Вестник Удмуртского университета. Серия 1. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2003, № 1


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2003

УДК 517.518


Н. В. Латыпова

ПОГРЕШНОСТЬ КУСОЧНО-КУБИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ НА ТРЕУГОЛЬНИКЕ

В статье исследуются изменения зависимости оценок погрешности аппроксимации кусочно-кубическими функциями двух переменных от геометрических характеристик триангуляции при различном выборе дополнительного условия, не влияющего на гладкость . Показано, что в зависимости от дополнительного условия и порядка производной константы в оценках погрешности ее аппроксимации могут зависеть от среднего или наименьшего углов треугольника.
Ключевые слова: оценки погрешности аппроксимации, интерполяция, кусочно-кубическая функция, триангуляция.

Введение
   Первоначально оценки погрешности аппроксимации функции и ее ?-й производной имели вид ('//" ¹ '. где Н— диаметр триангуляции, п— степень интерполяционного многочлена, и этот параметр также тесно связан с классом аппроксимируемых функций (классы Wⁿ⁺¹M, которые будут введены ниже). При этом вопрос о том, как константа С зависит от свойств триангуляции, не рассматривался. Позже появилось условие наименьшего угла триангуляции (работы Синджа (J.L. Synge), Зламала (М. Zlamal), Жени-шека (A. Zenisek), Брэмбла (J.H. Bramble) и др.). Наиболее общие результаты такого рода принадлежат Сьярле (Р. G. Ciarlet) и Равья-ру (Р. A. Raviart) [1], у которых в двумерном случае в максимально общей ситуации оценки погрешности аппроксимации имели вид C'Hⁿ⁺¹⁻l(sinа)~г, где а— наименьший угол триангуляции, а константа С уже не зависит от триангуляции.
   В некоторых случаях наименьший угол, фигурирующий в оценках Сьярле-Равьяра, можно заменить на средний (или наибольший, что с точностью до констант равносильно). При этом выясняется, что различные типы интерполяционных процессов (Лагранжа (J.L. Lagrange), Эрмита (Ch. Hermite), Биркгофа (G. Bierkhoff)) по-разному реагируют на характер вырождения триангуляции. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны.

Н. В. Латыпова

   Так в случае лагранжевой интерполяции оценка погрешности зависит от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла триангуляции. При этом оценки ухудшаются, когда два угла стремятся к нулю. Здесь к настоящему моменту все выяснено благодаря работам Зламала, Ю. Н. Субботина, Жаме (Р. Jamet). Кроме того, Ю. Н. Субботин [2] показал неулучшаемость этих оценок на заданном классе. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу.
   Наиболее трудным является случай биркгофовой интерполяции. Здесь некоторые результаты получены Д. О. Филлимоненковым, Ю.Н. Субботиным [3], Н.В. Латыповой [4; 5], Н. В. Байдаковой.
Постановка задачи
   В силу локальности рассматриваемых интерполяционных процессов (они будут описаны ниже) ограничимся лишь одним треугольником. Пусть △ — невырожденный треугольник в R² . Через щ (г = 1,2,3) будем обозначать вершины треугольника △, через rii— единичную нормаль к стороне Д, a^+i], Л— единичный вектор, направленный от к Oj₊i (04 = аД, через а,/3,0—углы при вершине 01,02,03 соответственно; при этом пусть выполняются неравенства О<а^(3^/0<я.
   Далее без ограничения общности будем считать, что вершины △ имеют следующие координаты: ох = (Ь, 0),о₂ = (—о, 0),о₃ = (О, Я), причем 0 < а b и длина наибольшей стороны треугольника △ равна а + b = Я. Пусть Dᵣ/f(x,y) = у Wdf^ +        — производная по направлению у = (rp\r/^'), (т/^)² + (т/^)² = 1 и пусть Ws⁺¹M = {/Д, у) : Dl f(x,y) непрерывны в △ (О <Д з+1)иУД,у)еА Vyb...,yₛ₊i |Я®+Д%₊₁/Д,у)|      М}.
   Через Р₃(х,у) = P₃(J;x,y) будем обозначать многочлен, степень которого по совокупности переменных не превосходит 3, удовлетворяющий следующим интерполяционным условиям:

