Автомодельные явления - анализ размерностей и скейлинг

Г. И. БАРЕНБЛАТТ

2009

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ   
   ЯВЛЕНИЯ –
АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ 
И СКЕЙЛИНГ

Авторский перевод с английского издания, 
исправленный и дополненный, 
при редакционном участии В.М. Простокишина 

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Г.И. Баренблатт

Автомодельные явления анализ размерностей и скейлинг:

Пер. с англ.: Учебное пособие / Г.И. Баренблатт – Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2009. – 216 с.

ISBN 9785915590174

Учебное пособие, основанное на лекциях, прочитанных автором в разные годы в МГУ им. М.В. Ломоносова, МФТИ и Калифорнийском университете в Беркли, является первым руководством по скейлингу на русском
языке. Книга посвящена искусству построения моделей.

С единых позиций рассмотрены такие, казалось бы, далекие друг от друга

явления,  как мощный взрыв в атмосфере, фильтрация жидкости в природных пластах,  распространение трещин в упругой среде, фрактальность береговой линии и органов дыхания живых существ, турбулентность и т.д.
Описан в подробностях подход реального прикладного математика к исследованию закономерностей  этих явлений, позволяющий построить работающую модель с минимальным числом параметров.

Учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей физических и механикоматематических специальностей, научных работников.

 © 2003, Cambridge  University Press

          © 2009, ООО «Издательский Дом

                             «Интеллект», перевод на русский
                             язык, оригиналмакет, оформление

ISBN 9785915590174
ISBN 0521533945 (англ.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

В с т у п л е н и е   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
5

П р е д и с л о в и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
10

В в е д е н и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
13

Глава 1. Анализ размерностей и физическое подобие . . . . . . . . . . . . . . . . .  
26

1.1. Размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
26
1.2. Анализ размерностей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
38
1.3. Физическое подобие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
55

Глава 2. Автомодельность и промежуточная асимптотика  . . . . . . . . . . . . . .  
72

2.1. Пологое течение грунтовых вод. Математическая модель . . . . . .  
73
2.2. Очень интенсивное сосредоточенное заводнение: автомодельное 
 
решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
76
2.3. Промежуточные асимптотики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
83
2.4. Задача: интенсивный поток от импульса грунтовых вод на границе. 
 
Автомодельное промежуточно-асимптотическое решение. . . . . .  
89

Глава 3. Законы скейлинга. Автомодельные решения, которые не могут быть 
получены применением анализа размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
93

3.1. Формулировка модифицированной задачи о расплывании бугра 
 
грунтовых вод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
94
3.2. Прямое применение анализа размерностей к модифицированной 
 
задаче. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
96
3.3. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асим 
птотика  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
97
3.4. Автомодельное предельное решение. Нелинейная задача на соб 
ственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
103

Глава 4. Полная и неполная автомодельность.  Автомодельные решения 
первого и второго рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
109

4.1. Полная и неполная автомодельность  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
109
4.2. Автомодельные решения первого и второго рода  . . . . . . . . . . . .  
115
4.3. Практический рецепт приложения анализа законов подобия  . . .  
120

Глава 5. Скейлинг и группы преобразований. Ренормализационная группа  . .  
123

5.1. Анализ размерностей и группы преобразований . . . . . . . . . . . . .  
123
5.2. Задача: пограничный слой на плоской пластине в равномерном 
 
потоке  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
126
5.3. Ренормализационная группа и неполная автомодельность  . . . . .  
133

Оглавление
4

Глава 6. Автомодельные явления и бегущие волны  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
141

6.1. Бегущие волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
141
6.2. Ударные волны Бюргерса — стационарные бегущие волны первого 
 
рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
143
6.3. Пламена — стационарные бегущие волны второго рода. Нелиней 
ная задача на собственные значения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
145
6.4. Автомодельная интерпретация солитонов . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
153

Глава 7. Законы скейлинга и фракталы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
157

7.1. Фракталы Мандельброта и неполная автомодельность  . . . . . . . .  
157
7.2. Неполная автомодельность фракталов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
165
7.3. Скейлинговое соотношение для зависимости интенсивности ды 
хания животных от их массы. Фрактальность органов дыхания  .  
169

Глава 8. Законы скейлинга для пристеночных турбулентных сдвиговых 
потоков при очень больших числах Рейнольдса. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
174

8.1. Турбулентность при очень больших числах Рейнольдса  . . . . . . .  
174
8.2. Математический пример Хорина  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
178
8.3. Стационарные сдвиговые течения при очень больших числах 
 
Рейнольдса. Промежуточная область течения в трубе . . . . . . . . .  
180
8.4. Модификация вывода закона распределения скорости в промежуточной области, данного Изаксоном–Милликеном–фон Мизесом. 
 
