Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях

УДК 510
ББК 22.19+32.811
К 78

К р а в ч е н к о
В. Ф.,
Р в а ч е в
В. Л.
Алгебра логики, атомарные
функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2006. — 416 с. — ISBN 5-9221-0752-6.

В монографии изложены методы алгебры логики, теория R-функций (функций В.Л. Рвачева), атомарных функций и вейвлетов. В первых двух главах
описан алгебрологический метод R-функций и некоторые примеры его применения к решению краевых задач. Третья глава посвящена применению теории
атомарных функций к современным проблемам радиофизики. В четвертой главе
построен новый класс WА-систем функций Кравченко-Рвачева и исследовано
его применение к задачам обнаружения кратковременных знакопеременных и
сверхширокополосных процессов.
Монография рассчитана на специалистов, интересующихся современными
методами вычислительной математики и ее приложениями к решению краевых
задач, цифровой обработкой сигналов и изображений, проблемами современной радиофизики и электроники, математического моделирования физических
процессов, а также на студентов и аспирантов ВУЗов, специализирующихся по
прикладной и вычислительной математике, прикладной физике и радиофизике.
Рекомендовано УМО высших учебных заведений РФ по образованию в
области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для
студентов высших учебных заведений по направлению «Прикладная математика»

Ре це н з е н т ы : академик РАН и НАН Украины Ю.А. Митропольский,
академик РАН В.И. Пустовойт

ISBN 5-9221-0752-6

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006

c⃝ В. Ф. Кравченко, В. Л. Рвачев, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

О содержании книги. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
6

Владимир Логвинович Рвачев в моей жизни. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
9

Г л а в а 1.
Алгебра логики и R-функции. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
26

1.1. Композиция и суперпозиция. H-реализуемые функции . .. .. .. .. .. .. .. .
26

1.2. Функции алгебры логики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
29

1.3. R-функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
40

1.4. Основная система R-функций. Элементарные достаточно полные
системы R-функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
44

1.5. Логические и дифференциальные свойства R-функций. .. .. .. .. .. .. .. .
52

1.6. Локус и его уравнение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61

1.7. Трехзначные характеристические функции областей . .. .. .. .. .. .. .. .. .
69

1.8. Основные теоремы. Переход от предикатных уравнений локусов к
обычным . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74

1.9. Уравнение произвольного локуса. Алгоритмически полные базисные системы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
79

1.10. Нормальные и нормализованные уравнения локусов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
82

1.11. Применение R-функций к построению нормализованных уравнений
локусов, обладающих симметрией. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
88

1.12. Построение уравнений локусов в 3D с помощью R-функций . .. .. .. .
106

Г л а в а 2.
Пучки функций и краевые задачи. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
118

2.1. Пучки функций с фиксированными значениями на заданных локусах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
118

2.2. Продолжение граничных дифференциальных операторов внутрь области . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122

2.3. Метод нормализант и разложение функции в окрестности данного
локуса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
128

2.4. Обобщенные интерполяционные формулы Лагранжа–Эрмита на
произвольных
локусах
(интерлокационные
операторы
теории
R-функций) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
134

Оглавление

2.5. Пучки функций, удовлетворяющих дифференциальным и смешанным граничным условиям . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
150

2.6. Краевая задача и структура ее решения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
161

2.7. Проблема полноты структурных формул (GSS) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
164

2.8. Методы нахождения неопределенных компонент. Проблема выбора
аппроксимирующих полиномов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
178

2.9. Вычисление несобственных интегралов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
184

2.10. Учет априорной информации при построении структур решений
краевых задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
188

2.11. Модели физических полей в скрученных цилиндрах произвольного
сечения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
193

Г л а в а 3.
Радиофизические приложения атомарных и R-функций
201

3.1. Теорема Уиттекера – Котельникова – Шеннона. Обобщенные ряды
Котельникова на основе атомарных функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
201

