Теоретическая механика. Часть 3. Динамика

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.И. РОДИОНОВ, В.Ф. КИМ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ

МЕХАНИКА

ЧАСТЬ 3. ДИНАМИКА

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве конспекта лекций

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 531.01(075.8)

Р 605

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. В.П. Гилета,
канд. техн. наук, доц. А.А. Рыков

Работа подготовлена на кафедре теоретической механики

и сопротивления материалов для студентов дневного

и заочного отделений авиа- и машиностроительных направлений

Родионов А.И.

Р 605
Теоретическая механика : конспект лекций с приложениями. 

Ч. 3. Динамика / А.И. Родионов, В.Ф. Ким. – Новосибирск :
Изд-во НГТУ, 2010. – 240 с.

ISBN 978-5-7782-1483-5

Конспект лекций составлен в соответствии с Государственным обра
зовательным стандартом высшего профессионального образования по 
курсу «Теоретическая механика» для направлений: «Прикладная механика», «Авиа- и ракетостроение», «Оружие и системы вооружений», 
«Безопасность технологических процессов и производств». Конспект насыщен достаточным числом примеров и приложениями, необходимыми 
для самостоятельной работы студента над материалом курса. В конспекте также приведены примеры оформления курсовых задач, календарного 
плана, рейтинговая таблица и плакаты по разделу «Динамика», прошедшие апробацию временем начиная с конца 60-х годов ХХ века.

Материал конспекта может быть также использован как базисный 

курс Теоретической механики для подготовки инженеров, специалистов и магистров других направлений на дневных и вечерних отделениях факультетов НГТУ.

УДК 531.01(075.8)

ISBN 978-5-7782-1483-5
© Родионов А.И., Ким В.Ф., 2010 
© Новосибирский государственный 

технический университет, 2010 

Лекция 1

ВВЕДЕНИЕ В КУРС ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ

ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Согласно разделу “Введение в курс. Ч.1”

Динамика – это раздел курса теоретической механики, в котором 

механические движения изучаются с учетом механического взаимодействия объектов Природы и техники. Она базируется на физических основах механики, а ее инструментом является математика и 
логика.

В динамике строятся математические модели объектов, участвую
щих в механических движениях; математические модели самих механических движений, явлений, процессов и механических взаимодействий.

1.1. МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА

По Фридриху Энгельсу предметом естествознания, а значит, физи
ки и механики, является Материя, ее Движение. Вне Движения она не 
познаваема. Познание различных форм движений и есть познание 
материальных тел. Действительно, согласно физическим основам 
механики Движение любого объекта исторически делится на его внутренние и внешние движения. Внутренние движения определяют объект как таковой, а внешние определяют его состояние движения в 
пространстве. К внешним движениям объекта как целого относятся 
только его поступательное и вращательные движения и, в определенной степени, его деформация. 

Согласно физическим основам механики поступательному дви
жению любого объекта природы и техники вне зависимости от его 
размеров, физического и химического состояния ставится в соответствие модель, называемая материальной точкой. Ее положение 
в пространстве задается радиус-вектором, а механические свойства характеризуются скалярной мерой – физической величиной, называемой массой (m).

Физика иллюстрирует это схемой 

(рис. 1.1) и формулами

2
2
4
2
2
E
m c
p c ,

2

0
П
...
E
m c
T
Q
,

где E – энергия – единая феноменологическая скалярная мера всех физических движений, в которых участвует 
объект; Т – кинетическая энергия; П –

потенциальная энергия; Q – количество теплоты; p – импульс –
векторная кинетическая мера поступательного механического движения; с – скорость света.

Масса – это единая феноменологическая, кинетическая мера всех 

внутренних движений вещественного объекта, определяющих объект как таковой в их отношении к внешнему механическому поступательному движению.

1.2. В КАКОМ СМЫСЛЕ МАССА

ЕСТЬ МЕРА ИНЕРТНОСТИ?

