Основы математического моделирования

Р.Ф. Маликов








    Основы математического

моделирования





Допущено Учебно-методическим объединением по профессионально-педагогическому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 050501.06 - Профессиональное обучение (информатика, вычислительная техника)








Москва
Горячая линия - Телеком 2010



УДК 53:51(075.8)
 ББК 22.311.73
      М19

  Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор Р. М. Асадуллин; доктор техн, наук, профессор Б. Г. Ильясов

      Маликов Р. Ф.

Ml 9   Основы математического моделирования. Учебное пособие
      для вузов. — М.: Горячая линия-Телеком, 2010. — 368 с.: ил. ISBN 978-5-9912-0123-0.
        Книга посвящена основам математического (аналитического, численного и вероятностного) и компьютерного моделирования реальных процессов, явлений и объектов. Рассмотрены более 50 физических объектов, их математические модели, задания к выполнению и компьютерные программы для отработки умений и навыков решения задач методами численного, вероятностного (методом Монте-Карло) моделирования реальных объектов.
        Для студентов естественнонаучных факультетов и институтов классических, педагогических и технических университетов, будет полезна аспирантам, преподавателям и другим специалистам, использующим в своих исследованиях методы математического и компьютерного моделирования.
ББК 22.311.73




      Адрес издательства в Интернет WWW. TECHBOOK.RU
Учебное издание
Маликов Рамиль Фарукович
Основы математического моделирования
Учебное пособие
Редактор Ю. Н. Чернышов Компьютерная верстка Ю. Н. Чернышова Обложка художника В. Г. Ситникова
        Подписано в печать 10.10.2009. Печать офсетная. Формат 60x88/16.
Уч. изд. л. 23. Тираж 1000 экз.
  Отпечатано в ООО “Типография Полимаг” 127242. Москва, Дмитровское шоссе. 107




ISBN 978-5-9912-0123-0

        © Р. Ф. Маликов, 2010
                              © Оформление издательства «Горячая линия—Телеком», 2010



    Предисловие








    Моделирование широко используется в различных сферах человеческой деятельности. Цель моделирования — получение, обработка и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой. Модели выступают как средство познания свойств и закономерностей поведения объектов. Наиболее универсальный вид моделирования — математическое моделирование, которое ставит в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений. Решение этой системы позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, которая часто оказывается дорогостоящей и неэффективной. Математическое моделирование служит средством изучения реального объекта или процесса путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.
    Данная книга является вводным пособием по изучению основ математического и компьютерного моделирования реальных объектов. Содержание книги соответствует триаде математического моделирования, высказанного академиком А.А. Самарским, — «модель — алгоритм - программа». В книге приведены методы создания аналитических, численных и вероятностных моделей, а также технологии компьютерного моделирования.
    Учебное пособие состоит из двух частей. Первая часть посвящена основам аналитического и компьютерного моделирования. Она состоит из шести глав.
    В главе 1 вводятся общие понятия о моделях, математическом моделировании, приводится классификация моделей, рассматриваются этапы математического моделировании и дается характеристика различных методов моделирования физических систем и объектов.
    Глава 2 посвящена различным подходам к построению математических моделей физических объектов и явлений.



Предисловие

    В главе 3 рассматриваются основы теории подобия. Основное внимание уделено методам масштабирования уравнений, необходимых для компьютерного моделирования физических объектов.
    В главе 4 в краткой форме даются логико-эвристические предписания к построению дискретной математической модели физического объекта. Здесь рассмотрены методы численного решения математических моделей физических объектов, представленных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.
    В главе 5 изложены технологии компьютерного моделирования в системе Excel и в часто использумых для моделирования системах компьютерной математики Maple и MathCAD.
    В главе 6 приведены лабораторные работы для компьютерного моделирования: постановка задачи, математические модели в виде дифференциальных уравнений или систем уравнений, рекомендации и задания для проведения вычислительного эксперимента и результаты моделирования.
    Во второй части книги рассмотрены основы теории случайных процессов, на задачах нейтронной и квантовой физики показаны технологии применения метода статистических испытаний (Монте-Карло). Понимание метода статистических испытаний приходит только при их решении и общении с компьютером, поэтому для некоторых задач в качестве примера приведены также алгоритмы, программы решения и результаты моделирования.
    В главе 7 даны краткие сведения из теории вероятностей и сущность метода Монте-Карло. Проведена условная классификация вероятностно-статистического моделирования по типу решаемых задач, дан анализ достоинств и недостатков вероятностных методов, применяемых при решении математических задач.
    В главе 8 приведены технологии решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисление интегралов, дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического и параболических типов методом вероятностного моделирования.
    В главе 9 рассмотрены задачи нейтронной физики, нелинейной оптики, молекулярной физики, для решения которых использованы методы Монте-Карло.
    Для более глубокого изучения основ математического и компьютерного моделирования мы рекомендуем книги, приведенные в списке литературы. В приложениях представлены листинги компьютерных программ решения ряда задач на языках программирования. Ответы и решения для задач глав 6-9 в виде программного кода приведены на сайте издательства «Горячая линия-Телеком» www.techbook.ru.