3.2. R-функции и соотношение неопределенности для пространственных сигналов, локализованных в области сложной геометрии . .. .. .
222

3.3. Реализация процедуры восстановления цифровых сигналов на основе алгоритма Зелкина – Кравченко – Басараба . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
245

3.4.
Новые временные весовые функции для обработки сигналов в
устройствах на поверхностных акустических волнах . .. .. .. .. .. .. .. .. .
249

3.5. Широкополосные сигналы на основе временных атомарных функций в сложных антенных системах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
257

3.6. Применение нового класса весовых функций к задачам цифровой
обработки сигналов в антеннах с синтезированной апертурой . .. .. .
266

3.7. Зондирующие сигналы на основе атомарных функций в радиолокационных системах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
273

3.8. Оценки спектральной плотности временного ряда на основе семейства атомарных сглаживающих функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
290

3.9. Преобразование Вигнера и атомарные функции в цифровой обработке сигналов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
301

Г л а в а 4.
Атомарные функции и W -системы в цифровой обработке сигналов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
319

4.1. W-системы
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
319

4.2. Локальный анализ Фурье на основе атомарных функций. .. .. .. .. .. .
321

4.3. Анализ построения некоторых W-систем функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
326

4.4. W-системы И. Мейера и А. Хаара . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
342

4.5. W-системы на основе семейства атомарных функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .
349

4.6. Новый класс WA-систем функций Кравченко – Рвачева . .. .. .. .. .. .. .
352

4.7. Применение вейвлет-анализа для обнаружения кратковременных
знакопеременных и сверхширокополосных физических процессов. .
360

4.8. Вейвлеты как частотные фильтры. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
362

Оглавление
5

4.9. Разложение модельных СШП сигналов по классическим вейвлетам
и вейвлетам Кравченко – Рвачева . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
372

4.10. Обратное вейвлет-преобразование СШП сигналов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
376

4.11. Обнаружение СШП сигналов на фоне аддитивной помехи . .. .. .. .. .
383

Приложение 1 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
387

П.1.1. Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
387

П.1.2. Теоремы операционного исчисления . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
390

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
399

В этой книге мы имеем возможность осветить
то влияние, которое излагаемые здесь идеи
оказывают на самую математику, рассмотреть
те, если можно так выразиться, внутренние
приложения, которые одна область математики
находит в другой. Иначе говоря, мы вынуждены здесь отказаться от попытки передать нечто
весьма существенное для природы математического здания: от раскрытия поразительных
внутренних связей, пронизывающих это здание
во всех направлениях.

Г. Радемахер, О. Теплиц

Я жил, всегда руководствуясь тем тезисом, что
истина — благо, что наш долг — ее находить
и отстаивать.

А. Н. Колмогоров

О содержании книги

Данная книга рождалась непросто. Ее содержание несколько раз
обсуждалось с разных точек зрения. Шел постоянный поиск наиболее оптимального и интересного варианта. А время шло... Наконец,
окончательное решение принято. Пошла активная творческая работа.
Однако жизнь одного из авторов — Владимира Логвиновича Рвачева —
26 апреля 2005 года оборвалась. Ушел из жизни замечательный человек и выдающийся ученый: создатель теории R-функций (функций
В. Л. Рвачева), атомарных функций и неархимедового исчисления.

Об истории возникновения теории R-функций необходимо сказать
следующее. Впервые понятие R-функций В. Л. Рвачев ввел в связи
с возникшей необходимостью описывать уравнения сложных объектов,
а затем использовать их в некоторых пространственных контактных задачах теории упругости. Как мне впоследствии рассказывал Владимир
Логвинович, будущее теории R-функций первым предсказал в своем
отзыве (основные его идеи были изложены в приложении к диссертации) один из официальных оппонентов по докторской диссертации член-корреспондент НАН Украины И. Я. Штаерман. Блистательно
в 34 года в институте проблем механики АН СССР Рвачев защищает
докторскую диссертацию на тему «Пространственная контактная задача теории упругости и некоторые ее приложения». Два других официальных оппонента — академик АН Киргизии М. Я. Леонов и профессор
Д. Н. Шерман — также отметили его пионерские научные результаты,
относящиеся к интуитивно полученным уравнениям объектов сложной
формы.