Согласно физическим основам механики динамической мерой по
ступательного движения любого вещественного объекта является 
его количество движения (импульс). Импульс же является и его мерой инертности. 

Почему? Потому что разные объекты из вещества одинаково слож
но разогнать до одного и того же количества движения и одинаково 
сложно и остановить. Для этого этим объектам нужно передать одинаковый импульс силы. 

Известно, что при V<<C количество движения равно p
mV .

В этом классическом приближении массу можно считать мерой 
инертности объекта при его поступательном движении.

Действительно, если масса объекта увеличивается, то растет и его 

количество движения при постоянной скорости. При больших скоростях движения V
C количество движения переопределяется в физи
ке так:

внешнее

движения 
внутренние

Рис. 1.1

0

2
2
1
/

m V
p

V
c




.

Здесь

p – динамическая мера поступательного движения, а V

 – его кине
матическая мера.

1.3. АКСИОМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Базовой системой аксиом классической динамики являются 

четыре закона Ньютона (Newton, 1687г., Англия).

Они формулируются на базе физических основ механики.
Под Аксиомой, Принципом, Началом, Постулатом и даже ино
гда Законом в русском естествознании понимают разные аспекты, оттенки, нюансы фактически одного и того же. А именно:

Аксиома
в физике, в механике есть
некоторое физико
математическое утверждение, как правило, глобального или достаточно общего плана, которое может быть положено (является базисом) в основу соответствующего раздела механики (физики) как 
физико-математической теории и которое в рамках данного теоретического построения не обсуждается и не доказывается.

Не доказывается, потому что является базисом, краеугольным 

камнем этого теоретического построения.

Относительная истинность аксиомы определяется всем опы
том человечества по данному вопросу на данный момент.

Под Законом в науке понимают относительно истинное утвер
ждение, устанавливающее связь между причиной и следствием.

В этом смысле Законы Ньютона есть Аксиомы классической 

теоретической механики. 

Не приводя словесные формулировки, кратко представим их так:

I закон Ньютона

если  
0,  то  
const  
F
V
t





II закон Ньютона

(в формулировке Леонарда Эйлера (L.Euler, 1736 г., Россия))

, ,
R
F
t r v
a
m


 


III закон Ньютона
IV закон Ньютона

1/2
2/1
F
F




, ,
R
R

i
F
F
F
t r v




 

Доказано, что ньютоновы силы классической механики могут за
висеть только от , ,
t r v
  , так как при этом не нарушаются два 

фундаментальных принципа.

1. Принцип причинности (причина не подменяется следствием).
2. Принцип независимости действия сил.

1.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Как описать движение точки в динамике с течением времени? От
вет дан наукой – с помощью уравнений движения! (рис. 1.2–1.5).

1.4.1. Уравнения движения в векторной форме

det

, ,
, ,

R

R

dv
a
dt
dv
m
F
t r v
dt
F
t r v
a
m





 

 


,  

2

2
, ,
R
d r
m
F
t r v
dt


  .

Рис. 1.2

0z

0
х

0
y

m
F


)
(t
r

“–”

τ

V

b

n
ρ

O

“+”

S

1.4.2. Уравнение движения точки в декартовых осях

,
,

;

R

x
x

R

y
y

R

z
z

mV
F

mV
F

mV
F






,
,
.

R

x

R

y

R

z

mx
F

my
F

mz
F






Рис. 1.3

1.4.3. Уравнение движения точки в естественных осях

Рис. 1.4

2
2

0
0

R

R

n
n

R

b

ma
mv
ms
F

n ma
mv
ms
F

m
F
b










1.4.4. Уравнение движения точки 

в цилиндрических (полярных) осях

Уравнение движения точки в проекциях на цилиндрические оси:

на 
2

0 :
R

r
r
p
r
r
ma
m V
V
m r
r
F





;

0z

0
х

z

F

m

ρ

0
y

φ

r

z0

0
y

0
p

0r

0x

на 
0 :
2
R

p
p
r
p
p
ma
m V
V
m r
r
F





;

на 
0 :
z
z
k
ma
mV
mZ



 .

