Условия существования аналитического продолжения функций в 

классических областях…………………………………………………56 

5.1. 
 Классические области…………………………….……...56 

5.2. 
 Условия существования продолжения………….………59 

5.3. 
Граничные теоремы Морера  для классических 

областей.…………………………………………………………...66 

§ 6. Многомерные граничные теоремы Морера для неограниченной 

реализации поликруга и шара…………………………………………70 

6.1. 
Граничная теорема Морера   для неограниченной 

реализации   поликруга…………………………………...………70 

6.2. 
Граничная теорема Морера для неограниченной 

реализации шара………………………………………..................77 

         Примечания к главе 2…………..………………………………………91 

ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ 

КАРЛЕМАНА В МАТРИЧНЫХ     ОБЛАСТЯХ…………..……………92 

§ 7. Интегральные представления……………………..………………92 

7.1. 
Автоморфизмы матричного шара……….…….…………93 

7.2. 
Интегральная формула Бергмана для  матричного 

шара...…………………………………………………………….102 

7.3. 
Ядра Коши-Сеге и Пуассона для матричного шара.….105 

§ 8. Формулы Карлемана……………..………………………………115 

8.1. 
Формула Карлемана для функций от матриц…...……..115 

8.2. 
Формулы Карлемана в классических областях….….…117 

8.3. 
Формула Карлемана в матричном шаре.……….……...123 

8.4. 
Граничная теорема Морера для матричного шара.…...128 

          Примечания к главе 3…………………………………………………134 

ГЛАВА 4. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА В 

НЕОГРАНИЧЕННЫХ МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ…………………135 

§ 9. Граничная теорема Морера для матричной верхней 

 полуплоскости…………………..……………………………………135 

§10. Теорема Морера в неограниченной реализации матричного 

шара……………………….…….………………...............144 

10.1. О  неограниченной реализации матричного шара…….144 

10.2. Об интегральных представлениях в области  

Зигеля D...………………………………………………………150 

10.3. Граничная теорема Морера для области Зигеля D…...154 

Примечания к главе 4…………………………………………………164 

ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ  

ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ…………………………………165 

§ 11. Критерии существования голоморфного продолжения непре
рывной функции, заданной на части границы области в …….....165 

§ 12. О возможности голоморфного продолжения в матричную  

область функций, заданных на куске ее границы Шилова …….….172 

§ 13. О возможности голоморфного продолжения в шар Ли функций, 

заданных на части сферы Ли……………….………………………...181 

§ 14. Об условиях голоморфной продолжимости в трубчатую  

область функций, заданных на остове трубчатой области …….…..192 

§ 15. Интерполяционные последовательности в классических  

областях……….……………………………………………………….198 

Примечания к главе 5…………………….……….…………………..215 

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЫЧЕТА ДЛЯ                                

ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ…………………….….. 216 

§ 16. Интегральные представления локального вычета для  

голоморфных функций от матриц…………………………………...217 

§ 17. Свойства  локального  вычета…….……………………………223 

§ 18. Представление локального вычета через след и  

распространение формулы Бишопа на функции от матриц………..227 

§ 19. Формула Вейля и принцип Руше   …….….........…..233 

§ 20. Обобщенная интегральная реализация локального вычета ....238  

20.1. Общий рецепт интегральной реализации локального  

вычета Гротендика……………....………...…………….............240 

20.2. Примеры и преобразование локального вычета  

Гротендика при композициях отображений…..……….………242 

Примечания к главе 6……………….………………………...………246 

ГЛАВА 7. РАСШИРЕННЫЕ МАТРИЧНЫЕ ТРУБА И КРУГ.…..…247 

§ 21. Труба будущего……….………………………………..……….247 

21.1. Определения………….…………..………..…….………247 

21.2. Касательное пространство. Форма Леви…………...….248 

21.3. Групповая структура. Автоморфизмы ….………...…...250  

§ 22. Труба будущего как классическая область………..…………..251 

22.1. Реализация трубы будущего в виде матричного 

единичного круга………………………………………………..251 

22.2. Геометрия матричного единичного круга….…..……...252 

22.3. Реализация трубы будущего в виде шара Ли …………255 

§ 23.  Расширенный матричный круг. Определения и гипотезы.… 258 

§ 24. Критерий  голоморфной  выпуклости для областей в ,  

инвариантных относительно действия компактных групп Ли….....260 

24.1. Факторы  относительно действия групп………...……..260 

24.2. Теорема Гильберта…….………………………………...263 

24.3. Орбитальная выпуклость……..………………………....264 

24.4. Эквивариантная теорема продолжения……..................264 

24.5. Критерий голоморфной выпуклости……..………….…265 

§ 25. Доказательство гипотезы о расширенном матричном круге...266 

25.1. Насыщенные орбитально псевдовыпуклые области …267 

25.2. Орбитально выпуклые области………………..………..268 

25.3. Расширенный матричный круг является орбитально  

выпуклым……………………………………………………...…269 

25.4. Расширенный матричный круг является  

насыщенным…………………………………………………..…269 

25.5. Основной результат……….……….………....................270 

§ 26. Гипотеза о расширенной матричной трубе……..............…….270 

26.1. Частные случаи………………...…………………...........271 

26.2. Матричная формулировка гипотезы о расширенной трубе 

будущего…………………………………………………………272 

26.3. Схема доказательства гипотезы о расширенной  

матричной полуплоскости………………………………………274 

Примечания к главе 7……………………………………..…………..277 

Список литературы………………………….………………………..278 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данная монография посвящена комплексному анализу в матрич
ных областях пространства . В ней изложены результаты, полученные в 

течение последних 30 лет в Красноярском государственном университете 

(ныне Сибирский федеральный университет), Национальном университете 

Узбекистана (кроме главы 7). В монографии рассмотрены различные мат
ричные области – матричный круг, матричный поликруг, матричная верх
няя полуплоскость, классические области Картана, области Зигеля второго 

рода, матричные  области Рейнхарта. 

