Математические основы современной теории гравитации

Министерство образования и науки Российской Федерации 

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования 

«Московский педагогический государственный университет» 

О. В. Бабурова, Б. Н. Фролов 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 

СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 

Монография 

 

 

 

 
МПГУ 

 
 

 

Москва 

2012 

УДК 530.12:531.51 

ББК 22.313.3 

Б129 

 

 

 

 

 

Б129  Бабурова О. В., Фролов Б. Н. Математические основы 

современной теории гравитации: Монография. – М.: МПГУ, 2012. – 128 с. 

 

 

 

 

В монографии изложены математические основы нового подхода в современной 

теории гравитационного поля, основанного на систематическом использовании 

геометрически обобщенных постримановых пространств, а также на необходимом 

существовании в природе скалярного поля Дезера−Дирака, имеющего такой же 

фундаментальный статус, как и метрика. 

ISBN 978-5-7042-2362-7 

© МПГУ, 2012 

© Издательство «Прометей», 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………5

1. ВАРИАЦИОННЫЙ ТЕТРАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ПОСТРИМАНОВЫХ

ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ……………………...13

1.1. Вариационный тетрадный формализм в общем 

аффинно-метрическом пространстве………………………………………….......13

1.2. Вариационный тетрадный формализм и уравнения

гравитационного поля в пространстве Картана−Вейля………….........................19

1.3. Конформные преобразования в постримановых пространствах………………..24

1.4. Конформная теория гравитации в пространстве Картана−Вейля........................29

1.5. Анализ вариационных уравнений поля конформной теории 

гравитации  в пространстве Картана−Вейля……………………………………..35

1.6. Решение уравнений поля для сверхранней Вселенной………….........................38

2. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ…….………………...42

2.1. Один-формы и тензоры…………………………………………………………….42

2.2. Антисимметричные тензоры…………………………………………………........43

2.3. Внешние формы……………………………………………………………….........44

2.4. Свёртка (внутренее произведение)………………………………………………..46

2.5. Ориентируемость и определители………………………………………………...49

2.6. Форма объема……………………………………………………………………….50

2.7. Поливекторы и дуальные величины………………………………........................52

2.8. Внешний дифференциал…………………………………………………………..55

2.9. Поля вспомогательных форм……………………………………………………...59

2.10. Дуализации без понятия поливектора………………………………………….60

2.11. Тензорнозначные формы. Обобщённый внешний дифференциал……………62

2.12. Первое структурное уравнение Картана………………………………………..63

2.13. Второе структурное уравнение Картана………………………………………..67

2.14. Тождества Бианки для кручения и неметричности……..……………………...69

2.15. Тождество Бианки для кривизны………………………………………………..70

2.16. Дифференциальные свойства полей вспомогательных форм…………………71

2.17. Лемма о коммутации операций варьирования и дуализации………………….72

3. ВАРИАЦИОННЫЙ ФОРМАЛИЗМ НА ЯЗЫКЕ 

ВНЕШНИХ ФОРМ…………………………………………………………………78

3.1. Формализм внешних форм как современный тетрадный 

метод описания геометрических структур………………………............................78

3.2. Развитие вариационной техники в формализме внешних форм

в конформной модели гравитации со скалярным полем…………………………..81

3.3. Вариационные уравнения гравитационного поля в конформной теории

гравитации со скалярным полем Дезера–Дирака

в пространстве Картана–Вейля …………………......................................................88

3.4. Дифференциальные тождества в конформной теории гравитации

со скалярным полем в формализме внешних форм…………………...…………..94

4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ МОДЕЛИ ПОСТРИМАНОВОЙ

СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ…………….……............................99

4.1. Плоские волны кручения в пространстве Римана–Картана….…………………..99

4.2. Эволюция Вселенной со спин-дилатационной темной материей………………103

4.2.1. Анализ -уравнения гравитационного поля………………..........................103

4.2.2.  -уравнение поля в однородной и изотропной космологии.…..………......107

4.2.3. Обобщенное уравнение Фридмана–Леметра. Общие свойства 

эволюции Вселенной с дилатационной материей..........................................109

4.2.4. Решения обобщенного уравнения Фридмана−Леметра 

на различных стадиях эволюции Вселенной……………...............................112

4.3. Сферически симметричное решение в пространстве 

Картана–Вейля со скалярным полем……………………………..……………….115

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………….………..................................117

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………..……………………118

Введение

Начиная с работ А. Эйнштейна в теоретической физике возникло направление 

исследований и сформулирована геометрическая парадигма, согласно которой решение 
проблем гравитации и космологии проводилось на пути усложнения геометрической 
структуры пространства-времени [1]−[10].