/ДО = Р3(сД (i  = 1,2,з);    (1)
д , ч д , ч                     
д-/ДО = д-ЛзДО  (г = 1,2,3); (2)
дх       дх                     
д , ч д , ч                     
д-/Д0 = ---Р3Д0 (г = 1,2,3). (3)
оу       ду                     

   Эти условия обеспечивают гладкость интерполяционных кусочно-кубических функций на произвольной области Q, которая

Погрешность кусочно-кубической интерполяции

5

была подвергнута триангуляции. Условие, обеспечивающее единственность таких интерполяционных многочленов 3-й степени, будет варьироваться. Цель работы — исследование изменения зависимости оценок погрешности аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции при изменении этого условия.
   Введем еще обозначения: 7(93) = max{l, ctg^};
Ф,у) = f(x,v) ~ Рз{х,у); eij(x,y) =      ’ еМ = ем(°,°)   По формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши имеем

х²        х³          (                 х²    \
   е(х, у) = ео,о + яецо + ^-е₂,₀ + 7763,0 + у I еОд + zei,i + — е₂д ) +
Zj ■      О1          \                 Zj ■  }


У² /        \ У³      71/4
+ (ео,2 + ^eₓ,₂) + —е₀,з + В(ж, у),       (*)

             У        .     3  . х
где Я(г, у) = /           + ЕД / Д7Р

   Рассмотрим сторону [ах,а₂]. Используя условия (1), (2) при
i = 1,2 и оценки величины приближения функции одной переменной и ее производных интерполяционным многочленом Эрмита как функции от х при фиксированном у = 0, получим (см.: [6, с. 173])


leo,o| ’С loMa²b²', |ei?o| ’С hMab²', |е₂,о|  ^₂Л/Ь²; |вз,о| ^з⁴/7Ь,


здесь и далее Ц — абсолютные положительные константы.
   Из условия (1), (3) при i = 3 имеем:

f heoyi + 7-60,2 + 7-60,3 = Во,
1 е₀,1 + Ле₀,₂ + ^е₀,₃  = Вх,


где Во = -ео,о - В(0,Л), |В₀| L₀MaV, В, = -^Л(О,/г),
|ВХ| LiMh³, Lᵢ,Pᵢ—здесь и далее абсолютные положительные константы. Откуда следует

е0,2

е0,3

         ⁴                     ⁶ 71     ² 71 I I / 7/
— 91 ~ где 91 — д7®о — дВХ, N

92 +             где » =                       |₉₂| <
      п.~                   п.~ h¹                            h¹

(4)

(5)

   Из условия (3) при i = 1, 2 имеем e₀,i + сех,х + уб₂,х = Bc, Bc =         0), |BC| £₂M|c|³, (с = —a, b). Откуда получаем


где

e₂,i = 9з- ^-еод, W g₃ = ———-Bₐ + ———-Bb, \g₃\ l. ..\ll>: (6) ab         a\b + a) b(b + a)

Н. В. Латыпова

               b-а                -Ь г> . а т>
     ei,i — 94 Н г⁻е₀ 1, где </₄ — , —гВа + ———-7Д      (7)
                ab              a[b + а) b[b + а)

|(?4| L'^Mab.
   Из условия (2) при 7 = 3 имеем /гехд + ^-61,2 = В₂, где В₂ =
—ei,o —        I-B2I L₃Mab², откуда, учитывая (7), получаем

            ²(&-°)           ² тэ ²     I
   61,2 - 9ь--—е₀,1, д₅ - — В₂ - -54,   \95\^L₅M—.      (8)

   Далее, задавая всевозможными способами дополнительное условие, будем получать соответствующие оценки погрешности.
1. ео,з(хо,уо) = 0, (хо,уо) G △
Из этого условия следует, что е₀,з = —  Уо),
|ео,з| ЦМmax{|z₀|, |з/о|}- Тогда из (5) получаем |e₀,i| И
далее, учитывая (4), (6)—(8), имеем

|е0,21

а²Ъ²

f ah
|e₂,i| УМ < g

при a h,

при a < h,

ЦМ

                              ।     । „ , „ ᵣab² ,               । „ , „ ᵣab²
                              Iei,i|                       |ei,₂| IgM——.
                                                 Il                           it


