Комплексный анализ в матричных областях

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Министерство  высшего  и  среднего  специального 

образования  Республики Узбекистан 

Сибирский федеральный университет 

Национальный университет Узбекистана 

имени Мирзо Улугбека 

Г. Худайберганов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов 

КОМПЛЕКСНЫЙ  АНАЛИЗ  В  МАТРИЧНЫХ  ОБЛАСТЯХ 

Монография 

Красноярск, Ташкент  

2011 

УДК 517.55 

ББК 22.161 

  Х98 

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Л.А. Айзенберг 

                      д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Варисов  

Х98    Худайберганов, Г. 

Комплексный анализ в матричных областях / Г. Худайберганов, 

А.М. Кытманов, Б.А. Шаимкулов. – Красноярск: Сибирский 

федеральный ун-т, 2011. –  290  с. 

ISBN 978-5-7638-2199-4 

Монография посвящена комплексному анализу в матричных областях многомерного 

комплексного пространства. В ней рассмотрены интегральные представления для 
голоморфных функций и их различные приложения к вопросам голоморфного продолжения, 
построению локального вычета и др. 

Предназначена для студентов, аспирантов и специалистов по многомерному 

комплексному анализу.   

УДК 517.55 

ББК 22.161 

ISBN 978-5-7638-2199-4                                    © Сибирский        
                                                                                 федеральный       
                                                                                 университет, 2011 

© Национальный     

университет                                    
Узбекистана имени                       
Мирзо Улугбека, 
2011 