А. Эйнштейн сформулировал представление о том, что четырехмерное пространство
время является искривленным пространством Римана. При этом геометрическая структура 
пространства-времени должна быть совместна со свойствами материи, заполняющей 
пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность
пространственно-временного многообразия и, в свою очередь, зависит от геометрических 
свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна были созданы 
различные астрофизические и космологические модели, которые достаточно успешно 
описывали основные структуры наблюдаемой части Вселенной.

На рубеже XX и XXI вв. появились новые наблюдательные данные в космологии 

[11]−[16], в результате которых можно говорить о происходящей научной революции в 
существующих представлениях о свойствах наблюдаемой части Вселенной. Было 
подтверждено существование темной материи, плотность которой на порядок превышает 
плотность барионной светящейся материи звезд и галактик. Была высказана идея, что 
динамику Вселенной определяет темная материя во взаимодействии с превосходящей ее в 
три раза по плотности положительной энергией вакуума (темной энергией). Также было 
открыто ускоренное расширение Вселенной на современном этапе эволюции. Был сделан 
вывод о том, что примерно 4–5 миллиардов лет в прошлом наступил конец фридмановской 
стадии в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и 
началась постфридмановская стадия «второй инфляции», в которой происходит расширение 
с ускорением и не исключен переход к экспоненциальному расширению.

Для решения новых проблем в космологии в рамках геметрической парадигмы 

привлекается идея обобщения теории гравитации на пространства с более сложной 
геометрической структурой. Математики Г. Вейль, Э. Картан и И. Схоутен показали, что 
пространства могут характеризоваться не только кривизной, но также кручением и 
неметричностью. В современной космологии используются пространства с более сложной 
структурой, чем пространства Римана. Это пространство Римана−Картана с кривизной и 
кручением, пространство Картана−Вейля с кручением и неметричностью вейлевского типа, а 
также общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностью 
общего вида (см. рис. 1). Данное направление в космологии получило название «нериманова 
космология» [17]. Авторами было предложено называть это направление «постриманова 
космология».

Природа темной материи до сих пор не ясна и в настоящее время существует большой 

разброс мнений по данному вопросу. В рамках геометрической парадигмы в [18]−[22] была 
высказана гипотеза о том, что темная материя наделена новым типом гравитационного 
заряда, названным «дилатационным зарядом» и связанным с симметрией относительно
растяжений и сжатий (дилатаций) пространства-времени. В качестве модели темной материи 
может быть рассмотрена модель идеальной спин-дилатационной жидкости [23], [24], что 
привело к построению несингулярной модели эволюции Вселенной, описывающей 
указанные 
выше 
особенности 
этой 
эволюции. 
Отметим, 
что 
другая 
трактовка 

дилатационного взаимодействия в применении к космологии была развита в работе [25], в 
которой также были найдены некоторые несингулярные космологические решения. Во всех 
указанных работах геометрическим фоном, на котором развертывается эволюция материи, 
является пространство Картана−Вейля (или эквивалентно пространство Вейля−Картана).

Рис. 1

В скобках «+» или «−» обозначают наличие или отсутствие тензоров 

неметричности Q , кривизны R , кручения T . Q − вектор Вейля (неметричность 

вейлевского типа)

В современных космологических моделях исследуются различные возможности 

выбора геометрических свойств пространства-времени в качестве арены существования 
материи (рис. 1). Это пространство Римана с кривизной, но без кручения и неметричности в 
качестве геометрической арены ОТО; пространство Римана−Картана с кривизной и 
кручением, 
но 
без 
неметричности
в 
качестве 
геометрической 
арены 
теории

Эйнштейна−Картана и ее обобщений на квадратичные лагранжианы; пространство 
Вайценбека абсолютного параллелизма с кручением, но без кривизны и неметричности; 
пространство КартанаВейля с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского типа; 
общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностью 
общего типа.