О содержании книги
7

Итак, основы теории R-функций (1963 г.) были заложены В. Л. Рвачевым в оригинальной работе «Об аналитическом описании некоторых геометрических объектов», опубликованной в ДАН СССР (Т. 153.
№ 4. С. 765–768) и представленной академиком А. А. Дородницыным.
Следует заметить, что серьезную поддержку в этом деле оказывала родная сестра Владимира Логвиновича — Екатерина Логвиновна
(член-корреспондент НАН Украины, доктор физико-математических
наук, профессор).

В чем состоит суть проблемы? Как известно, исторически она восходит к Декарту. В математической литературе она известна как обратная задача аналитической геометрии: задан геометрический объект,
требуется описать его уравнение. Речь здесь идет о том, чтобы так
же, как, например, для прямой на плоскости или для цилиндра либо
сферы в пространстве, можно было для таких «нестандартных» геометрических фигур, как усеченный конус с произвольным отверстием,
лопатка, зубчатое колесо и многие другие, построить функцию, которая
имела бы вид единого аналитического уравнения и обладала нужными
свойствами.

Таким образом, одним из основных результатов, полученных на
основе теории R-функций, является решение обратной задачи аналитической геометрии. Рвачев активно разрабатывает и обосновывает
математическую теорию R-функций, а также практические ее приложения в следующих областях науки и техники: оптимальное размещение
геометрических объектов, распознавание образов, математическое программирование, конструктивная теория функций и, особенно, решение
краевых задач математической физики различной физической природы.
Он обращает особое внимание на то обстоятельство, что в течение
длительного времени применение классических вариационных методов
сдерживалось отсутствием конструктивных математических средств
для построения в явном виде координатных функций, точно удовлетворяющих заданным краевым условиям для областей сложной формы
и обладающих свойствами полноты. Эта проблема ставилась многими
учеными и казалась практически неразрешимой.

В первых двух главах данной книги показано, как с помощью конструктивного аппарата теории R-функций был разработан и обоснован
единый подход к проблеме построения координатных последовательностей вариационных и проекционных методов. Здесь рассматриваются
не только задачи Дирихле или Неймана, но и краевые условия самых
различных типов для областей произвольной формы. Это позволило
с помощью теории R-функций добиться больших успехов при решении важных прикладных задач теорий упругости, изгиба и колебаний
тонких пластин, теплопроводности, дифракции упругих волн, электродинамики и т. д.

Третья глава посвящена применению теории атомарных функций (АФ) к современным проблемам радиофизики. Впервые получен целый ряд интересных результатов. На основе АФ обобще

О содержании книги

ны ряды В. А. Котельникова, с помощью АФ рассмотрены теория
Стренга–Фикса и обобщенная теорема отсчетов, а также полиномы
Левитана, R-функции и соотношение неопределенности для пространственных сигналов, локализованных в области сложной формы, системы функции с двойной ортогональностью и обобщенное соотношение неопределенности, произведен учет ограничений на искомый
сигнал с применением R-функций. Впервые рассмотрено применение
распределения Вигнера–Вилля в сочетании с АФ к цифровой обработке
сигналов (ЦОС). В связи с активным развитием цифровых систем
обработки информации в последнее время стали актуальными вопросы
разработки алгоритмов ЦОС в радиолокационных станциях (РЛС),
основанных на современных вычислительных методах. Одним из них
является современный вейвлет-анализ.