Подставляя полученные соотношения в формулу (*) и вычисляя всевозможные производные е(х,у), имеем следующие оценки:


|ей,о^,5)| Ск,₀МН⁴~к (к = 0,1,2,3);      (9)

|ей,1Д,Д|                (к = 0,1,2);      (10)

           \ек,2(х,у)\ C\₂MH²-k^j3yf(a) (к = 0,1);   (11)

Мх,у)\^С₀,₃МН,                   (12)


где Cij — абсолютные положительные константы.

Погрешность кусочно-кубической интерполяции

7

2. ei,₂(x₀,y₀) = 0, (хо,уо) G △
Откуда ei,2 = -^2-й(жо,уо), |ei,₂| У Zi₀Mmax{|z₀|, Ы}- Из (8) получаем |eo,i|           Используя (4)-(7), (*), аналогично предыдущему случаю получаем оценки (9), (10) и

         |е₀,₂Д,у)| У Со,₂МЯ²7²(Я, К₂Д,у)| У С^мн- (13)
|е₀,з(ж,уЖ С'₀,зЛ7Я7²(/?)7(а).             (14)

3. е₂,1(х₀,у₀) = 0, (х₀,у₀) е △
Следовательно, е₂Д =            Уо), |е₂д| У /1₂М|ж₀|- Тогда из (6)
получаем |eo,i| l^Mab². И далее, учитывая (4), (5), (7), (8), имеем

( «²Ь²
|е₀,₂| luM < h

при а h, при а < h,

( «²Ь²
|е₀,з| hbM <
                   I n²

при a h, при a < h,

lei,i I h^Mb²,

           ( °^²
|ei,₂K^>i £
           1 h

при a h, при a < h.

Тогда справедливы оценки (9), (10) при к = 0,1, (11), (14) и

|е₂,1Д,у)К С'щТГЯ.

(15)

4. ео,₂(хо,уо) = 0, (хо,уо) G △

Откуда следует е₀,₂ + ж₀61,₂ + у₀е₀,з = -^ЛДо,Уо)- Учитывая (4), (5) и (8), имеем — ^вод [2аМг + х^к(Ь — а) — Зу^аЬ] = В₃, где В₃ = _Ук(зд,от) _ gᵢ _ Ход₅ _ уод₂^ |в₃| <С L₃Mтах{жо, а}.

   Обозначим через дДо,Уо) выражение, стоящее в квадратных скобках. Если д(жо,Уо) = 0, то последнее равенство не имеет смысла, т. е. интерполяционный многочлен, определенный дополнительным условием ео,₂(жо,Уо) = 0, не существует. Найдем точки До,Уо), в которых это происходит. Выразим у₀ : у₀ = h (| + х°^~а²> ) . Обозначим ( = Так как 0 у₀ h, то ( G [0,1]. Следовательно, 0 У | +           1. Откуда С л₀ С Если х₀ =
     3 2ab                ' b—a u b—a                 u Ь—а^

то у₀ = 0. Осталось найти ограничение для х₀ справа так, чтобы (хо,уо) Е △. Для этого подставим у₀ в условие, определяющее сторону [ai,a₃] : hx® + by® — bh = 0. Получим xq = Таким образом, интерполяционный многочлен не существует, если данное дополнительное условие определено для (^о,уо) € Ni, где
f           /2 х(Ь — а)\       ( 2аЬ аЬ \)
м = \(х,у) : у = h - + У ⁴ * * ⁷ , х е —---, ——     .
                       \3 ЗаЬ ) у Ь — a b + 2aj \