Оглавление 

Предисловие……….…………………………………………………...8 

ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ 

НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ .………………………………………………….9 

 
§ 1. Некоторые матричные области в пространстве ……..9 

1.1. 
Матричный единичный круг…………..…………………..9 

1.2. 
Матричная верхняя  полуплоскость………..……………11 

1.3. 
Матричный единичный поликруг…………………..…...11 

1.4. 
Матричный шар…………….……………………….……12 

1.5. 
Матричная область Зигеля второго рода…….…….........13 

1.6. 
Матричная область Рейнхарта.…………………………..13 

          § 2. Степенные ряды от матриц…………………………………….….16 

2.1. 
Матричная норма …………………………….……..........16 

2.2. 
Степенные ряды в ……………….....………….17 

2.3. 
Формула Коши-Адамара…………………………………22 

2.4. 
Области сходимости степенных рядов………….………23 

2.5. 
 Степенные ряды в .……….………………….24 

2.6. 
 Критерий (абсолютной) сходимости……………………25 

2.7. 
Логарифмически выпуклая оболочка области в 

........………...………………………………………….27 

2.8. 
 Теорема Гартогса………………….……………………..29 

§ 3. Голоморфные функции и области голоморфности в     

.……………………………………………………………...30  

3.1. 
Определения………………………………………………30 

3.2. 
Связь между голоморфными функциями от nm2  

переменных и голоморфными функциями от нескольких  

матриц …………………………………………………………….33 

3.3. 
Области сходимости – области голоморфности…..........35 

3.4. 
Кратная интегральная формула Бохнера-Хуа Локена ....36 

3.5. 
Доказательство основного результата главы 1…………40 

Примечания к главе 1……………..…………….……..……………….44 

ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА...45 

§ 4. Многомерные граничные теоремы Морера в поликруге и шаре45 

4.1. 
 Известные результаты…….………………………..........45 

4.2. 
 Граничная теорема Морера для поликруга…….………48 

4.3. 
 Граничная теорема Морера для шара………….……….52 

§ 5. Условия существования аналитического продолжения функций в 

классических областях…………………………………………………56 

5.1. 
 Классические области…………………………….……...56 

5.2. 
 Условия существования продолжения………….………59 

5.3. 
Граничные теоремы Морера  для классических 

областей.…………………………………………………………...66 

§ 6. Многомерные граничные теоремы Морера для неограниченной 

реализации поликруга и шара…………………………………………70 

6.1. 
Граничная теорема Морера   для неограниченной 

реализации   поликруга…………………………………...………70 

6.2. 
Граничная теорема Морера для неограниченной 

реализации шара………………………………………..................77 

         Примечания к главе 2…………..………………………………………91 

ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ 

КАРЛЕМАНА В МАТРИЧНЫХ     ОБЛАСТЯХ…………..……………92 

§ 7. Интегральные представления……………………..………………92 

7.1. 
Автоморфизмы матричного шара……….…….…………93 

7.2. 
Интегральная формула Бергмана для  матричного 

шара...…………………………………………………………….102 

7.3. 
Ядра Коши-Сеге и Пуассона для матричного шара.….105 

§ 8. Формулы Карлемана……………..………………………………115 

8.1. 
Формула Карлемана для функций от матриц…...……..115 

8.2. 
Формулы Карлемана в классических областях….….…117 

8.3. 
Формула Карлемана в матричном шаре.……….……...123 

8.4. 
Граничная теорема Морера для матричного шара.…...128 

          Примечания к главе 3…………………………………………………134 

ГЛАВА 4. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА В 

НЕОГРАНИЧЕННЫХ МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ…………………135 

§ 9. Граничная теорема Морера для матричной верхней 

 полуплоскости…………………..……………………………………135 

§10. Теорема Морера в неограниченной реализации матричного 

шара……………………….…….………………...............144 

10.1. О  неограниченной реализации матричного шара…….144 

10.2. Об интегральных представлениях в области  

Зигеля D...………………………………………………………150 

10.3. Граничная теорема Морера для области Зигеля D…...154 

Примечания к главе 4…………………………………………………164 

ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ  

ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ…………………………………165 

§ 11. Критерии существования голоморфного продолжения непре
рывной функции, заданной на части границы области в …….....165 

