Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2009, №46

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

1

УДК 519.722 + 536.751 
 
СИНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 
ИНФОРМАЦИИ Часть 3. Информационные функции и энтропия Больцмана 
 
Вяткин Виктор Борисович, к.т.н. 
 
Екатеринбург, Россия 
 
В статье показывается, что информационно-синергетические функции, в лице отражаемой информации, аддитивной негэнтропии и энтропии отражения, имеют непосредственную взаимосвязь с энтропией 
Больцмана. 
 
Ключевые слова: ЭНТРОПИЯ 
БОЛЬЦМАНА, ИНФОРМАЦИОННОСИНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, 
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ 
ВЕРОЯТНОСТЬ, ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ 

UDC 519.722 + 536.751 
 
SYNERGETIC  INFORMATION THEORY Part 3. Information functions and 
Boltzmann entropy 
 
Vyatkin Victor Borisovich. Dr.Sc.(Tech.) 
 
Ekaterinburg, Russia 
 
In the article it is shown that informationsynergistic functions, in the face reflected 
information, additive negentropy and entropy of reflection, they have direct interrelation with Boltzmann entropy. 
 
 
Keywords: BOLTZMANN ENTROPY, 
INFORMATION-SYNERGISTIC 
FUNCTIONS, THERMODYNAMIC 
PROBABILITY, IDEAL GAS 

 

«Развитие теории информации, и в 
частности связь этой теории с термодинамикой, происходило в недавнее время, поэтому в будущем вполне могут появиться 
новые непредугаданные результаты» 
П. Шамбадаль. 
 

Введение 

Ранее [1] было установлено, что информация A
I
, отражаемая произ
вольной системой А через совокупность своих частей 
N
B
B
B
,
...
,
,
2
1
, раз
деляется на отраженную и неотраженную части, равные аддитивной негэн
тропии Σ
I  и энтропии отражения S, соответственно. То есть: 

S
I
I A
+
= Σ
                                                      (1) 

При этом: 

A
A
M
I
2
log
=
                                                   (2) 

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

2

∑
=

Σ =
N

i

B
A

B
i
i
M
M

M
I

1

2
log
                                         (3) 

∑
=

−
=
N

i
A

B

A

B
M

M

M

M
S
i
i

1

2
log
                                         (4) 

где: 
A
M
 – общее количество элементов в составе системы А; 
i
B
M
 – коли
чество элементов в составе 
i
B  части. 

Выражение (1) занимает в синергетической теории информации 

ключевое положение и, в зависимости от того, с каких позиций рассматри
вается, имеет несколько качественно различных интерпретаций. – Так, в 

отношении собственно отражения системы, как единого целого, выраже
ние (1) интерпретируется как информационный закон отражения. Если 

рассматривается структура системы со стороны ее упорядоченности и хао
тичности, то соотношение (1) выражает закон сохранения суммы хаоса и 

порядка. С позиций соотношения и взаимных переходов друг в друга раз
личных видов информации (связанной с управлением и существующей не
зависимо от него), данное выражение представляет собой закон сохранения 

информации на межвидовом информационном уровне. И, наконец, с пози
ций различных подходов к определению понятия «количество информа
ции», выражение (1) показывает неразрывную взаимосвязь комбинаторно
го, вероятностного и синергетического подходов.1 

В настоящей статье показывается, что дополнительно к указанным 

интерпретациям, информационное соотношение (1), с термодинамических 

позиций, характеризует переход изолированной системы идеальных газов 

из структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического 

равновесия,  а каждая из информационно-синергетических функций (2) – 

(4) при определенных условиях имеет непосредственную взаимосвязь с эн
тропией Больцмана.  

                                                
1 Подробное описание приведенных интерпретаций выражения (1) дано в работе [1]. 

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

3

Взаимосвязь информационно-синергетических функций 

и термодинамической энтропии Больцмана 

Макроскопическое состояние той или иной термодинамической сис
темы, состоящей из конечного множества элементов (атомов, молекул), 

традиционно характеризуется с помощью энтропии Больцмана (Е), стати
стически выражающей второе начало термодинамики и имеющей вид: 

W
k
E
ln
=
,                                                     (5) 

где: 
град
дж
k
/
10
38
,1
23
−
⋅
=
 – постоянная Больцмана, а W – термодинами
ческая вероятность, представляющая собой число возможных микросо
стояний системы, посредством которых может быть реализовано данное 

макросостояние. 