Н. В. Латыпова

   Координаты любой точки До,Уо) можно представить в виде: х₀ = ya, у Е [—1,0], или х₀ = vb, v Е [0,1], уо =         [0,1].
Так как (жо,Уо) € △, т⁰ выполняются следующие неравенства: —д + £ <Д и и + £   1.
   Рассмотрим д(хо,Уо) при xq = да, уо = (h. Тогда q^ya^K) = а6/г(2 + д —3£) — да²А. Если 2 + д —3£ = 0, то, используя неравенство д > £ — 1, получаем 0 = 2 + д — 3£ > 2 + £ — 1 — 3£ = 1 — 2£. Откуда £ > В этом случае q^ya^K) = —ya²h, а значит, |еОд| hsM^qy- Из (4)-(8) следует |во,2|        |e2,i|           |eij|
/₂₁Мр |ei,₂|           |е₀,₃| <: ЬзМ^. Таким образом, если д =
3£ — 2 при £ Е [|, |) , то справедливы оценки: (9),


Мх,у)\ С^МН^а) {к = 0,1,2); (16)


|ед₂(^,у)| Ск,₂МН²~к₇²(а) (к = 0,1);         (17)
КзСсуЖ С'одЛ/Я?²(«)?(/?),               (¹⁸)
Если 2 + д — 3£ ф 0, то |e₀,i| Ъ₂±Ми выполнены оценки (**), а значит, и (9)—(11), (14).
   Рассмотрим xq = vb, уо = th. Тогда q^b^h) = vb²h+abh(2 — v— 3£). Если и = 0, то q(vb,£h) = а6А(2 —3£) (£ |) и |е₀,г| 1₂^М^-^-.
Если и ф 0, то |еод|       и выполнены (**), а значит, (9)—(11),
(И   Для условия ео,₂(жо,Уо) = 0 при любом (ж₀,у₀) G △ имеем: если (^о,уо) Е М, то интерполяционный многочлен не существует; если xq = (3£ — 2)а, у₀ = th при £ G [|, |) , то выполняются неравенства (9), (16)—(18);
в остальных случаях — (9)—(11), (14).
5. ei,i(x₀,y₀) = 0, (хо,уо) G △
Следовательно, е₁;₁ + ж₀е₂д + Уов1₎₂ = —^Ц^Л(ж₀,Уо)- Учитывая (6)—(8), имеем ^еод [(Ь — a)h — 2х^к — 2уо(Ь — а)] = В4, где В4 = ~d²Rdxdy°} ~ 9* ~ x°9‘i ~ Уо9ь, |В₄| L₄M^ тах{ж₀, а}. Пусть у(жо,Уо) = (Ь — a)h — 2x()h — 2(6 — а)у^. Если у(жо,уо) = 0, то интерполяционный многочлен не существует. Выразим у₀ : у₀ = h (| — ^) . Так как С = у е [0,1], то 0   |         1, откуда |ж₀| В
силу того, что точки (жо,Уо) € △, ограничения для xQ слева найдем из условия, определяющего сторону [а₂, а₃] : hxQ — ау₀ + ha = 0. Подставляя у₀, находим xq = —      ■ Следовательно, интерполяционный многочлен не существует, если данное условие определено

Погрешность кусочно-кубической интерполяции

9

для (ж₀,у₀) е Ж, где
      АТ Г/ '         , (1 ж₀ \ Г a(b — a) b — all
N₂ = Цхуу):y = h --7-^- , же - \                   к
                         \2 о — а)       [ 2о 2 J J


   Пусть xq = уа. Тогда q(ya,£h) = ЛЛ(1 —2£)+/ш(2£ —1 —2ц). Если € = |, М ~/~ 0, то д(жо,уо) = —2yha. Следовательно, |e₀,i| кьМ²^-и в результате получаем оценки вида (9), (16)-(18).
Если С 7^ j’ т⁰ le°,i|            и получаем оценки вида (9)(11), (14).
   Пусть xq = vb. Тогда qlyb^h) = ЛЛ(1 — 2£ —2^) + Aa(2£ —1). Если 1 — 2£ — 2и = 0, то, используя и 0, имеем 0 = 1 — 2£ — 2и 1 — 2£. Следовательно, v = | —£ при £ е [0, |) . Тогда д(жо,Уо) = ha(2£ — 1). А значит, |e₀,i| faM²^ и в результате получаем оценки вида (9), (16)-(18).
Если 1 — 21 — 2м ф 0, то |е₀ 11 1₂%М²^~ , и получаем оценки вида
(9)-(11), (14).
   В результате для условия е1д(жо,уо) = 0 при любом (жо,уо) € △ имеем:
если (жо,Уо) N₂, то интерполяционный многочлен не существует; если Xq Е [-0) , у₀ = | ИЛИ Xq = (| - £) Ь, у₀ = £h При £ G [О, |) , то выполняются неравенства (9), (16)—(18);
в остальных случаях — (9)—(11), (14).