В работах [26]−[29] было показано, что геометрический тип пространства-времени не 

определяется полностью заполняющей его материей и поэтому должны быть априорно 
определен из соображений, дополнительных по отношению к принятой в ОТО идеологии 
порождения материей геометрических свойств пространства-времени, что означает 
неполноту идеологии ОТО.

В указанных работах высказана точка зрения, что дополнением к существующему 

геометрическому подходу должен быть калибровочный подход к теории гравитации. 
Калибровочный подход к описанию физических взаимодействий лежит в основе 
современной теоретической физики [30]−[32]. В работах [33]−[35], исходя из калибровочной 
теории группы Пуанкаре−Вейля, показано, что пространство Картана−Вейля является 
геометрическим фоном в современной теории гравитации.

Можно отметить возрастание интереса к калибровочной трактовке гравитационного 

взаимодействия в последнее время [36]−[40].
Калибровочная теория впервые была 

предложена Г.
Вейлем в 1918 г. [41]. Им было введено калибровочное поле, 

соответствующее группе изменений масштабов длины, независимых в каждой точке 
пространства-времени, что математически эквивалентно дилатациям (растяжениям и 
сжатиям) пространства-времени. Объединение группы дилатаций и группы Пуанкаре 
означает расширение группы Пуанкаре до группы Пуанкаре−Вейля. 

Как известно, физика высоких энергий обнаруживает свойство скейлинга, что 

эквивалентно требованию локальной масштабной инвариантности теории. Построение 
калибровочной теории для группы Пуанкаре−Вейля было осуществлено в работах [33]−[35] 
на основе метода введения калибровочных полей для групп, связанных с преобразованиями 
пространственно-временных координат, развитом в [42], [43], [38], [39] и основанном на 
первой и второй теоремах Нетер.

Калибровочный подход к теории гравитационного поля стимулирует применение 

тетрадного формализма в теории гравитации, который по сравнению с метрическим 
(координатным) формализмом оперирует с выражениями, инвариантными относительно 
произвольных преобразований координат пространства-времени, которые далеко не всегда 
имеют физический смысл. Вместе с тем следует отметить, что в калибровочном подходе 
тетрадные коэффициенты 

a
h  не являются калибровочными полями, а представляют собой 

некоторую функцию от истинных калибровочных полей.

Калибровочное 
поле, 
вводимое 
подгруппой 
дилатаций, 
носит 
название 

дилатационного поля. Вектор Вейля
служит вектор-потенциалом
этого поля, а его 

напряженность – это тензор сегментарной кривизны, который возникает при геометрической 
интерпретации теории наряду с тензором кривизны и тензором кручения. При сохранении 
калибровочной инвариантности лагранжиан гравитационного поля, построенный в работах 
[33]−[35], допускает наличие ненулевой массы у вектора неметричности Вейля. Поэтому 
вводимое при локализации группы дилатации калибровочное поле не является 
электромагнитным полем (как это было в теории Вейля), а полем другого типа [44]−[46]. 
Дилатационное поле исследуется также в [47].

Важным обстоятельством является то, что в работах [33]−[35] в рамках общей 

калибровочной процедуры естественным геометричесим образом вводится скалярное поле 

( )
x

, введенное в известной работе Дирака [48], а еще ранее до этого в сравнительно мало 

известной работе Дезера [49]. Даное поле будем называть скалярным полем Дезера–Дирака. 
Авторами на основании предсказаний пуанкаре-вейль калибровочной теории гравитации 
высказывается гипотеза о необходимом существовании в природе скалярного поля 
Дезера−Дирака, имеющего такой же фундаментальный статус, как и метрика.

Скалярное поле Дезера–Дирака играет принципиально важную роль при построении в 

гл. 1 лагранжиана гравитационного поля, содержащего члены со структурой лагранжиана 
Хиггса, что в результате спонтанного нарушения дилатационной инвариантности приводит к 
возникновению масс покоя частиц [86].

