Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам. Часть 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Технологический институт

Федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

Сборник заданий к типовым расчетам 

и контрольным работам по математическим 

дисциплинам

Часть I

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2009

1

УДК 51(075.8)
 ББК 22.1я73
         С 23

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, 

зав. кафедрой математического анализа ТГПИ  Илюхин А. А.;

доктор физико-математических наук, профессор, 
зав. кафедрой  физики ТТИ ЮФУ  Куповых Г. В.

Авторский коллектив:

Афонин  А. А., Бокарева Т. А., Бородицкий  М. П., Гадельшин В. К., Зуев В. Н., 

Каибханов К. Э., Камышникова Т. В., Клово А. Г., Кодачигова Л. К., Мархель Э. Г., 

Нестерова Г. Г., Никитина А. В., Ольховой А. Ф., Орехов Б. И., Сапунцов Н. Е., 

Саркисов Г. С., Семенистый В. В., Сидоренко Б. В., Суховерхова Н. И., 

Фирсов И. П., Фомин Ю. Т., Цирулик В. Г.

Главный редактор     доктор физико-математических наук, профессор Сухинов А. И.
Заместители гл. редактора: 
кандидат физико-математических наук, профессор   Бородицкий М. П.,
кандидат физико-математических наук, доцент  Каибханов К. Э.

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках 

национального проекта «Образование» 

по «Программе развития федерального государственного образовательного 

учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»

С 23

Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным 

работам по математическим дисциплинам. Ч. I: учеб. пособие / 
А. А. Афонин [и др.]. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. –  541 с.: 
ил. 120.

ISBN 978-5-9275-0665-1
ISBN 978-5-9275-0666-8
Сборник содержит задачи стандартного курса высшей математики для 

студентов технических и экономических специальностей. В 12 разделах 
пособия содержится около 6 000 задач. В начале каждой главы приводится 
сводка теоретических положений, определений и формул, а также дается 
подробное решение типичных задач, входящих в варианты.

Пособие рекомендуется для студентов и преподавателей технических 

и экономических вузов, может быть использовано как для очной, а так и 
для заочной и дистанционной форм обучения.

Сборник заданий подготовлен в рамках межвузовской комплексной 

программы «Наукоемкие технологии образования».

ISBN 978-5-9275-0665-1
УДК 51(075.8)

ISBN 978-5-9275-0666-8
ББК 22.1я73

© ТТИ  ЮФУ, 2009
© Южный федеральный
     университет, 2009

2

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………….
I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ……………………..

1. Комплексные числа……………………………………………….
2. Многочлены…………………………………………………………
Задания…………………………………………………………………

II. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ…………………………………………….

1. Предел числовой последовательности…………………………..
2. Элементарные функции…………………………………………….
3. Предел функции……………………………………………………
4. Непрерывность функции………………………………………….
5. Бесконечно малые величины и их сравнение……………………
Задания…………………………………………………………………

III. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ…………………………………….

1. Матрицы.  Действия над матрицами……………………………..
2. Определители………………………………………………………
3. Обратная матрица…………………………………………………
4. Ранг матрицы…………………………………………………….…
5. Системы линейных алгебраических уравнений…………………
Задания…………………………………………………………………

IV. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ….

1. Векторная алгебра…………………………………………………
2. Прямая на плоскости………………………………………….……
3. Полярная система координат………………………………………
4. Плоскость и прямая в пространстве……………………………….
5. Кривые второго порядка на плоскости ……………………….…
Задания…………………………………………………………………

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО
ПЕРЕМЕННОГО…………………………………………………………

1. Производная. Правила дифференцирования…………………..…
2. Таблица производных………………………………………………
3. Правила дифференцирования…………………………….……….
4. Производные высших порядков…………………………………..
5. Дифференцирование функций, заданных неявно или

параметрически……………………………………………………

6. Уравнения касательной и нормали……………………………….
7. Дифференциал первого порядка………………………………….
8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора…………

7
9
9
17
22
31
31
32
33
39
43
45

64
64
67
73
74
76
83
110
110
117
118
119
125
128

136
136
137
137
140

141
143
144
145

3

9.  Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя………….
Задания……………………………………………………………………

VI. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 
ФУНКЦИИ…………………………………………………………….…

1.Возрастание и убывание функции. Точки экстремума……………
2. Выпуклость и вогнутость……………………………………….…
3. Асимптоты…………………………………………………………
4. Построение графика функции……………………………………
5. Элементарные преобразования графиков………………………..
Задания…………………………………………………………………

VII. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО 
ПЕРЕМЕННОГО…………………………………………………………

1. Неопределённый интеграл………………………………………..
2. Таблица основных неопределённых интегралов………………...
3. Основные свойства неопределённого интеграла………………
4. Интегрирование методом замены переменного…………………
5. Интегрирование по частям………………………………………..
6. Интегрирование рациональных функций………………………..
7. Интегрирование тригонометрических функций………………..
8. Интегрирование некоторых иррациональных функций…………..
9. Определённый интеграл……………………………………………
10. Несобственные интегралы………………………………………..
11. Вычисление площадей плоских фигур………………………….
12. Вычисление длины дуги………………………………………….
13. Вычисление объёмов тел…………………………………………
14. Приближённое вычисление определённых интегралов…………
Задания…………………………………………………………………

VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ 
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………………………………………

1. Арифметическое пространство. Функции многих 

переменных…………………………………………………………

2. Предел и непрерывность функции………………………………..
3. Частные производные……………………………………………..
4. Дифференциал функции многих переменных……………………
5. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.…
6. Дифференцирование сложной функции…………………………
7. Дифференцирование неявно заданной функции…………………
8.Экстремум функции многих переменных………………………
9. Условный экстремум……………………………………………….

146
149

171
171
173
173
174
180
185

197
197
197
198
198
201
203
207
209
210
214
220
223
224
225
229

269

269 
270
271
274
276
277
278
281
284

4

10. Наибольшее и наименьшее значения функции многих 
переменных в замкнутой области…………………………………
Задания…………………………………………………………………

IХ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ……………………………………………

1. Двойной интеграл………………………………………………….
2. Замена переменных в двойном интеграле……………………….
3. Приложения двойного интеграла…………………………………….
4. Тройной интеграл……………………………………………………..
5. Замена переменных в тройном интеграле……………………………
Задания…………………………………………………………………….

X. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ…………………………………...

1. Арифметическое пространство……………………………………….
2. Линейное пространство………………………………………………
3. Евклидово пространство……………………………………………….
4. Линейные операторы…………………………………………………..
5. Собственные векторы и собственные значения…………………….
6. Квадратичные формы…………………………………………………
Задания……………………………………………………………………

ХI. РЯДЫ………………………………………………………………….

1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда……………………….
2. Признаки сходимости числовых рядов……………………………....
3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница……….….
4. Функциональные ряды………………………………………………....
5. Степенные ряды……………………………………………………….
6. Ряды Тейлора………………………………………………………….
7. Ряды Фурье……………………………………………………………
Задания…………………………………………………………………..

ХII. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ…….

1. Определение дифференциального уравнения. Задача Коши…….….
2. Уравнение с разделяющимися переменными………………………..
3. Однородные дифференциальные уравнения………………………..
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка………..
5. Уравнение Бернулли…………………………………………………
6. Уравнение в полных дифференциалах………………………………
7. Дифференциальные уравнения, допускающие

понижение порядка…………………………………………………….

8. Линейное  однородное уравнение n-го порядка с постоянными

коэффициентами………………………………………………………

9. Линейные  неоднородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами………………………………………..

289
291
312
312
316
319
326
327
332
356
356
358
363
365
373
381
391
418
418
420
428
429
430
433
440
447
469
469
469
471
474
477
478

479

481

483

5

10. Метод вариации постоянных………………………………………..
11. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям…………… 
12. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы……….
13. Линейные  однородные  системы с постоянными

коэффициентами………………………………………………………

14. Линейные  неоднородные  системы дифференциальных

уравнений……………………………………………………………..

15. Задания………………………………………………………………

Библиографический список……………………………………….

490
491
493

495

502
509
541

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

"Сборник заданий" является итогом четырехлетней работы 

авторского 
коллектива 
кафедры 
высшей 
математики. 
Он 

аккумулирует, в известной мере, многолетний опыт работы кафедры 
высшей математики ТТИ ЮФУ (бывшего ТРТУ).

Пособие состоит из двух частей. Часть I содержит около 6 000 

задач по 12 разделам, традиционно входящим в программу 
подготовки 
по 
математике 
студентов 
I 
курса 
технических 

специальностей. 

Мы надеемся, что наш "Сборник" будет полезен также 

студентам экономических специальностей, а некоторые разделы 
будут использоваться и для обучения "чистых гуманитариев".

Структура книги такова. В начале каждого раздела содержатся 

краткие теоретические сведения, которые, естественно, не могут 
заменить строгое и последовательное изложение теории в стабильных 
учебниках и конспектах лекций. Назначение этой информации –
напомнить теоретический минимум, который непосредственно связан 
с решением задач. Для систематического изучения теории мы 
рекомендуем «Конспект лекций по курсу "Математика". Часть I», 
разработанный 
 
авторским 
коллективом 
под 
руководством 

профессора кафедры И.П. Фирсова. Затем приводятся подробно 
рассмотренные примеры решения, как правило, почти всех типовых 
задач данного раздела. Завершают каждый раздел варианты задач –
по 30 в каждом задании.

Таким образом, в пределах  учебной группы есть возможность 

обеспечить 
каждого 
студента 
индивидуальным 
заданием. 
В 

результате 
обучаемый 
получает 
возможность 
самостоятельно 

приобрести навыки решения типовых задач.

Другое назначение этого пособия – обеспечить преподавателей, 

проводящих практические занятия, достаточным набором вариантов к 
контрольным работам и, собственно, типовым расчетам.

