Теория вероятностей. Математическая статистика

Бочаров П.П.
Печинкин А.В.

Теория

вероятностей.
М атематическая

статистика

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 519.2(078.5)
ББК 22.171+22.172
Б 86

Б о ч а р о в П. П.,
П е ч и н к и н А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 296 с. —
ISBN 5-9221-0633-3.

В первой части рассматриваются основные понятия теории вероятностей,
при этом используются относительно простые математические конструкции,
но, тем не менее, изложение ведется на основе аксиоматического построения,
предложенного академиком А. Н. Колмогоровым. Во второй части излагаются основные понятия математической статистики. Рассматриваются наиболее
часто встречающиеся задачи оценивания неизвестных параметров и проверки
статистических гипотез и описываются основные методы их решения. Каждое приведенное положение иллюстрируется примерами. Излагаемый материал
в целом соответствует государственному образовательному стандарту.
Студентам, аспирантам и преподавателям вузов, научным работникам различных специальностей и желающим получить первое представление о теории
вероятностей и математической статистике.

ISBN 5-9221-0633-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2005

c⃝ П. П. Бочаров, А. В. Печинкин, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
6
Введение . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8

I.
Теория вероятностей

Г л а в а 1. Вероятностное пространство. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15

1. Пространство элементарных исходов . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
2. События, действия над ними . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
16
3. σ-алгебра событий . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
21
4. Вероятность . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
25

Г л а в а 2. Классическая и геометрическая вероятности . .. .. .. .. .. .. .. .
29
1. Классическая вероятность . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
29
2. Элементы комбинаторики в теории вероятностей . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
30
3. Геометрическая вероятность . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
36

Г л а в а 3. Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
40

1. Условная вероятность . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
40
2. Формула умножения вероятностей . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
42
3. Независимость событий . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
44
4. Формула полной вероятности . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
47
5. Формула Байеса . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
48

Г л а в а 4. Схема Бернулли. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
52

1. Формула Бернулли. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
52
2. Формула Пуассона . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
53

Оглавление

3. Формулы Муавра–Лапласа . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
54
4. Применение приближенных формул Пуассона и Муавра–Лапласа
57
5. Теорема Бернулли . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
62
6. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло . . .. .
63
7. Полиномиальная схема . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
67

Г л а в а 5. Случайные величины и их распределения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
69

1. Случайная величина. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
69
2. Функция распределения случайной величины. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
71
3. Дискретные случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74
4. Непрерывные случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
77
5. Функции от случайной величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
84

Г л а в а 6. Многомерные случайные величины и их свойства . .. .. .. .
89

1. Многомерная случайная величина . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
89
2. Совместная функция распределения . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
90
3. Дискретные двумерные случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
92
4. Непрерывные двумерные случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
95
5. Условные распределения . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
101
6. Независимые случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
105
7. Функции от многомерных случайных величин . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
108

Г л а в а 7. Числовые характеристики случайных величин . .. .. .. .. .. . .
114

1. Математическое ожидание случайной величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
114
2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидания . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
117
3. Дисперсия. Моменты высших порядков . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
120
4. Ковариация и корреляция случайных величин . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
125
5. Условное математическое ожидание. Регрессия . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
129
6. Другие числовые характеристики случайных величин . . .. .. .. .. .. .. .
133

Г л а в а 8. Предельные теоремы теории вероятностей. . .. .. .. .. .. .. .. . .
137

1. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
138
2. Усиленный закон больших чисел. Закон повторного логарифма . .. .
140
3. Характеристическая функция. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
143
4. Центральная предельная теорема . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
150

Список литературы . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
152

Оглавление
5

II.
Математическая статистика

Г л а в а 1. Общие сведения. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155

1. Задачи математической статистики . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155
2. Основные понятия математической статистики . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
158
3. Простейшие статистические преобразования. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
160
4. Основные распределения математической статистики. . .. .. .. .. .. .. . .
169

Г л а в а 2. Оценки неизвестных параметров. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
173

1. Статистические оценки и их свойства . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
173
2. Достаточные оценки. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
183
3. Метод моментов . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
191
4. Метод максимального правдоподобия . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
193
5. Метод минимального расстояния . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
198
6. Метод номограмм . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
199
7. Доверительные интервалы. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
201