Так как свойства вейвлет-функций во многом схожи со свойствами сверхширокополосных сигналов (СШП), нашли широкое применение методы обнаружения кратковременных знакопеременных и сверхширокополосных процессов в различных радиофизических приложениях. Этим вопросам посвящена четвертая глава. Кроме известных
вейвлет-систем (И. Добеши, И. Мейера, Стронберга–Лемарье–Бэтли,
Хаара, B-сплайны Шенберга и т. д.), проводится построение и обоснование нового класса WA-систем функций Кравченко–Рвачева на
основе АФ.

Ингрид Добеши (автор известной книги «Десять лекций по вейвлетам») пишет: «Вейвлеты появились в 80-х годах 20 века как альтернатива оконного преобразования Фурье для анализа сигналов. Вскоре
стало очевидно, что они представляют собой намного больше, являясь,
по сути, реинкарнацией идей, которые уже существовали ранее во
множестве других областей. Подобная участь постигает многие новые
идеи. В случае с вейвлетами круг различных областей, с которыми они,
как выяснилось, связаны, отличается удивительной широтой и охватывает, помимо всего прочего, жесткие оценки в чистой математике,
понятии групп, ренормализации в физике, субполосную фильтрацию
в электротехнике и схемы последовательного деления в области вычислительной техники. Представляя более чем просто синтез идей из
многих различных областей, вейвлеты добавили новые грани к каждой
из них, дав ключ к новому пониманию и упростив старые подходы».

Следует заметить, что теория АФ появилась в оригинальных работах В. Л. и В. А. Рвачевых примерно на восемь лет раньше, чем
вейвлеты И. Добеши и других зарубежных специалистов. В заключительной пятой главе показано, что новый класс вейвлетов
Кравченко–Рвачева представляют СШП сигналы, поэтому разложение
СШП сигналов по этим вейвлетам является естественным и обоснованным. Вейвлет-спектр СШП сигналов, преобразованный на основе вейвлетов Кравченко–Рвачева, имеет хорошую локализованность. Это обусловлено тем, что имеется сходство физических параметров исследуемых СШП сигналов с базисными функциями вейвлет-преобразования.

Владимир Логвинович Рвачев в моей жизни
9

Новый класс вейвлет-функций может быть использован не только
в задачах обнаружения сигналов на фоне слабо коррелированных помех, определения местоположения источника СШП сигнала, измерения
информационных параметров СШП сигналов, но и в краевых задачах
математической физики при решении интегральных уравнений первого
или второго рода.

Нашу с В. Л. Рвачевым книгу ни в коем случае нельзя считать исчерпывающим источником в раскрытии теории R-функций, атомарных
функций, нового класса вейвлетов, полученных на основе семейства
АФ для различных физических приложений. При ее написании ставилась цель акцентировать внимание читателей на тех аспектах теории
R-функций, АФ, которые на практике доказали свою исключительную
эффективность и полезность.

Большую работу при подготовке первых двух глав книги провела
доктор физико-математических наук Н. Д. Сизова. Я благодарен доктору физико-математических наук М. А. Басарабу за просмотр некоторых
глав, доктору физико-математических наук, профессору Л. Ф. Черногору, кандидату физико-математических наук, доценту О. В. Лазоренко
за помощь при оформлении и обсуждении результатов пятой главы.
Выражаю глубокую признательность академику РАН Ю. В. Гуляеву,
академику РАН и НАН Украины Ю. А. Митропольскому, академику
РАН В.И. Пустовойту за постоянную поддержку в течение многих
лет новых идей и научных направлений авторов. Особенно хочу поблагодарить доктора физико-математических наук Н. И. Татаренко за
финансирование издания монографии.

Владимир Логвинович Рвачев в моей жизни

Первое знакомство с В. Л.