Асимптотика исчезающей вязкости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
192
8.5. Турбулентные пограничные слои  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
197

Л и т е р а т у р а   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
207

П р е д м е т н ы й  у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
214

Благодарной памяти моих дорогих друзей 
Якова Борисовича Зельдовича 
и Александра Соломоновича Компанейца 
посвящается

ВСТУПЛЕНИЕ

Прикладная математика — искусство. Искусство строить 
математические модели явлений в природе, технике и обществе. Каждая модель основана на определенной идеализации 
явления. При построении идеализаций явлений исследование 
всегда сосредотачивается на «промежуточных» временах и расстояниях (вспомните живопись, особенно импрессионистов!). 
Эти расстояния и времена должны быть достаточно большими, 
чтобы детали и свойства, имеющие меньшую важность для понимания и описания явления, уже исчезли. В то же время эти 
времена и расстояния должны быть достаточно малыми, чтобы 
не исчезли свойства, которые имеют основное значение. Мы 
говорим поэтому, что каждая математическая модель основана 
на «промежуточной асимптотике»1.
Построение идеализации представляет наиболее трудный этап 
математического моделирования. Моделирование всегда идет 
ступенями. Пробы и ошибки, сравнение с наблюдением и/или 
экспериментом, физическим или компьютерным, играют основную роль. Читатель может найти замечательно точное описание 
этого процесса в несколько неожиданном на первый взгляд месте: 
пьесе Мориса Метерлинка «Синяя птица». Не случайно эта пьеса 
принесла Метерлинку Нобелевскую премию.
Математику называют языком науки, потому что ее роль в 
построении моделей подобна роли языка в человеческом общении. Языком пользуются все. Однако среди пользователей языка 

1 Ниже мы дадим точное определение этого понятия. Пока же заметим, что 
создание Л.Н. Толстым Войны и мира представляет собой показательный пример 
такого промежуточного ви´дения. Роман имел исключительный успех с самого момента своего появления именно потому, что менее важные детали наполеоновской 
войны уже затухли в людской памяти и в то же время гигантские исторические 
события и их влияние на людские судьбы остались незатемненными деталями 
прошлого и текущими событиями жизни общества. Я опасаюсь, что литература 
упустила такую возможность для «Тридцатилетней войны» 1914–1945 гг.

Вступление
6

можно выделить специально важную группу. Это писатели: поэты, 
романисты, драматурги, эссеисты. Они создают образы и парадигмы — идеализированные модели личностей и общественных 
явлений вокруг них. Величайшие из этих парадигм живут веками 
и даже тысячелетиями. Они преобразуют человеческую культуру 
и, иногда, сам язык.
До некоторой степени подобную роль играют прикладные 
математики. Используя язык математики и преобразуя его, если 
это необходимо1, прикладные математики создают свои парадигмы — модели явлений. Эти идеализированные модели должны 
быть достаточно полными образами явлений, и в то же время 
они должны способствовать дальнейшему исследованию, аналитическому и экспериментальному: численному или физическому. 
Право модели на существование определяется только одним: 
она должна работать, т.е. предсказывать поведение изучаемых 
систем в еще не исследованных диапазонах внешних условий, 
которые представляют интерес. Если эта цель достигнута, наступает очередь практических приложений. Искусству построения 
математических моделей, как и каждому подлинному искусству, 
нельзя научиться, только читая книги и/или журнальные статьи. 
(Я допускаю исключения, но они мне не известны.) Причина 
этого заключается в том, что в статьях и особенно в книгах убраны «леса». Результаты представляются не так, как они были 
на самом деле получены, а иным, может быть более элегантным 
способом. Поэтому очень трудно, а зачастую просто невозможно понять истинные «пружины», лежащие в основе работы: как 
именно автор пришел к полученным результатам, и как научиться 
получать результаты самому.
Так же как и в любом виде искусства, наиболее подходящий 
способ стать прикладным математиком — это примкнуть к хорошей школе, т. е. поработать определенное время в коллективе, 
руководимом настоящим мастером. Знание, опыт и воодушевление приходят от постоянных обсуждений научных, — и ненаучных тоже — предметов, причем не только с самим мастером, но 

1 Я подчеркиваю, если это необходимо. Упрекать прикладных математиков 
за использование хорошо известных средств анализа просто смешно. Это то же 
самое, что упрекать, например, Рафаэля за то, что он не внес ничего нового в 
кисти и краски. Леонардо — внес, и это не улучшило его картин, но создало 
громадные трудности для будущих реставраторов.

