Методы математической физики. Классификация уравнений и постановка задач. Метод Даламбера

А.П. Давыдов, Т.П. Злыднева

Методы математической физики. Классификация 
уравнений и постановка задач. Метод Даламбера

Москва

Инфра-М

2017

А.П. Давыдов, Т.П. Злыднева

Методы математической физики. Классификация 
уравнений и постановка задач. Метод Даламбера

Курс лекций

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2017

УДК 004.45

Рецензенты:

Заместитель директора представительства

Челябинского государственного педагогического университета

в г. Магнитогорске,

кандидат технических наук, доцент

Л.Е. Смушкевич

Доцент кафедры прикладной математики и информационных технологий Сибайского института (филиала)

ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»,

кандидат педагогических наук

И.С. Гумеров

Давыдов, А.П.

Методы 
математической 
физики. 
Классификация 
уравнений 
и 

постановка задач. Метод Даламбера: курс лекций / А.П. Давыдов, Т.П.
Злыднева. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2017. – 100 с.

ISBN 978-5-16-105499-4 (online)

ISBN 978-5-16-105499-4 (online)
© А.П. Давыдов, Т.П. Злыднева, 2017

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………….…….…5
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В 

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА……………….…6

1.1. Типы дифференциальных уравнений в частных производных

второго порядка….……..…………………………..……………....6
1.1.1. Классификация уравнений в точке………….…………………6
1.1.2. Примеры наиболее важных уравнений…….…………………12

1.2. Приведение к каноническому виду уравнений с постоянными  

старшими коэффициентами………………………………………25

1.3. Приведение к каноническому виду уравнений с двумя незави
симыми переменными…………………………………………….36
1.3.1. Классификация уравнений с двумя независимыми пере
менными……………………………………………………………37

1.3.2. Характеристическое  уравнение. Характеристики ……..40
1.3.3. Уравнения с двумя независимыми переменными гипер
болического типа………………………………………………....42

1.3.4. Уравнения с двумя независимыми переменными пара
болического типа………………………………………………....45

1.3.5. Уравнения с двумя независимыми переменными эллип
тического типа…………………………………...……………....47

1.3.6. Примеры приведения уравнений с двумя независимыми

переменными к каноническому виду…………………….…....49

1.4. Постановка краевых задач для квазилинейных дифференциаль
ных уравнений второго порядка в частных производных……...55
1.4.1. Классификация краевых задач…..………….…………………55
1.4.2. Задача Коши…………………….…..………….…………………57
1.4.3. Краевая задача для уравнений эллиптического типа.……58
1.4.4. Смешанная задача …………….…..………….………………....59

2. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА……………….……….60

2.1. Вывод уравнений и постановка начально-краевых задач............60

2.1.1. Вывод уравнения поперечных колебаний тонкой

 упругой струны ……………………………………….................61

2.1.2. Вывод уравнения продольных колебаний струн и стер
жней ………………………………………...................................63

2.1.3. Вывод телеграфного уравнения………….…………………... 67
2.1.4. Постановка основных начально-граничных задач…......... 73

2.2. Решение гиперболических уравнений методом характеристик  

(методом Даламбера)........................................................................75
2.2.1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Фор
мула Даламбера………….…………………................................75

2.2.2. Полубесконечная струна (метод продолжения)…………...82

ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дельта-функция Дирака…...…………………….……85
ДОПОЛНЕНИЕ 2. Теорема о характеристическом уравнении….……….99
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………101

ПРЕДИСЛОВИЕ

Изложению методов математической физики посвящено множество 

книг разных авторов, как внесших собственный значительный вклад в 
данную дисциплину, так и переработавших обширный материал и изложивших его со своей точки зрения, сформированной в результате накопленного опыта преподавания в вузе. Не претендуя на полный список, 
укажем наиболее подходящие для нашего курса книги [1–11]. Некоторые 
из них стали по сути бестселлерами. Однако для бакалавров конкретного 
направления подготовки всегда будет иметь место необходимость избирательного выбора подачи учебного материала с учетом разработанной 
рабочей программы данной дисциплины, формирования общекультурных
и профессиональных компетенций [12–19] и общего вектора развития 
математики и информатики [20–21]. Предлагаемое пособие рассчитано 
для изучения методов математической физики бакалаврами по направлению подготовки 011200.62 «Физика» и 010400.62 «Прикладная математика и информатика».  Поэтому в пособии излагается материал с учетом 
его дальнейшего применения при изучении других дисциплин, связанных 
с физикой, прикладной математикой и информатикой. В связи с этим, в 
первой части пособия уделено достаточно большое внимание обзору физических дифференциальных уравнений. В частности, например, подробно поясняются уравнения Дирака и Паули, которым редко отводится место в существующих учебниках по математической физике.