6.  е₂,о(хо,уо) = 0, (хо,уо) е △ \ [ai,a₂]

Отсюда е₂,₀ + жое₃,о + у₀е₂,1 = —^Я(хо,уо'). Следовательно,

е ₌ А [ д²я(хо,уо)
²,¹ уо

— е₂,о — жое₃₎о ■ Если у₀ = 0, то интерполяцион
дх²

ный многочлен не существует. В противном случае |е₂д|  1₂₉М^-,
и |eo,i| I^qM²^-. А значит, справедливы оценки (9), (16)-(18).

7.  ео,1(хо,уо) = 0, (хо,уо) G △ \ {ai,a₂,a₃}


Откуда ео,1+жое1д+^е₂д+уо(ео,2+жое1,₂) + ^ео,₃ =           Учиты
вая (4)-(8), имеем еОд 1 + ж₀^ -                    - 2ж₀у₀^ +

В₅,

где В₅ = -dR⁽-xd°y’yo⁾ - х₀д₄ - ^-g₃ - уодг - y₀xQg₅ - ^-д₂, \В₅\ L^M²^- тах{|ж₀|, а}. Обозначим выражение, стоящее в квадратных скобках, снова через д(жо,Уо)- Интерполяционный многочлен, однозначно определяемый условием еод(жо,уо) = 0, не существует, если д(ж₀,у₀) = 0.
   Пусть xq = уа. Тогда q(xQ, уо) = (1 + ц — 4£ — 2у^ + 3£²) — |д(1 + у — 2^). Если 1 + у — 4^ — 2у^ + 3£² = 0 и ц(1 + у — 2^) = 0, то

Н. В. Латыпова

интерполяционный многочлен не существует. Это выполняется при д = —1, ч = 0. или д = 0, ч = 1- или д = 0, ( = т. е. в точках (—а,0), (0,/г), (0,|).
Пусть 1 + д — Ц + 36² — 2д6 = 0. Отсюда д = — ^Z^¹- Так как д G [—1,0], то должно выполнятся неравенство —1 Z ³^XZ₂|⁺¹ Z 0-Решая его, получаем, что 6 G [0, |] U [|, 1] . Учитывая, что // = 0 при 6 = |, и £ = 1, а также ц = — 1 при £ = 0, исключаем эти точки, так как интерполяционный многочлен не существует, если дополнительное условие определяется именно в них. Итак, получаем: если д = _з£1^±1 При е (о, |) U [|, 1) , то q(x₀, у₀) = -f И¹ + М - 26). Откуда следует, что |еод| Z         и выполняются оценки вида
(9), (16)- (18). Если 1 + ц - 4£ + 3£² - 2ц6 ф 0, то |e₀,i| Z I32и справедливы оценки (9)—(11), (14).
   Пусть xq = иЪ. Тогда д(^о, уо) = (1 + ^ — 46 + 2^6 + 3£²) — ^(1 — и - 26). Если 1 + и - 46 + 2z/| + 3£² = 0 и - и - 26) = 0, то интерполяционный многочлен не существует. Это выполняется при и = 1, 4=0. или и = 0, 6=1. или и = 0, 6 = |, т. е. в точках (6,0), (0,/г), (0, |) .
Так как |    1, то предположим, что Ц1 — и — 26) = 0. Следовательно, v = 0 или v = 1 — 26, где 6 (0, |] . В этом случае имеем
leo,i| Z ЧзМ³^- и выполнение оценок (9), (16)-(18).
В противном случае — справедливость оценок (9)—(11), (14).
   В итоге для условия еод(жо,Уо) = 0 имеем:
если (жо,Уо) € >з, где