Владимир Логвинович Рвачев — это, безусловно, мой учитель
и старший друг. В конце его жизни нас сблизили не только большая наука, но и общие интересы к искусству, политике. Всем, что
состоялось в моей научной карьере, я обязан ему. Наше первое
знакомство произошло в 1964 г., когда я поступал в аспирантуру
в ХИГМАВТ (ныне Харьковский национальный университет радиоэлектроники им. М. К. Янгеля) к Виктору Петровичу Шестопалову. На
заявлении о поступлении в аспирантуру необходима была резолюция
проректора по научной работе. После этого заведующий аспирантурой
принимал документы и давал разрешение на сдачу вступительных
экзаменов. Иду по второму этажу института по направлению к кабинету проректора. Навстречу мне идет высокий, стройный, интересный
мужчина. Обращаюсь к нему с просьбой: «Будьте добры, пожалуйста,
подскажите, где расположен кабинет профессора В. Л. Рвачева?» Последовало: «А по какому вопросу?» «Да вот, поступаю в аспирантуру
к Шестопалову». «Так это ко мне. Я — Рвачев». Он взял у меня заявле

Владимир Логвинович Рвачев в моей жизни

ние, подошел к стене и, вынув из кармана пиджака авторучку с синими
чернилами, быстро написал: «документы принять». Так состоялась моя
первая встреча с Владимиром Логвиновичем.

... Вот и R-функция пришла

Свои краткие воспоминания о Владимире Логвиновиче Рвачеве
начну с защиты моей докторской диссертации, которая состоялась
в Харьковском государственном университете на радиофизическом факультете 21 октября 1985 г. Защиту диссертации назначили на 15
часов. Официальными оппонентами были академик АН СССР Юрий
Алексеевич Митропольский, доктор технических наук, профессор Неон
Александрович Арманд из ИРЭ РАН и доктор физико-математических
наук, профессор Владимир Георгиевич Сологуб — ученый харьковского
ИРЭ АН УССР. Ведущая организация — НПО «Энергия», которую
тогда возглавлял академик В. П. Глушко. В начале 1982 года я был переведен на работу в Москву (НПО «Точных приборов»). Хочу обратить
внимание на то, что организацию и защиту диссертации я мог провести
в Москве. Однако, несмотря на отрицательное отношение к ней «некоторых товарищей», решился (советовался с В. Л.) на харьковский вариант. Тема диссертационной работы была связана с применением теории
R-функций и атомарных функций в задачах современной радиофизики.
Основатель же научных направлений, рассматриваемых в диссертации,
жил и работал в Харькове. Кроме того, я считал необходимым противостоять тем, кто настраивал против меня председателя и некоторых
членов Ученого совета из-за каких-то личных своих соображений. Об
этом расскажу ниже.

Так исторически сложилось, что защита происходила в день рождения Рвачева. Шло время, члены Ученого совета практически все
подошли. Однако кворум не был достигнут. Официальные оппоненты
беседовали, шутили. Владимир Логвинович в это время находился
в пути... Он вошел в комнату как-то неожиданно для всех присутствовавших и с улыбкой на лице. Увидев его, Юрий Алексеевич Митропольский, тоже улыбаясь, сказал: «Вот и R-функция пришла. Теперь
все в порядке. Можно начинать работу Ученого совета». Председательствовал в тот день профессор Эдуард Дмитриевич Прохоров. Ученым
секретарем был профессор Николай Николаевич Горобец. Несколько
слов о поведении моих противников и тех, кто разобрался в возникшей
ситуации, поддержав меня. Активную работу по срыву защиты диссертации проводил профессор Олег Александрович Третьяков. Прежде
всего, он сам не явился на защиту, а до этого настраивал против
нее Э. Д. Прохорова и других членов Ученого совета. Одним словом,
с кворумом наступила критическая ситуация и ее следовало преодолеть. Исключительный пример высокой человеческой порядочности
проявил академик АН Украины Александр Яковлевич Усиков. Для
того чтобы защита состоялась, необходимо присутствие тринадцати
членов Ученого совета. Когда я ставил А. Я. Усикова (как члена совета)