§ 12. О возможности голоморфного продолжения в матричную  

область функций, заданных на куске ее границы Шилова …….….172 

§ 13. О возможности голоморфного продолжения в шар Ли функций, 

заданных на части сферы Ли……………….………………………...181 

§ 14. Об условиях голоморфной продолжимости в трубчатую  

область функций, заданных на остове трубчатой области …….…..192 

§ 15. Интерполяционные последовательности в классических  

областях……….……………………………………………………….198 

Примечания к главе 5…………………….……….…………………..215 

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЫЧЕТА ДЛЯ                                

ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ…………………….….. 216 

§ 16. Интегральные представления локального вычета для  

голоморфных функций от матриц…………………………………...217 

§ 17. Свойства  локального  вычета…….……………………………223 

§ 18. Представление локального вычета через след и  

распространение формулы Бишопа на функции от матриц………..227 

§ 19. Формула Вейля и принцип Руше   …….….........…..233 

§ 20. Обобщенная интегральная реализация локального вычета ....238  

20.1. Общий рецепт интегральной реализации локального  

вычета Гротендика……………....………...…………….............240 

20.2. Примеры и преобразование локального вычета  

Гротендика при композициях отображений…..……….………242 

Примечания к главе 6……………….………………………...………246 

ГЛАВА 7. РАСШИРЕННЫЕ МАТРИЧНЫЕ ТРУБА И КРУГ.…..…247 

§ 21. Труба будущего……….………………………………..……….247 

21.1. Определения………….…………..………..…….………247 

21.2. Касательное пространство. Форма Леви…………...….248 

21.3. Групповая структура. Автоморфизмы ….………...…...250  

§ 22. Труба будущего как классическая область………..…………..251 

22.1. Реализация трубы будущего в виде матричного 

единичного круга………………………………………………..251 

22.2. Геометрия матричного единичного круга….…..……...252 

22.3. Реализация трубы будущего в виде шара Ли …………255 

§ 23.  Расширенный матричный круг. Определения и гипотезы.… 258 

§ 24. Критерий  голоморфной  выпуклости для областей в ,  

инвариантных относительно действия компактных групп Ли….....260 

24.1. Факторы  относительно действия групп………...……..260 

24.2. Теорема Гильберта…….………………………………...263 

24.3. Орбитальная выпуклость……..………………………....264 

24.4. Эквивариантная теорема продолжения……..................264 

24.5. Критерий голоморфной выпуклости……..………….…265 

§ 25. Доказательство гипотезы о расширенном матричном круге...266 

25.1. Насыщенные орбитально псевдовыпуклые области …267 

25.2. Орбитально выпуклые области………………..………..268 

25.3. Расширенный матричный круг является орбитально  

выпуклым……………………………………………………...…269 

25.4. Расширенный матричный круг является  

насыщенным…………………………………………………..…269 

25.5. Основной результат……….……….………....................270 

§ 26. Гипотеза о расширенной матричной трубе……..............…….270 

26.1. Частные случаи………………...…………………...........271 

26.2. Матричная формулировка гипотезы о расширенной трубе 

будущего…………………………………………………………272 

26.3. Схема доказательства гипотезы о расширенной  

матричной полуплоскости………………………………………274 

Примечания к главе 7……………………………………..…………..277 

Список литературы………………………….………………………..278 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данная монография посвящена комплексному анализу в матрич
ных областях пространства . В ней изложены результаты, полученные в 

течение последних 30 лет в Красноярском государственном университете 

(ныне Сибирский федеральный университет), Национальном университете 

Узбекистана (кроме главы 7). В монографии рассмотрены различные мат
ричные области – матричный круг, матричный поликруг, матричная верх
няя полуплоскость, классические области Картана, области Зигеля второго 

рода, матричные  области Рейнхарта. 

В такого вида областях получены многомерные граничные теоре
мы Морера и теоремы о функциях с одномерным свойством голоморфного 

продолжения. Построены формулы Карлемана, восстанавливающие значе
ния голоморфной функции в области по ее значениям на части границы. 

Доказаны критерии существования голоморфного продолжения функций, 

непрерывных на части остова матричных областей различного вида – клас
сических областей первого типа, шара Ли, трубчатых областей.  Построена 

теория локального вычета для голоморфных функций от матриц. Рассмот
рены известные гипотезы о расширенном матричном круге и о расширен
ной трубе будущего. 

Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем, лемм, пред
ложений и формул – двойная и состоит из номера параграфа и номера тео
ремы, леммы, предложения или формулы. Конец доказательства отмечает
ся знаком  □. 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ 

ФУНКЦИИ  ОТ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ 

§ 1. Некоторые матричные области в пространстве 

[
]
n m
m
×


                Рассмотрим пространство m2  комплексных переменных, обозна
чаемое 

2
m
. В некоторых вопросах точки  Z
 этого пространства удобно 

представлять в виде квадратных  
]
[
m
m×
-матриц, т.е. в виде 
,
1
(
)
m
ij
i j
Z
z
=
=
.  

При таком представлении точек пространство  

2
m
будем обозначать 

[
]
m
m
×
. Прямое произведение 
[
]
[
]

n
m m
m m
×
×⋅⋅⋅×
×
n экземпляров про
странств  
]
[
m
m ×
-матриц обозначим  
[
]
n m
m
×
. Теперь опишем некото
рые простейшие матричные области.  

1.1. Матричный   единичный   круг.  Матричный   единичный   круг  

(классическая область первого типа по классификации Э. Картана)   опре
деляется как множество 

{
}
*
[
]:
Z
m
m
ZZ
I
τ =
∈
×
<
, 

где  
'
*
Z
Z
=
 – матрица, сопряженная и транспонированная  к  Z , запись 

I
ZZ <
*
  (I=Im  – единичная 
]
[
m
m ×
-матрица) означает, что эрмитова мат
рица  
*
ZZ
I −
 положительно определена, таким образом, все ее собствен
ные значения положительны. Граница τ  состоит из множества 

{
}

*
*
[
]:det(
)
0,
Z
m m
I
ZZ
ZZ
I
τ
∂
=
∈
×
−
=
≤
, 

т.е. из множества матриц Z , для которых матрица 
*
ZZ
I −
 является   неот
рицательно определенной, но не положительно определенной  эрмитовой  

матрицей (ее собственные значения неотрицательны и хотя бы одно равно 

нулю). На границе лежит множество 

{
}

*
( )
[
]:
,
S
Z
m m
ZZ
I
τ =
∈
×
=


которое называется  остовом   τ  (заметим,  что 
)
(τ
S
 является границей 

Шилова для τ ).  Ясно, что множество 
)
(τ
S
 есть множество всех унитар
ных  
]
[
m
m ×
-матриц (множество унитарных матриц порядка n обозначает
ся как обычно ). Следует отметить, что множество матриц  

}
0
)
det(
:
{
* =
− ZZ
I
Z
 содержит ограниченную компоненту, выделяемую 

условием  
I
ZZ ≤
*
, и неограниченную, для которой 
I
ZZ ≥
*
.  Эти компо
ненты пересекаются по остову   
)
(τ
S
. 