Г, , , , Ь — а х² ^ₓ,ᵥ₎;l₊ₓ—__

⁴У ₉ Ь — а Зу² 1
Т - ²чДыГ + > = °г

то интерполяционный процесс не существует;
если {х₀ = 0, у₀ — любое}, {ж₀(1 — 26)6, Уо = £h, 6 G (О, |] } или
{х₀ = — ³^xZt|⁺¹Q, Уо ⁼ (Е (0, |) U [|, 1)} , то выполняются оценки вида (9), (16)—(18);
в остальных случаях — (9)—(11), (14).

8- ei₎₀(x₀, Уо) — 0, (х₀, у₀) G △ \ {[ai,а₂],а₃}

Откуда следует е₁;₀ + жое₂,о + ^е₃,₀ + Уо(е1,1 + жое₂,1) + ^е₁;₂ = — дя⁽'д°х’уо'¹. Учитывая (6)—(8), получаем [Ь — а — 2.г₀ — у₀^] =

В₆, где при уд ф 0 В₆ = -Т
+ 61,0 + ^ое₂,о + ^ез,° + Уо54+

Уохо9з +       , |-Вб| Z Ь₆МЬ .

Пусть q(x₀, Уо) = b-a-2x₀-(b-a)^- = 0. Тогда 6 = у = 1- ^е

Погрешность кусочно-кубической интерполяции

11

[0,1]. Откуда следует, что 0 xq Если у₀ = h (1 — при х₀ Е [0,   , то интерполяционный многочлен не существует.
   Пусть х₀ = уа. Тогда д(ж₀,у₀) = 6(1 — £) + — 1 — 2ц). Так
как £ Д 1 (ц = О при £, = 1. а это условие совпадает с (2)), то leo,i| /згА/Ду- и выполняются оценки (9)—(11), (14).
Пусть xq = vb. Тогда q(xQ,yo) = 6(1 — 2v — £) + о(£ — 1). Если 1 - 2и - £ = 0, то и = при £ G (0,1] и |e₀,i| hbM^. Тогда получаются оценки


  |е^Д,у)| СцМН*-ку(а) (0 г 3, 0 к 3 - г). (19)


Если 1 — 2v — t, ф 0, то |e₀,i|         и справедливы (9), (16)-(18).
   В итоге для условия е₁;О(жо,Уо) = 0 получаем:
если (жо,уо) £ >4, где


       N₄ = {(ж,у) : У = h (1 - $77^ ,

   „ Ь~а х G 0,

, «2],

то интерполяционный многочлен не существует;
если {х₀ = ^-Ь, уо = th, t Е (0,1]}, то справедливы оценки (19), иначе — (9), (16)—(18);
в случае, когда {ж₀ = цо, у₀ = £h, —у + С 1}, выполнены оценки (9)-(11), (14).

9.  ео,о(хо, уо) = 0, (х₀, у₀) G △ \ <ЭЛ

Z-X            .        . xl    . ?/л /           \ .          т-s
Отсюда eₒ,i+a;oei,i + ^e2,i + ^(eo,2+a;oei,2) + yeo,3 = В₇, где приуо=/О

В₇

1 Г /        \ .      .        . х£      . х£
~УО          ^°) + е°>° + Жое1,о + Де2,0 + -Q

, \в₇\ l₇m^.

Учитывая (4)—(8), имеем:
    ab + х₀(Ь — а) — Xq — 2ab^ — x₀(b — а)^ + abj^

В₈, где

В₈

г>         X?.    Ус.   Упхп    V?.  т~> .  .  ...
В₇ — XqQ^ —^(/з — у (/1 —     — ^92- Выражение, стоящее в

квадратных скобках, обозначим через д(жо,Уо)- Так как = Д то получаем квадратное уравнение относительно xq : q(xo,yo) = — + (6—о)(1 —£)xo+ab(l—£)². Дискриминант его равен D= (1—Д²(6+о)². Тогда #01 = —о(1 — €), жо₂ ⁼ ^(1 — €), а Уо = ^h, Е [0,1]. А это

точки границы треугольника, которые нами исключаются.
   Пусть xq = уа. Тогда дДо,Уо) = °^(1 + у — 2^ — у^ + £²) — а²д(1 + у — Д. Если 1 + д — 2£ — /Д + £² = 0 и д(1 + у — Д = 0, то интерполяционный многочлен не существует. Это выполняется при = 1, или у = — 1 при G [0,1], т. е. (хо,уо) Е [02,03], а мы эти точки и так исключаем. Тогда получается, что для любых у и leo,i| ^37Ми выполняются оценки вида (9)—(11), (14).

