Геометрия и графика, 2015, №2

Г Е О М Е Т Р И Я
И  Г Р А Ф И К А

Т О М  3  •  В Ы П У С К  2  •  2 015

G E O M E T R Y  &  G R A P H I C S

Н А У Ч Н О - М Е Т О Д И Ч Е С К И Й  
Ж У Р Н А Л  
 
 
 
 
 
W W W . N A U K A R U . R U

I S S N  2 3 0 8 - 4 8 9 8

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Сальков Н.А., канд. техн. наук, 
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор: 
Путкова А.В.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2015

Подписано в печать 10.06.2015. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Иванов Г.С., Дмитриева И.М.
О задачах начертательной геометрии с мнимыми 
решениями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Сальков Н.А. 
Свойства циклид Дюпена и их применение. 
Часть 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Серегин В.И., Иванов Г.С., Сенченкова Л.С., 
Боровиков И.Ф.
Геометрические преобразования в начертательной 
геометрии и инженерной графике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Столбова И.Д., Александрова Е.П., 
Крайнова М.Н., Кочурова Л.В.
О создании учебно-методического комплекса 
для сопровождения графической подготовки 
студентов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Харах М.М., Козлова И.А., Славин Б.М., 
Гусева Т.В.
Построение линии пересечения некоторых 
сложных поверхностей 2-го порядка в компас 
с помощью 2D- и 3D-технологий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Логиновский А.Н., Хмарова Л.И., 
Усманова Е.А.
Формирование и развитие профессиональных 
навыков студентов в курсе начертательной 
геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ 
ОЛИМПИАД

Вельтищев В.В.
3D-олимпиады и компьютерное проектирование 
в программах технических университетов . . . . . . . . . . .52

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

2015. Том 3. Вып. 2
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного университета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного 
института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Омского 
государственного технического университета 
(ОмГТУ), Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2015. Vol. 3. Issue 2
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профес
сор.

 Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
Витебский государственный университет имени 
П.М. Машерова (Беларусь).

 Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волков Владимир Яковлевич, д-р техн. наук, профессор.
 Сибирская государственная автомобильно-дорожная 

академия, Омск (Россия).

 Siberian State Automobile and Highway Academy, Omsk 

(Russia).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Санкт-Петербургский государственный университет 

телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 

St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент.

 Московский государственный университет тонких хи
мических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).

 Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 

Technologies,  Moscow (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 

им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).

 Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 

Simferopol (Россия).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, про
фессор. 

 Московский государственный университет тонких хи
мических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).

 Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 

Technologies,  Moscow (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профес
сор.

 Софийский технический университет, София (Болгария).
 Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).

    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профес
сор.

 Московский государственный университет геодезии и 

картографии, Москва (Россия).

 Moscow State University of Geodesy and Cartography, 

Moscow (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный академический художе
ственный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, 
(Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 

Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 

Vienna (Austria).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редак цию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 Пермский национальный исследовательский политехни
ческий университет, Пермь (Россия).

 Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 

(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия), 
гл. редактор.

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент. Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия), зам. гл. редактора.

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 

Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия), ответственный секретарь.

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 2. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2015

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 515.001:513.628                        DOI: 10.12737/12163

Г.С. Иванов
Д-р техн. наук, профессор,
Московский государственный технический университет 
им. Н.Э. Баумана,
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1
И.М. Дмитриева
Канд. пед. наук, доцент,
Московский государственный университет леса,
Россия, 141005, Московская обл., г. Мытищи-5, 
ул. 1-я Институтская, д. 1

О задачах начертательной 
геометрии с мнимыми решениями 

Аннотация. Статья посвящена обсуждению научно-ме
тодических вопросов начертательной геометрии на примере 
решения задач, имеющих наряду с действительными и мнимые решения. Приведены примеры таких задач, графические 
решения которых дают неправильные ответы. Как следствие, 
они привели к появлению в некоторых учебных пособиях по 
начертательной геометрии ложных утверждений типа «кривая 
вырождается в точку», «тор является поверхностью второго 
порядка», «частными случаями торсовой поверхности являются 
конические и цилиндрические поверхности в случае вырождения ребра возврата торсовой поверхности в точку» и т.д.

В статье с помощью примеров определения порядка и 

класса плоской алгебраической кривой, изолированной точки 
касания, линии пересечения поверхностей второго порядка 
с общей плоскостью симметрии дается математически корректное толкование мнимых решений задач. Делается вывод 
о необходимости сочетания графических и аналитических 
способов решения для получения математически обоснованных ответов. Такой подход отвечает требованиям ФГОС 
по обеспечению как внутрипредметных, рассмотренных в 
данной публикации, так и междисциплинарных компетенций. 
Последние позволяют осуществить выход начертательной 
геометрии комплексного пространства в теорию алгебраических кривых и поверхностей, кремоновых преобразований, 
теорию поля и т.д.

