Вариационный численный алгоритм для фазово-полевой модели затвердевания

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012. Вып. 2
ФИЗИКА. ХИМИЯ

УДК 536.424.1, 536.424.5

А.А. Обухов, В.Г. Лебедев, Т.А. Новикова

ВАРИАЦИОННЫЙ ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ФАЗОВО-ПОЛЕВОЙ МОДЕЛИ 
ЗАТВЕРДЕВАНИЯ

Получен вариационный принцип для уравнения Аллена-Кана, на основе которого построена конечноэлементная аппроксимация по пространству и времени, проведены численные эксперименты по моделированию процесса затвердевания расплава для одномерной задачи. 

Ключевые слова: фазовый переход, микроструктура, вариационный принцип, компьютерное моделирование.

Процесс формирования структуры в расплавах вблизи температуры кристаллизации [1; 2] при 

замораживании физической системы в неупорядоченной фазе связан с релаксацией замороженных 
степеней свободы, происходящей в течение некоторого характерного времени. Размеры упорядоченных областей, возникающих в исходной неупорядоченной (симметричной) фазе, могут расти с различными скоростями из-за неоднородности состава, неоднородности поля локальных температур и 
т.п. Это приводит к конкуренции роста различных фаз с нарушенной симметрией, в результате чего в 
процессе кристаллизации реализуется неоднородная упорядоченная структура. Из-за сложности процесса перспективным методом теоретического исследования процесса затвердевания является компьютерное моделирование [3-5]. Оно позволяет исследовать и прогнозировать характеристики неравновесных физических процессов, происходящих в реальных условиях.

Выбор модели для описания процесса затвердевания определяется масштабом исследуемой зада
чи. Например, квазиравновесная теория двухфазной зоны [6] рассматривает гетерогенную двухфазную 
зону как дисперсную бесструктурную среду [7; 8]. Неравновесная модель кристаллизации позволяет 
рассчитывать дендритную и зеренную структуру благодаря введению зависимости скорости кристаллизации от переохлаждения, для которой необходимо знать кинетический коэффициент роста фаз, определяемый эмпирически [9]. На мезоскопическом уровне описания наиболее распространена фазовополевая модель [12], основанная на ведении понятия диффузной границы между фазами. В отличие от 
неравновесной фазово-полевая модель основана на динамическом подходе, позволяющем описывать 
движение границы раздела фаз. К преимуществам последнего подхода по сравнению с остальными 
можно отнести использование неравновесной термодинамики и непосредственный учет потенциалов 
Гиббса реальных систем. В связи с сильной нелинейностью метода фазового поля остается актуальным 
вопрос о создании эффективных и устойчивых методов его исследования.

В этой статье рассматривается вариационный метод для численного моделирования процесса за
твердевания. Вариационный подход к решению уравнений критической динамики, описанный в работе 
[10], дает возможность получать численные алгоритмы для моделирования процессов с любым заданным порядком аппроксимации по пространству и времени. В частности, его использование позволило 
получить численный алгоритм для моделирования процесса спинодального распада, описываемое 
уравнением Кана-Хилларда, с высоким порядком аппроксимации по пространству и времени [11]. 

Уравнение Аллена-Кана

Теоретическое описание процессов затвердевания на мезоскопическом уровне основано на мо
дели фазового поля, которая описывается уравнением Аллена-Кана (АК) (модель движения границ 
зерен [12])  




,
,

2
T
f
M












(1)

где T – температура,  – параметр порядка, 

2



– корреляционный коэффициент,  
0


M
– кине
тический коэффициент мобильности для несохраняющегося параметра порядка, зависящие в общем 
случае от параметра порядка и температуры. Обозначение 






f
f
 соответствует производной 

по аргументу равновесной плотности свободной энергии.