Г л а в а 3. Проверка статистических гипотез . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
207

1. Статистическая гипотеза. Критерий . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
207
2. Простые гипотезы . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
212
3. Однопараметрические гипотезы. Равномерно наилучшие критерии
223
4. Многопараметрические гипотезы . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
232
5. Критерии согласия . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
238
6. Критерии однородности двух выборок . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
246

Г л а в а 4. Некоторые задачи, связанные с нормальными выборками
252

1. Общая характеристика задач . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
252
2. Критерии согласия . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
253
3. Критерии равенства дисперсий . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
256
4. Выборочная корреляция . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
260
5. Общая линейная модель, метод наименьших квадратов . . .. .. .. .. . .
263
6. Регрессионный анализ . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
271
7. Дисперсионный анализ . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
278
8. Планирование эксперимента . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
285

Список литературы . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
292
Приложение . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
293

Оглавление

3. Формулы Муавра–Лапласа . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
54
4. Применение приближенных формул Пуассона и Муавра–Лапласа
57
5. Теорема Бернулли . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
62
6. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло . . .. .
63
7. Полиномиальная схема . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
67

Г л а в а 5. Случайные величины и их распределения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
69

1. Случайная величина. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
69
2. Функция распределения случайной величины. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
71
3. Дискретные случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74
4. Непрерывные случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
77
5. Функции от случайной величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
84

Г л а в а 6. Многомерные случайные величины и их свойства . .. .. .. .
89

1. Многомерная случайная величина . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
89
2. Совместная функция распределения . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
90
3. Дискретные двумерные случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
92
4. Непрерывные двумерные случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
95
5. Условные распределения . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
101
6. Независимые случайные величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
105
7. Функции от многомерных случайных величин . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
108

Г л а в а 7. Числовые характеристики случайных величин . .. .. .. .. .. . .
114

1. Математическое ожидание случайной величины . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
114
2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидания . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
117
3. Дисперсия. Моменты высших порядков . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
120
4. Ковариация и корреляция случайных величин . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
125
5. Условное математическое ожидание. Регрессия . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
129
6. Другие числовые характеристики случайных величин . . .. .. .. .. .. .. .
133

Г л а в а 8. Предельные теоремы теории вероятностей. . .. .. .. .. .. .. .. . .
137

1. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
138
2. Усиленный закон больших чисел. Закон повторного логарифма . .. .
140
3. Характеристическая функция. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
143
4. Центральная предельная теорема . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
150

Список литературы . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
152

Оглавление
5

II.
Математическая статистика

Г л а в а 1. Общие сведения. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155

1. Задачи математической статистики . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155
2. Основные понятия математической статистики . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
158
3. Простейшие статистические преобразования. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
160
4. Основные распределения математической статистики. . .. .. .. .. .. .. . .
169

Г л а в а 2. Оценки неизвестных параметров. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
173

1. Статистические оценки и их свойства . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
173
2. Достаточные оценки. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
183
3. Метод моментов . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
191
4. Метод максимального правдоподобия . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
193
5. Метод минимального расстояния . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
198
6. Метод номограмм . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
199
7. Доверительные интервалы. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
201

Г л а в а 3. Проверка статистических гипотез . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
207

1. Статистическая гипотеза. Критерий . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
207
2. Простые гипотезы . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
212
3. Однопараметрические гипотезы. Равномерно наилучшие критерии
223
4. Многопараметрические гипотезы . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
232
5. Критерии согласия . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
238
6. Критерии однородности двух выборок . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
246

Г л а в а 4. Некоторые задачи, связанные с нормальными выборками
252

1. Общая характеристика задач . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
252
2. Критерии согласия . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
253
3. Критерии равенства дисперсий . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
256
4. Выборочная корреляция . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
260
5. Общая линейная модель, метод наименьших квадратов . . .. .. .. .. . .
263
6. Регрессионный анализ . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
271
7. Дисперсионный анализ . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
278
8. Планирование эксперимента . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
285

Список литературы . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
292
Приложение . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
293