Ключевые слова: мнимая точка, изолированная точка, 

изотропные прямые, мнимая касательная, порядок кривой, 
класс кривой.

G.S. Ivanov 
Doctor of Engineering, Professor,
Bauman Moscow State Technical University,
5/1, 2 Baumanskaya Str., Moscow, 105005, Russia
I.M. Dmitrieva  
Ph.D. of Pedagogy, Associate Professor,
Moscow State Forest University,
1, First Institutskaya Str., Mytischi-5, Moscow region, 
141005, Russia

About the Tasks of Descriptive Geometry 
With Imaginary Solutions

Abstract. The article is devoted to the discussion of the scien
tific methodological problems of presentation tasks of descriptive 
geometry along with having real and imaginary solutions. Examples 
of such problems are given, graphics solutions who give the wrong 

answers. As a consequence they resulted in some the textbooks on 
descriptive geometry to the emergence false claims type “ the curve 
degenerates to a point”, “a torus is a surface of the second order”, 
“conical and cylindrical surfaces are a special cases of the torsoboy 
surface in the case of degeneration of the ribs return torsoboy the 
surface at the point, etc.”

In the article gives a correct mathematical interpretation of 

imaginary solutions the tasks by considering of examples an the 
determine the order and class of plane algebraic curve, the isolated 
point touch, of the line of intersection of surfaces of the second 
order with a common plane of symmetry. To obtain a mathematically valid answers the conclusion about the need for a combination 
of graphical and analytical solutions. This approach meets the 
requirements of the GEF on ensure as intrasubject discussed in this 
publication, and so interdisciplinary competencies. The latter have 
a broad outlet of descriptive geometry in complex space in the 
theory of algebraic curves and surfaces, kremenovic transformations, 
field theory, etc.

Keywords: the imaginary point, an isolated point, isotropic the 

direct, imaginary tangent, the order of the curve, class curve.

В учебных курсах начертательной геометрии рас
сматриваются лишь графические способы решения 
геометрических задач. Поэтому в случае мнимых 
решений (координаты искомых точек являются комплексными числами, коэффициенты в уравнениях 
искомых линий или поверхностей также являются 
комплексными числами) указывают на отсутствие 
решения. В настоящее время только в классах с математическим уклоном говорят о наличии двух мнимых решений у квадратного уравнения с одной неизвестной, если его дискриминант меньше нуля. Для 
остальных учеников средней школы такое уравнение 
решения не имеет.

Несмотря на существование решения с позиций 

алгебры, в начертательной геометрии говорят об 
отсутствии пересечения кривой линии и поверхности, 
двух поверхностей, если нет действительных точек 
или линий пересечения. Такие утверждения, как 
правило, не влияют на результаты построений в инженерной графике. Но они зачастую искажают результаты решения ряда задач самой начертательной 
геометрии. Например, графический способ определения порядка алгебраических кривых или поверхностей выше второго обычно дает неправильный 
ответ. Приведем пример: автор учебного пособия 
[15], судя по его названию, всерьез считает тор поверхностью второго порядка. Но этот «грех» не идет 
ни в какое сравнение с уравнением, содержащимся 
в этом пособии, «заимствованным» из статьи Е.А. Глазунова [2]. Кстати, эта статья содержит великолепный 
исходный материал для обсуждения темы настоящей 
публикации.

Поэтому весьма актуальны требования последних 

ФГОСов ВПО о повышении профессиональных ком

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2015 
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 2. 3–8

петенций обучающихся путем выявления и установления междисциплинарных связей, сочетания конструктивных и аналитических способов решения 
задач. Применительно к преподаванию начертательной геометрии это расширяет ее предмет и объективно способствует ее трансформации в инженерную 
геометрию [5; 6; 9; 10]. В последние годы появились 
научные исследования [3; 4; 12] и монографии [1; 7; 
15] по изображению мнимых элементов мнимых 
решений геометрических задач и т.д., написанные 
специалистами в области начертательной геометрии. 
Однако они в силу ряда причин не стали достоянием преподавателей кафедр инженерной графики. 
Поэтому целью настоящей публикации в специализированном журнале является ознакомление широкого круга преподавателей с мнимыми решениями 
типовых задач учебного курса начертательной геометрии. Представляется, что аналитическое сопровождение графических алгоритмов решения этих 
задач будет способствовать преодолению догматического восприятия начертательной геометрии как 
сугубо графической дисциплины.

Подтвердим этот тезис рассмотрением нескольких 

задач, имеющих наряду с действительными и мнимые 
решения.