�редисловие

5

    Изучение основ математического и компьютерного моделирования, изложенных в данном пособии, предусмотрено Государственным образовательным стандартом по физическим, инженерным и компьютерным специальностям.
    Книга написана на основе многолетнего опыта преподавания основ математического и компьютерного моделирования физических объектов по специальностям 032200 и направлению 510400 - Физика, 030100 - Информатика, 030500.06 — Профессиональное обучение (информатика, ВТ и компьютерные технологии) и содержит более 50 примеров и задач, ориентированных на применение технологий математического моделирования.
    Автор выражает признательность своим коллегам: профессору кафедры общей физики, д.ф.-м.н. И. А. Фахретдинову, доценту кафедры теоретической физики, к.ф.-м.н. Р.К. Саитову, старшему преподавателю кафедры общей физики, к.ф.-м.н. Э.Р. Жданову, к.ф.-м.н. РХ. Мустафину за помощь при создании примеров математических моделей физических объектов, а также профессору БГПУ им. М. Ак-муллы, д.ф.-м.н. РМ. Асадуллину, профессору УГАТУ, д.т.н., члену-корреспонденту АН РБ Б.Г. Ильясову за рекомендацию книги к изданию. Автор благодарит коллектив издательства «Горячая линия — Телеком» за помощь при издании этой книги.
    Учебное пособие рассчитано на студентов, обладающих знанием основ общей и элементов теоретической физики, теории вероятностей и математической статистики, математического анализа и теории дифференциальных уравнений. Оно может быть использовано при проведении вычислительного практикума, при постановке и решении задач по курсовому и дипломному проектированию. Кроме того, данное издание будет полезно преподавателям, магистрам и студентам, специализирующимся в области математического и компьютерного моделирования реальных объектов.



                       Для резкого ускорения научно-технического прогресса необходимы принципиально новые, революционные разработки. А они невозможны без применения математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой технологии кратко выражает триада «модель - алгоритм - эксперимент». Речь идет о замене исходного объекта его моделью и о дальнейшем его исследовании на ЭВМ... Многолетняя практика доказала, что математическое моделирование — одно из основных достижений научно-технической революции.
Академик А.А. Самарский



Часть I

       Основы аналитического моделирования


   Электронно-вычислительную технику стали применять в физике лишь в начале 50-х гг. С помощью электронно-вычислительных машин (ЭВМ) численно решали задачи, которые имеют аналитические решения. Приведем наиболее яркий исторический пример: в 1955 г. специалисты по вычислительной математике, работавшие в Лос-Аламосе, попросили Энрико Ферми поставить задачу, удовлетворявшую трем условиям: она должна представлять интерес для физиков, не должна иметь аналитического решения и быть «по силам» существующим в то время ЭВМ.
   Ферми предложил выяснить, как возникают статистические свойства в цепочке из 100 связанных нелинейных осцилляторов. В то время считалось, что любая нелинейность автоматически порождает статистические свойства. Однако проведенный машинный эксперимент дал отрицательный результат, положив начало многочисленным работам, посвященным попыткам понять это явление, названное явлением Ферми-Паста-Улама.
   Таким образом, уже первый машинный (вычислительный) эксперимент поставил под сомнение один из разделов статистической физики (эргодическую теорию), согласно которой экспериментально наблюдаемые макровеличины возникают в результате некоего усреднения микровеличин. Статистическая физика позволяет связать мак



�сновы аналитического моделирования

7

роскопический уровень объяснения с макроскопическим уровнем явления, однако при этом автор статистической теории вынужден постулировать способ усреднения. Используемые постулаты обычно проверить невозможно, поэтому время от времени возникают сомнения в их достоверности. В результате, несмотря на большие успехи статистических теорий в механике и физике, вопрос — правильно ли мы понимаем и описываем макроскопические явления — часто остается без ответа. В таких случаях ЭВМ выступает в роли арбитра.
    Другая привлекательная черта ЭВМ состоит в том, что численные эксперименты постепенно выводят из тупика традиционную теоретическую физику, создававшийся веками аппарат которой оказался неэффективным при решении нелинейных задач. Если нелинейность мала, то можно использовать приближенные методы, например теорию возмущений. А если она велика? Синергетика (наука о саморазвивающихся, самоорганизующихся системах), лазеры, взаимодействие излучений с веществом, разрушение и т.д. — все эти направления науки и техники приводят к принципиально нелинейным уравнениям.
    Традиционный путь решения состоит в формулировке нелинейной задачи, снижении степени нелинейности и приближенном решении. Если применить ЭВМ, то полученное точное численное решение позволяет лучше понять суть рассматриваемого явления. Иногда после такой машинной подсказки удается отделить главные факторы от второстепенных и, по новому сформулировав проблему, построить более простое нелинейное уравнение, которое имеет аналитическое решение. Как правило, при этом возникает новое научное направление с массой интересных компьютерных и аналитических результатов. Например, всплеск работ по солитонам в 60-е гг. был связан с попыткой понять явление Ферми-Паста-Улама, с которым солитоны оказались тесно связаны (Крускал, Забуски), а интерес к явлению сверхизлучения (superradience) и фотонного эха в 80-х гг. — с попыткой создания сверхизлучающих лазеров и оптических ячеек памяти для ЭВМ.
    Таким образом, новый метод исследования — комбинация анализа и численного эксперимента — становится все более важным в научном открытии.
    В настоящее время методы моделирования применяются не только в технических областях, но и в сферах социально-экономических, сложных экономических, общественных и международных отношений, практически во всех сферах человеческой деятельности. Это связано с необходимостью расширения и углубления знаний реального мира. Существует множество реальных объектов и процессов,



