Введение в теорию конечных групп и их классов

        В.С. МОНАХОВ


  ВВЕДЕНИЕ
  В ТЕОРИЮ КОНЕЧНЫХ ГРУПП И ИХ КЛАССОВ
  Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов физико-математических специальностей учреждений, обеспечивающих получение высшего образования










     Минск “Вышэйшая школа”
     2006

УДК 512.542(075.8)
ББК 22.14я73

    М77







   Рецензенты: кафедра высшей алгебры Белорусского государственного университета; доктор физико-математических наук, профессор заведующий кафедрой прикладной математики Полоцкого государственного университета Э.М. Пальчик

   Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.










     Монахов, В.С.
М77 Введение в теорию конечных групп и их классов:

     учеб, пособие / В.С. Монахов. - Мн.: Выш. шк., 2006. -207 с.
        ISBN 985-06-1114-6.


         Изложены основы теории групп и теории классов конечных групп: формаций, классов Шунка, классов Фиттинга. Рассмотрены группы и их подгруппы, гомоморфизмы и произведения групп, абелевы и нильпотентные группы, разрешимые и сверхразрешимые группы, проекторы и инъекторы.
         Структура пособия отличается последовательностью и доступностью изложения материала, полнота доказательств отвечает методическим требованиям преподавания и делает возможным использование пособия студентами для самостоятельной работы.
         Для студентов, аспирантов и преподавателей физико-математических специальностей вузов.


УДК 512.542(075.8)
                                                    ББК 22.14я73


ISBN 985-06-1114-6

                             © Монахов В.С., 2006
         © Издательство «Вышэйшая школа», 2006

    ПРЕДИСЛОВИЕ




   Теория групп — один из центральных разделов современной алгебры, в настоящее время активно разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска, Новополоцка, Могилева и Мозыря. Однако учебных изданий, посвященных основам теории конечных групп, в республике до сих пор не было.
   Данная книга — расширенная запись лекций по теории конечных групп, читаемых автором на математическом факультете Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины начиная с 1986/87 учебного года в рамках специализации «Алгебра и теория чисел». Для понимания изложенного в ней материала достаточно знать начальные разделы вузовского курса алгебры: матрицы, отображения, перестановки, поля, векторные пространства.
   При подборе материала автор использовал методики построения текстов лекций по теории групп С.А. Чуни-хина и Л.А. Шеметкова, а также отдельные фрагменты книг Гашюца [6] и Хупперта [7].
   Книга состоит из пяти глав. Материалы первых трех из них полностью охватывают ту часть типовой программы университетского курса «Алгебра и теория чисел», которая касается теории групп, в связи с чем данное учебное пособие может быть рекомендовано студентам-математикам при изучении этого курса. Четвертая и пятая главы могут оказаться полезными аспирантам специальности 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» при подготовке к сдаче кандидатского экзамена.

   Более углубленно изучить различные разделы теории конечных групп и их классов читатель может по монографиям и обзорным статьям, указанным в списке литературы.

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Автор искренне благодарен члену-корреспонденту Национальной академии наук Беларуси профессору Л.А. Шеметкову и профессору В.А. Ведерникову за многочисленные полезные советы, способствовавшие улучшению качества излагаемого материала. Автор весьма признателен рецензентам — коллективу кафедры высшей алгебры Белорусского государственного университета, возглавляемому профессором О.И. Тавгенем, профессору этой кафедры О.В. Мельникову, заведующему кафедрой прикладной математики Полоцкого государственного университета профессору Э.М. Пальчику — за конструктивные замечания, и кандидату физико-математических наук И.В. Близнецу — за помощь в подготовке рукописи к изданию.
   Все отзывы и пожелания просим присылать по адресу: 220048, Минск, проспект Победителей, 11, издательство «Вышэйшая школа».
Автор

    ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ



N --- множество всех натуральных чисел   
Z --- множество всех целых чисел         
Q --- множество всех рациональных чисел  
к --- множество всех действительных чисел
С --- множество всех комплексных чисел   

Zₚ — поле классов вычетов по простому модулю р {а | /9} — множество всех а, для которых выполняется /3
7г — некоторое множество простых чисел
7г'      — дополнение к тг во множестве всех простых
            чисел
G        —  группа
|С?|     ~ порядок группы G
е        —  единичный элемент группы G
Е        —  единичная подгруппа, единичная группа
7г(п)    —  множество всех простых делителей натураль            ного числа п
7г(С)    — множество всех простых делителей порядка
            группы G
Z(G}     —  центр группы G
F(G)     —  подгруппа Фиттинга  группы G
Ф(<9)    —  подгруппа Фраттини  группы G
G'       —  коммутант группы G
Cg(H) — централизатор подгруппы Н в группе G Ng(H) — нормализатор подгруппы Н в группе G Aut G — группа всех автоморфизмов группы G Inn G — группа всех внутренних автоморфизмов группы G
Н <G     — Н является подгруппой группы G
Н < G    — Н является собственной подгруппой группы G
М < G — М является максимальной подгруппой группы G
Н <\G    — Н является нормальной подгруппой группы G
Н <\ <\G — Н является субнормальной подгруппой группы G
Н <1 G — Н является минимальной нормальной подгруппой группы G
|С7 : Я| — индекс подгруппы Н в группе G