При этом напомним, что термодинамическая вероятность W является 

однозначной функцией макросостояния системы, достигает своего макси
мального значения, когда система приходит в состояние термодинамиче
ского равновесия и обладает свойством мультипликативности. То есть ве
роятность W системы, состоящей из N невзаимодействующих между собой 

частей, равна произведению вероятностей этих частей: 

∏
=
=
⋅
⋅
⋅
=
N

i
i
N
W
W
W
W
W
1
2
1
...
                                              (6) 

Выражения (5) и (6) показывают, что энтропия Больцмана является адди
тивной величиной или, иначе говоря, общая энтропия E системы равна 

сумме энтропий ее изолированных друг от друга частей: 

∑
∑
∏
=
=
=
=
=
=
=
N

i
i

N

i
i

N

i
i
E
W
k
W
k
W
k
E
1
1
1
ln
ln
ln
                         (7) 

Рассмотрим теперь с помощью энтропии Больцмана переход некото
рой системы разнородных идеальных газов из структурно-упорядоченного 

состояния в состояние термодинамического равновесия. 

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

4

Возьмем какую-либо емкость объемом V и разделим ее непроницае
мыми перегородками произвольным образом на N частей с объемами 

N
V
V
V
,
...
,
,
2
1
. При одинаковых температуре и давлении заполним каждую 

часть объема V одним из идеальных газов 
N
B
B
B
,
...
,
,
2
1
 и изолируем ем
кость от влияния внешней среды. Сохраним при этом прежние обозначе
ния и будем считать, что количество молекул газа в каждой части равно 

N
B
B
B
M
M
M
,
...
,
,
2
1
, соответственно. Образованная таким образом систе
ма идеальных газов 
N
B
B
B
A
+
+
+
=
...
2
1
 включает в себя 
∑
=

=
N

i

B
A
i
M
M

1

 

молекул и находится в структурно-упорядоченном состоянии, наглядный 

пример которого (для N=3) приведен на рисунке 1а. 

а
б
а
б

t = t0
t = t0 + ∆t
 

Рисунок 1. Переход системы идеальных газов 
из структурно-упорядоченного состояния (а) 
в состояние термодинамического равновесия (б) 
 

Это состояние системы в наших рассуждениях наблюдается в мо
мент времени 0t , а его общая энтропия 
0
E  равна сумме энтропий частей 

системы. Так как каждый из частных объемов 
N
V
V
V
,
...
,
,
2
1
 равномерно 

заполнен соответствующим идеальным газом, то термодинамическая веро
ятность каждой части системы А определяется числом возможных пере
становок составляющих ее молекул 

!
i
i
B
B
M
W
=

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

5

и, соответственно: 

!
ln
ln
1
1
0
∑
∑
=
=
=
=
N

i
B

N

i
B
i
i
M
k
W
k
E
                                         (8) 

После убирания перегородок каждый из газов, вследствие теплового 

движения молекул, перемешивается с другими газами и в момент времени 

t
t
tR
∆
+
= 0
 статистически равномерно распределяется по всему объему V, 

что приводит систему А в состояние термодинамического равновесия, со
ответствующего молекулярному хаосу (см. рисунок 1б). 

Термодинамическая вероятность W при этом, на протяжении време
ни 
t
∆  неуклонно возрастает и в момент R
t  достигает своего максимально 

возможного значения 
!
A
R
M
W
=
. Энтропия 
R
E  термодинамически равно
весного состояния системы А соответственно равна: 

!
ln
A
R
M
k
E
=
                                                     (9) 

Разность энтропий системы в термодинамическом равновесии и в 

структурно-упорядоченном состоянии, в свою очередь, представляет собой 

энтропию смешения газов 
E
∆
, которая  согласно (8) и (9) имеет вид: 

!

!
ln

1

0
∏
=

=
−
=
∆
N

i

B

A
R

i
M

M
k
E
E
E
                                       (10) 

Из выражений (8) – (10) следует, что общая схема самопроизвольно
го процесса перехода изолированной системы идеальных газов из струк
турно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического равно
весия, может быть выражена через уравнение баланса энтропии Больцма
на: 

R
E
E
E
=
∆
+
0
                                                (11) 

Освободимся в формулах (8) – (10) от факториалов, для чего вос
пользуемся формулой Стирлинга  

)1
(ln
!
ln
−
≈
n
n
n
                                             (12) 

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

6

и, пренебрегая единицей при 
∞
→
n
, будем применять её в огрубленном 

виде: 

n
n
n
ln
!
ln
≈
                                                (13) 

Основанием для такого огрубления служит тот факт, что относитель
ная погрешность замены формулы (12) на (13), в соответствии с числом 

Лошмидта 
3
19 /
1
10
687
,2
см
NL
⋅
=
, выражающим количество молекул иде
ального газа в 
3
1см  при нормальных условиях, составляет: для 