Ч а с т ь I

информацию о которых мы не можем получить из-за малости или масштабности размеров (объекты микро- и макрокосмоса), высоких или криогенных температур. Не можем проводить эксперименты — это может быть связано с длительностью процесса (экологические), высокой стоимостью исследований объекта-оригинала, уникальностью объекта исследования, отсутствием объекта-оригинала (эскизные, архитектурные и конструкторские проекты), опасностью исследования (ядерные взрывы) и другими факторами.
    Необходимость использования методов моделирования связана с научно-технической революцией в области информатизации и телекоммуникаций, развитием вычислительной техники и с появлением компьютерных систем автоматического проектирования и моделирования, являющихся средствами ускорения создания моделей для разработчиков-модельщиков.
    Поэтому изучение основ и методов математического и компьютерного моделирования является одной из важных задач образовательного процесса специалистов по физике, информатике и информационным системам и технологиям.



�лава 1

     Основные понятия моделирования






1.1. Классификация моделей

    Мир можно рассматривать как неразделимую совокупность и взаимодействие вещества, энергии, информации. Понятие «информация» связывает воедино очень многие стороны нашей жизни. Информация является неотъемлемой составляющей действительности. Мир информации очень велик и потенциально бесконечен. Но человек — конечное существо: он может прочитать конечное количество слов. Его жизнь заканчивается через конечное число лет, поэтому естественным для человека является стремление сохранить усвоенную им информацию, т.е. записать ее и сделать свои знания и опыт достоянием других. Потребность делиться знаниями, информацией — естественная потребность для самого человека и необходимость его существования в обществе.
    Информация поступает к человеку через органы чувств и, следовательно, имеет пространственно-временные характеристики. Это означает, что информация видится нам либо как информационная система (модель), либо как информационный процесс, либо как то и другое вместе. В самом общем виде информационная модель материального объекта — это его описание на одном из языков кодирования (разговорном, научном, графическом, специальном и т.д.).
    Рассмотрим пример. Представление об объекте передадим через текст. Текст является своеобразной моделью, способной содержать, хранить и передавать смысл, информацию. То есть текст можно назвать информационной моделью. Если рассмотреть сам текст, в частности русский, то он состоит из слов, построение предложений подчиняется некоторому алгоритму (правилам синтаксиса, семантики), а слова состоят из определенных знаков (алфавита).



Глава 1

    Организация информации необходима и тогда, когда эта информация поступает к нам в виде более или менее связанного текста. Умение выделять необходимую информацию и организовывать ее структуру — важнейшие качества человеческого интеллекта. Простейший способ организации информации заключается в составлении таблиц. Таблица есть модель информации, организованная в пространстве.
    Представление информации можно организовать в виде образно-иллюстративных моделей как графически (план класса, чертеж детали, электрическая схема, блок-схема алгоритма и др.), так и в виде иллюстраций (эскизы, фотографии, фильмы, картины, в том числе и художественные, и др.).
    Понятие модели тесно связано с понятием формализация.
    Формализацией называют представление и изучение какой-либо содержательной области знания об объекте в виде формальной системы или исчисления. Формализация связана с усилением роли формальной логики и математических методов в описании окружающего мира.
    Для формализации изучаемых объектов вводят формализованный язык, т.е. систему специализированных языковых средств или их символов с точными правилами сочетаемости. Примеров формализованных объектов можно привести достаточно много — это естественные языки, язык записи математических формул, химических формул, искусственные языки (языки программирования, эсперанто, Морзе, семафорные языки) и другие. Однако не всякая информация об объекте может быть формализована, например простая народная речь, художественные картины, фотографии и т.д.
    Отметим, что формализованный (формальный) от неформального языка отличается в восприятии информации субъектом. Например:
  • выражения (фразы, объекты) неформального языка (такими языками являются все разговорные языки, язык живописи, музыки, мимики и жестов и др.) могут быть поняты субъектом неоднозначно, по-разному восприняты разными людьми;
  • выражение формального языка (формализованные языки — алгоритмические языки, язык технических чертежей, электрических схем, математический язык и др.) воспринимаются всеми однозначно.
    Под моделью понимается формализованные и неформализованные (фиксированные в реальном материале) представления об объекте или системе объектов, служащие средством изучения и прогнозирования их свойств и поведения, а также управления ими.