5

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ


А х В — прямое произведение подгрупп А и В
[А]В — полу прямое произведение нормальной подгруппы А и подгруппы В
        — подгруппа, порожденная некоторым множеством элементов
[х,у] = х~гу~¹ху — коммутатор элементов х,у G G
Ах=х~гАх — множество, сопряженное с множеством А посредством элемента х
А~ В — группы А и В изоморфны
Ерп — элементарная абелева группа порядка рп
Dₙ — диэдральная группа порядка п
Qs — группа кватернионов порядка 8
Zₙ — циклическая группа порядка п
Sₙ — симметрическая группа степени п
Ап — знакопеременная группа степени п
GL{n.P} — полная линейная группа степени п над полем Р
SL(n, Р) — специальная линейная группа степени п над полем Р
PGL(n, Р) — проективная полная линейная группа степени п над полем Р
PSL(n, Р) — проективная специальная линейная группа степени п над полем Р

   --- класс всех конечных групп       
21 --- класс всех абелевых групп       
Ж  --- класс всех нильпотентных групп  
Я  --- класс всех сверхразрешимых групп
6  --- класс всех разрешимых групп     

□      — начало доказательства
И      — окончание доказательства

            [группы и их подгруппы



   1.1. Группы. Примеры групп


   Бинарной алгебраической операцией на множестве X называют отображение декартова квадрата X х X в X. Если р: ХхХ X - бинарная операция на X, то каждой упорядоченной паре (а, Ь) элементов из X соответствует однозначно определенный элемент с = р(а, Ь). Бинарную операцию на X обозначают одним из следующих символов: 4-,-,®,о,®,* и т.д. Если вместо <р условимся писать о, то вместо с = Ь) следует писать с = а о Ь.
   Наиболее часто используются две формы записи операции: аддитивная и мультипликативная. При аддитивной форме записи операцию называют сложением и вместо с = а о Ь пишут с = а + Ь. При мультипликативной форме записи операцию называют умножением и вместо с = а о Ь пишут с — а * Ь или с = ab. В дальнейшем при изложении теории будем использовать мультипликативную форму записи операции.
   Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если ab е X для всех a, b е X. Если а(6с) = (аЬ)с для всех а, Ь, с € X, то операция называется ассоциативной. Если ab = Ьа для всех a, b G X, то операция называется коммутативной. Элемент е G X называется единичным, если ае = еа = а для всех а е X. Обратным к элементу а называется такой элемент а⁻¹, что аа⁻¹ — a~ⁱa = е.
   Полугруппой называется непустое множество Р с бинарной алгебраической операцией (умножение), которая удовлетворяет следующим двум требованиям: операция определена на Р, т.е. ab 6 Р для всех a, b е Р; операция ассоциативна, т.е. a(bc) = (ab)c для любых a,b, с е Р.
   Теорема 1.1. В полугруппе может быть не более одного единичного элемента. Если в полугруппе имеется единичный элемент, то каждый элемент обладает не более чем одним обратным.

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ


    □     Пусть ci и в2 — единичные элементы. Тогда 6162 = — ei, поскольку е? — единичный элемент, и 6162 = 62, так как ei — единичный элемент. Поэтому 61 = 62. Пусть теперь 6 — единичный элемент. Предположим, что и в2 — обратные к а элементы, т.е. а^а = аа-[ = е = а2& = = 6Ш2. Тогда а\ — а\е = аДааг) = («10)^2 = еа% = &2    Теорема 1.2. В полугруппе результат применения операции к нескольким элементам не зависит от способа распределения скобок.
    □     Пусть а1,а2) • • • Л ~ элементы мультипликативной полугруппы Р. Не меняя порядка следования элементов, можно разными способами вычислять их произведение. Для п < 4 составим следующие произведения: ai при п = 1;
    (21(12 при п = 2;
    (а1а₂)аз>а1(а2аз) при п = 3;
    ((«1^2)«з)а4, (^1 (^2^з))^4) О1((^2^з)п4), ^1 (<22 (<23(24)),
    (а^И^з^м) при п = 4.
    Поскольку операция ассоциативна, то (ai^2)^3 — = аДад^з)- Для п = 4, используя свойство ассоциативности, легко доказать, что все пять произведений совпадают.
    Продолжим доказательство индукцией по п. Считаем, что для числа элементов, меньшего п, справедливость утверждения установлена. Нам нужно показать, что
((21 . . . Gfc)(fl/c-j-l • • . 0>п) ⁼ ((21 . . . (2/)((2/_|-i . . . (2П)
при любых к и I, 1 < k, I < п — 1. По предположению индукции произведения внутри скобок вычисляются однозначно. Пусть k > I. Тогда
((21 . . . (Zfc)((lfc+i . . . (2П) =

