Вещественный и комплексный анализ. Часть 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление (Коллекция Физика. Математика)

Э.И. ЗВЕРОВИЧ



            ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ
            АНАЛИЗ


Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей учреждений, обеспечивающих получение высшего образования
В шести частях
Часть 1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ









Минск «Вышэйшая школа» 2006

УДК 517 (075.8)
ББК 22.16я73
    3-43




    Рецензенты: кафедра теории функций, функционального анализа, вероятностей и прикладной математики Гродненского государственного университета им. Янки Купалы; Старовойтов АЛ, доктор физико-математических наук профессор кафедры математического анализа Гомельского государственного университета им. Франциска Скорины

    Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.














      Зверович, Э. И.
3-43 Вещественный и комплексный анализ: учеб, пособие.
      В 6 ч. Ч. 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление / Э. И. Зверович. - Минск : Выш. шк., 2006. - 319 с.
         ISBN 985-06-1262-2.
         Данное учебное пособие - это первая часть современного курса вещественного и комплексного анализа, особенностью которого является сближение содержания учебных дисциплин «Математический анализ» и «Теория функций комплексного переменного». Наряду с традиционным материалом рассмотрены комплексные числа, элементы общей топологии и численные ряды.
         Для студентов высших учебных заведений математических специальностей.

                                                 УДК 517 (075.8)
                                                 ББК 22.16я73


ISBN 985-06-1262-2 (ч. 1)
ISBN 985-06-1263-0

© Зверович Э.И., 2006
© Издательство «Вышэйшая школа», 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Вниманию читателя предлагается первая часть учебного пособия по вещественному и комплексному анализу, написанного автором на основе многолетнего опыта преподавания этих курсов студентам механико-математического факультета Белорусского государственного университета и непрерывного эксперимента. Основные разделы этого учебного пособия были многократно прочитаны студентам и, как показал опыт, хорошо ими усваивались. Пособие состоит из шести частей, каждая из которых содержит лекционный материал объемом около 70 часов. К каждой части предполагается выпустить соответствующий ей сборник задач, рассчитанный на такое же число часов практических занятий. В целом учебное пособие и задачник охватят весь материал, предусмотренный действующими программами учебных дисциплин «Математический анализ» и «Теория функций комплексного переменного». А пока к каждой главе добавлены подборки задач, дополняющие основной текст. Они составлены доцентом О. Б. Долгополовой.
   Основная методическая проблема, над которой работал автор, может быть сформулирована как попытка модернизации методики преподавания курса анализа. Необходимость модернизации диктуется постоянно возрастающим объемом научной (а значит, и учебной) информации. В данных условиях количество часов, предусматриваемых учебными планами на преподавание традиционно изучаемых дисциплин, имеет устойчивую тенденцию к сокращению. В этой связи необходимо, чтобы учебные дисциплины, еще не потерявшие своей актуальности, преподавались на современном научном уровне, полноценно и кратко. Предлагаемое учебное пособие представляет собой одну из попыток решения этой пробле

Предисловие

мы. В нем использован теоретико-множественный подход и предпринята попытка сблизить дисциплины вещественного, комплексного и (в меньшей степени) функционального анализа. В связи с этим в начале курса анализа рассматривается теория не только вещественных, но и комплексных чисел, а также элементы общей топологии. Это дает возможность не повторять на лекциях все те утверждения, которые над полями вещественных и комплексных чисел формулируются (и доказываются) одинаково. Далее, с учетом того, что теория числовых рядов не сложнее теории числовых последовательностей, предлагается изучать ряды сразу же после последовательностей (а не в начале третьего семестра, как это традиционно делается). Предел функции f : X —> Y вводится как предел «по Коши» при х —* а; х € X, где а — точка прикосновения множества X, а теория непрерывности дополняется общей теоремой о непрерывности всех элементарных функций. Понятия дифференциала и производной вводятся одновременно. Заканчивается первая часть изложением наиболее популярных приложений дифференциального исчисления.
   Остальные части учебного пособия также будут иметь предисловия, поэтому на особенностях этих частей остановлюсь кратко. Факты типа формулы Грина планируется изложить на современном уровне строгости (в отличие от традиционных учебников, в которых этот материал излагается недостаточно строго). Закончить курс вещественного анализа предполагается изложением элементов анализа на многообразиях, исчисления внешних дифференциальных форм и общей теоремы Стокса. Комплексный анализ планируется изложить в тесной связи с вещественным анализом. Все это призвано обогатить лекционный курс анализа, сделать его более строгим (без потери доступности) и привести к экономии учебного времени студентов.
   Выражаю благодарность доценту И. И. Комяку (ныне покойному) и профессору Ф. В. Чумакову, вместе с которыми я в 1975 г. начинал работу по модернизации курса анализа на механико-математическом факультете БГУ, доценту Л. П. Примачуку — за участие в обсуждении различных разделов курса, другим сотрудникам кафедры теории функций — за участие в апробации моих лекций.