%
3,2
1
3 −
см
, для 
%
7,1
1
3 −
м
 и т.д. В то же самое время многие из реально 

существующих природных систем имеют несравненно большие размеры, 

что делает указанное огрубление оправданным.2  

Делая соответствующие замены факториалов в формулах (8) – (10), 

получаем: 

i
i
B

N

i

B
M
M
k
E
ln

1

0
∑
=

≈
                                                (14) 

A
A
R
M
kM
E
ln
≈
                                                       (15) 

)
ln
ln
(

1∑

=

−
≈
∆
N

i

B
B
A
A
i
i
M
M
M
M
k
E
                       (16) 

Умножим и разделим правую часть выражения (14) на 
A
M
 и, учиты
вая, что в соответствии со свойствами логарифмов 
2
ln
log
ln
2
⋅
=
a
a
, при
ведем выражения (14) – (16) к виду: 

∑
=

⋅
≈
N

i

B
A

B
A
i
i
M
M

M
M
k
E

1

2
0
log
2
ln
                                       (17) 

A
A
R
M
M
k
E
2
log
2
ln
⋅
≈
                                                     (18) 

                                                
2 Например, запасы месторождений природного газа иногда исчисляются триллионами кубометров. 
 

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

7

)
log
log
(
2
ln

1

2
2
∑
=

−
⋅
≈
∆
N

i

B
A

B
A
A
i
i
M
M

M
M
M
k
E
                   (19) 

При этом отметим, что произведение 
2
ln
A
M
k
, присутствующее в каждом 

из выражений (17) – (19), сохраняет свое постоянное значение при любых 

преобразованиях системы А. Поэтому, в дальнейшем будем обозначать его 

как постоянный коэффициент с, то есть 
2
ln
A
M
k
с =
. 

Проводя теперь сравнение информационно-синергетических функ
ций (2) – (4) с выражениями (17) – (19), не трудно видеть, что крайние пра
вые сомножители последних равны аддитивной негэнтропии Σ
I , энтропии 

отражения S и отражаемой информации 
A
I
, соответственно. Отсюда сле
дует, что каждая из этих функций имеет определенную, присущую только 

ей, взаимосвязь с энтропией Больцмана: 

c
E
I
0
≈
Σ
                                                      (20) 

c
E
I
R
A ≈
                                                     (21) 

c
E
S
∆
≈
                                                      (22) 

Подставляя значения информационно-синергетических функций 

S
I
I A
,
,
Σ
 из выражений (20) – (22) в информационное соотношение (1), 

получаем для последнего его асимптотический термодинамический экви
валент: 

)
(
~
)
(
0
E
E
E
S
I
I
M
R
A
A
∆
+
=
+
=
⇒
∞
→
Σ
                (23) 

То есть, информационное соотношение (1), дополнительно к отмеченным 

во введении интерпретациям, в термодинамическом отношении характери
зует процесс перехода системы идеальных газов из структурно
упорядоченного состояния в состояние термодинамического равновесия. 

Данный факт позволяет говорить о том, что синергетическая теория ин

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

8

формации имеет непосредственную взаимосвязь со статистической термо
динамикой и, по-видимому, может быть включена в арсенал ее средств по
знания. 

 

Информационная энтропия и энтропия Больцмана: 

коллизия мнений 

В работе [1] было показано, что синергетическая и традиционная 

теории информации непосредственно взаимосвязаны друг с другом и в 

своей совокупности образуют единую количественную теорию информа
ции. Поэтому, установив взаимосвязь синергетической теории информа
ции со статистической термодинамикой в лице выражений (20) – (23), це
лесообразно также осветить существующие взгляды на взаимоотношения 

энтропии Больцмана с информационно-энтропийными мерами Хартли [2] 

и Шеннона [3], которые при использовании двоичных логарифмов, мате
матически тождественны отражаемой информации 
A
I
 (2) и энтропии от
ражения S (4), соответственно. При этом сразу отметим, что вопрос взаи
мосвязи 
энтропии 
Больцмана 
с 
традиционными 
информационно
энтропийными мерами длительный период времени является предметом 

дискуссии. 

Приверженцы этой взаимосвязи [4,5] считают, что энтропия Больц
мана и информационная энтропия эквивалентны друг другу. При этом в 

качестве аргумента приводится тот факт, что в формулах Хартли и Шен
нона, формально похожих на формулу Больцмана, присутствует коэффи
циент пропорциональности K, зависящий от выбора единиц измерения ин
формации. Поэтому, беря в качестве K постоянную Больцмана k, можно 

осуществлять переход от информационной энтропии к энтропии термоди
намической. Более того, например, по мнению Бриллюэна [4], при рас
смотрении физических систем информацию и термодинамическую энтро
пию лучше выражать одними и теми же единицами. 