Наконец, но не в последнюю очередь, материалы настоящего 

пособия могут быть использованы для многоуровневого контроля и 
оценки качества подготовки студентов по математике. Опубликовав 
достаточно обширный банк аттестованных заданий, мы обозначаем 
ориентиры для наших студентов. Мы как бы говорим им: "Вот все, 
что требуется для практического овладения вузовским курсом 
математики для будущих инженеров. Если вы в состоянии решить 
подавляющее 
большинство 
наших 
заданий, 
значит, 
ваши 

7

практические знания по математике соответствуют стандартам, 
принятым в нашем университете".

Естественно, в пособии такого объема возможны ошибки и 

неточности. Мы заранее благодарны всем, кто сообщит о них по 
адресу: 347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, корпус "Д", кафедра 
высшей математики или по адресу электронной почты sai@rec.tsure.ru.
Эта книга не смогла бы появиться в печатном виде, если бы не 
напряженная работа инженеров кафедры высшей математики: 
Т.А. Десятовой, С.П. Суриной, которым благодарны главный 
редактор и авторский коллектив.

8

I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ

1. Комплексные числa

Комплексными числами называются упорядоченные пары ( , )
x y

действительных чисел x  и y , для которых введены понятия равенства 
и операции сложения и умножения:

1
1
2
2
(
,
)
(
,
)
x y
x
y

 если 
1
2
1
2
,
x
x
y
y


,
(1)

1
1
2
2
1
2
1
2
(
,
)
(
,
)
(
,
),
x y
x
y
x
x
y
y




(2)

1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
(
,
) (
,
)
(
,
)
x y
x
y
x x
y y
x y
x y




.
(3)

Из формул (2) и (3) вытекают, в частности, соотношения

1
2
1
2
(
,0)
(
,0)
(
,0);
x
x
x
x



1
2
1
2
(
,0) (
,0)
(
,0)
x
x
x x


,

которые показывают, что операции над комплексными числами вида 
( ,0)
x
 совпадают с операциями над действительными числами x. 

Поэтому
комплексные
числа
вида
( ,0)
x
отождествляются
с 

действительными числами ( ,0)
x
x

. Особую роль играет число 

(0,1)
i 
, которое называется мнимой единицей.

Из формул (2), (3) вытекают также равенства:

2
(0,1) (0,1)
( 1,0)
1
i
i i
  

 
  ,

(0, )
(0,1) ( ,0)
y
y
yi



,

( , )
( ,0)
(0, )
x y
x
y
x
iy




.

Итак, каждое комплексное число ( , )
x y  можно представить в виде 

x
iy

. Такая запись комплексного числа называется алгебраической 

формой комплексного числа. Число x называется действительной 
частью, а y – мнимой частью комплексного числа z
x
iy


. Для  них 

приняты следующие обозначения:

Re ,
Im
x
z
y
z


.

Комплексное 
число 
z
x
iy


 
называется 
сопряженным 
с 

комплексным числом z
x
iy


.

Число 
2
2
z
x
y


 называется модулем комплексного числа 

z
x
iy


. Очевидно, 
0
z  , причем, 
0
z  , тогда и только тогда, когда 

0
z 
. Модуль действительного числа совпадает с абсолютной 

величиной этого числа.
Отметим две формулы: 
z
z

, 

2
z z
z


, которые вытекают из 

определений 
,
z
z  и равенства

2
2
(
)(
)
z z
x
iy x
iy
x
y






.

9

Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, 

обратными соответственно сложению и умножению.

Если
1
1
1
z
x
iy


, 
2
2
2
z
x
iy


,

то
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
(
)
(
);
z
z
x
iy
x
iy
x
x
i y
y










1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2

2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

(
)(
)

(
)(
)

z
x
iy
x
iy
x
iy
x x
y y
x y
x y
i
z
x
iy
x
iy
x
iy
x
y
x
y















.

Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел 

определяет точку 
( , )
M x y  на плоскости или вектор OM  (рис. 1).

x

y
M(x,y)

r

x

y

0



Рис. 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, 

называется комплексной плоскостью. Положение точки z
x
iy


 на 

комплексной 
плоскости 
однозначно 
определяется 
не 
только 

декартовыми координатами ,x y, но и полярными координатами ,r  , 
где r
z

– длина вектора OM , а  – угол между действительной 

осью 
и 
вектором 
OM , 
отсчитываемый 
от 
положительного 

направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется 
против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, 
а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется 
аргументом комплексного числа 
(
0)
z z 
 и обозначается так: 

rg
A
z
 
. Для числа 
0
z 
 аргумент не определяется, поэтому во всех 

дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, 
предполагается, что 
0
z 
.

Угол   определяется с точностью до 2 k
 , где k – целое число. 

Значение аргумента, заключенное между 

  и  , называется его 

главным 
значением 
и 
обозначается 
arg z . 
Таким 
образом, 

rg
arg
2
A
z
z
k



.

При этом

10