Предисловие

Предлагаемое учебное пособие написано на основе курсов по теории
вероятностей и математической статистике, читаемых авторами в течение ряда лет студентам самых различных специальностей, начиная
от инженерных и кончая прикладной математикой. Для его изучения
достаточно знание математики в объеме стандартного курса высшей
математики для втузов.
Следует обратить внимание читателя на то, что хотя теория вероятностей и математическая статистика выступают в роли единой
математической дисциплины, ее первая часть — теория вероятностей —
существенно более проста для понимания. Гораздо сложнее вторая
часть — математическая статистика, причем необходимым условием
для ее изучения является хорошее знание теории вероятностей. Этим
объясняется определенное различие в стиле изложения первой и второй
частей. Материал первой части, ориентированный на детальную проработку основных понятий теории вероятностей, достаточно однороден,
в то время как во второй части применен «многоуровневый» подход
к изложению: доказательства и более глубокие сведения, которые
можно опустить при первом знакомстве с математической статистикой,
выделены более мелким шрифтом.
В пособие включено большое количество примеров, иллюстрирующих приведенные положения.
В книге принята раздельная нумерация параграфов, примеров, формул, рисунков и таблиц по главам. При ссылке на объект из другой
главы добавляется номер главы (например, «см. пример 3 из гл. 2»).
В части 2 («Математическая статистика») имеются ссылки на часть 1
(«Теория вероятностей»), и тогда добавляется «часть 1» (например, «см.
часть 1, гл. 2, параграф 3»).
В книге приняты следующие соглашения об использовании математических знаков равенства и приближенного равенства. Соотношение
f ≡ g означает тождественное равенство функций f и g при всех
значениях аргумента. Запись a ≈ b означает асимптотическое равенство a и b при использовании предельных формул и эквивалентна
математическому соотношению a = b + o(1). Наконец, запись a ∼= b
означает равенство a и b с точностью до ошибок округления.
В книге приводятся отдельные списки литературы для первой и второй частей. При этом принят следующий порядок: сначала по возрастанию сложности идут учебники, затем — дополнительная литература
для тех читателей, кто желает более глубоко ознакомиться с тем

Предисловие
7

или иным разделом, и, наконец, также по возрастанию сложности
приводятся задачники.
При написании настоящей книги были использованы материалы
учебника Б. В. Гнеденко и задачника Л. Д. Мешалкина (см. [8] и [17],
литература к части 1). Кроме того, хотя в приложении и приводятся
таблицы значений распределения Пуассона, плотности нормального
распределения и интеграла Лапласа, для решения примеров по математической статистике необходимо иметь статистические таблицы
Л. Н. Большева и Н. В. Смирнова ([1], литература к части 2).
Авторы благодарны всем лицам, оказавшим помощь при подготовке
настоящего издания.
Бочаров П. П., Печинкин А. В.
2005 г.

Предисловие

Предлагаемое учебное пособие написано на основе курсов по теории
вероятностей и математической статистике, читаемых авторами в течение ряда лет студентам самых различных специальностей, начиная
от инженерных и кончая прикладной математикой. Для его изучения
достаточно знание математики в объеме стандартного курса высшей
математики для втузов.
Следует обратить внимание читателя на то, что хотя теория вероятностей и математическая статистика выступают в роли единой
математической дисциплины, ее первая часть — теория вероятностей —
существенно более проста для понимания. Гораздо сложнее вторая
часть — математическая статистика, причем необходимым условием
для ее изучения является хорошее знание теории вероятностей. Этим
объясняется определенное различие в стиле изложения первой и второй
частей. Материал первой части, ориентированный на детальную проработку основных понятий теории вероятностей, достаточно однороден,
в то время как во второй части применен «многоуровневый» подход
к изложению: доказательства и более глубокие сведения, которые
можно опустить при первом знакомстве с математической статистикой,
выделены более мелким шрифтом.
В пособие включено большое количество примеров, иллюстрирующих приведенные положения.
В книге принята раздельная нумерация параграфов, примеров, формул, рисунков и таблиц по главам. При ссылке на объект из другой
главы добавляется номер главы (например, «см. пример 3 из гл. 2»).
В части 2 («Математическая статистика») имеются ссылки на часть 1
(«Теория вероятностей»), и тогда добавляется «часть 1» (например, «см.
часть 1, гл. 2, параграф 3»).
В книге приняты следующие соглашения об использовании математических знаков равенства и приближенного равенства. Соотношение
f ≡ g означает тождественное равенство функций f и g при всех
значениях аргумента. Запись a ≈ b означает асимптотическое равенство a и b при использовании предельных формул и эквивалентна
математическому соотношению a = b + o(1). Наконец, запись a ∼= b
означает равенство a и b с точностью до ошибок округления.
В книге приводятся отдельные списки литературы для первой и второй частей. При этом принят следующий порядок: сначала по возрастанию сложности идут учебники, затем — дополнительная литература
для тех читателей, кто желает более глубоко ознакомиться с тем

