Механика, термодинамика и молекулярная физика : сборник задач и примеры их решения

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Г. ДУБРОВСКИЙ, Г.В. ХАРЛАМОВ

МЕХАНИКА, ТЕРМОДИНАМИКА 

И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

СБОРНИК ЗАДАЧ

И ПРИМЕРЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК 

2010

УДК 531+536.7+539.19(075.8)

Д 797

Рецензенты: 

д-р физ.-мат. наук, проф. П.А. Пуртов (НГУ);
канд. физ.-мат. наук, доц. А.Г. Моисеев (НГТУ)

Работа подготовлена на кафедре 

прикладной и теоретической физики

Дубровский В.Г.

Д 797
Механика, термодинамика и молекулярная физика : сборник задач 

и примеры их решения : учеб. пособие / В.Г. Дубровский, Г.В. Харламов. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. – 176 с.

ISBN 978-5-7782-1410-1

Дубровский Владислав Георгиевич
Харламов Георгий Владимирович

МЕХАНИКА, ТЕРМОДИНАМИКА 

И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

СБОРНИК ЗАДАЧ И ПРИМЕРЫ ИХ РЕШЕНИЯ 

Учебное пособие

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова

Корректор И.Е. Семенова

Дизайн обложки А.В. Ладыжская

Компьютерная верстка В.Ф. Ноздрева

Подписано  в  печать  02.06.2010.   Формат  60 84 1/16.   Бумага офсетная.   Тираж  500 экз. 

Уч.-изд. л. 10,23.   Печ. л. 11,0.   Изд. № 366.   Заказ №  1001.   Цена договорная

Отпечатано в типографии

Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

УДК 531+536.7+539.19(075.8)

ISBN 978-5-7782-1410-1
© Дубровский В.Г., Харламов Г.В.,  2010
© Новосибирский государственный

технический университет, 2010

Предисловие

Настоящее учебное пособие предназначено для проведения прак
тических занятий по курсу общей физики и самостоятельной работы 
студентов первого курса физико-технического факультета НГТУ. Оно 
содержит 14 тем по разделам механики, термодинамики и молекулярной физики. Каждая тема включает краткое теоретическое введение, 
примеры решения задач и задачи для решения на практических занятиях под руководством преподавателя. В конце пособия приведены варианты индивидуальных заданий для самостоятельного решения. Каждый студент должен выполнить в течение семестра три задания (всего 
30 задач) и защитить их перед преподавателем.

Задачи, включенные в пособие, выбирались из различных сборни
ков задач, таких как: Иродов И.Е. Задачи по общей физике; Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики; Савельев И.В. 
Сборник вопросов и задач по общей физике, и др. Полный список использованных источников приведен в конце настоящего издания. 

Студентам рекомендуется при подготовке к практическому заня
тию по одной из представленных в пособии тем внимательно изучить 
лекцию или прочитать главы из учебника, касающиеся этой темы. Затем разобрать приведенные в пособии примеры решения задач. Если 
остались неясные моменты, разобрать их на практическом занятии при 
помощи преподавателя. Необходимо использовать полученный опыт 
для решения задач на практическом занятии, а затем дома – для решения задач из своего варианта задания, относящихся к этой теме. 

Наиболее «продвинутым» студентам рекомендуется самостоятель
но решать сложные задачи из задачников, список которых приведен в 
конце настоящего издания. Особое внимание следует обратить на задачник [2].

1. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Почти все физические величины являются размерными. В системе 

СИ основные механические единицы – это метр (м), секунда (с) и килограмм (кг), в которых измеряются расстояние, время и масса. Размерности всех других механических величин выражаются через основные единицы и поэтому называются производными. Например, 
скорость имеет размерность м/с, ускорение – м/с2, плотность – кг/м3, 
сила – Н = кг м/с2, давление – Па = Н/м2 = кг/(м с2) и т.д.