   = ((ai ...az)(az₊₁ ...ajt))(afc₊i ...aₙ) = (ai ...az)x

x((az₊i ...^(a^i ...aₙ)) = (ai... a/)(a/₊i... ап).И

8

1.1. Группы. Примеры групп

   Теорема 1.2 позволяет использовать в полугруппах знак кратного умножения:
         2              3                     п
 &1^2 — j J          ~ | |    • • • ,      ⁼ | [
        i=l            г=1                  i=l
В частности, при ai = а? = ... = ап = а произведение аа... а обозначают через ап и называют п-й степенью элемента а. Следствием теоремы 1.2 являются равенства:
апат = aⁿ⁺m, (ап)ш = апт,          (1.1)

справедливые для всех натуральных п и т. В полугруппе Р с единицей е для любого a G Р полагают аР = е. Заметим еще, что если ab = Ъа, то (аЪ)п = = апЬп для всех натуральных п, что легко проверяется индукцией по п.
   Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованиям:
   1)    операция определена на G, т.е. ab Е G для всех a,KG>
   2)    операция ассоциативна, т.е. а(5с) = (аЬ)с для любых а, 6, с Е G;
   3)    в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент е Е G, что ае — еа — а для всех а Е G;
   4)    каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого а Е G существует такой элемент а"¹ Е G, что аа⁻¹ = а~ха = е.
   Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.
   Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если G — конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число |G| элементов в G — порядком группы G.
   Отметим некоторые начальные свойства групп, которые сформулируем в виде лемм. Следующее свойство вытекает из теоремы 1.1.


2. Зак. 3656

9

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ

    Лемма 1.3. В группе имеется единственный единичный элемент и для каждого элемента существует единственный обратный.
    Лемма 1.4. Если а,Ь — элементы группы G, то (а⁻¹)⁻¹ = а и (аЬ)⁻¹ = Ь~¹а~х.
    □ Первое равенство очевидно. Так как (аЬ)(6⁻¹а“¹) = a(bb'~¹)a~l = аеа~¹ = е, (b~¹a~¹)(ab) = = Ь~¹(а~га)Ь = b~xeb = е, то справедливо и второе равенство. Й
    Определим отрицательные целые степени элемента группы как обратные положительным степеням, т.е. положим
а~п = (ап)~х                 (1.2)

для всех п Е N.
    Лемма 1.5. Если а — элемент группы G и s Е Z, то (as)~l = (а⁻¹)⁵ — a~s.
   □ Пусть 5 > 0. Тогда по лемме 1.4 имеем:
       (а⁵)⁻¹ = (а... а)⁻"¹ = а⁻¹ ... а⁻¹ = (а⁻¹)⁵.
Теперь (а⁵)⁻¹ = a~s по формуле (1.2). Если s = 0, то (а⁵)⁻¹ = е = (а⁻¹)⁵ = а~$. Если s < 0, то
     (а⁵)-¹ = ((а-¹)'⁵!)-¹ = ((а¹®¹)⁻¹)⁻¹ = = <*~®,
(а'¹)® = (а"¹)"¹®¹ = ((а⁻¹)¹®¹)⁻¹ = ((а⁴)⁻¹)⁻¹ =  = a~s.

Следовательно, (а®)⁻¹ = (а⁻¹)® = a~s. И
    Лемма 1.6. Для любых целых s,t и любого а Е G справедливы равенства: asab =       (а⁵)* — ast.
    □ Для натуральных показателей данные равенства уже получены в формулах (1.1). Если один из показателей — нуль, то равенства также справедливы. Пусть s и t — - отрицательные числа. Используя леммы 1.4, 1.5 и формулы (1.1), получаем:
  asal =                         = (a-¹)!®¹*¹*¹ = as⁺t,
(a*? = (a-l®¹)* = ((al®!)⁻¹)⁴ = (aW)“‘ =

= (a¹®¹)¹*¹ = a¹®¹¹*¹ = ast.

10