При 
2
=
m
  множество τ   допускает представление 

{
}
[2 2]:
( )
0 ,
Z
Z
τ
ψ
=
∈
×
<


где 

( )
2
2
2
2
11
12
21
22
0
( )
max
1,
1,
Z
z
z
z
z
Z
ψ
ψ
⎡
⎤
=
+
−
+
−
⎣
⎦ , 

*
*
0( )
det
1,
Z
ZZ
SpZZ
ψ
=
+
−
 

а есть след (шпур) матрицы Z (данное представление нетрудно по
лучить из критерия Сильвества положительной определенности матриц). 

         Полезно заметить, что если   
[
]
Z
m
m
∈
×
,  то 

.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I
−
=
−
 

Кроме того, условия  
0
* >
− ZZ
I
  и  
0
*
>
−
Z
Z
I
     эквиваленты. Это верно 

даже для прямоугольных матриц (см. лемму 13 из [29]). 

Лемма 1.1. Если Z – матрица из  p строк и q столбцов, то соотношения 

и  эквивалентны. 

        Доказательство. Справедливость этого утверждения вытекает из то
ждества 

0
0
0
0
. 

Отсюда же вытекает и равенство определителей 
.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I
−
=
−
 


1.2. Матричная верхняя  полуплоскость.  Матричная  верхняя полуплос
кость  определяется как множество матриц 

[
]
{
}
: Im
0
Z
m
m
Z
ℑ =
∈
×
>
, 

где 
)
(
2
1
Im
*
Z
Z
i
Z
−
=
.  Граница ∂ℑ  этой области состоит из матриц  Z , для 

которых  
Z
Im
– неотрицательно определенная, но неположительно опре
деленная эрмитова матрица  (ее собственные  значения неотрицательны и 

хотя бы одно равно нулю). Так как обращение в нуль собственных значе
ний эрмитовой  матрицы выражается вещественно аналитическим равенст
вом, то ∂ℑ состоит из кусков вещественно аналитических поверхностей  

размерности 
1
2
2 −
m
.   

Множество  

{
}
( )
: Im
0
S
Z
Z
ℑ =
=
 

которое лежит на  ∂ℑ, называется  остовом  верхней полуплоскости  ℑ. 

Оно состоит из всех эрмитовых матриц.  Условие эрмитовости выражается  

2
m  независимыми уравнениями, поэтому вещественная размерность 
( )
S ℑ

равна  m2. 

1.3. Матричный  единичный  поликруг.  Матричный  единичный  поли
круг    в  
[
]
n m
m
×
 определим  как прямое произведение  n раз  

области τ , т. е. 

, … , : , 1, … , . 

Граница  является объединением поверхностей 

[
]
{
}
:
,
,
n
Z
m m
Z
Z
ν
ν
μ
γ
τ
τ μ
ν
=
=
×
∈∂
∈
≠
, 

каждая из которых есть
)1
2
(
2 −
nm
-мерная поверхность (так как 
2
2nm  ко
ординат точки 
Z связаны одним действительным  соотношением 

0
)
det(
* =
−
ν
ν Z
Z
I
).  Поэтому и вся граница  
∪

n
T

1
=
=
∂

ν

ν
γ
 является  

)1
2
(
2 −
nm
-мерной. Множество 

( )
( )
( )

n
S T
S T
S T
T
=
×⋅⋅⋅×
⊂ ∂


назовем   остовом     Т.  Оно 
2
nm -мерное. 