Вступление

и с другими членами группы. Разговоры о музыке, литературе, 
истории, изобразительном искусстве и т.д. столь же важны для 
процесса становления, как и научные дискуссии. (Политические дискуссии всех масштабов противопоказаны!) Быть членом 
такой школы означает жить в среде, где все время происходит 
интенсивный поток идей. Автору выпало счастье принадлежать 
к школе великого ученого Андрея Николаевича Колмогорова и 
впоследствии близко сотрудничать с Я.Б. Зельдовичем и его окружением. Я хочу упомянуть специально замечательного физика и 
учителя физики А.С. Компанейца. Перед этим я прошел обучение 
и испытал сильное влияние моего первого учителя, выдающегося 
математика-аналитика Бориса Моисеевича Левитана. Моя благодарность этим замечательным людям неизмерима.
Как и в любом виде искусства, для построения промежуточных 
асимптотик и моделей используют много практических приемов, 
а также имеют место свои хитрости. Их надо усвоить, и, более 
того, они должны войти в сознание и подсознание исследователя, 
который решил стать прикладным математиком.
Одним из них является умение увидеть и извлечь из массы данных законы скейлинга: степенные зависимости. Может 
возникнуть вопрос: а почему именно законы скейлинга имеют 
такую специальную важность? Ответ заключается в следующем: 
законы скейлинга никогда не получаются случайно. Они отражают 
фундаментальное свойство явления: «автомодельное» промежуточно-асимптотическое поведение: явление повторяет себя 
в изменяющихся масштабах. Полезно пояснить: утверждение, 
что некоторое явление стационарно, т.е. не зависит от времени, 
бесспорно, очень содержательно. Автомодельность явления, 
развивающегося во времени, означает, что при подходящем выборе масштабов, зависящих от времени, явление, измеренное в 
этих масштабах, «застывает», становится стационарным. Такое 
свойство должно быть обнаружено, если оно на самом деле имеет 
место. Открытие скейлинговых законов в ряде случаев позволило 
поднять на более высокий уровень, а иногда даже полностью 
изменить понимание не только одного изолированного явления, 
но и целой области науки. Разумеется, вместо времени может 
фигурировать любой параметр. Автомодельность в данном случае 
означает, что можно так выбрать масштабы, зависящие от этого 

Вступление
8

параметра, что в этих масштабах явление перестанет зависеть от 
параметра. История науки двух последних столетий знает много 
таких примеров.
Сказанное определяет предмет, о котором написана предлагаемая книга. При ее написании я руководствовался правилом, 
усвоенным от моего учителя А.Н. Колмогорова: никогда не начинать преподавание или исследование в новой области прикладной математики с общих идей, формулировок, теорий и теорем. 
Начинать следует с показательных примеров и разобрать их до 
конца, а общая теория придет потом и отольется естественно.
В Калифорнийском университете в Беркли я несколько раз 
читал курс из 30 двойных лекций, который близко следовал 
предлагаемой книге. Я надеюсь, что эта книга может служить 
учебником или учебным пособием для аспирантских и продвинутых студенческих курсов. Части книги можно использовать при 
чтении таких курсов, как гидродинамика, турбулентность, электродинамика, тепло- и массообмен, течение неньютоновских жидкостей, теория упругости, механика разрушения, сопротивление 
материалов, а также многих других. Однако если этот курс будет 
читаться как целое, то я рекомендую рассматривать первые шесть 
с половиной глав (вплоть до биологического примера) как более 
или менее обязательные. Оставшееся время можно использовать 
для подробного рассмотрения предмета, подходящего для данной 
аудитории. Я выбрал турбулентность. Для многих — но не для 
меня — материал, представленный в последней, восьмой главе, 
посвященный турбулентности сдвиговых течений и основанный 
на нашей серии работ с А.Дж. Хорином и В.М. Простокишиным, 
представляется противоречивым. Этот пример дает уникальную 
возможность представить вместе общие принципы и использование обширных экспериментальных баз данных, в том числе 
полученных в последнее время.
Ранее я написал несколько книг, посвященных предмету, 
представленному в настоящей книге. С глубокой благодарностью 
я вспоминаю издательство «Гидрометеоиздат», его руководителя 
Ю.В. Власову, редакторов Т.Г. Недошивину, Л.Л. Беленькую 
и О.В. Лапину. Они опубликовали мою первую книгу, несмотря 
на серьезный риск потерять работу. Естественно, часть материала 
из моих ранних книг нашла свое место и в настоящей книге. 