1. Графическое определение порядка n плоской 

алгебраической кривой k, как известно, сводится к 
построению точек ее пересечения с некоторой прямой l. Ради простоты аналитических выкладок в 
качестве исследуемой кривой возьмем окружность k
(рис. 1). Три прямые l1 (x = x1, где x1 < R), l2 (x = x2, 
где x2 = R) и l3 (x = x3, где x3 > R) пересекают окружность k (x2 + y2 = R2) соответственно в двух действительных различных точках 11, 21, в двух совпавших 
12 = 22 и в двух мнимых точках 13, 23. Ординаты 

y
R
xi
1 2

2
2

, = ±
−
этих точек вычисляются подстанов
кой в уравнение окружности соответственно значений x1, x2, x3. В первом случае они будут действительными различными y
R
x
1 2
2
1
2

, = ±
−
, во втором – сов
павшими y
R

1 2, =
, а в третьем – комплексно сопря
женными y
ci
1 2, = ±
, где значение c равно длине 

касательной LK, проведенной из точки L = l3 ∩ Ox к 
окружности k.

В последнем случае мнимые точки 13, 23 (они, в 

отличие от действительных точек, отмечены крестиками) получаются в результате пересечения окружности m с центром L = l3 ∩ Ox радиуса LK. Если таким 
образом построить мнимые точки пересечения множества параллельных прямых li || l3 с окружностью k, 
то они будут принадлежать равнобочной гиперболе 

′
kM  – мнимому продолжению окружности k в направлении n′ = Ox [4].

На рис. 1 показано мнимое продолжение 
′′
kM

окружности k в направлении прямой n″. Координаты 
произвольных точек 1′, 2′ мнимого продолжения 
′′
kM

являются комплексно сопряженными числами

x
a
ci

y
b
ci

1

1

2

2

=
±

=
±

,

,  
(1)

где a, b – координаты точки L′, c – длина касательной L′K′, проведенной из точки L′ к окружности k.

Так как координаты точек мнимого продолжения 
′
mi  определяются тремя параметрами a, b, c, а сами 
точки получаются в результате пересечения прямых  ′li
с множеством окружностей 
′
mi , то было предложено 

их моделировать «пунктированными» окружностями 
′
mi

[4]. Такая модель не наглядна и не соответствует изображению, принятому в классическом курсе начертательной геометрии. В итоге появилась идея моделирования «комплексной» окружности k путем ее отображения на действительное трехмерное пространство:
• действительная часть окружности k изображается 

в координатной плоскости Oxy;

• мнимые продолжения (равнобочные гиперболы) 

kM
j  вращением вокруг своих направлений nj «вы
водятся» в трехмерное пространство;

• в итоге окружность k моделируется однополостным 

равнобочным гиперболоидом вращения: его горловая окружность моделирует ее точки с действительными координатами, а все остальные точки – ее мнимое продолжение.
Такое моделирование окружности k достаточно 

просто обобщается на моделирование всех кривых 
второго порядка [3; 4; 7].

Конечно, графическое определение порядков 

кривых второго и третьего порядков затруднений не 
вызывает, так как нетрудно провести прямую, пересекающую их соответственно в двух и трех действительных точках. Трудности появляются, начиная с 
кривых четвертого порядка. Например, кривые Персея 
(сечения тора плоскостями, параллельными его оси), 
будучи кривыми четвертого порядка, должны пересекаться с прямой в четырех точках. Однако сечения 
тора плоскостями, расположенными близко к его 
периферии, являются выпуклыми овалами. Поэтому 
они пересекаются с прямой линией в лучшем случае 

Рис. 1

в двух действительных точках. Таким образом, достоверный ответ можно получить лишь аналитически 
путем вывода уравнения кривой.

Аналогичная ситуация возникает и при графиче
ском определении класса плоской алгебраической 
кривой. Как известно [8], класс кривой равен степени ее уравнения, записанного в тангенциальных 
координатах. Графически он определяется числом 
касательных, проведенных к кривой из какой-либо 
точки, расположенной в ее плоскости.

На рис. 2 показано построение касательных, про
веденных к окружности k из точек A, B и C:
• точка A расположена вне окружности; имеем две 

действительные касательные ′ =
t
A
A
a
1 ,
′′ =
t
A
A
a
2 ,

где 1a, 2a – точки пересечения поляры a точки A
с окружностью k [14];

• точка B принадлежит окружности k; имеем две 

совпавшие касательные ′ = ′′
t
t
B
B ,  ибо поляра b точ
ки B касается здесь окружности k;

• точка C расположена внутри окружности k; ее 

поляра c пересекает окружность k в двух мнимых 
точках 1c, 2c, поэтому касательные C1c, C2c являются мнимыми.
Отметим, что, в отличие от кривых второго по
рядка, которые являются и кривыми второго класса, 
кривые высших порядков имеют несколько классов. 
Например, кривые третьего порядка k3 могут быть 
3-го, 4-го и 6-го классов [11]. Это зависит от количества простых (однократных) пересечений первой 
поляры a2 некоторой точки A с исследуемой кривой 
k3. Эти 3, 4 и 6 точек могут быть попарно мнимосопряженными, поэтому касательные, инцидентные 
этим точкам, также будут мнимыми.