В физике существует абсолютное правило, применимое к любым 

физическим уравнениям: размерность величины, стоящей с правой 
стороны уравнения, должна равняться размерности величины, стоящей 
слева. Это правило чаще всего используется для проверки правильности вновь полученных уравнений. Однако этот принцип можно использовать и для получения качественных зависимостей между физическими величинами в той или иной задаче. Для этого надо проанализировать, от каких параметров может зависеть искомая физическая величина в каждой конкретной задаче. Такой анализ выполняют на основе физического опыта, опираясь на физическую интуицию. Далее проведенный анализ представляют в виде общей формулы. Например, если некоторая физическая величина a зависит от параметров b, с, d, ..., 
то общая зависимость 
( , , ,...)
a
f b c d

запишется так:

...
p q
r
a
b c d

(1.1)

Показатели степени p, q, r,... подлежат определению на основании 
принципа равенства размерностей справа и слева в этой формуле. При 
этом совсем не обязательно придерживаться системы единиц СИ. 
Можно ввести абстрактные размерные единицы. Пусть расстояние измеряется в единицах L, т. е. координаты имеют размерность [x] = L. 
Время измеряется в единицах T, [t] = T; масса измеряется в единицах 
M, [m] = M. Подставляя единицы измерения величин a, b, c, d,...

в уравнение (1.1) и приравнивая показатели степени при соответствующих единицах измерения справа и слева, мы получим систему 
уравнений для p, q, r,... Решая эту систему, найдем зависимость искомой физической величины от параметров задачи. 

Прежде чем использовать этот метод для решения конкретных за
дач, надо учесть следующее. Во-первых, может оказаться, что искомая 
величина зависит от суммы некоторых функций параметров системы. 
В этом случае уравнение (1.1) не применимо. Однако можно заранее из 
физических соображений определить вид такой зависимости и использовать формулу (1.1) для каждого слагаемого суммы отдельно. Вовторых, в точную зависимость искомой величины могут входить безразмерные параметры, значения которых невозможно определить на 
основании анализа размерностей. Поэтому формула (1.1) дает лишь 
качественную зависимость. С другой стороны, часто в практически 
важных случаях безразмерный коэффициент оказывается порядка единицы. Поэтому, хотя метод анализа размерностей не является универсальным, он оказывается очень полезным как для физиков-теоретиков, 
так и для экспериментаторов. Рассмотрим несколько примеров применения этого метода.

Задача 1. Автомобиль движется прямолинейно и равноускоренно. 

Используя анализ размерностей, найти зависимость скорости автомобиля от ускорения и пути, если его начальная скорость равнялась нулю.

Автомобиль начинает двигаться из на
чала координат вдоль оси x с постоянным 
ускорением a (см. рисунок). Пройдя расстояние x, он приобретет скорость v. Исхо
дя из физических соображений можно сделать вывод, что эта скорость 
может зависеть от ускорения a и пройденного расстояния x. Согласно 
теории размерностей запишем эту зависимость в виде

p
q
a x

v
,            
(1.2)

a

x

0

Дано: a, x.

Найти: v ~ f (a, x).

где p и q – показатели степени, которые надо определить, приравнивая 
размерности справа и слева в данном уравнении.

Запишем размерности физических величин, входящих в уравнение 

(1.2):

2

2
[ ]
L
a
LT

T

,

1
[ ]
L
LT
T
v
,

[ ]
x
L .

Подставим соответствующие размерности в уравнение (1.2). Получим 
уравнение

1
2
2
p
p q
p q
p
L
L
L
LT
=
T
T
.     
(1.3)

Приравнивая показатели степени справа и слева в уравнении (1.3), получим

1
,

1
2 .

p
q
p

Решая полученную систему уравнений, находим

1
1
,
.
2
2
p
q

Таким образом, зависимость скорости автомобиля от ускорения и 
пройденного пути запишется в виде

ax

v
.
(1.4)

Точная зависимость скорости от ускорения и пути может включать 

безразмерный коэффициент, который не может быть определен на основании теории размерности. Например, в нашей задаче согласно точным формулам кинематики

at
v
,

2

2
at
x

мы получим

2ax
v
.

Число 2 является тем самым безразмерным коэффициентом.

Ответ: 
ax

v
.   

Задача 2. Используя анализ размерностей, определить зависимость 

скорости звука в газе от давления и плотности.

Скорость звука в газе может зависеть от давления, плотности и температуры. Однако эти 
параметры связаны между собой уравнением 
состояния газа. Поэтому остается только два 
независимых параметра, в качестве которых 

можно выбрать давление и плотность. Запишем предполагаемую зависимость в виде

p
q
c
P

.
(1.5)

Запишем размерности входящих в это уравнение физических величин:

1
[ ]
L
c
LT
T
,

1
2

2
[ ]
M
P
ML T

LT

,

3

3
[ ]
M
ML

L

.