Рис. 1.5

Лекция 2

2.1. ТРИ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Первая или прямая задача

Первая или прямая задача динамики материальной точки: по 

заданному закону движения точки или полной программе ее движения 
при управляемом программном движении определить силу (силы), вызывающую это движение.

Программа движения точки является полной, если она однознач
но определяет закон ее движения. В остальных случаях она является 
неполной.

В зарубежных и в некоторых современных российских учебниках 

эту задачу называют второй или обратной.

Известно уравнение движения точки: 
3
S
(число степеней свобо
ды)

2

2

R

i

d r
dv
m
m
F
F
dt
dt






;

– полная программа движения

точки.

1

2

3

( )
( , , , )
0,

( )
( , , , )
0,

( )
( , , , )
0.

R

i

x
x t
f x y z t

F
F
y
y t
f
x y z t

z
z t
f
x y z t




Эта задача решается с помощью дифференцирования.

Вторая или обратная задача динамики

В некоторых недавно изданных российских учебниках, как и за ру
бежом, она называется первой задачей динамики.

Вторая задача динамики материальной точки: по заданным си
лам как функциям от , ,
t r v
 
, ,
R
R

i
F
F
t r v
F




 
определить закон 

движения точки и ее траекторию.

Эта задача решается методами интегрирования дифференци
альных уравнений, а так как в прикладной механике нас интересуют 
частные решения, то для решения задач необходимо задать еще начальные условия движения точки. К таким задачам относятся: задачи 
динамики полета, внешней баллистики и т. д.

Третья или смешанная задача динамики: могут быть неизвест
ны ни закон движения, ни силы. Нужно определить и то и другое. 

К этому классу задач относятся задачи о несвободном движении 

точки и управляемом движении.

Универсальный метод решения этой задачи – метод множите
лей Лагранжа. Иногда помогает и выбор удобной системы координат.

2.2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

1. Исходя из условий задачи выясняем, можем ли мы взять за мо
дель объекта материальную точку. Если да, то

2. Изображаем точку на траектории, если она известна, или на эле
менте предполагаемой траектории в состоянии с положительными кинематическими  характеристиками (направление осей и проекции скоростей положительны):

0
x
, 
0
x
V
0
y
, 
0
y
V
0
z
, 
0
z
V

При этом предполагается, что проекции ускорения положительны:

0
xa
,    
0
y
a
,    
0
za
,

для того чтобы не думать о знаках левых частей уравнений.

Это общетеоретический прием.
3. Проводим анализ задаваемых сил и сил реакций связи и изобра
жаем их на расчетной схеме.

4. Записываем уравнение движения в векторной форме

2

2
...
R
d
d s
d r
d v
m
m
m
F
dt
dt
dt
dt

и классифицируем задачу динамики.

5. Выбираем удобную для решения задачи систему координат и 

проецируем уравнение на оси этой системы.

6. Проводим физико-математический анализ полученной системы 

уравнений.

7. Решаем задачу методами математики.
8. Анализируем полученное решение, делаем проверку и интерпре
тируем данный результат. 

Универсальные общетеоретические способы проверки:
а) на размерность;
б) прямой подстановкой;
в) смотрим в ответ, если он есть, в том числе и в жизни;
г) в аэро-, гидродинамике, теории полета… иногда используются 

асимптотические методы проверки;

д) решаем задачу другим способом.

2.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

1. Основная задача внешней баллистики

Тело, массой m бросают со скоростью 
0
V


под углом 
0 к горизон
ту. Сила аэродинамического сопротивления, например, имеет вид 
R
kmv .
Требуется определить закон движения и траекторию точки 

(рис. 2.1). 

Заметим, что R
kmv




1. Нарисуем расчетную схему.