Отсюда следует y
ix
1 2
,
.
= ±
 То есть окружность 

выродилась в две мнимые прямые, проходящие через 
действительную точку (начало координат). Такие 
прямые, как известно, называются изотропными.

Непонимание этого факта дало автору учебника 

[13] основание утверждать, что конические и цилиндрические поверхности являются частными случаями торсовых поверхностей в случае «вырождения» 
ребра возврата (пространственной кривой) последних 
в точку.

По этой же причине плоскость, проходящая через 

вершину конической поверхности второго порядка 
вне ее телесного угла, якобы пересекает ее в точке. 
Очевидно, что для исключения возможности появления 
таких ошибочных утверждений необходимо сопровождать (проверять) графические построения аналитическими выкладками. Тогда будет понятно, что:
• две поверхности трехмерного пространства всег
да пересекаются по линии, так как система двух 
уравнений от трех неизвестных определяет кривую;

• точка(и) является(ются) пересечением трех по
верхностей (поверхности и линии, которая сама 
является пересечением двух поверхностей), так 
как решением системы трех уравнений с тремя 
неизвестными будет точка, если уравнения – линейные, и точки, если уравнения – нелинейные.
Касание представляет собой частный случай пе
ресечения. Если две поверхности касаются в регулярной точке, то она на их линии пересечения будет 
двойной:

а) узловой, когда в ней пересекаются две дейст
вительные ветви с различными касательными;

б) возврата, когда эти ветви здесь касаются и, 

следовательно, имеют две совпавшие касательные;

в) изолированной, когда здесь пересекаются две 

мнимые ветви с мнимыми касательными.

Эти утверждения иллюстрирует следующий при
мер. Дана поверхность вращения ϕ (i, l) осью i и 
главным меридианом l (рис. 3). На меридиане l взяты три точки:

A – на ее выпуклой части,
B – точки перегиба,
C – на вогнутой части.

2. Непонимание существования мнимых решений 

задач привело авторов некоторых учебников к безграмотным утверждениям, сводящимся к возможности вырождения линии в точку, поверхности — 
в линию или даже в точку. Очевидно, поводом для 
таких утверждений послужило «превращение» окружности в точку при стремлении ее радиуса к нулю. 
Нелепость такого утверждения становится очевидной 
при анализе уравнения окружности «нулевого радиуса»:

x2 + y2 = 0   или   y2 = –x2.

Рис. 2

Рис. 3

 В этих точках построены касательные плоскости 

β ∋ B, γ ∋ С. Они, касаясь поверхности ϕ в указанных 

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 2. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2015

точках, пересекают ее соответственно по линиям 
a ⊃ α, b ⊃ β, c ⊃ γ. На дополнительных плоскостях 
проекций α′||α, β′||β, γ′||γ показано поведение (примерные проекции) этих кривых a′, b′, c′ в окрестности их двойных точек.

Конкретизируя изложенное выше к построению 

касательных плоскостей к поверхностям второго 
порядка, отмечаем:
1) касательная плоскость, проведенная к линейчатой 

поверхности второго порядка, пересекает ее по 
двум действительным различным образующим 
(точка касания является узловой);

2) касательная плоскость к цилиндрической и ко
ническим поверхностям пересекает их по двум 
совпавшим действительным прямым;

3) касательные плоскости, проведенные к овальным 

поверхностям второго порядка, пересекают их по 
двум мнимым прямым, пересекающимся в действительной точке касания.
Отсюда следует известный факт, что все поверх
ности второго порядка являются линейчатыми и 
содержат два семейства прямолинейных образующих:
• действительных в случае линейчатых поверхностей;
• совпавших в случае конических и цилиндрических 

поверхностей;

• мнимых в случае овальных поверхностей.

Введение мнимых элементов также делает понят
ным утверждение, что две кривые второго порядка, 
принадлежащие одной поверхности второго порядка, всегда пересекаются в двух точках:
• действительных различных, если прямая пересе
чения плоскостей этих кривых пересекает поверхность в действительных точках;

• совпавших, если эта прямая касается поверхности;
• мнимых, если она пересекает поверхность в мни
мых точках.
Такое толкование существенно упрощает форму
лировки теорем, относящихся к частным случаям 
пересечения поверхностей второго порядка (теорема 
Монжа, теорема о двух точках соприкосновения 
и др.). Оно также полезно при объяснении алгоритмов и результатов решения задач.

Приведем характерный, по нашему мнению, при
мер. Требуется построить линию пересечения сферы 
и конической поверхности, содержащей семейство 
окружностей в горизонтальных плоскостях уровня 
(рис. 4). Пусть для простоты поверхности имеют 
общую фронтальную плоскость симметрии γ и вершина S конической поверхности принадлежит фронтальному меридиану l сферы.