В такого вида областях получены многомерные граничные теоре
мы Морера и теоремы о функциях с одномерным свойством голоморфного 

продолжения. Построены формулы Карлемана, восстанавливающие значе
ния голоморфной функции в области по ее значениям на части границы. 

Доказаны критерии существования голоморфного продолжения функций, 

непрерывных на части остова матричных областей различного вида – клас
сических областей первого типа, шара Ли, трубчатых областей.  Построена 

теория локального вычета для голоморфных функций от матриц. Рассмот
рены известные гипотезы о расширенном матричном круге и о расширен
ной трубе будущего. 

Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем, лемм, пред
ложений и формул – двойная и состоит из номера параграфа и номера тео
ремы, леммы, предложения или формулы. Конец доказательства отмечает
ся знаком  □. 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ 

ФУНКЦИИ  ОТ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ 

§ 1. Некоторые матричные области в пространстве 

[
]
n m
m
×


                Рассмотрим пространство m2  комплексных переменных, обозна
чаемое 

2
m
. В некоторых вопросах точки  Z
 этого пространства удобно 

представлять в виде квадратных  
]
[
m
m×
-матриц, т.е. в виде 
,
1
(
)
m
ij
i j
Z
z
=
=
.  

При таком представлении точек пространство  

2
m
будем обозначать 

[
]
m
m
×
. Прямое произведение 
[
]
[
]

n
m m
m m
×
×⋅⋅⋅×
×
n экземпляров про
странств  
]
[
m
m ×
-матриц обозначим  
[
]
n m
m
×
. Теперь опишем некото
рые простейшие матричные области.  

1.1. Матричный   единичный   круг.  Матричный   единичный   круг  

(классическая область первого типа по классификации Э. Картана)   опре
деляется как множество 

{
}
*
[
]:
Z
m
m
ZZ
I
τ =
∈
×
<
, 

где  
'
*
Z
Z
=
 – матрица, сопряженная и транспонированная  к  Z , запись 

I
ZZ <
*
  (I=Im  – единичная 
]
[
m
m ×
-матрица) означает, что эрмитова мат
рица  
*
ZZ
I −
 положительно определена, таким образом, все ее собствен
ные значения положительны. Граница τ  состоит из множества 

{
}

*
*
[
]:det(
)
0,
Z
m m
I
ZZ
ZZ
I
τ
∂
=
∈
×
−
=
≤
, 

т.е. из множества матриц Z , для которых матрица 
*
ZZ
I −
 является   неот
рицательно определенной, но не положительно определенной  эрмитовой  

матрицей (ее собственные значения неотрицательны и хотя бы одно равно 

нулю). На границе лежит множество 

{
}

*
( )
[
]:
,
S
Z
m m
ZZ
I
τ =
∈
×
=


которое называется  остовом   τ  (заметим,  что 
)
(τ
S
 является границей 

Шилова для τ ).  Ясно, что множество 
)
(τ
S
 есть множество всех унитар
ных  
]
[
m
m ×
-матриц (множество унитарных матриц порядка n обозначает
ся как обычно ). Следует отметить, что множество матриц  

}
0
)
det(
:
{
* =
− ZZ
I
Z
 содержит ограниченную компоненту, выделяемую 

условием  
I
ZZ ≤
*
, и неограниченную, для которой 
I
ZZ ≥
*
.  Эти компо
ненты пересекаются по остову   
)
(τ
S
. 

При 
2
=
m
  множество τ   допускает представление 

{
}
[2 2]:
( )
0 ,
Z
Z
τ
ψ
=
∈
×
<


где 

( )
2
2
2
2
11
12
21
22
0
( )
max
1,
1,
Z
z
z
z
z
Z
ψ
ψ
⎡
⎤
=
+
−
+
−
⎣
⎦ , 

*
*
0( )
det
1,
Z
ZZ
SpZZ
ψ
=
+
−
 

а есть след (шпур) матрицы Z (данное представление нетрудно по
лучить из критерия Сильвества положительной определенности матриц). 

         Полезно заметить, что если   
[
]
Z
m
m
∈
×
,  то 

.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I
−
=
−
 

Кроме того, условия  
0
* >
− ZZ
I
  и  
0
*
>
−
Z
Z
I
     эквиваленты. Это верно 

даже для прямоугольных матриц (см. лемму 13 из [29]). 

Лемма 1.1. Если Z – матрица из  p строк и q столбцов, то соотношения 

и  эквивалентны. 

        Доказательство. Справедливость этого утверждения вытекает из то
ждества 

0
0
0
0
.