Одним их основных математических методов построения теорий в современной 

теоретической физике является использование вариационного формализма. Построение 
постримановых
гравитационных теорий требует развития новых (по сравнению с 

пространством Римана) вариационных формализмов. Были подробно развиты вариационные 
формализмы в пространстве Римана−Картана [30], [38], [40] и в общем аффиннометрическом пространстве [50]−[52]. Авторами осуществлено развитие вариационной 
техники в пространстве Картана−Вейля в тетрадном формализме в работах [53]−[55] и в 
формализме внешних форм в работах [18]−[24], [137] .

В пространстве Картана−Вейля получение уравнений гравитационного поля может 

быть осуществлено двумя методами. Данные уравнения могут быть получены как частный 
случай уравнений гравитационного поля в общем аффинно-метрическом пространстве при 

наложении на неметричность условия Вейля. Другой метод состоит в получении этих 
уравнений при наложении условия Вейля до вариационной процедуры, например, с 
помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Существенно, что полученные 
обоими способами уравнения гравитационного поля в общем случае не совпадают друг с 
другом. Точка зрения авторов [18], [33]−[35] состоит в том, что (как следствие указанного 
выше калибровочного подхода) пространство Картана−Вейля имеет первоначальный 
фундаментальный статус вне зависимости от аффинно-метрической теории гравитации. 
Поэтому здесь будет развит второй метод получения уравнений гравитационного поля в 
пространстве Картана−Вейля.

В гл. 1 вариационный тетрадный формализм, развитый в работах [54], [55], будет 

обобщен на наличие скалярного поля Дезера–Дирака с целью получения вариационных 
уравнений поля в теории гравитации с квадратичными лагранжианами в формализме первого 
порядка, в котором метрика и связность рассматриваются как независимые вариационные 
переменные (обобщенный формализм Палатини, см. [56]−[62]). 

Использование в формализме первого порядка кроме линейного по кривизне также и 

лагранжианов квадратичных по кривизне, кручению и неметричности, получили значительное развитие. При этом в пуанкаре-калибровочной теории гравитации (ПКТГ) используются 
квадратичные по кривизне и кручению лагранжианы в пространстве Римана−Картана [42], 
[43], [63]−[76] (см. также [38], [52] и цитируемую там литературу), что стимулируется 
требованиями построения перенормируемой теории гравитационного поля [66]. В работе 
[77] можно найти применение вариационного формализма с квадратичными лагранжианами 
в пространстве Картана−Вейля для доказательства обобщенной теоремы Гаусса−Бонне в 
пространстве Картана−Вейля. Данный результат важен тем, что теорема Гаусса−Бонне
справедлива в пространстве Римана (тождество Баха−Ланцоша [70]) и в пространстве Римана
−Картана [78], но, как это показано в [79], не выполняется в общем аффинно-метрическом 
пространстве.

Следует отметить, что вариационный формализм первого порядка для квадратичных 

лагранжианов принципиально отличается от вариационного формализма второго порядка 
для лагранжианов этого типа в пространстве Римана (см. работы Вейля [41], Эддингтона 
[68], [69], Ланцоша [70], [71] и других авторов [72]−[76]). Вариационная процедура второго 
порядка приводит в этих теориях к уравнениям поля, содержащим производные от метрики 
выше второго порядка. Разные авторы развивали подобные теории для решения проблемы 
инфляции, построения перенормируемой теории гравитации, для устранения сингулярностей 
за счет учета квантовых флуктуаций. Но возникновение в теориях данного типа третьих 
производных от потенциалов нарушает математическую структуру теории поля.

Важным аспектом современной теории гравитационного поля является изучение кон
формных свойств римановых и постримановых пространств. Если конформное преобразование в пространстве Римана достаточно хорошо изучено [80], то в пространстве РиманаКартана, ВейляКартана и общем аффинно-метрическом пространстве существует предлагаемый различными авторами [80]−[93] широкий спектр возможностей для осуществления 
конформных преобразований, что подробно разобрано в гл. 1. Отметим, что для анализа 
конформных свойств пространства РиманаКартана определяющую роль играет найденный 
в [94] тензор конформной симметрии Вейля, обобщенный на пространства с кручением.