Условие задачи дано в двух вариантах положения 

точки S на l (см. рис. 4, а, б). Есть ли отличие в характере линии пересечения этих поверхностей? Если 
есть, то в чем оно заключается и как влияет на графический алгоритм ее построения?

Для ответа на поставленные вопросы сначала 

проведем посредник (горизонтальную плоскость 
уровня) α через вершину S конической поверхности. 
В варианте а плоскость α пересекает обе поверхности 
по изотропным прямым k′, k″ (по окружностям ну
левого радиуса). Следовательно, линия пересечения 
данных поверхностей (пространственная кривая 
четвертого порядка) распадается на эти прямые k′, 
k″ и окружность k. Ее фронтальная проекция k2 определяется точками A2, B2 пересечения очерковых линий 
данных поверхностей на П2. Таким образом, окружности a и k принадлежат двум разным семействам 
круговых сечений поверхности конуса.

Рис. 4

Во втором случае плоскость α сечет поверхность 

конуса по изотропным прямым n′, n″, сферу – по 
окружности m. Следовательно, их общая действительная точка S будет изолированной точкой линии 
k пересечения данных поверхностей. Ее действительная ветвь представляет собой замкнутую пространственную кривую четвертого порядка и строится 
общеизвестным способом плоскостей уровня αi. 

3. И, наконец, с позиций темы настоящей статьи 

истолкуем известную теорему о проекции линии 
пересечения двух поверхностей второго порядка, 
имеющих общую плоскость симметрии, на эту плоскость в виде кривой (а не дуги!) второго порядка.

На практике (рис. 5) строят только проекцию дуги

l2 ее действительной ветви. Е.А. Глазунов в своей 
статье [2] совершенно справедливо утверждает: «Если 
известно, что линия пересечения двух поверхностей 
проектируется на какую-то плоскость проекций кривой второго порядка, то для упрощения и уточнения 
построений этой проекции кривой желательно знать 
ее вид и найти ее параметры».

Объяснить тот факт, что проекцией линии пере
сечения является не дуга, а «целая» кривая второго 
порядка, можно следующим образом. Как общеизвестно, две кривые второго порядка пересекаются в 
четырех точках (рис. 6). Эти четыре точки определяют пучок (∞1) кривых второго порядка. Среди них 
есть три кривые c, d, e, распавшиеся на две прямые. 
По аналогии, две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого 
порядка, которая определяет пучок поверхностей 
второго порядка. Среди поверхностей этого пучка 
есть три конические поверхности. Если исходные 
две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то одна из этих конических поверхностей будет цилиндрической.

Образующие этой цилиндрической поверхности 

пересекают обе данные поверхности:

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2015 
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 2. 3–8

а)
б)

лании в виде «пунктированных» окружностей, как 
это было показано на рис. 1.

В заключение отметим, что приведенные приме
ры не являются единственными и исключительными, 
в которых появляются мнимые решения. Поэтому 
сочетание графических и аналитических способов 
решения геометрических задач должно способствовать получению правильных, математически обоснованных ответов.

Литература

1. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО 

«ИПЦ «Маска», 2008. 

2. Глазунов Е.А. О проекции линии пересечения двух по
верхностей второго порядка, имеющих общую плоскость 
симметрии. // Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: издво «Советская наука», 1958. С. 35-69.

3. Графский О.А. Теоретико-конструктивные проблемы 

моделирования мнимых элементов в начертательной 
геометрии и ее приложениях: автореф. дис. доктора 
техн. наук. М., 2004.

4. Иванов Г.С. Теоретические и конструктивно-приклад
ные вопросы квадратичных кремоновых инволюций: 
автореф. дис. канд. техн. наук, М., 1968.

5. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии 

как учебной дисциплины // Геометрия и графика. Т. 1. 
№ 1. С. 26-27. DOI: 10.12737/467.

6. Иванов Г.С. Компетентностный подход к содержанию 

курса начертательной геометрии // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 2. С. 3-5. DOI: 10.12737/775.

7. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. М.: 

изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007.

8. Савелов А.А. Плоские кривые. М.: Физматгиз, 1960.
9. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел // Геометрия и 

графика.  2013. Т. 1. № 1. С. 22-23. DOI: 10.12737/2079.

10. Серегин В.И., Иванов Г.С., Дмитриева И.М., Муравьев К.А. 

Междисциплинарные связи начертательной геометрии 
и смежных разделов высшей математики // Геометрия 
и графика. 2013. Т. 1. № 3-4. С. 8-12. DOI: 10.12737/2124.

11. Смогаржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по тео
рии плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 
1961.

12. Умбетов Н.С. Конструирование эквипотенциальной 

поверхности // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 1. 
С. 11–14. DOI: 10.12737/2075.

13. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: Машино
строение, 1978.

14. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 

1969.

15. Чинарева Л.Д. Определение геометрических параметров 

проекций линии пересечения поверхностей второго 
порядка на общие плоскости симметрии. М.: Изд-во 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 

References

1. Girsh A.G. Nagljadnaja mnimaja geometrija [Visual imagi
nary geometry]. Moscow, OOO «IPC «Maska» Publ., 2008.

2. Glazunov E.A. O proekcii linii peresechenija dvuh poverh
nostej vtorogo porjadka, imejushhih obshhuju ploskost' 
simmetrii [About the projection of the line of intersection 

• в двух различных действительных точках в пре
делах реально существующей линии их пересечения (образующие расположены внутри контуров 
данных поверхностей);

• в двух совпавших точках пересечения A, B, C, D

их очерковых линий (в этих точках образующие 
касаются данных поверхностей);

• в двух мнимосопряженных точках (образующие 

расположены вне контуров данных поверхностей).
В последнем случае проекции этих точек на вто
рой плоскости проекций можно изобразить при же
Рис. 5

Рис. 6

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 2. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2015

of two surfaces of the second order having a common plane 
of symmetry]. Trudy moskovskogo seminara po nachertatel'noj 
geometrii i inzhenernoj grafike [Труды московского семинара 
по начертательной геометрии и инженерной графике]. 
Moscow, «Sovetskaja nauka» Publ., 1958, pp. 35–69. (in 
Russian).

3. Grafskij O.A. Teoretiko-konstruktivnye problemy modeliro
vanija mnimyh jelementov v nachertatel'noj geometrii i ee 
prilozhenijah. Dokt. Diss. [Theoretical and constructive 
problems modeling the imaginary elements of descriptive 
geometry and its applications. Doct. Diss.]. Moscow, 2004. 
(in Russian).

4. Ivanov G.S. Teoreticheskie i konstruktivno-prikladnye voprosy 

kvadratichnyh kremonovyh involjucij. Kand. Diss. [Theoretical 
and constructive -applied questions quadratic kremon of 
involutions. Cand. Diss.]. Moscow, 1968. (in Russian).

5. Ivanov G.S. Perspektivy nachertatel'noj geometrii kak ucheb
noj discipliny [Descriptive geometry prospects as educational subject]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 
2013, v. 1, i. 1, pp. 26-27. DOI: 10.12737/467. (in Russian).

6. Ivanov G.S. Kompetentnostnyj podhod k soderzhaniju 

kursa nachertatel'noj geometrii [Competence approach to 
descriptive geometry syllabus]. Geometrija i grafika [Geometry 
and graphics]. 2013, v. 1, i. 2, pp. 3-5. DOI: 10.12737/775. 
(in Russian).

7. Peklich V.A. Mnimaja nachertatel'naja geometrija [Imaginary 

descriptive geometry]. Moscow, Associaciya stroitel'nyh 
vuzov Publ., 2007. (in Russian).

8. Savelov A.A. Ploskie krivye [Flat curves]. Moscow, Fizmatgiz 

Publ., 1960. (in Russian).

9. Savel'ev Ju.A. Grafika mnimyh chisel. Geometrija i grafika 

[Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 22–23. DOI: 
10.12737/2079. (in Russian).

10. Seregin V.I., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav'ev K.A. 

Mezhdisciplinarnye svjazi nachertatel'noj geometrii i smezhnyh 
razdelov vysshej matematiki []. Geometrija i grafika [Geometry 
and Graphics]. 2013, v. 1, i. 3–4, pp. 8–12. DOI: 10.12737/2124. 
(in Russian).

11. Smogarzhevskij A.S., Stolova E.S. Spravochnik po teorii 

ploskih krivyh tret'ego porjadka [A Handbook on the theory 
of plane curves of the third order]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 
1961. (in Russian).

12. Umbetov N.S. Konstruirovanie jekvipotencial'noj poverh
nosti []. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, 
v. 1, i. 1, pp. 11–14. DOI: 10.12737/2075. (in Russian).

13. Frolov S.A. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geom
etry]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978. (in Russian).

14. Chetveruhin N.F. Proektivnaja geometrija [Projective geom
etry]. M.: Prosveshhenie, 1969. (in Russian).

15. Chinareva L.D. Opredelenie geometricheskih parametrov 

proekcij linii peresechenija poverhnostej vtorogo porjadka na 
obshhie ploskosti simmetrii [The definition of the geometric 
parameters of the projections of the line of intersection of 
surfaces of second order on a common plane of symmetry]. 
Moscow, Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana Publ., 2011. 
(in Russian).