Предисловие
7

или иным разделом, и, наконец, также по возрастанию сложности
приводятся задачники.
При написании настоящей книги были использованы материалы
учебника Б. В. Гнеденко и задачника Л. Д. Мешалкина (см. [8] и [17],
литература к части 1). Кроме того, хотя в приложении и приводятся
таблицы значений распределения Пуассона, плотности нормального
распределения и интеграла Лапласа, для решения примеров по математической статистике необходимо иметь статистические таблицы
Л. Н. Большева и Н. В. Смирнова ([1], литература к части 2).
Авторы благодарны всем лицам, оказавшим помощь при подготовке
настоящего издания.
Бочаров П. П., Печинкин А. В.
2005 г.

Введение

Теория вероятностей и математическая статистика относится к числу прикладных математических дисциплин, поскольку она направлена
на решение прикладных задач и возникла из чисто практических потребностей, а использует математические методы. В свою очередь двойное название дисциплины говорит о том, что в ней можно выделить два
направления: теорию вероятностей и математическую статистику. Если
попытаться кратко объяснить, чем занимаются каждое из направлений,
то это будет выглядеть так: теория вероятностей производит пересчет
заданных вероятностей «простых» событий в вероятности «сложных»
событий, а математическая статистика по наблюденным данным восстанавливает вероятности событий или проверяет, правы ли мы в своих
предположениях относительно этих вероятностей.
Постараемся подробнее остановиться на том, какие закономерности
изучает теория вероятностей и математическая статистика и какое
отношение это имеет к практике.
Начнем с первого направления — теории вероятностей. Уже само
название наводит на мысль, что основная задача теории вероятностей — изучение численных закономерностей в опытах, результаты которых не могут быть предсказаны однозначно до проведения испытаний.
Для того чтобы лучше понять существо дела, выясним подробнее
тот смысл, который вкладывается в понятия «вероятно», «маловероятно», «весьма вероятно».
Первое необходимое условие употребления этих понятий заключается, как уже говорилось, в невозможности предсказания исхода
некоторого действия. Так, мы не можем предсказать, какой стороной
упадет подброшенная монета, сколько очков выпадет на игральной
кости, сколько времени проработает электрическая лампочка, какое
вещество образуется в результате определенной химической реакции
(если, конечно, результат не предопределен известной нам теорией),
сколько частиц будет зарегистрировано счетчиком Гейгера–Мюллера
за заданный промежуток времени, какой номер телефона у знакомого,
какая будет погода 1 июня 2010 г. и т. д.
Однако погоду 1 июня 2010 г. мы не будем знать до этого дня,
а после наступления 1 июня 2010 г. она будет полностью определена.
Поэтому применение слов «маловероятно», «весьма вероятно» к погоде
именно 1 июня 2010 г. некорректно из-за невозможности повторения
испытания и погодой 1 июня 2010 г. до этого дня занимается метеорология, а после — история, но никак не теория вероятностей. Итак,
второе необходимое условие — возможность повторения испытания