Подставляя соответствующие размерности в формулу (1.5), получаем 
уравнение размерностей

1
3
2
p q
p
q
p
LT
M
L
T
.

Приравнивая показатели степени при соответствующих размерностях 
слева и справа, получаем систему уравнений

0
,

1
3 ,

1
2 .

p
q

p
q

p

Дано: P, ρ.

Найти: с ~ f (P, ρ).

Решая данную систему, находим: 
1/ 2,
1/ 2
p
q
.

Таким образом, найденная зависимость имеет вид

/
c
P

.

Эта формула отличается от точной, полученной из молекулярнокинетической теории, коэффициентом порядка единицы. Например, 
для воздуха этот коэффициент составляет 1,18.

Ответ: 
/
c
P

.

Следующие задачи рекомендуем решить самостоятельно.

Задача 3. Используя метод размерностей, определить зависимость 

периода колебаний математического маятника от его параметров (m, l) 

и ускорения свободного падения (g). 
l
T
g

.

Задача 4. Определить зависимость силы сопротивления, дейст
вующей на движущийся автомобиль, от плотности воздуха 
, площади 

поперечного сечения S и его скорости v . 
2
(
)
F
S

v
.

2. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ, СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ 

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

В кинематике изучается движение материальных тел, при этом не 

рассматриваются причины такого движения. Движение – это изменение положения тела в пространстве с течением времени. Движение тела рассматривается относительно какой-либо системы отсчета, 
включающей в себя тело отсчета, систему координат (чаще всего декартову) и прибор для измерения времени (секундомер).

Часто при описании движения тела можно пренебречь его разме
рами и считать тело точкой. Материальной точкой называется тело, 
размерами которого можно пренебречь по сравнению с масштабом его 
движения. Линия, по которой движется материальная точка, называется траекторией. Длина траектории называется путем (S). Перемеще

нием (
)



r
называется вектор, соединяющий начальное положение ма
териальной точки с ее конечным положением. Вектор, соединяющий 
начало координат с положением точки в данный момент времени, называется радиусом-вектором точки ( )
r . Зависимость радиуса-вектора 

от времени называется законом движения
материальной точки: 

( )
r
r t


. 

Скоростью материальной точки называется вектор, равный первой 

производной от радиуса-вектора этой точки по времени:

/dt


v = dr
.            
(2.1)

Величина этого вектора показывает, какой путь проходит точка за 
единицу времени. Направление вектора скорости всегда совпадает с 
направлением движения.  

Ускорением материальной точки называется вторая производная от 

радиуса-вектора этой точки по времени: 

2
2
/dt


a = d r
.            
(2.2)

Таким образом, ускорение – это первая производная от скорости точки 
по времени:

/dt


a = dv
.               
(2.3)

Ускорение показывает, как изменяется скорость по величине и по направлению в единицу времени.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Ширина канала s = 300 м. Квадратный паром со стороной 

l = 40 м переправляется поперек канала. За время переправы пассажир, 
двигаясь из точки A наискось парома, успевает дойти до его середины. 
Найти перемещение пассажира относительно берегов.

За время переправы точка A со
вершает перемещение 
пr , а человек 

относительно точки A –
чr (см. рису
нок). Перемещение человека относи
тельно берега будет складываться из этих двух перемещений: 

п
ч
r
r
r


 .  Чтобы  определить  вектор  перемещения,  надо определить 

Дано: s = 300 м, l = 40 м.

Найти: r .

l

s
r
rп

rч

А

его модуль и направление. Модуль r можно рассчитать по теореме 
Пифагора: 

2
2

280,71м.
2
2

l
l
r
s

Направление вектора r можно определить, вычислив угол 
:

/2
tg
0,071
/2

l

s
l
.

Поскольку тангенс угла 
очень мал, 
tg
0,071рад.
4,068 .

Ответ: r = 280,71 м; 
= 4,068 .

Задача 2. Первую половину времени своего движения автомобиль 

двигался со скоростью 1
v = 80 км/ч, а вторую половину – со скоростью 

2
v = 40 км/ч. Какова средняя скорость v движения автомобиля?

Средняя скорость движения опреде
ляется отношением пути, пройденного 
автомобилем, к суммарному времени, за 
которое автомобиль проходит этот путь:

S
t
v =
.

Дано: t1 = t/2, t2 = t/2,

1
v
= 80 км/ч, 

2
v = 40 км/ч.

Найти: v .