Предисловие

Особую признательность я выражаю профессору В. Г. Кротову, инженеру А. С. Автаеву, старшему преподавателю А. И. Кулибабе, а также лаборантке Е. К. Щетникович — за помощь при подготовке рукописи в издательской системе         Выражаю благодарность рецензентам — доктору
физико-математических наук, профессору В. И. Бернику, заведующему кафедрой математического анализа Гомельского государственного университета профессору Ю. В. Малин-ковскому и профессору этой кафедры А. П. Старовойтову, а также ректору Гродненского государственного университета профессору Е. А. Ровбе и профессору того же университета Ю. М. Вувуникяну.

Э. И. Зверович

        1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ



1.1. МНОЖЕСТВА: ОТНОШЕНИЯ И ОПЕРАЦИИ

   Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не определяется, поэтому дадим его описание. Множество — это совокупность, собрание, коллекция, набор, семейство, класс каких-нибудь предметов, называемых его элементами. Например, можно говорить о множестве всех студентов данного вуза, факультета, курса и т. п., а также о множестве всех домов данного города, квартала, района и т. п. Условимся в этом параграфе обозначать множества прописными буквами латинского алфавита. Множества состоят из элементов. Запись «хе А» означает, что х принадлежит множеству А (т. е. является элементом множества А). Запись «х £ А» или «х 6 А» означает, что х не принадлежит множеству А (т. е. не является элементом множества А). Задать множество — это значит указать правило или признак, позволяющие отличать элементы, которые ему принадлежат, от всех прочих элементов (т. е. от тех, которые ему не принадлежат).
   Множества можно задавать разнообразными способами, из которых выделим три наиболее часто встречающихся. Первый способ — перечисление всех элементов данного множества (если такое перечисление возможно). Например, запись

А := {а, 6, ... , р}

означает, что А определяется как множество с элементами а , Ь, ... , р (многоточие¹ заменяет пропущенные элементы). Второй способ применяется тогда, когда имеется свойство,


  ¹ Символ « ...» читается: «и так далее».

1.1. Множества: отношения и операции


7

которым обладают все элементы данного множества и только эти элементы. Например, запись

В := {х | х обладает свойством V}

означает, что В определяется как множество всех тех и только тех элементов х, которые обладают свойством Р. Третий способ применяется тогда, когда элементы данного множества помечены элементами другого множества (индексами), например занумерованы:

C:={ₐᵢ\iel}.                  (1.1)

Эта запись означает, что элементами множества С являются те и только те элементы а;, для которых i 6 /. Здесь I — множество индексов. В равенстве (1.1) возможна такая ситуация, что ai = aj при i 7^ j. Если множество задается в виде (1.1), то оно иногда называется семейством.
   Между некоторыми парами множеств устанавливается отношение включения ². Говорят, что множество А включается в множество В (или содержится в В), если каждый элемент множества А является элементом множества В. Записывается это в виде А С В или, что равносильно, в виде В э А. То же самое выражают словами: «А есть подмножество множества В». Очевидно, что отношение включения обладает следующим свойством транзитивности:

АсВсС => АсС,

т. е. если А содержится в В, а В содержится в С, то А содержится в С. Имеет место следующее утверждение:

А = В |                          (1.2)

т. е. равенство двух множеств равносильно тому, что каждое из них содержится в другом. В тех случаях, когда А С В и А В, принято говорить, что А является собственным подмножеством множества В (обозначается это так: А С В).


  ²Сразу же отметим, что здесь и далее принимается соглашение, по которому включение не исключает равенства.