Н. В. Латыпова

   Пусть xq = ub. Тогда д(жо,Уо) = b²v(l — v — £)+ab(l — £)(1 — v — С)-Выражение и(1 — и — £) = 0, только если и = 0 или £ = 1 — гу v G [0,1], т. е. (ж₀,у₀) [di, а₃], а мы эти точки исключаем, так как иначе интерполяционный многочлен не существует. Тогда при любых г/, £, leo,i|       и выполнены (9), (16)-(18).
10. J fA е(х, y)dxdy = 0
Сведем данный двойной интеграл к повторному, получаем


                       fh Гь—нУ
dy е(х, y)dx = 0.
                      Jo JтУ~а h y

Подставив в это равенство разложение Тейлора (*), вычислим повторный интеграл: ^(b + a)/zeo,o + jr(Ь² — a²)/zei;o + у(6³ + a³)/ie₂,o+ у (6¹ — a⁴)/ze₃;o + (6 + а)/г²еод + у(6² — a²)/z²eij + ^(b³ + а³)/г²в2,1+ ji(b + a)/z³e₀,2 + у(6² - a²)/z³ei,₂ + g,(6 + a)/z⁴e₀,₃ = Jo, где Jq = — f fAR(x,y)dxdy, | JₒК KoMhb⁵. Учитывая (4)—(8), имеем (b+a)²   _ j       j _____5!__Гт d>+a)h                  (b³+a:ⁱ')h
  ab e°,l — ГДе — (b+a)h² LJ° 2         e°,0    3!  в¹>°    4!  в²,°
  ~5° ⁾he₃,₀] - 5(6 - О)У4 - (Jr - ab + a²)g₃ - bhgr - (b - a)hg₅ - h²g₂,
|Ji| KiM^-. Тогда |eo,i| 1₃qM^ и справедливы оценки (9), (16)-(18).

11. Dₙᵢe(x₀,y₀) = 0, (x₀,y₀) e [ai,a₂] \ {ai,a₂}

Это условие равносильно е₀д(ж₀,0) = 0, Xq G (—a, b). А этот случай уже исследован (см. 7), и выполнены оценки (9)—(11), (14).
12. D²2e(x₀, уо) = 0, (х₀, у₀) G [аъ а₂] \ {аъ а₂}
Это условие равносильно ео,2(жо,О) = 0, х₀ G (—а, Ь). Этот случай также исследован (см. 4), и выполнены оценки (9)—(11), (14).
13. О³зе(х₀,уо) = 0, (хо,уо) G [ах,а₂] \{ах,а₂}
Это условие равносильно ео,₃(жо,О) = 0, х₀ G (—а,Ь). Аналогично исследован (см. 1), и выполнены оценки (9)-(12).

14. Dₙ₂e(x₀, уо) = 0, (х₀, у₀) G [а₂, а₃] \ {а₂, а₃}

Это условие равносильно sin^e₁;O(^o, Уо) ~ cos/?е₀,1(ж₀, Уо) = 0.

От
               1 Г .       . х!        /    .     \ .
куда получаем h + жое2,о + ^е₃;₀ + yo(ei,i + z₀e₂,i) + ^ei,₂

a e₀,i + хоеи + -f е₂д + Уо(ео,2 + x₀eiy₂) + ^е₀,з

В₉, где В₉ =

_дад(жо,^°) + ₀<9ДОо,Ы|^$|        учитывая (4)-(8) и полагая
х₀ = уа, уо =   {—у + ^ = 1), имеем