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2015 
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 2. 3–8

УДК 519.853.32:514.18                      DOI: 10.12737/12164

Н.А. Сальков
Канд. техн. наук, профессор, 
Московский государственный академический 
художественный институт им. В.И. Сурикова, 
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30 
Свойства циклид Дюпена 
и их применение. Часть 2

Аннотация. В первой части предлагаемой работы рассма
тривался вопрос об основных свойствах циклид Дюпена, 
а также приводились некоторые примеры их применения: три 
способа решения задачи Аполлония исключительно при помощи циркуля и линейки, используя выявленные свойства 
циклиды, т.е. давалось классическое решение задачи. 

Во второй части работы продолжено рассмотрение свойств 

циклид Дюпена. Предложена и доказана возможность задания 
циклиды Дюпена произвольным эллипсом в качестве линии 
центров множества образующих сфер и сферой с центром, 
принадлежащим этому эллипсу. Доказана достаточность этих 
сведений для построения циклиды Дюпена. Геометрически 
доказано, что фокальные линии циклид представляют собой 
не что иное, как кривые второго порядка. Дано графоаналитическое представление фокальных линий циклид. Показано 
поликоническое соответствие фокальных линий циклид Дюпена, 
которое рассмотрено во всех четырех случаях. 

Предложено формирование гиперболической поверхности 

четвертого порядка с использованием одной или двух первичных кривых второго порядка, в данном случае – эллипсов. 
Применяются софокусные данному эллипсу гиперболы. При 
этом первичный эллипс, лежащий в плоскости хОу, с центром, 
совпадающим с началом координат, находится в неподвижном 
состоянии, а система координат вращается вокруг оси z. Тогда 
точки пересечения вращающихся координат х и у с неподвижным эллипсом задают новые значения большой и малой 
оси эллипса с вытекающими изменениями в форме софокусной 
гиперболы. Хотя такое моделирование напрямую и не связано с циклидой Дюпена, но однозначно вытекает из свойств 
ее фокальных кривых – кривых второго порядка. Выведены 
уравнения поверхности и ее горла.

Ключевые слова: начертательная геометрия, циклические 

поверхности, каналовые поверхности, циклида Дюпена, задача Аполлония, задача Ферма.

N.A. Salkov
Ph.D. of Engineering, Professor, 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, 
30, Tovarischesky per., Moscow, 109004, Russia

Properties of Cyclide Dyupen and Their 
Application. Part 2

Abstract. In the first part of this paper has discussed about the 

basic properties of cyclide Dupin, and  has gave some examples of 
their applications: three ways of solving the problem of Apollonius 
exclusively by means of compass and ruler, using identified properties cyclide Dupin, that is, given a classical solution of the problem. 

In the second of part of the work continued consideration of 

the properties of  cyclide Dupin. Proposed and proved the possibility ask cyclide Dupin arbitrary ellipse as the center line of the 
forming a plurality of spheres and a sphere with the center belonging to the ellipse. Proved the adequacy of this information is used 
to build the cyclide Dupin. Geometrically proved that the focal line 
of cychlid are not that other, as curves of the second order. Given 
the graphical representation of the focal lines of cychlid. Shown 
polyconic compliance focal lines of cichlid of Dupin, which is 
considered in all four cases. 

The proposed formation of the hyperbolic surfaces of the fourth 

order with one or two primary curves of the second order, in this 
case ellipses. Apply sofocus this ellipse the hyperbola. Although the 
primary focus of the ellipse lying in the plane of the hoe, with the 
center coinciding with the origin of coordinates, is stationary, and 
the coordinate system rotates around the z axis. Then the points of 
intersection of the rotating coordinates x and y with a fixed ellipse 
specify new values for the major and minor axis of the ellipse with 
resultant changes in the form defocuses of the hyperbola. Although 
this modeling is not directly connected with Cychlidae Dupin, but 
clearly follows from the properties of its focal curves – curves of 
the second order. Withdrawn Equations of the surface and its throat.

Keywords: descriptive geometry, circular surface, Kanaloa sur
face, a Dupin cyclide, the problem of Apollonius, the task Farm.

В первой части предлагаемой работы [20] рассма
тривался вопрос об основных свойствах циклиды 
Дюпена [5; 6; 8; 10–12; 23], а также приводились 
некоторые примеры их применения: три способа 
решения задачи Аполлония [9] исключительно при 
помощи циркуля и линейки, используя выявленные 
свойства циклиды, т.е. показывалось классическое 
решение задачи. Во второй части работы продолжено рассмотрение свойств циклиды Дюпена. При 
исследовании были применены методы аналитической 
[3], проективной [21] и элементарной [1; 2] геометрий. 
Методам аналитической геометрии в статьях придается особое значении [5; 6; 8; 10–18; 23], поскольку они 
позволяют получить математически точное решение.

1. Графоаналитическое представление фокальных 
линий
Рассмотрим, что собой представляют линии цен
тров множества касательных к циклиде Дюпена сфер.