Построение конформной теории физических полей на квантовом уровне является в 

настоящее время одной из наиболее актуальных задач фундаментальной физики. 
Конформная симметрия и, в частности, масштабная вейлевская симметрия играет важную 
роль в квантовой теории поля. Нарушение этой симметрии на квантовом уровне связано с 
определением структуры контрчленов и с проблемой асимптотической свободы в квантовой 
теории поля, а также с вычислением критических размерностей 
= 26
n
и 
=10
n
в теории 

струн, с гравитационными инстантонами, с явлением Хокинга испарения черных дыр, с 
проблемами инфляции, космологической постоянной, рождения частиц и черных дыр в 

ранней Вселенной [95]. Физика высоких энергий обнаруживает свойство скейлинга
(масштабной инвариантности), что проявляется также на ранней стадии эволюции 
Вселенной. Так, гипотеза о масштабной инвариантности лежит в основе расчета начальной 
части спектра первичных флуктуаций плотности материи в ранней Вселенной (плато 
Харрисона–Зельдовича), подтвержденного экспериментом COBE по изучению анизотропии 
яркости реликтового излучения (Нобелевская премия по физике, 2006 г.). 

Важной составляющей указанной задачи является создание адекватной конформной 

классической теории поля, в частности, конформной теории гравитационого поля. Одним из 
путей решения этой проблемы может быть построенная в работах [33]−[35] калибровочная 
теория группы Пуанкаре−Вейля в которой возникает конформно-инвариантный лагранжиан 
гравитационного поля. При геометрической интерпретации этой теории возникает 
искривленное пространство с касательным пространством, в котором метрический тензор 
имеет вид 

2
=
( )
gauge
M

ab
ab
g
x g

, где 

M
ab
g
метрический тензор пространства Минковского. Тем 

самым данное касательное пространство не является уже пространством Минковского. 
Данный вид метрического тензора используется в теории струн Стромингером, в его 
известной теории гетродической струны [96].

В гл. 1 проводится построение конформной теорией гравитации в пространстве 

Картана−Вейля [97]–[99] с дополнительной геометрической структурой в виде скалярного
поля Дезера–Дирака  , которое в данном подходе возникает в теории естественно как 
необходимый геометрический элемент теории. В работах [100] рассматривается скалярное 
поле в аффинно-метрической теории гравитации, но там введение этого поля не является 
необходимым. 

В 
гравитационной 
физике 
значительное 
внимание 
уделяется 
изучению 

взаимодействия скалярного и гравитационных полей. Из российских работ отметим 
монографии [101], [102], в которой изучалось влияние скалярных полей в космологии, и 
[103], в которой изучалась устойчивость самогравитирующих конфигураций скалярного и 
гравитационного полей, также работы [25], [105]. Данный аспект гравитационной физики 
также освещен в известных обзорах [52] и [92], где можно найти много цитируемой 
литературы.

Конформная теория гравитации со скалярным полем в пространстве Римана 

достаточно успешно используется для объяснения ряда недавно открытых явлений в области 
наблюдательной космологии [106]−[110]. Развиваемая в гл. 1 конформная теория со 
скалярным полем в пространстве Картана−Вейля содержит существенно иные вариационные 
уравнения поля, так как содержит еще две геометрические величины − тензор кручения и 
вектор Вейля, и поэтому оказывается шире указанной выше теории и тем самым может 
описывать большее число фактов.

Конформная теория гравитации в пространстве Картана−Вейля, построенная в гл. 1, и 

развитый в этой главе вариационный тетрадный формализм в пространстве Картана−Вейля 
со скалярным полем применены в заключительной части этой главы к решению одной из 
важных проблем современной фундаментальной физики. Имеется в виду проблема 
космологической постояной [111], [170]–[172], заключающаяся в различии (на 120 порядков) 
между огромным значением величины космологической постоянной  в период инфляции, 
оцениваемым на основании теоретических вычислений величин квантовых флуктуаций в эту 
эпоху, и крайне малым значением величины космологической постоянной в современную 
эпоху, определяемым на основании данных наблюдательной космологии. 