1. Предварительные сведения

    Кроме множеств, содержащих элементы, вводится в рассмотрение так называемое пустое множество, т. е. множество, в котором вообще нет элементов. Оно обозначается символом 0. Естественно считать, что включение


0 С А

(1-3)


выполняется для любого множества А. Из определения (1.2) и соотношения (1.3) вытекает единственность пустого множества. Докажем это.
   ◄ Предполагая существование двух пустых множеств 01, 02 и используя определение (1.2) и соотношение (1.3), имеем:

01 С 02
01 D 0₂

==> 01 = 0₂.

   Иначе говоря, любые два пустых множества совпадают. ►
   Понятие пустого множества удобно использовать в тех случаях, когда заранее ничего не известно о существовании хотя бы одного элемента данного множества, или в тех случаях, когда известно, что таких элементов не существует.
   Важнейшими операциями над множествами являются объединение (U), пересечение (р|) и разность (\).
   Объединением семейства множеств {Uₐ | а € 1} называется множество U состоящее из всех тех и только тех эле-аб/ ментов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств 17а. В частности, объединение U U V двух множеств U и V можно задать так:

WdV := {т | либо х Е U, либо х Е V, либо (х € U и х € V)} .

   Пересечением семейства множеств {Uₐ | а € /} называется множество р| Uₐ, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат всем множествам данного семейства. В частности, пересечение двух множеств можно задать так:
UQV:={x\xeUnxe V}.

1.1. Множества: отношения и операции

    Очевидно, что обе операции IJ и П коммутативны и ассоциативны, т. е. обладают переместительным и сочетательным свойствами. Если известно, что множества U и V не пересекаются, т. е. UQV = 0, то их объединение обозначают иногда символом U U V и называют дизъюнктным объединением.
    Разностью U\V множеств U и V называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству U и не принадлежат множеству V,

т. е.

U\V :={x[x€U и х£ V}.

   Для наглядного изображения различных соотношений между множествами иногда используются так называемые диаграммы Эйлера — Венне?. Это рисунки, на которых различные множества изобра

Рис. 1.1. Пример диаграммы Эйлера - Венна

жаются в виде различных
множеств точек плоскости (чаще всего — в виде областей, например кругов), по-разному заштрихованных или раскрашенных в разные цвета. На таких рисунках становятся


наглядными различные соотношения между множествами. Например, на диаграмме Эйлера — Венна, изображенной на рис. 1.1, множество А заштриховано горизонтальными линиями, множество В - - вертикальными. Заштрихованная часть плоскости изображает A U В; часть плоскости, заштрихованная и горизонтальными, и вертикальными линиями, — множество А А В, а часть плоскости, заштрихованная только горизонтальными (только вертикальными) линиями, — множество Л\5 (_В\Л). Из рис. 1.1 очевидны, например, следующие включения:


Ап В с А С AU В и ЛА В С В С AU В.



  ³ Эйлер Леонард (1707—1783) — швейцарец по происхождению, знаменитый математик, механик и физик, академик Петербургской академии наук. Венн Джон (1834—1923) - английский логик.

2. Зак. 1874.

1. Предварительные сведения

   Из других операций над множествами в анализе часто используется декартово произведение. Определим его для простейшего случая двух множеств. Декартовым (или прямым) произведением множества А на множество В называется множество Л хВ, состоящее из всех упорядоченных пар (а, Ь), где а 6 А, b е В, т. е.

АхВ:={(а,Ь)\аеА, Ь е В} .

Если, например, в качестве множеств А и В взять две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом, то их декартовым произведением А х В будет содержащая эти оси координатная плоскость.


1.2.   НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

1.2.1. Высказывания и операции над ними

   Всякая научная теория есть некоторая система понятий и утверждений. Истинность каждого утверждения нуждается, вообще говоря, в обосновании. Часть утверждений обосновывается опытным путем, т. е. эмпирически, другая же, обычно большая, часть — с помощью логических средств. Эти логические средства изучаются в разделе математики, называемом математической логикой. Исходным понятием математической логики является понятие высказывания.
   Определение 1.1. Высказыванием называется всякое утверждение, т. е. любое повествовательное предложение, которое определенно является истинным или ложным.
   Например, предложение «2 + 2 = 4» является истинным высказыванием, а предложение «0 = 1»— ложным. Повествовательное предложение «В огороде бузина, а в Киеве дядька» не является высказыванием, поскольку без дополнительной информации ничего определенного об истинности или ложности этого предложения утверждать нельзя. Восклицательные, вопросительные, повелительные и назывные предложения также не являются высказываниями. Условимся в этом