Вступление

В частности, раздел, касающийся анализа размерностей и физического подобия, вошел в предлагаемую книгу, хотя и в несколько 
модифицированном виде. Однако центральная часть предлагаемой 
книги является совершенно новой. В частности, я заменил некоторые достаточно технически сложные основные примеры на 
более прозрачные, это оказалось полезным в преподавании.
Я выражаю мою благодарность издательству Кембриджского 
университета, его редакторам д-ру Д. Транаху и д-ру А. Харви. 
На самом деле сама идея написания книги, «промежуточной» 
между моей инаугуральной лекцией в Кембриджском университете (Баренблатт, 1994) и большой книгой (Баренблатт, 1996) 
принадлежит этим коллегам.
Я выражаю мою благодарность профессору В.М. Простокишину, который посещал все мои лекции и дал мне ценные советы 
по поводу изложения как в лекциях, так и в книге. Я благодарен 
профессорам Л.К. Эвансу и М. Бреннеру, прочитавшим рукопись 
книги и сделавшим важные комментарии. Я хочу поблагодарить 
моих дорогих коллег профессоров Ш. Камин (С.Л. Каменомостскую), Р. Даль Пассо, М. Бертча, Н. Гольденфельда, Д.Д. Джозефа, Л.А. Пелетье, Г.И. Сивашинского и Х.Л. Васкеса за стимулирующие дружеские обмены мыслями на протяжении многих 
лет по поводу предмета, представленного в этой книге.
Моему другу Александру Хорину я хочу выразить особую 
благодарность за наше замечательное время в Беркли. Я узнал от 
него многое, в частности его основную парадигму компьютерной 
науки. Это — независимая и очень продуктивная ветвь математического моделирования. Хочу надеяться, что смогу использовать 
это вновь обретенное знание в моей последующей работе.

ДОБАВЛЕНИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Автор выражает глубокую благодарность Л.Ф. Соловейчику и 
В.М. Простокишину. Льву Федоровичу принадлежала инициатива 
русского издания книги, он провел ее в жизнь с настойчивостью 
и терпением. Валерий Михайлович выполнил огромную работу 
по проверке английской версии книги, перевода и корректур 
русского издания. Без совместной работы этих достойных коллег, 
книга бы не состоялась.

ПРЕДИСЛОВИЕ1

В течение последних нескольких лет студенты и преподаватели Калифорнийского университета в Беркли имели привилегию 
слушать лекции профессора Г.И. Баренблатта по механике и 
относящимся к ней вопросам; настоящая книга, которая выросла 
из некоторых этих лекций, распространяет эту привилегию на 
более широкую аудиторию. Профессор Баренблатт объясняет в 
этой книге, как строить и понимать автомодельные решения в 
различных физических задачах, т.е. решения, структура которых 
воспроизводится в меняющихся масштабах длины и времени и в 
разных диапазонах параметров. Такие решения часто являются 
ключом для понимания сложных явлений, но общего рецепта 
для их нахождения, применимого во всех случаях, не существует. Однако средства, которые могут быть полезными, включая 
анализ размерностей и нелинейные задачи на собственные значения, объясняются в этой книге с замечательной краткостью 
и яс ностью, вместе с разнообразными приложениями автомодельности в промежуточных асимптотиках, а также их связь с 
распространением волн и ренормализационной группой. Где это 
возможно, профессор Баренблатт избегает сухих и отдаленных 
абстракций в пользу примеров из его несравненного запаса таких 
примеров. С появлением этой книги для любого ученого становится непозволительным не применять эти простые, элегантные, 
решающие важные и иногда удивительные идеи.
Эта книга также очень своевременна. Анализ размерностей и 
простые соображения подобия (то, что здесь называется полной 
автомодельностью) достаточно известны большинству ученых, 
за возможным исключением многих математиков, однако более 
глубокая, элегантная и исключительно полезная идея неполной 
автомодельности, с ее необычными ответвлениями, еще не стала 
частью общей научной культуры. Возможно, частичной причиной этого было отсутствие книги убедительной и вместе с тем 
доступной. Помимо прочего, оригинальные статьи Баренблатта 

1 Перевод с английского Д.Б. Силина и В.М. Простокишина.