На рис. 1 показана одна из проекций циклиды 

Дюпена на плоскость, которая является плоскостью 
ее симметрии. Имеем два очерка в виде окружностей: 
О1, R1 и O2, R2.

Построим произвольную сферу с центром Оi, ка
сательную к циклиде Дюпена; в представленном на 
рис. 1 примере – к очеркам циклиды в точках К и L. 
Будем рассматривать задачу как плоскую, только в 
системе хОу. Соединим центры окружностей Оi с O1

и O2. Рассмотрим отрезки ОiO2 и ОiO1 и попробуем 
избавиться от ОiL, поскольку эта величина переменная. 

Рис. 1

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 2. 9–22 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2015

ОiO2 = R2 – ОiK;

 
ОiO1 = R1 + ОiL.

Или, так как ОiK = ОiL:

 
ОiO2 = R2 – ОiK;

 
ОiO1 = R1 + ОiК.

Видно, что от величины ОiK можно избавиться в 

результате сложения этих уравнений, поэтому после 
сложения получаем:

ОiO2 + ОiO1 = R2 + R1 = сonst.

Таким образом, сумма расстояний от произволь
ной точки Оi кривой е до точек O1 и O2 является постоянной. Полученная закономерность является 
геометрическим местом точек эллипса, у которого 
центры очерковых окружностей O1 и O2 являются его 
фокусами.

В системе координат, у которой оси проходят 

через центр O1 (см. рис. 1), уравнение эллипса имеет следующий вид:

x
c

R
R

y

R
R
c

−
(
)

+
+
+
−

=

2

1
2
2

2

1
2
2
2
2
2

1.
(1)

где с – расстояние от центра эллипса до одного из 
его фокусов: с = O1O2/2 (см. рис. 1).

Линия центров в виде эллипса, проходящая вну
три поверхности циклиды, присуща циклидам Дюпена, 
изображенным на рис. 2–4 в [20].

Теперь рассмотрим другую проекцию (рис. 2).
Если предыдущий пример относился к касатель
ным к циклиде Дюпена сферам, расположенным 
внутри поверхности циклиды, то на рис. 2 рассмотрим 
касательные к циклиде Дюпена сферы, расположенные снаружи поверхности.

ОiO2 = R2 + ОiK;
ОiO1 = R1 + ОiL,

то в результате вычитания из первого уравнения 
второго имеем:

 
ОiO2 – ОiO1 = R2 – R1 = сonst.

Полученное выражение является закономерностью 

для точек гиперболы.

Таким образом, геометрически доказано, что ли
ния центров внешних касательных окружностей 
является гиперболой, а точки O1 и O2 являются ее 
фокусами.

При этом, поскольку эллипс и гипербола имеют 

одни и те же точки O1 и O2 в качестве радиусов и 
расположены в перпендикулярных плоскостях, они 
являются софокусными.

Рассмотрим случай задания циклиды Дюпена, 

представленный на рис. 5 и 6 в [20]. Здесь мы имеем 
дело с контуром циклиды Дюпена в виде прямой 
линии q и окружности O1, R1 (рис. 3).

Рис. 2

Построим произвольную сферу с центром Оi, ка
сательную к очеркам циклиды в точках К и L. Соединим 
центры окружностей Оi с O1 и O2. Рассмотрим отрезки ОiO1 и ОiО2. Эти отрезки пройдут через точки L и 
К соответственно.

Как и в предыдущем примере, постараемся изба
виться от переменной величины ОiK = ОiL. Так как

Построим произвольную сферу радиуса Ri с цен
тром Оi, касательную к очеркам циклиды в точках К 
и L. Соединим центр окружности Оi с O1, при этом 
ОiO1 пройдет через точку L, а точка К является основанием перпендикуляра ОiК, опущенного из точки 
Оi на прямую q, так как эту прямую можно представить окружностью с бесконечно большим радиусом 
и центром O2, удаленным в бесконечность.

Из рис. 3 видно, что треугольники ОiКL и O1LS

подобны. Поскольку O1L = O1S = R1, то и ОiК = ОiL.

Если на оси х отрезок ОB разделить пополам точ
кой А, то ее (точку А) можно принять за центр окружности, касающуюся прямой q и окружности O1, R1 в 
точках О и B соответственно.

Если от точки О отложить отрезок ОG = R1 и через 

полученную точку G провести прямую р, параллельную оси у, то полученная конфигурация линий даст 
нам схему получения точек параболы. Действительно, 
расстояние O1G можно принять за параметр параболы р. Точка А, находящаяся посередине этого отрезка и лежащая на строящейся кривой, является ее 
вершиной, прямая р принимается в качестве директрисы, точка O1 – в качестве фокуса параболы, 
а условие

 
NK + KОi = ОiL + O1L

Рис. 3

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2015 
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 2. 9–22