Введение
9

с первоначальным комплексом исходных данных, причем, хотя бы
теоретически, бесконечное число раз.
Далее, выяснив номер телефона знакомого, мы сколько бы раз его
ни спрашивали, новых цифр не добьемся. Аналогично, определив исход
химической реакции, а затем проведя ее снова при тех же условиях,
мы, естественно, нового вещества не получим. Отсюда вытекает третье
необходимое условие — невозможность точного предсказания результатов не только первого испытания, но и каждого последующего.
Таким образом, в приведенных выше примерах высказывания «маловероятно», «весьма вероятно» в наиболее точном их смысле можно
отнести только к подбрасыванию монеты, бросанию игральной кости,
испытанию электрической лампочки и регистрации частиц счетчиком
Гейгера.
Попробуем теперь формализовать понятие «вероятного», связывая
с ним числовую характеристику. Очевидно, эпитет «маловероятно» мы
приписываем событиям, доля появления которых в общем числе испытаний мала, и, наоборот, «весьма вероятно» — событиям, происходящим практически во всех испытаниях. Введем количественную оценку
понятия «вероятного». Для этого рассмотрим частоту fA = NA/N появления некоторого события A, где NA — число появлений этого события,
а N — общее число испытаний. Оказывается, как было установлено
опытным путем, с ростом числа испытаний N для довольно широкого класса явлений частота fA стабилизируется, т. е. стремится
к некоторому предельному значению PA, которое естественно принять в качестве вероятности события A. К явлениям подобного
рода относятся события, связанные с выпадением «герба» или «цифры»
при подбрасывании монеты, с выпадением определенного числа очков
при бросании игральной кости, с работой электрической лампочки
в определенных границах времени, регистрацией частиц счетчиком
и многие, многие другие. Такие события разумно назвать случайными.
Поскольку в настоящем курсе другие события встречаться не будут, то
прилагательное «случайное» мы будем для краткости опускать.
Эмпирический закон предельного постоянства частоты является той
основной физической предпосылкой, которая необходима для практического применения методов теории вероятностей. Более того, хотя современная теория вероятностей и строится на аксиоматическом определении вероятности (см. ниже), при осмыслении полученных результатов
мы рекомендуем всегда пользоваться частотной интерпретацией.
Так, если после вычислений Вы получили, что вероятность некоторого
события A равна 0,15, то это нужно трактовать следующим образом:
при многократном повторении соответствующего опыта на каждые 100
испытаний приходится 15 появлений события A.
Однако попытка отождествить вероятность с частотой не выдерживает никакой более или менее существенной критики. Частота меняется от испытания к испытанию, а бесконечного числа испытаний, как
известно, никто не проводил и вряд ли проведет в обозримом будущем.

Введение

Теория вероятностей и математическая статистика относится к числу прикладных математических дисциплин, поскольку она направлена
на решение прикладных задач и возникла из чисто практических потребностей, а использует математические методы. В свою очередь двойное название дисциплины говорит о том, что в ней можно выделить два
направления: теорию вероятностей и математическую статистику. Если
попытаться кратко объяснить, чем занимаются каждое из направлений,
то это будет выглядеть так: теория вероятностей производит пересчет
заданных вероятностей «простых» событий в вероятности «сложных»
событий, а математическая статистика по наблюденным данным восстанавливает вероятности событий или проверяет, правы ли мы в своих
предположениях относительно этих вероятностей.
Постараемся подробнее остановиться на том, какие закономерности
изучает теория вероятностей и математическая статистика и какое
отношение это имеет к практике.
Начнем с первого направления — теории вероятностей. Уже само
название наводит на мысль, что основная задача теории вероятностей — изучение численных закономерностей в опытах, результаты которых не могут быть предсказаны однозначно до проведения испытаний.
Для того чтобы лучше понять существо дела, выясним подробнее
тот смысл, который вкладывается в понятия «вероятно», «маловероятно», «весьма вероятно».
Первое необходимое условие употребления этих понятий заключается, как уже говорилось, в невозможности предсказания исхода
некоторого действия. Так, мы не можем предсказать, какой стороной
упадет подброшенная монета, сколько очков выпадет на игральной
кости, сколько времени проработает электрическая лампочка, какое
вещество образуется в результате определенной химической реакции
(если, конечно, результат не предопределен известной нам теорией),
сколько частиц будет зарегистрировано счетчиком Гейгера–Мюллера
за заданный промежуток времени, какой номер телефона у знакомого,
какая будет погода 1 июня 2010 г. и т. д.
Однако погоду 1 июня 2010 г. мы не будем знать до этого дня,
а после наступления 1 июня 2010 г. она будет полностью определена.
Поэтому применение слов «маловероятно», «весьма вероятно» к погоде
именно 1 июня 2010 г. некорректно из-за невозможности повторения
испытания и погодой 1 июня 2010 г. до этого дня занимается метеорология, а после — история, но никак не теория вероятностей. Итак,
второе необходимое условие — возможность повторения испытания