1.4. Матричный  шар. Пусть 
(
)
n
Z
Z
Z
,...,
1
=
 – вектор, составленный из 

квадратных матриц  порядка m, рассматриваемых над полем комплекс
ных чисел . Можно считать, что –  элемент пространства 

[
]

2
n
nm
m
m
×
≅
. 

 Матричное  «скалярное» произведение для  
[
]
,
n
Z W
m m
∈
×
определим 

так: 

*
*
1
1
,
.
n
n
Z W
Z W
Z W
=
+
+


 
Область 
n
m
B ,  пространства 
[
]

n m
m
×
: 

{
},
0
,
:
,
>
−
=
Z
Z
I
Z
B
n
m
      

где I,  как обычно, единичная матрица порядка m, есть матричный шар. 

Остов этой области есть многообразие вида: 

{
}.
,
:
,
I
Z
Z
Z
X
n
m
=
=
 

 
Очевидно, действительная размерность остова равна 
)1
2
(
2
−
n
m
 и при 

1
>
m
 не совпадает с размерностью границы матричного шара. 

В частности, при 
,1
1,
m
n
B
=
 – матричный  круг из 
[
]
m
m
×
, а 
1,
m
X
 – 

множество всех унитарных матриц. 

При  
1,
1,
n
m
B
=
– шар из
n
, а 
n
X ,1  – единичная сфера. 

При  
1,1
1,
m
n
B
=
=
– единичный круг из , а 
1,1
X  – единичная ок
ружность. 

1.5.  Матричная  область  Зигеля  второго  рода. Пусть 

 
[
]
{
}
,
1
: Im
,
'
0 ,
n
m n
D
Z
C
m
m
Z
Z Z
=
∈
×
−
>
 

где 
(
)
*
1
1
1
1
Im
2
Z
Z
Z
i
=
−
, 

*
*
2
2
,
'
n
n
Z Z
Z Z
Z Z
=
+
+
. 

        Остов этой области: 

[
]
{
}
,
1
: Im
,
' .
n
m n
Z
C
m
m
Z
Z Z
=
∈
×
=
R
 

В частности, при 
,1
1,
m
n
D
=
 – матричная верхняя полуплоскость, а 

остов 
1,
m
R
– множество всех эрмитовых матриц. 

При  
1,
1,
n
m
D
=
 – область Зигеля второго рода (шар Пуанкаре) в 
n
, 

а остов 
{
}

2
1,
1
2
.
n
n
n
y
z
z
=
=
+
+
R
 

При  
1,1
1,
m
n
D
=
=
 – верхняя полуплоскость в , а остов 
1,1
R
– дей
ствительная ось. 

1.6.  Матричная  область  Рейнхарта.  Множество   
[
]
n
G
m
m
⊂
×
  на
зовем   матричной    областью     Рейнхарта, если    она обладает следую
щим   свойством: вместе с каждой точкой  
1
2
(
,
,...,
)
n
Z Z
Z
 множество  G  со
держит точки вида 
1
1 1
2
2
2
(
,
,...,
)
n
n
n
U Z V U Z V
U Z V , где 
,
U
V
ν
ν  – произвольные уни
тарные матрицы, 
1,2,...,n
ν =
. Другими словами, матричная область Рейн
харта является инвариантной относительно действия группы на   
[
].
n m
m
×
   

Матричную область Рейнхарта назовем   полной ,  если вместе с каж
дой точкой  
0
0
0
1
2
(
,
,...,
)
n
Z
Z
Z
 этой области  ей принадлежат и все точки вида 

S
S
n
Z
Z
Z
Z
Z
||
||
||
:||
)
,...,
,
(
0
2
1
ν
ν
≤
, 
1,2,..., ,n
ν =
 т.е. весь матричный поликруг 

         

0
1
2
{(
,
,...,
) :||
||
||
||
n
S
S
Z Z
Z
Z
Z
ν
ν
≤
, 
1,2,..., }.
n
ν =

Здесь 
S||
||⋅
 – спектральная норма матрицы (определение спектраль
ной нормы см. ниже). 

Напомним представление произвольной невырожденной матрицы  

[
]
Z
m
m
∈
×
в полярных координатах.  