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

9

Противники наличия такой взаимосвязи между энтропией Больцмана 

и информационно-энтропийными функциями [6,7], в свою очередь, утвер
ждают, что это разные величины и задают вопрос: «Разве достаточно фор
мального сходства двух выражений, чтобы одну величину измерять в еди
ницах другой и на этом основании устанавливать между ними непосредст
венную взаимосвязь?» [6, с.72 ]. И, указывают на то, что «в литературе 

вначале отмечалось отличие этих двух величин, обозначаемых одним сло
вом, но позже многие авторы последовали за Бриллюэном, отождествив
шим термодинамическую и информационную энтропии» [7, с. 50]. 

Кроме этих полярных точек зрения, существует и ряд промежуточ
ных, более осторожных мнений. Так, например Эшби, один из основопо
ложников кибернетики, не отрицая определенной связи между энтропией 

Шеннона и термодинамической энтропией, указывает, что «выводы в этих 

вопросах требуют большой осторожности, ибо самое незначительное из
менение условий или допущений может превратить высказывание из стро
го истинного в абсурдно ложное» [8, с. 254]. Интересным представляется 

также мнение Шамбадаля, который в своей работе сначала, вслед за Брил
люэном, берет в качестве коэффициента пропорциональности K постоян
ную Больцмана k, а затем говорит о том, что «тождественность величин I и 

S (информации и энтропии Больцмана – прим. В.В.) происходит не столько 

от самой природы вещей, сколько от нашего произвола» [9, с. 191]. 

Принимая участие в этой заочной дискуссии, с позиций полученных 

в предыдущем разделе результатов,  можно сказать следующее. Так как 

информационно-энтропийные меры Хартли и Шеннона выражаются таки
ми же формулами, что и отражаемая информация 
A
I
 и энтропия отраже
ния S, то на основании выражений (21) и (22) можно утверждать, что они 

действительно имеют взаимосвязь с энтропией Больцмана, но эта взаимо
связь отрицает их эквивалентность и тождественность. Причем каждая из 

этих информационных энтропий имеет свой физический аспект интерпре

Научный журнал КубГАУ, №46(2), 2009 года 

http://ej.kubagro.ru/2009/02/pdf/11.pdf

10

тации: энтропия Хартли связана с термодинамически равновесным состоя
нием системы идеальных газов, а энтропия Шеннона, – с энтропией сме
шения газов и, соответственно, увеличивается по мере приближения сис
темы к состоянию термодинамического равновесия. 

 

Заключение 

В статье, на основе рассмотрения процесса перехода изолированной 

системы разнородных идеальных газов, из структурно-упорядоченного со
стояния в состояние термодинамического равновесия, установлено, что 

информационно-синергетические функции в лице отражаемой информа
ции, аддитивной негэнтропии и энтропии отражения, имеют непосредст
венную взаимосвязь с термодинамической энтропией Больцмана. При этом 

показано, что совокупность данных функций в виде соответствующего со
отношения, представляет собой асимптотический эквивалент уравнения 

баланса энтропии Больцмана. Это свидетельствует о взаимосвязи синерге
тической теории информации со статистической термодинамикой и, по 

всей видимости, позволяет говорить о том, что синергетическая теория 

информации по своей сущности является физической теорией.   

 

Литература 

1. Вяткин В.Б. Синергетическая теория информации. Часть 2. Отражение дискретных 
систем в плоскости признаков их описания // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГАУ, 2009. – №45(1). Режим доступа: 
http://ej.kubagro.ru/2009/01/pdf/12.pdf 
2. Хартли Р.В.Л. Передача информации. // Сб.: Теория информации и ее приложения. 
– М.: Физматгиз, 1959. – С. 5-35. 
3. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. – М.: Изд. иностр. лит., 
1963. – 830с. 
4. Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация. – М.: Мир, 1966. – 272 с. 
5. Волькенштейн М.В. Энтропия и информация. – М.: Наука, 1986. –  192с. 
6. Оксак А.И. Гносеологический анализ соотношения энтропии и информации // Философские науки. – 1972, №5 – С. 68-76. 
7. Базаров И.П. Заблуждения и ошибки в термодинамике. –  М.: МГУ, 1993. – 56с. 
8. Эшби У.Р. Введение в кибернетику. – М.: Изд. иностр. лит., 1959. – 432с. 
9. Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии. – М.: Наука, 1967. – 280с.