Движение осесимметричного шара со смещенным центром масс на шероховатой горизонтальной поверхности

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012. Вып. 2
ФИЗИКА. ХИМИЯ

Теоретическая физика

УДК 531.01

В.В. Васькин, О.С. Наймушина

ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ШАРА СО СМЕЩЕННЫМ ЦЕНТРОМ
МАСС НА ШЕРОХОВАТОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Численно решены уравнения движения осесимметричного шара со смещенным по оси симметрии центром масс
на шероховатой горизонтальной плоскости. Найдены стационарные движения системы и исследованы на линейную устойчивость.

Ключевые слова: неголономная связь, движение без проскальзывания, сила трения, безотрывное движение.

Введение

Исследование конкретных задач о движении тела, соприкасающегося с твердой поверхностью, 

некоторое время развивалось значительно медленнее, нежели шло изучение общих вопросов динамики неголономных систем. На рубеже XIX – XX вв. активно решались частные задачи динамики твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости. В последнее время полученные результаты в области механики позволили по-новому взглянуть на динамику твердого тела и значительно расширить 
арсенал методов, применяемых для решения конкретных механических задач. 

В настоящее время в мире ведутся активные исследования по созданию новых способов пере
движения. Создание подобных транспортных средств невозможно без проведения базовых исследований их динамических свойств. В первом приближении большинство механических систем, в которых происходит качение одного тела по другому, можно описать в рамках неголономной модели (качение без проскальзывания). Оказывается, что несмотря на простоту, неголономная модель достаточно хорошо объясняет достаточно большое число динамических эффектов наблюдаемых при качении 
тел. Поэтому естественным началом для создания новых средств передвижения является изучение 
ряда неголономных систем. В связи с этим изучение динамики неоднородного шара на гладкой и шероховатой поверхности в отрывном и безотрывном режиме представляют несомненный интерес.

Ранее был проведен анализ безотрывного движения осесимметричного шара со смещенным 

центром масс на гладкой горизонтальной плоскости [1]. Рассмотрение показало, что область безотрывного движения расположена вблизи поверхности регулярной прецессии, когда центр масс находится на одной высоте. Особенно это заметно при больших энергиях, когда расстояние между поверхностью регулярной прецессии и поверхностью отрыва стремится к нулю и амплитуда нутации 
уменьшается с ростом энергии.

В данной работе рассматривается движение такого шара на горизонтальной шероховатой по
верхности. 

1. Уравнения движения

Поверхность движения является абсолютно шероховатой. Шар катится по поверхности без 

проскальзывания. Условие, накладываемое на движение шара при качении, заключается в равенстве 
нулю скорости точки касания. В общем случае такое условие выражается уравнениями связей вида

,0


i
iq
c 

(1.1)

где 
)
(
i
i q
c
– функции только координат, 
iq – обобщенные скорости.

Такие связи называются неголономными, если они не могут быть проинтегрированы.

Уравнения Лагранжа в этом случае имеют вид

)
(
i
i

i
i

q
c
q
L

q
L

dt
d












(1.2)