Введение
9

с первоначальным комплексом исходных данных, причем, хотя бы
теоретически, бесконечное число раз.
Далее, выяснив номер телефона знакомого, мы сколько бы раз его
ни спрашивали, новых цифр не добьемся. Аналогично, определив исход
химической реакции, а затем проведя ее снова при тех же условиях,
мы, естественно, нового вещества не получим. Отсюда вытекает третье
необходимое условие — невозможность точного предсказания результатов не только первого испытания, но и каждого последующего.
Таким образом, в приведенных выше примерах высказывания «маловероятно», «весьма вероятно» в наиболее точном их смысле можно
отнести только к подбрасыванию монеты, бросанию игральной кости,
испытанию электрической лампочки и регистрации частиц счетчиком
Гейгера.
Попробуем теперь формализовать понятие «вероятного», связывая
с ним числовую характеристику. Очевидно, эпитет «маловероятно» мы
приписываем событиям, доля появления которых в общем числе испытаний мала, и, наоборот, «весьма вероятно» — событиям, происходящим практически во всех испытаниях. Введем количественную оценку
понятия «вероятного». Для этого рассмотрим частоту fA = NA/N появления некоторого события A, где NA — число появлений этого события,
а N — общее число испытаний. Оказывается, как было установлено
опытным путем, с ростом числа испытаний N для довольно широкого класса явлений частота fA стабилизируется, т. е. стремится
к некоторому предельному значению PA, которое естественно принять в качестве вероятности события A. К явлениям подобного
рода относятся события, связанные с выпадением «герба» или «цифры»
при подбрасывании монеты, с выпадением определенного числа очков
при бросании игральной кости, с работой электрической лампочки
в определенных границах времени, регистрацией частиц счетчиком
и многие, многие другие. Такие события разумно назвать случайными.
Поскольку в настоящем курсе другие события встречаться не будут, то
прилагательное «случайное» мы будем для краткости опускать.
Эмпирический закон предельного постоянства частоты является той
основной физической предпосылкой, которая необходима для практического применения методов теории вероятностей. Более того, хотя современная теория вероятностей и строится на аксиоматическом определении вероятности (см. ниже), при осмыслении полученных результатов
мы рекомендуем всегда пользоваться частотной интерпретацией.
Так, если после вычислений Вы получили, что вероятность некоторого
события A равна 0,15, то это нужно трактовать следующим образом:
при многократном повторении соответствующего опыта на каждые 100
испытаний приходится 15 появлений события A.
Однако попытка отождествить вероятность с частотой не выдерживает никакой более или менее существенной критики. Частота меняется от испытания к испытанию, а бесконечного числа испытаний, как
известно, никто не проводил и вряд ли проведет в обозримом будущем.