Пусть  Z – невырожденная матрица, тогда она представима в виде 

произведения эрмитовой и унитарной SV, причем если первый множитель 

положительно определен, то это представление единственно [12, с. 243]. 

Положительно определенную эрмитову матрицу S всегда можно унитар
ным преобразованием привести к диагональному виду (см., например, [12, 

с. 81]), отсюда получаем представление матрицы Z в  виде  

                                          
V
U
Z
Λ
=
,                                                    (1.1)                      

 где   U , V     – унитарные матрицы,    а  
1
2
[
,
,...,
]
m
λ λ
λ
Λ =
 – диагональная 

матрица,  причем 
0
...
2
1
>
≥
≥
m
λ
λ
λ
. 

 Если 
G
Z ∈
, 
то 
 
из 
(1.1) 
1
1
1
1
U ZV
U U VV
=
Λ
= Λ  
при 

*
*
1
1
,
.
U
U
V
V
=
=
 Таким образом, каждую точку  
G
Z ∈
 можно получить 

из вектора (
)
1
2
,
,...,
n
Λ Λ
Λ
 диагональных матриц с помощью указанного 

полярного представления. Поэтому изучение таких областей эквивалентно 

изучению их образов в подпространстве 
,
n m
n
n

m

+
+
+
=
×⋅⋅⋅×
пространства 

[
]
n m
m
×
при отображении, когда   каждой   точке 
)
,...,
,
(
2
1
n
Z
Z
Z
 из G  

ставится в соответствие   единственная  точка   (
n
Λ
Λ
Λ
,...,
,
2
1
). 

Образ области   G  при отображении  
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
n
n
Z
Z
Λ
Λ
→
 бу
дем называть матричной диаграммой Рейнхарта   и обозначим через  
Λ
G .  

         Множество  

 

будем называть логарифмическим  образом    области  G .  

 
Область  G   называется    логарифмически  выпуклой, если множест
во  
Λ
G
ln
 выпукло в пространстве  
nm
.   

{
}
1
1
1 1
ln
ln
(ln
,...,ln
)
:
(
,...,
)
,det
0,
1,2,...,
nm
n
n
n
n
G
Z
U
V
U
V
G
n
ν
ν
Λ =
Λ =
Λ
Λ
∈
=
Λ
Λ
∈
Λ ≠
=

Матричная область Рейнхарта  не обязательно является областью 

Рейнхарта в , но мы всегда можем сопоставить ей открытое (возмож
но, несвязное) множество Рейнхарта (т.е. множество, инвариантное 

относительно действия тора) в , а именно 

  , … , : диагональные матрицы, 1 . 

Отметим, что это множество, очевидно, содержит матричную диа
грамму Рейнхарта 
Λ
G . Более того, полярное представление (1.1) влечет, 

что логарифмический образ области совпадает с логарифмическим обра
зом области . 

Рассмотрим примеры матричных областей Рейнхарта.    

Пример 1.1.  Матричный единичный круг  τ .  Для всех унитарных матриц 

,
,
U V W
τ
∈
имеет место соотношение  

.
0
)
(
)
)(
(
>
−
=
−
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
U
WW
I
U
U
UWW
I
UWV
UWV
I
 

Следовательно, 
τ
∈
)
(UWV
,  т.е.  τ – матричная область Рейнхарта. Из не
равенства  

[
]
0
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
>
−
+
−
+
−
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
QQ
I
Q
WW
I
W
RR
I
W
Q
QWR
QWR
I
 

при  
,
,
Q R W
τ
∈  вытекает, что   τ  является полной матричной областью 

Рейнхарта в 
[
]
m
m
×
. Так как множество  

 

 выпуклое, то τ логарифмически выпуклое множество. Здесь 
m
−
– множе
ство всех отрицательно определенных диагональных действительных 

]
[
m
m ×
-матриц (т.е. множество m-мерных действительных векторов с от
рицательными координатами). 

Пример 1.2.  Матричный единичный поликруг 

n
T
τ
τ
×
×
=
...
. 

{
}
1
1
1
ln
ln
:
ln
0
m
m
X
τ Λ
−
=
Λ ∈
=
Λ <
=