Попытки решить эту проблему были осуществлены в теориях гравитации в 

пространстве Римана−Картана [112] и в пространстве Картана–Вейля [113]. В этих работах  в 
уравнениях гравитационного поля возникают (квадратично зависящие от следа кручения) 
члены, которые интерпретируются как слагаемые с эффективным космологическим членом. 
Но при этом найденное уменьшение со временем величины следа кручения слишком мало, 
чтобы решить проблему космологической постоянной.

В инвариантном относительно калибровочной группы Пуанкаре−Вейля лагранжиане 

гравитационного поля, построенном в гл.
1,
эффективный космологический член

определяется скалярным полем. После работ Э. Б. Глинера [114] космологичесий член 
принято интерпретировать как плотность энергии физического вакуума, в настоящее время 
называемой «темной» энергией. 

В гл. 1 для сверхранней стадии эволюции Вселенной найдено решение уравнений 

гравитационного поля c резким уменьшением величины скалярного поля в эту эпоху как 
следствие проявления динамики гравитационного и скалярного полей на сверхраннем этапе 
развития 
Вселенной, 
что 
обеспечивает 
уменьшение 
величины 
эффективного 

космологического члена и тем самым плотности темной энергии [97]–[99], [115]–[119]. Это 
позволяет существенно продвинуться в решении проблемы космологической постоянной, 
которую академик В. А. Рубаков называет «одной из главных, если не самой главной, 
проблемой теоретической физики» [120].

Полученные уравнения поля для сверхранней Вселенной имеют некоторую аналогию 

с теорией Бранса−Дикке, в которой наряду с метрическим тензором также введено дополнительное скалярное поле. По поводу этой аналоги следует сделать следующие замечания. 

Во-первых, эта аналогия справедлива только для уравнений поля в сверхранней Все
ленной, и в этом случае развитую нами теорию можно рассматривать как теорию Бранса−Дикке, дополненную эффективным космологическим членом, который в теории Бранса−Дикке отсутствует и только недавно введен в работе [173]. В остальных случаях следует 
учитывать нетривиальные кручение и неметричность вейлевского типа.

Во-вторых, исходные положения и статус скалярного поля в рассматриваемых теори
ях существенно различны. В теории Бранса−Дикке скалярное поле вводится с целью описать 
возможное изменение гравитационной постоянной. В развитой нами теории геометризованное скалярное поле Дезера−Дирака (имеющее в пространстве Картана−Вейля фундаментальный статус наряду с метрическим тензором) представляет собой вместе с метрикой материально-геометрическое содержимое (первосущность) сверхранней Вселенной, которое порождает затем (после спонтанного нарушения дилатационной инвариантности) все будущее материальное разнообразие Вселенной. 

Гл. 2 посвящена изложению формализма внешних форм Картана, который с 

математической точки зрения представляет собой современный вариант тетрадного 
формализма, приспособленный для создания инвариантного дифференциального и 
интегрального исчисления на дифференцируемых многообразиях, которое полностью 
заменило собой классический векторный и тензорный анализ и оказалось особенно 
эффективным при описании топологических свойств многообразий. В данной главе на 
основании монографий [5], [121]−[126] и работ [127]−[129], [137], [18], [52] изложены 
математические сведения, необходимые для осуществленного в гл.
3 построения 

вариционного формализма во внешних формах. Существенной для такого построения 
является лемма о правиле коммутации операций варьирования и дуального сопряжения 
Ходжа, сформулированная и доказанная авторами в работе [137]. 

В гл. 3 лагранжева плотность конформной теории гравитации со скалярным полем, 

приведенная в гл. 1, записывается в формализме внешних форм и на основе указанной выше 
леммы проводится вычисление вариационных производных для независимых переменных 
теории, в качестве которых выбраны 1-формы связности, базисные 1-формы кокасательного 
пространства, компоненты метрического тензора касательного пространства, скалярное поле 
Дезера–Дирака и 3-форма неопределенных множителей Лагранжа. 

Затем осуществлен вывод трех дифференциальных тождеств, представляющих собой 

следствия 
инвариантности 
лагранжиана 
теории 
относительно 
диффеоморфизмов 

пространства-времени, 
линейных 
преобразований 
касательного 
пространства 
и 

преобразований конформной симметрии. Инвариантность относительно первых двух 
преобразований поддерживается лагранжианом в силу своего построения, в то время как