Введение

Математика же привыкла иметь дело с точными, логически безупречными понятиями, и частотное определение ее никак не устраивает.
Поэтому выдающимся математиком прошлого века Андреем Николаевичем Колмогоровым было предложено аксиоматическое определение
вероятности, основанное на общем понятии меры. При этом аксиомы
Колмогорова отражают три основных свойства частоты, перенесенных
им на вероятность.
1. Частота появления случайного события неотрицательна — аксиома неотрицательности вероятности.
2. Частота появления достоверного события, т. е. события, происходящего в каждом испытании, равна единице — аксиома нормированности.
3. Если два события не могут одновременно произойти в одном
и том же испытании (несовместны), то частота появления хотя
бы одного из них совпадает с суммой частот появления каждого — аксиома сложения вероятностей.
Если теперь сопоставить каждому событию вероятность, т. е. число,
удовлетворяющее трем вышеперечисленным аксиомам, то, оказывается,
можно построить весьма содержательную теорию. При этом единственное добавление, необходимое для обеспечения математической
строгости, заключается в замене аксиомы сложения вероятностей 3
расширенной аксиомой сложения вероятностей:
3′. Вероятность суммы равна сумме вероятностей не только для
двух, но и для произвольного счетного (т. е. такого, которое
можно пересчитать с помощью чисел натурального ряда) числа
несовместных событий.
Аксиоматический подход позволяет не только описать хорошо известные явления, но и найти закономерности более общего типа. Так,
вспомним пример с подбрасыванием монеты. Естественно предположить (и это подтверждается неоднократными опытами), что частоты
выпадения «герба» и «цифры» одинаковы, и приписать каждому из
этих двух событий одинаковую вероятность 1/2. Однако при аксиоматическом построении теории вероятностей мы вправе приписать
выпадению «герба» любую вероятность p, заключенную между нулем
и единицей, а тогда выпадению «цифры» мы обязаны сопоставить вероятность q = 1 − p. Такое определение вероятности описывает случай
несимметричной монеты. В свою очередь, последовательное подбрасывание несимметричной монеты (или аналогичный опыт) носит в теории
вероятностей название последовательности независимых одинаковых
испытаний или схемы Бернулли и является одной из наиболее часто
применяемых на практике «базовых» моделей, позволяющих наглядно
представить себе основные задачи этой теории.
Теперь мы можем привести примеры простейших задач, которые
решает теория вероятностей. Так, считая, что при бросании игральной

Введение
11

кости падение ее на любую грань одинаково вероятно, нужно найти
вероятность того, что выпадет четное число очков. Или, зная вероятность p выпадения «герба» при одном подбрасывании несимметричной
монеты, необходимо определить вероятность выпадения ровно одного
«герба» при двух подбрасываниях этой же монеты.
Вернемся к примерам, рассмотренным в самом начале введения.
При первом прочтении мы отбросили высказывания о погоде, результате химической реакции, номере телефона знакомого. При более
детальном рассмотрении оказывается, однако, что и к ним можно
применить методы теории вероятностей. Заменяя, например, высказывание «погода 1 июня 2010 г. будет солнечная» высказыванием
«погода 1 июня будет солнечная» (не указывая, какого именно года),
мы уже вправе использовать вероятностные соображения. Аналогично,
в результате химической реакции могут появиться побочные продукты,
объем которых может оказаться случайным. Предоставим читателю
самому придумать постановку задачи о номере телефона знакомого,
для решения которой также можно было бы применить вероятностные
методы.
Перейдем ко второму направлению — математической статистике. В теории вероятностей игнорируется вопрос: откуда берутся
исходные вероятности? Они считаются заданными «извне» или определенными какой-либо теорией. Однако в реальной жизни при применении методов теории вероятностей постоянно приходится сталкиваться
с ситуациями, когда эти вероятности нам неизвестны. Конечно, при
отсутствии всякой информации давать какие-либо прогнозы — вещь
весьма опасная. Поэтому подумаем, как можно выйти из создавшейся
ситуации.
Обратимся к примеру. Пусть нам предлагают играть в «орлянку»
неизвестной монетой, о которой мы не знаем, как часто выпадает
«герб» и как часто — «цифра». Осторожный человек, прежде чем
«бросаться головой в омут», всегда посмотрит, как это делают другие.
Поэтому он сначала понаблюдает за ходом игры и только потом, оценив
для себя шансы, будет ставить на тот или иной исход.
Именно задачами восстановления на основе предварительных наблюдений данных, недостающих для расчетов методами теории вероятностей, и занимается математическая статистика. Очевидно, что в силу случайности результатов наблюдений сделать достоверные выводы
о параметрах того явления, которое мы далее собираемся исследовать,
невозможно. Тем не менее у нас есть определенная зацепка: это тот же
самый эмпирический закон предельного постоянства частоты (однако,
если мы работаем в рамках аксиоматического подхода, мы должны
этот закон доказать строго математически!). В соответствии с ним:
чем дольше производить наблюдения, тем более точные выводы можно
получить. Математическая статистика как раз и учит тому, как нужно
обрабатывать наблюдения, чтобы «выжать» из них наиболее полную