Очевидно, работа по написанию качественного учебного пособия 

требует больших затрат труда и времени. Поэтому авторами принято решение разбить учебное пособие на 2-3 части, с тем, чтобы его уже подготовленные разделы, вошедшие в первую часть, могли быть использованы 
студентами как можно раньше в текущем учебном году.

Данное учебное пособие будет полезным при изучении методов ма
тематической физики и по другим направлениям подготовки бакалавров. 
Также оно рассчитано на изучение данной дисциплины в рамках самообразования, поскольку авторы старались делать минимум ссылок на известные сведения из математики, приводя их и поясняя в предлагаемом 
пособии. С этой целью, например, в Дополнении 2 приведены подробные 
сведения о дельта-функции Дирака, которая широко применяется при 
изложении как методов математической физики, так и, особенно, квантовой механики в курсе теоретической физики.

РАЗДЕЛ 1. КЛАССИФИКАЦИЯ 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ 

ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1.1. ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ 

ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Оказывается,  что решение наиболее важных задач физики и смеж
ных с ней областей науки сводится к уравнениям в частных производных 
второго порядка. Дадим классификацию этих уравнений.

1.1.1. Классификация уравнений  в точке

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение второго 

порядка 


















n

i
i

i

n

j
i
j
i

ij
x
F
x
u
x
C
x
u
x
B
x
x

u
x
A
u
L

1
1
,

2

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
, 
(1.1)

где неизвестная функция
)
,
...
,
,
(
)
(
2
1
nx
x
x
u
x
u

, зависит от n  независи
мых переменных 
2
,
)
,
...
,
,
(
2
1




n
R
G
x
x
x
x
n

n
; коэффициенты 

)
(x
Aij
– непрерывные вещественные функции, заданные в области

n
R
G 
, причем без потери общности можно считать, что 
ji
ij
A
A 
, где 

n
j
i
,
...
,2
,1
,

. Будем предполагать, что всюду в области G  порядок 

уравнения равен двум, то есть сразу все коэффициенты 
)
(x
Aij
 в области 

G  не равны нулю, иначе уравнение (1.1) становится дифференциальным 
уравнением первого порядка. Коэффициенты 
)
(x
Aij
далее будем назы
вать старшими коэффициентами для уравнения (1.1).

Любое уравнение (1.1) в каждой точке 
G
x
x
x
x
n 

)
,
...
,
,
(
0
0
2

0
1
0
 пу
тем 
неособенной 
замены 
независимых 
переменных
)
(x
y
y
k
k 
, 



0
det
det
det












S
S
x
y
J
ik

i

k
, можно преобразовать к каноническо
му виду. Действительно, неравенство нулю данного определителя, в частности, означает, что переменные x , в свою очередь,  можно выразить 
через переменные y , то есть найти зависимости 
)
(y
x
x
i
i 
. Полагая то
гда, что 
)
(x
u
 является в то же время функцией переменных y , поскольку 

)
(
))
(
(
y
u
y
x
u
u


, преобразуем все заданные в уравнении (1.1) функции

от x  в функции от новых переменных: 
)
(
))
(
(
)
(
y
A
y
x
A
x
A
ij
ij
ij


 и т. д.; 

одновременно с этим соответствующие производные запишем в виде

i

n

i
x

y

y
u

x
u


















1

,
(1.2)



















































n

i
j
i

n

k
j

k

k
i
j
j
i
x
x

y

y
u

x
y

x
y

y
y

u

x
u

x
x
x

u

1

2

1
,

2
2












.

В последнем равенстве можно поменять местами индексы i  и j ; однако 
ввиду того, что правая часть этого равенства при такой замене не изменится (по определению смешанной производной), запишем ее в прежнем 
виде:
































n

j
i
j

n

k
i

k

k
j
i
x
x

y

y
u

x

y

x

y

y
y

u

x
x

u

1

2

1
,

2
2












.
  (1.3)

Подставляя (1.2), (1.3)  в (1.1), получаем уравнение той же структуры, 
что и первоначальное уравнение (1.1):


















n
n

k
k

k
y
F
y
u
y
C
y
u
y
B
y
y

u
y
A
u
L

1
1
,

2

)
(
)
(
)
(
)
(
~
)
(
~










,
(1.4)

где 


















n

j
i

j
ij

T
ki

n

j
i

j
ik
ij

n

j
i
j
i

k

ij
k
S
y
A
S
S
S
y
A
x
y

x
y
y
A
y
A

1
,
1
,
1
,

)
(
)
(
)
(
)
(
~







,       (1.5)























n

i

i
i

n

j
i
i

j

ij

n

i

i
i

n

j
i
j
i

ij
S
y
B
x

S

y
A
S
y
B
x
x

y
y
A
y
B

1
1
,
1
1
,

2

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
~










,    (1.6)

а матричные элементы 
ik
S
 образуют введенную выше матрицу S  (нену
левого) якобиана перехода к новым переменным 
)
(x
y
y
k
k 
:



0
det
det
det

2
1

2
2

2

2

1

1
1

2

1

1










































S
S

x
y

x
y

x
y

x
y

x
y

x
y

x
y

x
y

x
y

x
y
J
ik

n

n

n
n

n

n

i

k












.
  (1.7)

Таким образом, матрица S , определяемая своими матричными 

элементами

i

k

ik
x
y
S



,
 (1.8)

дает, согласно (1.5), закон преобразования коэффициентов
)
(x
Aij
 при 

старших производных уравнения (1.1). В матричном виде этот закон 
можно записать как 

S
x
A
S
y
A
T
)
(
)
(
~

,
            (1.9)

где 
T
S
– матрица, транспонированная по отношению к S ; здесь в правой 

части для наглядности отражена первоначальная (возможная) зависимость коэффициентов 
)
(x
Aij
, в отличие от закона (1.5), в котором уже 

совершен “окончательный” переход к новым переменным 
)
(x
y
y
k
k 
.

Зафиксируем теперь определенную точку
G
x
x
x
x
n 

)
,
...
,
,
(
0
0
2

0
1
0
 и 

сопоставим уравнению (1.1) квадратичную форму от некоторых переменных 
i
X







n

j
i

j
i
ij
n
X
X
x
A
X
X
X
g

1
,

0
2
1
)
(
)
,
...
,
,
(
.
(1.10)

Из линейной алгебры известно, что от переменных 
i
X  всегда можно пе
рейти к новым переменным 
iY , совершив линейное однородное невыро
жденное (“неособенное”) преобразование S , такое что

Y
S
X 
,
(1.11)

или







n

k

k
ik
i
Y
S
X

1

, 
0
det

S
(1.12)

(“невырожденность” означает, что определитель матрицы S должен быть
не равен нулю), так что в новых переменных
iY  действительная симмет
рическая квадратичная форма (1.10) приобретает вид







n

k

k
k
n
Y
Y
x
A
Y
Y
Y
g

1
,

0
2
1
)
(
~
)
,
...
,
,
(





,
(1.13)

где новые коэффициенты 
)
(
~

0
x
Ak
 (для той же точки 
0
x ) образуют мат
рицу A~ , равную (в чем легко убедиться, подставив (1.12) в (1.10)):

S
A
S
A
T

~
,
         (1.14)

Это выражение эквивалентно равенству для матричных элементов










n

j
i

j
ij

T
ki

n

j
i

j
ij
ik
k
S
A
S
S
A
S
x
A

1
,
1
,

0 )
(
~




.
(1.15)

Сравнивая (1.9), (1.5), с равенствами (1.14), (1.15), мы видим, что 

закон преобразования коэффициентов
)
(x
Aij
 при старших производных 

в уравнении (1.1) совпадает с законом преобразования квадратичной 
формы (1.10) при неособенной линейной замене переменных.

Известно, далее, что для каждой заданной действительной симмет
рической квадратичной формы (1.10) существует такое линейное преобразование S  с действительными матричными элементами
ik
S
, что новая 

матрица A~  является диагональной, так что 







n

k

k
kk
n
Y
x
A
Y
Y
Y
g

1

2

0
2
1
)
(
~
)
,
...
,
,
(
.
(1.16)

При этом число 
q
p
r


отличных от нуля коэффициентов 
kk
A~
в (1.16) 

не зависит от выбора преобразования S , и равно рангу матрицы 
ij
A . Со
гласно “закону инерции”,  от выбора преобразования S  не зависит число 

p положительных и число q  отрицательных коэффициентов 
kk
A~
 в ра
венстве (1.16). (Число 
q
p
s


 называется сигнатурой данной квадра
тичной формы.)

В частности, преобразование S  можно подобрать так, чтобы коэф
фициенты 
)
(
~

0
x
Akk
 были бы равны 
1
 , 
1
  или 0. Тогда квадратичная 

форма (1.16) приобретает канонический вид







n

k

k
k
n
Y
x
Y
Y
Y
g

1

2

0
2
1
)
(
)
,
...
,
,
(

,
(1.17)

где 


1
,0
)
(
0


x
k

. Заметим, однако, что часто под каноническим по
нимают диагональный вид квадратичной формы  (1.16), более общий, 
чем (1.17); форму же (1.17), в таком случае, называют нормальным видом квадратичной формы. 

Итак, говорят, что уравнение (1.1) в точке 
0x  является уравнением

1) эллиптического типа, если квадратичная форма (1.10) в точке 
G
x 
0
является положительно или отрицательно определенной; в этом 

случае в (1.17) все 
1
)
( 0

x
k

 или 
)
,
...
,2
,1
(
1
)
(
0
n
k
x
k




; в но
вых переменных 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
y
y
y
y 
 уравнение (1.1) переходит в уравне
ние (1.4), которое сводится к виду